高考数学一轮复习第8章平面解析几何热点探究训练5平面解析几何中的高考热点问题文北师大版041701122

热点探究训练(五) 平面解析几何中的高考热点问题

1．(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C

上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .

(1)若直线MN 的斜率为3

4

，求C 的离心率；

(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .

[解] (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2

a 2c ＝34

，2b 2

＝3ac . 2分

将b 2

＝a 2

－c 2

代入2b 2

＝3ac ，

解得c a ＝12，c

a

＝－2(舍去)．

故C 的离心率为1

2

. 5分

(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，

故b 2a

＝4，即b 2

＝4a . ①8分 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则

⎩

⎪⎨

⎪⎧

－c －x 1＝c ，

－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝－32c ，

y 1＝－1.

10分

代入C 的方程，得9c 2

4a 2＋1

b 2＝1.②

将①及c ＝a 2

－b 2

代入②得

a 2－4a 4a ＋1

4a

＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 12分 2．已知椭圆C 的方程为：x 2

＋2y 2

＝4. (1)求椭圆C 的离心率；

(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．

[解] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

2＝1，

所以a 2

＝4，b 2

＝2，从而c 2

＝a 2

－b 2

＝2. 2分

因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝

2

2

. 5分 (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，则OA →·OB →

＝0，

所以tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0

x 0

. 8分

又x 20＋2y 2

0＝4，

所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2

＝x 2

＋y 20

＋4y 20x 20＋4＝x 2

0＋4－x 2

02

＋

－x 2

x 20

＋4

＝x 20

2＋8x 20

＋4(0

0≤4). 10分 因为x 20

2＋8x 20≥4(0

0＝4时等号成立，

所以|AB |2

≥8.

故线段AB 长度的最小值为2 2. 12分

3．如图4，已知抛物线C ：x 2

＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．

图4

(1)证明：动点D 在定直线上；

(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2

－|MN 1|2

为定值，并求此定值．

[解] (1)证明：依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2

＝4y ，得x 2

＝4(kx ＋2)，即

x 2－4kx －8＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.

直线AO 的方程为y ＝y 1

x 1

x ；BD 的方程为x ＝x 2. 2分

解得交点D 的坐标为⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝x 2，y ＝y 1x 2

x 1，

注意到x 1x 2＝－8及x 2

1＝4y 1， 则有y ＝

y 1x 1x 2x 21

＝－8y 1

4y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0). 5分

(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入

x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，

即x 2

－4ax －4b ＝0. 8分

由Δ＝0得(4a )2

＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2

. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2

. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为

N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2

a ＋a ，－2，10分

则|MN 2|2－|MN 1|2

＝⎝

⎛⎭

⎪⎫2a －a 2＋42－⎝

⎛⎭

⎪⎫2a

＋a 2＝8，

即|MN 2|2

－|MN 1|2

为定值8. 12分

4．(2017·郑州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2，点P (0,1)和点A (m ，

n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .

(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；

(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

【导学号：66482414】

[解] ∵b ＝1，e ＝

2

2

， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

c a ＝22，a 2＝1＋c 2，

解得a 2

＝2. 3分

故椭圆C 的方程为x 2

2＋y 2

＝1.

设M (x M,0)，

由于点A (m ，n )在椭圆C 上， ∴－1