圆中综合题复习专题

圆中综合题复习专题

第一组

1.若集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤16}，B ＝{(x ，y)|x 2＋(y －2)2≤a －1}且A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是________．

解：由题意知B ⊆A.当a<1时，B ＝∅，满足题意；当a ＝1时，B ＝{(0，2)}，满足题意；当a>1时，则集合A ，B 分别表示圆面x 2＋y 2≤16与圆面x 2＋(y －2)2

≤a －1，由题意得B 内含于A ，从而4－a －1≥2，解得a ≤5.综上，a ≤5.

2.已知两点A (1,2)，B (5,5)到直线l 的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有_____条.

解以A (1,2)为圆心，3为半径的圆A ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，以B (5,5)为圆心，2为半径的圆B ：(x －5)

2＋(y －5)2＝4，根据题意所要满足的条件，则l 是圆A 与圆B 的公切线，因为A (1,2)，B (5,5)两点间的距离d ＝5，即d ＝r 1＋r 2，所以圆A 与圆B 相外切，所以有3条公切线.

3.过点(3，1)作圆()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．

解：点P (3，1)与圆心C (1，0)PA 2,则以P (3，1)为圆心，以2为半径的圆P 方程为(x －3)2＋(y －1)2

＝4,则两圆的交点即为A ，B ，两圆相减可得AB 的方程为2x ＋y －3＝0． 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：

()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22

669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是_______________________．

解：由题意，圆C 与圆C 1和圆C 2的公共弦分别为圆C 1和圆C 2的直径，设C (a ，0），则(a ﹣4)2+(0﹣8)2+1=(a ﹣6)2+(0+6)2+9，∴a =0，∴圆C 的方程是x 2+y 2=81．

5.圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a 的值为________．

15+，解得a =±

51=-，得0a =.综上 a =±0．

6.在平面直角坐标系xOy 中，若与点A(2，2)的距离为1且与点B(m ，0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________．

解:由题意知以A(2，2)为圆心，1为半径的圆与以B(m ，0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m －2)2＋

4<16，所以－23＋2

7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得

以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．

解:方法一：如图，圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，直线y ＝kx －2表示过定点P(0，－2)且斜率为k 的直线系．由

题可知，直线系l 只能在直线l PA 与l PB 之间绕点P 旋转，所以k max ＝k PB ＝tan 2

α，这里tan α＝CA PA ＝12，所以k max ＝43

. 方法二：设动圆圆心O 1(t ，kt －2)，由于两个等圆(圆O 1与圆C)至少有一

个公共点，则两圆圆心距O 1C ＝（4－t ）2＋（2－kt ）2≤1＋1，所以(k

2

＋1)t 2－4(2＋k)t ＋16≤0有解，所以Δ＝16(2＋k)2－4×16×(k 2＋1)≥0，

化简得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43，即k max ＝43

. 8.在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)

2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．

【思维引导】先将动圆M 上点Q 当作定点，过点Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ，根据圆的切线性质，

有∠OQR ≥∠OQP ，根据OP ＝1，确定OQ ≤2，然后根据点Q 既在圆面x 2＋y 2≤4上，又在圆M 上，建立不等

关系，从而确定参数a 的取值范围．

【解析】过点Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ，根据圆的切线性质，有∠OQR ≥∠OQP ＝30°；反过来，如果∠OQR ≥30°，则存在圆O 上的点P ，使得∠OQP ＝30°.所以若圆O 上存在点P ，使得∠OQP ＝30°，则

∠OQR ≥30°.因为OP ＝1，所以OQ ≤2，即点Q 在圆面x 2＋y 2≤4上．又因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x

＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)与圆面x 2＋y 2≤4有公共点，所以OM ≤3.因为OM 2＝(0＋a ＋3)2＋(0－

2a)2，所以(0＋a ＋3)2＋(0－2a)2≤9，解得－65

≤a ≤0. 【精要点评】本题的两个特色：(1) 动静结合，化动为静：难点在于点P 与点Q 均为动点，为了走出两动困境，所以先将点Q 当作定点(静)进行研究；(2) 化相等为不等，实现质的突变：题目的条件“圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°”为相等关系，通过多

次转化后得到一个关于参数a 的不等式，这既是本题亮点，也

是难点，同时也符合现在高考“重在考查学生思维能力”的基

本理念

9.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M

上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠

APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．

解:如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的

两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，

此时PO ＝2，由题意可知点P 在圆x 2＋y 2＝4上．又因为点P 在

圆M 上，所以圆x 2＋y 2＝4与圆(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1有公共

点，由于圆M 的半径等于1，圆心坐标M(a ，a －4)，

所以2－1≤MO ≤2＋1，MO ＝a 2＋（a －4）2，由1≤a 2＋（a －4）2≤3，解得2－22≤a ≤2＋22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与直线 l 2：x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距离的最大值为 答案：3 2

解析：由题意，l 1过定点M (0，2)，l 2过定点N (2，0)，且l 1⊥l 2，所以点P 的轨迹为以M N 为直径的圆，

圆心为C (1，1) x －y －4＝0 的距离d ==,点 P 到直线

x －y －4＝0 的距离的最大值为

变式1.已知点A (2,3)，点B (6, 3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP BP ⋅＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ．