2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二(上)数学期末试卷[答案版]

2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二（上）数学期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1．（4分）椭圆的长轴长、焦距分别为（）

A．2，1B．4，2C．，1D．2，2

2．（4分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）

A．i（1+i）B．i2（1+i）C．i（1+i）2D．i2（1+i）2 3．（4分）设为两个非零的空间向量，则“存在正数λ，使得＝”是“＞0”

的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，下列说法正确的是（）

A．若m⊥l，则m⊥αB．若m∥l，则m∥α

C．若β⊥l，则β⊥αD．若β∥l，则β∥α

5．（4分）已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，

），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5

6．（4分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是三角形，这些三角形的面积之和为（）

A．1B．C．D．

7．（4分）双曲线的上支与焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝3|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（）

A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 8．（4分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝CC1＝2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

9．（4分）已知椭圆+y2＝1的右顶点为A，直线l：x＝﹣2上有两点P，Q关于x轴对称（P在Q下方），直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），若直线BQ经过坐标原点，则直线AP的斜率为（）

A．B．C．D．

10．（4分）如图，水平放置的正四棱台形玻璃容器的高OO1为30cm，两底面边长EF，E1F1的长分别为10cm和70cm．在容器中注入水，水深为8cm．现有一根金属棒l，其长度为30cm．（容器厚度、金属棒粗细均忽略不计）将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端在棱台的侧面上移动，则移动过程中l浸入水中部分的长度的最大值为（）

A．18B．24C．12D．15

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．（4分）已知复数z＝，则它的共轭复数＝．

12．（6分）抛物线x2＝y的焦点F的坐标为，若该抛物线上有一点P满足|PF|＝，且P在第一象限，则点P的坐标为．

13．（6分）某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．

14．（6分）已知椭圆＝1与双曲线＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则﹣＝，若P为两曲线的一个交点，则PF1|•|PF2|＝．15．（6分）已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°．点G为△ABC的重心，若，则x+y+z＝，

＝．

16．（4分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等边三角形ABC的边AC所在直线与a，b 都垂直，边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列四个命题：

①直线AB与a所成角的最小值为30°；

②直线AB与a所成角的最大值为60°；

③当直线AB与a成60°角时，AB与b成45°角；

④当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

其中为真命题的是．（填写所有真命题的编号）

17．（4分）双曲线x2﹣y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2．点P在双曲线上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2，若直线l1，l2的交点Q在双曲线上，则点P的坐标为．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知命题p：椭圆＝1的离心率e∈（，1），命题q：复数z＝（m ﹣1）+i，m∈R的模|z|≥．

（Ⅰ）若命题p为真命题，求m的取值范围；

（Ⅱ）若命题p和q中至少有一个为假命题，求m的取值范围．

19．（15分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；

（Ⅱ）若直线A1O与平面ABB1A1所成角为30°，求线段A1E的长．

20．（15分）已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，2），C在P处的切线交y轴于点Q，过Q 作直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线OA，OB，OP分别与抛物线的准线交于点M，N，R，其中O为坐标原点．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程，并求出点Q的坐标；

（Ⅱ）求证：R为线段MN的中点．

21．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD为等边三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且AB＝BC＝CD＝4，AD＝2．

（Ⅰ）若△PBC为等边三角形，证明：平面P AD⊥平面PBC；

（Ⅱ）若∠PBA＝∠PCD＝30°，求平面PBA与平面PCD所成钝二面角的余弦值．

22．（15分）已知椭圆的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点

E的坐标为（0，c），△EF A的面积为．过点E的动直线l被椭圆C所截得的线段MN 长度的最小值为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）B是椭圆C上异于顶点的一点，且直线OB⊥l，D是线段OB延长线上一点，且|BD|＝|MN|，⊙D的半径为|DB|，OP，OQ是⊙D的两条切线，切点分别为P，Q，求∠POQ的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．