平均变化率和导数的概念导数的几何意义

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导数的概念、意义及运算

(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记
混.
(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复
合过程,然后求导.
对点训练1求下列函数的导数.
(1)y=x2sin x;
(2)y=ln
1
x+ ;
cos
(3)y= e ;
(4)y=ln(2x-5).
1
由题意得, +1=2,解得 x0=1,故 y0=ln
0
y=2x.
1
y'= +1.
1+1+1=2,切线方程为 y-2=2(x-1),即
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切
线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的
3.函数f(x)的导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一
确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数
(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
(+Δ)-()
f'(x)=y'= lim
【例4】若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.
(1)求实数m的值;
(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.
解 (1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xln x+2m的导数为f'(x)=1+ln x,点P(n,n)处的
1

导数几何含义

o x0 X0+△xx
2.导数的概念函数 y f (x) 在 x x0 处的导数可以表示为
lim lim f (x0)'＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
类比平均变化率的几何意义， f ( x0 ) 的几何意义又是什么呢？
从代数的角度：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，
y=f(x)
kPQ
y ＝ x
f
( x0
x) x
f
(x0 )
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
△y
PQ的斜率的极限，就是曲线
P(x0,y0)
△x
M
在点P处的切线的斜率，
o
x
lim lim 所以：k切线＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 )
x
f x0
归纳小结
导数的几何意义
2、切线的斜率：
lim lim k切线＝f (x0)
y x0 x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
3、求切线方程的步骤：
(1)求切线斜率 k f (x0 ) (2)切线方程为：y y0 f (x0 )(x x0 )
4.求曲线的切线方程时,要注意区分“过”一点与 “在”某点求切线问题
讲授新课
问题探究
观察如图
3 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2,3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0, f x0
时, 割线PPn的变化趋势是
什么?
y
y fx
P1
T
P
O
x

1导数的概念及其几何意义-中档难度-讲义 - 副本

导数的概念及其几何意义知识讲解一、导数的概念1.函数的平均变化率：定义：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：瞬时变化率：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．函数的导数：“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、导数的几何意义1.导数的几何意义：意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．2.求曲线的切线方程方法：若曲线()y f x =在点00(,)P x y 及其附近有意义，给横坐标0x 一个增量x ，相应的纵坐标也有一个增量00()()y f x x f x =+-，对应的点00(,)Q x x y y ++.则PQ 为曲线()y f x =的割线.当0x →时Q P →,如果割线PQ 趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ 的斜率yx就趋近于切线的斜率.切线的方程为00()y y k x x -=-.典型例题一．选择题（共2小题）1．（2018•海南三模）已知函数f （x ）=﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数，则f （x ）的导函数f′（x ）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则a﹣1=0，解得a=1，∴f（x）=﹣x4+2x2，∴f′（x）=﹣4x3+4x；设g（x）=f′（x），则g′（x）=﹣12x2+4，令g′（x）=0，解得x=±，∴当0＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＜0；∴g（x）在x=时取得极大值为g（）=﹣4×+4×=＜2，∴导函数f′（x）的图象大致为选项A所示．故选：A．2．（2018•邯郸二模）若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y=xe x相切，则m的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（，）C．（0，+∞）D．（，）【解答】解：设切点为（x0，y0），过点P的切线程为，代入点P坐标化简为m=，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到f′（x）=（﹣x﹣1）（x+2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故得到f（﹣2）＜m＜f（﹣1），即，故选：D．二．填空题（共10小题）3．（2018•天心区校级一模）已知f（x）=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|（x∈R），且满足f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1）的整数a共有n个，（x≥0）的最大值为m，且m+n=3，则实数k的取值范围为[，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣2018|+|﹣x﹣2017|+…+|﹣x﹣1|+|﹣x+1|+…+|﹣x+2017|+|﹣x+2018|=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|=f （x），即函数f（x）是偶函数；若f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），则a2﹣3a+2=a﹣1①，或a2﹣3a+2=﹣（a﹣1）②；由①得a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）=a﹣1，即（a﹣1）（a﹣3）=0，解得a=1或a=3；由②得a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）=﹣（a﹣1），即（a﹣1）（a﹣1）=0，解得a=1；综上a=1或a=3；又f（0）=f（1）=f（﹣1）∴当a=2时，也满足要求，∴a的值有3个，即n=3；又m+n=3，∴m=0；∴g（x）=﹣kx=﹣kx的最大值为m=0，可得≤kx（*）恒成立，其中x≥0，h（x）=设直线y=kx与曲线y=h（x）=相切于点（m，n），∵h′（x）=，∴k=h′（m）=，n=km，n=，解得cosm=1，∴k=由于≤kx（*）恒成立，其中x≥0，∴k≥故答案为：[，+∞）4．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P在曲线y=sinx上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：y′=cosx∴tana=cosx∵﹣1≤cosx≤1即﹣1≤tanα≤1∵0≤α≤π∴0≤α≤或≤α＜π故答案为：[0，]∪[，π）．5．（2014春•三亚校级期中）点P在曲线y=x3﹣x+2上移动，设曲线在点P处切线的倾斜角是α，则α的取值范围是，，．【解答】解：∵y=x3﹣x+2，∴y′=f′（x）=3x2﹣1≥﹣1，则tanα≥﹣1，解得α∈，，，故答案为：，，6．（2014•淮阴区校级模拟）已知f（x）=x3﹣3x，过A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：已知点（1，m）在直线x=1上；由f'（x）=3x2﹣3=0得两个极值点x=±1；由f''（x）=6x=0；得一个拐点x=0；在（﹣∞，0）f（x）上凸，在（0，+∞）f（x）下凸；切线只能在凸性曲线段的外侧取得，在拐点x=0处有一条上凸和下凸部分的公共切线L其斜率k=f'（0）=﹣3，方程为：y=﹣3x；L与直线x=1的交点为（1，﹣3）设过点（1，m）的直线为l当m＞﹣2时，l与函数f（x）上凸部分相切且有两条切线，l与下凸部分只能相交；当m＜﹣3时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分只能相交；当﹣3＜m＜﹣2时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分也相切但只有一条，共3条；其中，当m=﹣3时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合，共有2条所以m的取值范围是﹣3＜m＜﹣2故答案为：（﹣3，﹣2）7．（2016春•全州县校级期中）正弦曲线y=sinx上一点P，正弦曲线的以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：根据题意得f′（x）=cosx，∵﹣1≤cosx≤1，则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率﹣1≤k≤1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈[0，]∪[，π），故答案为：[0，]∪[，π）．8．（2015春•湛江校级期中）已知f（x）=log a x（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=，C=f′（a+1），则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是A＞B＞C．【解答】解：记M（a，f（a）），N（a+1，f（a+1）），则由于，表示直线MN的斜率；A=f'（a）表示函数f（x）=log a x在点M处的切线斜率；C=f'（a+1）表示函数f（x）=log a x在点N处的切线斜率．所以A＞B＞C．故答案为：A＞B＞C．9．（2016春•邯郸期中）已知f′（2）=2，则=﹣1．【解答】解：∵则==﹣f′（2）=﹣1，故答案为：﹣1．10．（2014秋•巫溪县校级月考）若函数f（x）=x2+2x+a（a∈R，x＜0）图象上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线相互垂直，则x2﹣x1的最小值为1．【解答】解：根据导数的几何意义，得：f′（x1）f′（x2）=﹣1，即（2x1+2）（2x2+2）=﹣1（x1＜x2＜0），所以（2x1+2）＜0，（2x2+2）＞0，且[﹣（2x1+2）]（2x2+2）=1，因此x2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，当且仅当﹣（2x1+2）=（2x2+2）=1，即，时等号成立；所以x2﹣x1的最小值为1．故答案为：1．11．（2014秋•肥东县校级月考）若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|x2﹣x1|恒成立”，则称f（x）为完美函数．给出以下四个函数①f（x）=②f（x）=|x|③f（x）=④f（x）=x2其中是完美函数的序号是①．【解答】解：在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．对于①：f（x）=，|f（x2）﹣f（x1）|=|﹣|=||＜|x2﹣x1|（因为x1，x2在区间（1，2）上，故x1x2大于1）故成立．对于②：f（x）=|x|，|f（x2）﹣f（x1）|=||x2|﹣|x1||=|x2﹣x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．对于③：f（x）=（）x，|f（x2）﹣f（x1）|=|（）x2﹣（）x1|＜|x2﹣x1|，故不成立．对于④：f（x）=x2，|f（x2）﹣f（x1）|=|x22﹣x12|=（x2+x1）|x2﹣x1|＞|x2﹣x1|，故不成立．故答案为：①．12．（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若，则该函数的对称中心为，，计算=2012．【解答】解：∵，则f′（x）=x2﹣x+，f″（x）=2x ﹣1，令f″（x）=2x﹣1=0，求得x=，故函数y=f（x）的“拐点”为（，1）．由于函数的对称中心为（，1），∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012，故答案为（，1），2012．三．解答题（共4小题）13．（2018春•小店区校级月考）已知函数f（x）=x﹣1+．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得f′（1）=1﹣=0，解得a=e（Ⅱ）f′（x）=1﹣①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＞0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增；在（lna，+∞）上单调递减．∴f（x）在x=lna处取得极da值，且极da值为f（lna）=lna，无极小值综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取得极大值lna，无极小值．14．（2017秋•吕梁期中）吕梁市在创建全国旅游城市的活动中，对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，其中弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，△OBD区域用于儿童乐园出租，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD的面积S弓=f（θ）；（2）如果该市规划办邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．【解答】解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；则y1=R2sinθ•95，y2=R2（θ﹣sinθ）•5，y3=R2（π﹣θ）•55，∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），设g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．∴g′（θ）=100cosθ+50∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；当θ=时，g（θ）取到最大值，此时总利润最大，此时总利润最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）15．（2016春•广安校级月考）水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．【解答】解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h则V=20t又V=πr2h由图知∴r=∴V=π•（）2•h3=h3∴20t=h3，∴h=于是h′=．当h=10时，t=π，此时h′=．∴当h=10米时，水面上升速度为米/分．16．（2016春•泸州期末）已知函数f（x）=x3﹣2x．（1）若将函数f（x）的图象向下平移个单位长度得函数h（x）的图象，求函数h（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x+m在[﹣2，4]上有零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣=x3﹣2x﹣，∴h′（x）=x2﹣2，∴切线的斜率k=h′（1）=﹣1，又h（1）=﹣2，∴h（x）的图象在x=1处的切线方程为y+2=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3x+m，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，令g′（x）=0得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3．∴当x＜﹣1或x＞3时，g′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，g′（x）＜0．∴g（x）在[﹣2，﹣1]上为增函数，在[﹣1，3]上为减函数，在[3，4]上为增函数．∵g（﹣2）=﹣+m，g（﹣1）=+m，g（3）=﹣9+m，g（4）=﹣+m，∴g（x）在[﹣2，4]上的最大值为为+m，最小值为﹣9+m，∵函数g（x）在[﹣2，4]上有零点，∴，解得﹣≤m≤9．。

导数的概念及几何意义_基础

导数的概念及几何意义【要点梳理】要点一：导数的概念 1．导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆，当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝要点诠释：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数．（4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近．（5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．要点二：导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示： ()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．如图1．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．如图2，无论点P 在曲线上还是曲线外，过点P 都可以作两条直线1l 、2l 与曲线相切．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．要点三：导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度．【典型例题】类型一：导数定义的应用例1．用导数的定义，求函数()y f x x==x =1处的导数．【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值．【解析】先求增量：(1)(1)11y f x f x∆=+∆-=-+∆===再求平均变化率：y x ∆=∆ 求极限，得导数：01'(1)lim2x y f x ∆→∆==-∆．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下：（1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；（3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．举一反三：【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【解析】 ∵ )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴ 2(1)(1)23y x x x x x∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆， ∴()'1=f -()00'(1)limlim 3=3x x yf x x ∆→∆→∆==-∆∆．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【解析】 ∵22(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，∴263()63y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆， 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=． ∴函数2()3f x x =在1x =处的导数为6 ．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．【解析】∵2200()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆，∴23()3y x x x x x∆∆-∆==-∆∆∆， ∴00(1)limlim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆．例2．已知函数()24f x x=，求()f x '．【解析】先求增量：2222444(2)()()x x x y x x x x x x ∆+∆∆=-=-+∆+∆，再求平均变化率：224(2)()y x x x x x x ∆+∆=-∆+∆．求极限，得导数：23004(2)8'limlim ()x x y x x y x x x x x∆→∆→∆+∆==-=-∆++∆．【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导．举一反三：【变式1】求函数y=在(0,)+∞内的导函数．【解析】∵y∆==，∴y x ∆==∆==∴321lim2x y x -∆→'===-．【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．【解析】∵y ∆=∴yx ∆=∆==∴'()limx f x y ∆→'==．当2x =时，1'(2)4f ==．例3．若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．【思路点拨】【解析】根据导数定义：0000[()]()'()limk f x k f x f x k→+--=-（这时增量x k ∆=－），所以000()()lim2k f x k f x k →--000[()]()1lim 2k f x k f x k →+--⎧⎫=-⋅⎨⎬-⎩⎭000[()]()1lim21221.k f x k f x k →+--=-⋅-=-⨯=-【思路点拨】（1）有一种错误的解法：根据导数的定义：0000()()'()limk f x k f x f x k→--=（这时增量x k ∆=），所以 000000()()()()11limlim 21222k k f x k f x f x k f x k k →→----==⨯=．（2）在导数的定义中，增量x ∆的形式是多种多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆也必须选择与之相对应的形式．利用函数()f x 在0x x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题．举一反三：【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【答案】（1）00(1)(1)1(1)(1)1lim lim '(1)1222x x f x f f x f f x x →→+-+-===（2）00(12)(1)(12)(1)lim 2lim 2'(1)42x x f x f f x f f x x→→+-+-===【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【答案】()()()()()()[]00000000000000000()()lim()()lim()()lim21lim 2lim 1()2'()22'()2x x x x x f x x f x x xf x x f x x f x x f x x xf x x f x xf x x f x x x x f x af x a∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆∆+∆--∆+∆--∆∆-∆-∆-∆-=-=-∆∆--∆=-==-==【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．【答案】原式0000()()()()lim2h f x h f x f x f x h h→+-+--=000000()()()()1lim lim 2h h f x h f x f x h f x h h →→+---⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦ 0000()()1'()lim 2h f x h f x f x h -→--⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦[]0001'()'()'()2f x f x f x =+=．类型二：求曲线的切线方程例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点P （1，2）处的切线的斜率等于函数21y x =+在1x =处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程．【解析】先求切线的斜率()'1f ：()()22001+111lim lim x x x y x x∆→∆→⎡⎤∆++∆⎣⎦=-∆∆ ()0lim +2=2x x ∆→=∆，由条件可知()1=2f ，由点斜式可得，过点P 的切线方程为：22(1)y x -=-，即2y x =．【总结升华】求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率．（2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =．举一反三：【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．【答案】先求2'|x y =：∵22211(2)2+4222(2)x y x x x x x -∆⎛⎫∆=+∆+-=∆+∆+ ⎪+∆+∆⎝⎭，∴142(2)y x x x ∆-=+∆+∆+∆， ∴001115limlim(4)4=2(2)44x x y y x x x ∆→∆→∆-'==+∆+=-∆+∆．再求2|x y =：22119|=25=22x y =++．由点斜式得切线方程：()915--224y x =，即15480x y -+=．【高清课堂：导数的几何意义 385147 例2】例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．【思路点拨】本题要分点(1,1)P 是切点和(1,1)P 不是切点两类进行求解．【解析】第一步：先求导函数．00()()limlimx x f x x f x xy y x ∆→∆→+∆-∆∆'==∆ ()()33322330222()lim3+3+=lim=lim 3+3+3=3x x x x x xxx xx x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆-∆=+∆∆∆∆∆g g g第二步：验证点(1,1)P 是否在曲线上．由于()11f =，所以P 在曲线上．第三步：分类讨论． ①若点P 是切点，则切线的斜率为()'13f =，于是切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-； ②若点P 不是切点，设切点为()()3000,1x x x≠．则切线的斜率为()200'3f x x =，于是切线方程为：320003()y x x x x -=- ．由于切线经过点(1,1)P ，于是有3200013(1)x x x -=-，整理得：()()()()()()32322322200000000000023+1=22++1=221=21+11x x x x x x x x x x x x ()()2000=121x x x ()()200=12+1=0x x ，解得012x =-或01x =（舍去）．所以切线方程是131+(+)842y x =，即3144y x =+．综上所述，所求切线方程为32y x =-或3144y x =+．【思路点拨】求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立；（3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．举一反三：【变式1】已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线．求切线方程．【解析】先求导函数：20()lim33x yf x x x∆→∆'==-∆．再验证：3(2)232=2f =-⨯，所以点(2,2)在函数()f x 图象上．最后讨论：（1）当点(2,2)是切点时，切线的斜率为(2)9f '=，则切线方程为：9160x y --=．（2）当点(2,2)不是切点时，设切点坐标为3000(,3)x x x -．则切线的斜率为200()33f x x '=-（02x ≠），所以切线方程为()320000(3)=33()y x x x x x ----．代入点(2,2)得：()3200002(3)=33(2)x x x x ----整理得：0432030=+-x x ⇒0)2)(1(200=-+x x ⇒10-=x ，此时切线方程为2=y ．综上所述，所求的切线方程为9160x y --=或2y =．【变式2】已知曲线1y x=．（1）求曲线过点()10A ，的切线方程；（2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【解析】()200()()11'=limlim =x x f x x f x y x x x x x∆→∆→+∆--=-∆+∆ （1）由于点A 不在曲线上，设切点坐标为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线的斜率为21'|=x a y a =-，切线方程为211()y x a a a -=--，将()10A ，代入，得12a =．所以所求的切线方程为44y x =+ ．（2）令2113x -=-，解得x = 所以斜率为13-的切线的切点为⎭或⎛ ⎝⎭．所以所求的切线方程为133y x =-+或133y x =--．【高清课堂：导数的几何意义 385147 例3】【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．【答案】 0(2+)(2)'(2)lim x f x f f x∆→∆=∆ 3230(2)2(2)(2)(282)=lim x x a x b x a a b a x∆→+∆++∆++∆+-+++∆ 20lim 1286()128x a b x x a b ∆→⎡⎤=+++∆+∆=++⎣⎦ 0g(2+)g(2)g '(2)lim x x x ∆→∆=∆220(2)3(2)2(2322)=lim x x x x∆→+∆-+∆+--⨯+∆ 0lim(1)1x x ∆→=+∆= 由条件可知：(2)0f =且'(2)'(2)f g =⇒2,5a b =-=，所以切线l 的方程：2y x =-．类型三：导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【思路点拨】【解析】()0(2)(2)'2lim t T t T T t∆→+∆=∆ ()0012012015152+57=lim 120=lim 77+120=49t t t tt ∆→∆→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪∆+⎝⎭⎝⎭∆∆ ()()1202=C /min 49T '︒ 表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以()120C /min 49︒ 的速度下降．【总结升华】解释导学的实际意义要结合题目中变化的事物（指自变量），它反映事物变化的快慢．举一反三：【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．【解析】00()()s t t s t s t t+∆-∆=∆∆ 220000000011[()()][]2212v t t a t t v t at tv at a t +∆++∆-+=∆=++∆ 2s t ∴=的瞬时速度是02v a +．【变式2】质点按规律()21s t at =+做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ）．若质点在 2 s t =时的瞬时速度为8 m / s ，求常数a 的值．【答案】质点 2 s t =时的瞬时速度为()'28s =．∵()222(2)2(2)1214()s s t ―s a t ―a a t a t ∆=+∆=+∆+⨯=∆+∆－， ∴4s a a t t∆=+∆∆． ∴()0'2lim4t s s a t ∆→∆==∆，所以48a =，即a =2．。

导数的概念与几何意义

导数的概念及其几何意义
ＤaoShu de Gainian jiqi JiheYIYi 授课人：谢才兴
复习旧知
平均变化率：对一般函数来说，当自变量x从x0变为x1时，函数值 y从f(x0)变化到f(x1), 它的平均变化率为：
用来刻画函数在[x0，函数的平均变化率也可以表示成函数值的改变值与自变量的改 x1]上变化的快慢
新课讲解
练习.服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位:μg/mL)是时间x(单位:min)的函数y=f(t).假设函数y=f(t) 在x=10和t=100处的导数分别为f’(10)=1和f’(100)=-0.6,试解释它们的实际意义. 血液中药物的质量浓度解： f’(10)=1表示服药后 10min时，上升速度为 1μg/(mL.min) ，也就是说，如果保持这一速度，那么每经过1min, 血液中药物的质量浓度将上升1μg/mL.
变值的比
用来刻画函数在 x0处变化的快慢
当Δx变化率.
新课讲解
新课讲解
对函数y=f(x)来说，当自变量x从x0变为x1时，函数值y从f(x0)变化到f(x1), 它的平均变化率为：当x1趋向于x0 ，即Δx趋向于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是y=f(x)在点x0点的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x) 在点x0的导数. 函数y=f(x) 在点x0的导数通常用用符号f’(x0)表示. 记作
总结提高
1.什么是导数？ 2.如何求导数？导数的实际意义是什么？
布置作业： P37 .A1，2
谢谢观看！
THANK YOU
导数 f’(2)表示当x=2s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是如果水管中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过 1s，水管中流水的水量为12m3.

高中数学第二章变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件北师大版选

提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
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【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
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(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
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【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标，利用三角形的面积公式求解.
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【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
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所以切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0.
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【素养·探】求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数，即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
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2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算.

导数的基本概念

2012年高考数学复习专题倒数的基本概念既简单运用一、基础知识回顾：1. 平均变化率的定义：2. 导数的定义：3. 导数的几何意义和物理意义：4. 基本初等函数的导数和求导法则：基本初等函数的求导公式：（1）'___C =(C 为常数)；（2）()'______n x =；（3）(sin )'____x =；（4）(cos )'_____x =；（5）(ln )____'x =；（6）(log )_____'a x =;（7）(e )____'x =; （8）()______'x a =.求导法则：法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．法则2 ''[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '=+. 法则3：'2()'()()()'()()(()()0)f x f x g x f x g x g g g x x x ⎛⎫-=⎪⎭≠ ⎝（5）导数与单调性的关系：（6）导数与极值的关系：二、例题讲解：练习1：1. 质点运动的位移S 关于时间t 的方程是23S t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度是____________.2. 当h →0时，()()2f x h f x h+-→,那么当h →0时，(2)()f x h f x h+-→ ____.3. 已知质点运动的方程为24105S t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为_________,瞬时加速度为________. 练习2：1.求下列函数的导数[]()1()362()33()3.f x f x f x x f x x ==例1已知函数（）求在，上的平均变化率；（）利用导数的定义求在处的导数；（）求函数的图象在处的切线方程.（1）223y x x =++ ；（2）ln x y e x = ；（3）cos 2xx y =.2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时,()()0,f x xf'x +<且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为_______________.例2. （1）在点(1,1)-处作抛物线21y x x =++的切线，则这条切线方程为________________；（2）经过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，求该切线的方程. 例3.求函数f (x )=2x 3-6x 2+7的单调区间.练习3.1.已知函数f （x ）= -x 3+12x ，则它的单调减区间为_______________；2.设f (x )=kx 3-x 2+x -5在R 上是单调增函数，则实数k 的取值范围是____________. 练习4.“函数f （x ）可导，且在x 0处的导数 f ∕ (x 0）=0”是“f （x ）在该点处取得极值” 的 _______________条件. 例4.求函数214y x x=+(0)x >的极值.例5．已知函数f (x )=-x 3+3x 2+9x +a 在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 解题回顾：一表三用：三、巩固提高：设函数f (x )= ln x -x +a , x ∈(0,2]. ⑴求f (x )的单调区间；⑵若不等式f (x )<a 2-3 对于任意x ∈(0,2]恒成立，求实数a 的取值范围.导数的综合运用4．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析]本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义．y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.5．(2011·福州二检)已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－ln x存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是()A．[－12，＋∞) B．(－∞，－12]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] [答案] A[解析]由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y′＝2ax＋3－1x＝1有正根，即2ax2＋2x－1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a<0时，须满足Δ≥0，解得－12≤a<0，综上：a≥－12.故选A.(理)(2011·大纲全国卷理，8)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D．1[答案] A[解析] y ′＝(e－2x＋1)′＝－2·e－2x，令x ＝0，∴k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2. 如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝x ，∴⎩⎨⎧x ＝23y ＝23，∴S ＝12×1×23＝13.11．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，故曲线在(a ，a －12)处的切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，则y ＝32a －12令y ＝0，则x ＝3a ，由题意S ＝12×32a －12×3a ＝18，解得a ＝64.14．函数f (x )＝ax 3－2ax 2＋(a ＋1)x －log 2(a 2－1)不存在极值点，则实数a 的取值范围是________． [答案] 1<a ≤3[解析] 因为a 2－1>0，∴a >1或a <－1；令f ′(x )＝3ax 2－4ax ＋a ＋1＝0， ∵函数f (x )不存在极值点，∴Δ＝16a 2－4×3a (a ＋1)＝4a (a －3)≤0，所以0≤a ≤3，综上可知：1<a ≤3.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2(a ∈R )． (1)若f (x )在(0,1)上是减函数，求a 的最大值；(2)若f (x )的单调递减区间是(－13，1)，求函数y ＝f (x )的图像过点(1,1)的切线与两坐标轴围成图形的面积．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意可得f ′(x )在(0,1)上恒有f ′(x )≤0，则f ′(0)≤0且f ′(1)≤0，得a ≤－1，所以a 的最大值为－1. (2)∵f (x )的单调递减区间是(－13，1)，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax －1＝0的两根为－13和1，可求得a ＝－1，∴f (x )＝x 3－x 2－x ＋2，设切线的切点为(x 0，y 0)，则有y 0－1x 0－1＝3x 20－2x 0－1， y 0＝x 30－x 20－x 0＋2，解得x 0＝1或x 0＝0，则切线斜率为k ＝0或k ＝－1，切线方程为y ＝1，x ＋y －2＝0，与两坐标轴围成的图形为直角梯形，面积为S ＝12×(1＋2)×1＝32.19．(本小题满分12分)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋mx ＋2}，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0，且0≤x ≤2}．若A ∩B ≠∅，求实数m 的范围．[解析] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋mx ＋2，x －y ＋1＝0，(0≤x ≤2)，消去y ，得x 2＋(m －1)x ＋1＝0，x ∈[0,2]．将题目中的问题转化为方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]内有实数解，即方程在区间[0,2]上有一解或两解．设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，则f (0)＝1>0.20．(本小题满分12分)(2011·福建理，18)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． [解析] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 22．(本小题满分14分)(文)(2011·陕西文，21)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[解析] f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x .∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， ∴(0,1)是g (x )的单调减区间当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点．所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x ＝2ln x －x ＋1x ，h ′(x )＝－(x －1)2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x )当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x )综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x )，当x ＝1时，g (x )＝g (1x )当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a ，即ln a <1，解得0<a <e .所以a 的取值范围是(0，e )(理)(2011·陕西理，21)设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1x x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x设h (x )＝g (x )－g (1x ＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x )当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x )．(3)满足条件的x 0不存在．证明如下：证法一：假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立，即对任意x >0，有ln x <g (x 0)<ln x ＋2x，(*)但对上述x 0，取x 1＝eg (x 0)时，有ln x 1＝g (x 0)这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．证法二：假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意的x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1，又g (x )＝ln x ＋1x >ln x ，而x >1时，ln x 的值域为(0，＋∞)，∴x ≥1时，g (x )的值域为[1，＋∞)，从而可取一个x 1>1，使g (x 1)≥g (x 0)＋1，即g (x 1)－g (x 0)≥1，故|g (x 1)－g (x 0)|≥1>1x 1与假设矛盾．∴不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．。

导数的概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义一、导数的概念1、平均变化率：已知函数在点及其附近有定义，令，。

则当时，比值叫做函数在到之间的平均变化率。

2、瞬时变化率：设函数在点附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数，则该常数称为函数在点的瞬时变化率。

还可以说，当时，函数平均变化率的极限等于函数在的瞬时变化率,记作：3、导数的定义：函数在的瞬时变化率，通常就定义为在处的导数，记作或即注（1）变速运动在的瞬时速度就是路程函数在的导数（2）在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成（3）若极限不存在，则称函数在点处不可导。

二、求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量。

（2）求平均变化率。

（3）取极限，得导数。

三、导数的几何意义函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率。

利用导数求曲线的切线方程，分两步：（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处的切线的斜率；（2）由切点坐标和切线斜率，得切线方程为：。

特别地，如果曲线在点处的切线垂直于轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为：。

四、例题例1、利用导数定义求函数在处的导数。

例2、（Ⅰ）求函数)(x f 在点)4,2(P 处的切线方程；（Ⅱ）求过点)4,2(P 的函数)(x f 的切线方程。

五、巩固练习1、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 、7米/秒 B 、6米/秒 C 、5米/秒 D 、8米/秒2的值等于； 3、已知函数()2ln38f x x x =+，则的值等于； 4、曲线1323+-=x x y 在点（1，-1）处的切线方程为；5、曲线sin xy x e =+在点()0,1处的切线方程是； 6、函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是；7、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为；8、已知曲线,34313+=x y 则过点P （2，4）的切线方程是； 9、设a R ∈，函数的导函数是'()f x ，且'()f x 是奇函数。

高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.1.2导数的概念及其几何意义要点一导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．要点三导函数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)，即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点．【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2，当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)．题型三导数几何意义的应用探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10，即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直．【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积．【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________．【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)，解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ，即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关，故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+，所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误；对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>；记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误；由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足；对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足；对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确，综上所述，①②④正确，故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案．【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。

导数的几何意义

导数的几何意义
玉山县樟村中学
王道远
复习回顾
导数的概念 1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函 Δy 数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝ Δx fx1－fx0 fx0＋Δx－fx0 x1－x0 ＝，当x1趋于x0，即Δx趋于0 Δx 时，如果平均变化率趋于一个
解：先求y 2 x 3在x 1处的导数
f (1 x) f (1) 2(1 x) 3 2 13 x x 6 6x 2(x) 2 . 令x趋于零，可知y 2 x 3在x 1处的导数为f , (1) 6 则函数y 2 x 3在点（ 1，f（ 1）） (1,2)处的切线斜率为 6 因此切线方程 y 6x 4
P
o
x
yy f Biblioteka x)B割线l
B,
A
切线
o
x0
x
导数的几何意义：函数 y f ( x)在x0处的切线的斜率
例题讲解
例1
已知函数y f ( x) x 2 , x0 2. (1)分别对x 2,1,0.5求y x 2 在区间 [ x0 , x0 x]上的平均变化率。 (2)求函数y x 2 在x0 2处的导数。
（ 1）x 2,1,0.5时，区间 [ x0 , x0 x]相应为[2,0],[2,1],[2,1.5]. 解： y x 2 在这些区间上的平均变化率分别为 f (0) f (2) 0 2 (2) 2 2 2 2 f (1) f (2) (1) 2 (2) 2 3 1 1 f (1.5) f (2) (1.5) 2 (2) 2 3.5 0.5 0.5
作业

导数概念及几何意义意义-2023届高三数学二轮复习讲义

目录4.1 导数的概念及运算..................................................................................................................... 1 4.2 导数的几何意义 .. (14)4.1 导数的概念及运算【知识点一】一、导数的基本概念 1．函数的平均变化率：2．函数的瞬时变化率、函数的导数：3．设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．()y f x =AB 00(,())A x f x 00(,())B x x f x x +∆+∆00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆B A AB A AD AD A 000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆AD ()y f x =00(,())x f x 0()f x '二：导数公式，为正整数(0,)αα≠∈Q ，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．()y f x =()y f x ''=y c =0y '=n y x =()n +∈N 1n y nx -'=n y x α=1y x αα-'=αx y a =(0,1)a a >≠ln x y a a '=log a y x =(0,1,0)a a x >≠>1ln y x a'=sin y x =cos y x '=cos y x =sin y x '=-e a e e π2.7182818284e =()x x e e '=【典型例题】考点一：导数的基本概念例1．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则((0))f f =_____；函数()f x 在1x =处的导数'(1)f =_____．练1．已知函数()f x 在0x x =处可导,则000(3)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆_____0'()f x ．练2．设函数2()24f x x =-的图像上一点(1,2)以及邻近一点(1,2)x y +∆+∆,则yx∆∆等于__________．考点二：导数公式及其应用例1．求下列函数的导数: 3x ,13x ,21x练1．求下列函数的导数: x ,3log x ,cos x练2．下列结论不正确的是 A ．若3y =,则'0y = B ．若3x y =,则1'3x y x -=-⋅C ．若y x =-则'2y x=D ．若3y x =,则'3y =【知识点二：导数的四则运算法则】（1）函数和（或差）的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则(()())()()f x g x f x g x '''±=±,即两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数和（或差）．（2）函数积的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数．（3）函数的商的求导法则: 设()f x ,()g x 是可导的,()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f xg x f x f x g x g x g x ''-'=．特别是当()1f x ≡时,有21()[]()()g x g x g x ''=-．【典型例题】例1．求下列函数的导数:（1）()3sin=;f x x x（2）()ln x=;f x e x（3）()sin xf x=;x（4）()tanf x x=．例2．2=+-的导数为()(2)()f x x a x aA．22x a2()+ 2()x a-B．22 C．22x a+3() 3()x a-D．22练习1．求下列函数的导数:2xx e 1ln x211x x ++练习2．求下列函数的导数: （1）()e sin x f x x -=；（2）2()()ln f x x x x =-；（3）2()()e x f x x ax a -=-+⋅;（4）()3ln x f x x =．【知识点三：复合函数求导】一般地,对于两个函数()y f u =和()u g x =,如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数．那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数,记(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数(),y f u =()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅ （注：'x y 表示y 对x 的导数,'u y 表示y 对u 的导数）【典型例题】例1．（1）函数2sin y x =的导数是_____．（2）函数2412x y e +=的导数是_____．（3）函数2(1cos )y x =-的导数是_____．（4)设3121y x =+,则y '=_____．2'2cos y x x =练习1．求下列复合函数的导数:（1）2()ln(5)f x x =+；（2）10(35)()x f x x +=；（3）1()ln()1xf x x+=-．【小试牛刀】1．已知函数()f x 在1x =处可导,则0(1)(1)__________lim3x f x f x∆→+∆-=∆．2．求下列函数的导数: （1）ln y x = （2）53y x = （3）2x y =3．求下列函数导数值：（1）()f x x =,求(1)f ',1()2f '（2）()sin f x x =,求π()4f '（3）2()log f x x =,求1()2f '4．求下列函数的导数: （1）2()2ln f x x x =+（2）3()x f x x e =+【巩固练习——基础篇】1．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在13t t ==到的平均速度为v ，在2t =的舒适速度为2v ，2v v 和关系为A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定2. 已知函数()f x 和()g x 在区间[]a b ，上的图像如图所示，纳闷下列说法正确的是A ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率B ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b之间的平均变化率C ．对于任意0()x a b ∈，，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率D ．存在0()x a b ∈，，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率3．求下列函数在给定点的导数（1）34=16y x x =， (2) sin =2y x x π=， (3)cos =2y x x π=，4．已知函数，则的最小正周期是；如果的导函数是，则________．21()sin 23cos 2f x x x =+()f x ()f x ()f x '()6f π'=t 4t 3t 2100t 1tOV5．求下列函数的导数:（1）()sin cos 22x xf x x =-（2）()sin(21)x f x e x =+6．求下列函数的导数: （1）()sin(ln )f x x =;（2）43()(21)f x x +【巩固练习——提高篇】1．某堆雪在融化过程中,其体积V （单位:3m ）与融化时间t （单位:h ）近似满足函数关系:31()(10)10V t H t =-（H 为常数）,其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /)v h ．那么瞬时融化速度等于3(m /)v h 的时刻是图中的A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．03．设函数，其中，则导数的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有A ．B ．C ．D ．5．已知是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若<，则，的大小关系为A ．<B ．=C ．≤D ．≥6．求下列函数的导数:()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----(1)f '=99!-100!-98!-()32sin 3cos tan 3f x x x θθθ=++5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f '[]22-，23⎡⎤⎣⎦，32⎡⎤⎣⎦22⎡⎤⎣⎦()f x ()g x R ()f x '()g x '()f x ()g x ()()()()0f x g x f x g x ''+<a x b <<()()()()f x g x f b g b >()()()()f x g a f a g x >()()()()f x g b f b g x >()()()()f x g x f a g a >()f x '()()0xf x f x ->a b a b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b（1）1()sin tan ln cos f x x x x x=++；（2）2()cos(ln(1))f x x =+；（3）121()()xf x e x a x=++．7．已知1()sin cos f x x x =+,记21()'()f x f x =,32()'()f x f x =,…,1()'()(,2)n n f x f x n N n *-=∈≥,则122018()()()_________222f f f πππ+++=．4.2 导数的几何意义【课前诊断】成绩（满分10分）：_____ 完成情况: 优/中/差1．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．3．已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行．（Ⅰ）求a 的值;4．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;313y x =1=x 1π4-π45π4【知识点一：切线的求法】1、曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-；（2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-；第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=-，可得切线方程． 2、求曲线=()y f x 的切线方程的类型及方法（1）已知切点00(,)P x y ，求=()y f x 过点P 的切线方程：求出切线的斜率0()f x '，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，通过方程0()k f x '=解得0x ，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，利用导数求得切线斜率0()f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得0x ，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由0()k f x '=求出切点坐标00(,)x y ，最后写出切线方程．（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．【典型例题】考点一：导数的几何意义例1．若过曲线上的点的切线的斜率为, 则点的坐标是．例2．已知函数321()4f x x x x =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程;练习1．已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；练习2．已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行．（Ⅰ）求a 的值;()ln f x x x =P 2P ______例1．曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．例2．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．练习1．曲线在点处的切线方程是 A ． B ． C ． D ．练习2．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a ∈R ．若0a =，求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；练习3．已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ,且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-,求,a b 的值;e ()1xf x x =-0=x 10--=x y 10++=x y 210--=x y 210++=x y 313y x =1=x 1π4-π45π42()1xf x x =+(1,(1))f 1x =12y =1+=x y 1-=x y例1．曲线在点处的切线经过点,则．例2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．练习1．已知函数ln ()xf x ax x=-,曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值;考点四：切线证明例1．已知函数()e (sin cos )x f x x x =+．（切线斜率）（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线．练1．已知函数()3(0)ax f x e ax a =--≠．()e x f x =00(,())x f x (1,0)P 0=x ______（Ⅱ）当0a >时,设211()32ax g x e ax x a =--,求证:曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线．例2．已知函数32()f x x ax =-．（3a >）（切线个数）（Ⅱ）求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．练2．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R ．（Ⅱ）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例3．已知函数()1e 1x x x f x --+=．（公切线问题）（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =练3．已知函数()ln,()x==．f x xg x e（Ⅲ）判断曲线()f x与()g x是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．【小试牛刀】1．若曲线的某一切线与直线垂直,则切线坐标为．2．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程; 23122y x x =+-134y x =-+______()y f x =(0,(0))f1．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;2．已知函数321()3f x ax x bx c =+++．曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；3. 已知函数().xe f x x= （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=,求0x 的值;1．已知函数()ln sin(1)f x x a x =-⋅-,其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-,求a 的值;2．设函数32()(1)f x x b x bx =-++．（切线斜率）（Ⅱ）当1b >时，函数()f x 与直线y x =-相切，求b 的值；3．已知函数()ln 1a f x x x =--．（Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线,求实数a 的取值范围;5．已知函数2()(0)f x ax bx a=->和()lng x x=的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（公切线问题）（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e-，求,a b的值；（Ⅱ）已知a b=，求切点P的坐标．。

导数的概念及其几何意义重难点突破

导数的概念【重难点知识点网络】：一、平均变化率 1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。

二、导数的概念定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝三、求导数的方法：求导数值的一般步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆。

也可称为三步法求导数。

【重难点题型突破】：一、平均变化率与瞬时变化率函数(x)f 在某点()00x ,(x )f 处的导数()()00'000(x )lim lim x x f x x f x y f x x →→+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例1．（1）设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x +Δx 时，函数的增量Δy 为（）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ⋅∆D ．00()()f x x f x +∆-（2）若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则x y∆∆等于 A.4 B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2例2.函数()y f x ==在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。

导数的几何意义

导数的几何意义导数是微积分中的重要概念之一，它代表了函数在某一点上的局部变化率。

在实际问题中，导数可以用于描述曲线的斜率、速度、加速度等。

本文将探讨导数的几何意义，并分析一些实际问题中导数的应用。

首先，我们来了解导数的定义。

设函数y=f(x)在点x0处有定义，当自变量x在该点附近取值时，函数值也随之变化。

导数可以表示函数在该点附近的平均变化率。

具体来说，导数可以用斜率的概念来解释。

取函数f(x)上两点(x0, f(x0))和(x, f(x))，其中x接近x0。

通过两点间的斜率可以近似描述函数在该点附近的变化情况。

随着x越接近x0，两点间的距离也越短，从而得到了该点的切线斜率。

而这个切线斜率就是导数的值。

可以用数学公式来表示：f'(x0) = lim (x→x0) [(f(x) -f(x0))/(x - x0)]。

导数的几何意义主要体现在曲线的切线斜率和凸凹性方面。

首先，导数可以表示函数在某一点的切线斜率。

曲线上每个点的切线斜率都因该点而异。

导数可以通过求斜率的极限得到，即导数就是极限情况下的切线斜率值。

对于凸函数，切线会位于曲线的上方；而对于凹函数，切线会位于曲线的下方。

此外，导数还可以用于判断函数在某一点的增减性。

当导数大于0时，函数在该点附近是单调递增的；当导数小于0时，函数在该点附近是单调递减的。

导数的几何意义在实际问题中有着广泛的应用。

以物理学为例，导数在描述速度和加速度方面发挥了重要作用。

设物体的位移函数为s(t)，则速度函数v(t)是位移函数的导数：v(t) = s'(t)。

物理学中著名的一维运动问题可以通过导数来解答。

当速度函数v(t)为正时，说明物体在该时刻向正方向运动；当速度函数v(t)为负时，则物体在该时刻向负方向运动。

同时，加速度a(t)是速度函数v(t)的导数：a(t)=v'(t)。

根据导数的几何意义，可以确定运动物体在不同时刻的速度和加速度。

导数的几何意义还可以帮助我们通过函数图像对函数进行定性分析。

导数的几何意义及应用

导数的几何意义及应用导数的几何意义是学生学习了平均变化率，瞬时变化率即导数定义之后的内容，通过这一部分的学习可以帮助学生更好的理解导数的含义与价值。

为后面利用导数研究函数的单调性，极值等内容奠定了基础．因此，导数的几何意义在本章中有承前启后的重要作用．【要点梳理】要点一、导数几何意义1.平均变化率的几何意义——曲线的割线函数()y f x=的平均变化率2121()()f x f xyx x x-∆=∆-的几何意义是表示连接函数()y f x=图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数()f x的平均变化率2121()()f x f xyx x x-∆=∆-的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，2121()()A BABA By y f x f x ykx x x x x--∆===--∆。

换一种表述：曲线上一点00(,)P x y及其附近一点00(,)Q x x y y+∆+∆，经过点P、Q作曲线的割线PQ，则有0000()()PQy y y ykx x x x+∆-∆==+∆-∆。

2.导数的几何意义——曲线的切线如图1，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.定义：如图，当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿曲线无限接近于点00(,)P x y，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

T也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。

即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆。

要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。

《平均变化率与导数》课件

平均变化率可以用来估计函数在某一点处的导数，即当时间间隔趋近于0时，平均变化率的极限值即为该点的导数值。
02
导数
导数的定义
瞬时速度
导数被定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在该点的瞬时变化率。
几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点处的切线的斜率。
函数变化
导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况，反映了函数在该点的变化趋势。
对于参数方程$x = x(t), y = y(t)$，其导数为$frac{dy}{dx} = frac{y'(t)}{x'(t)}$。
05
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过导数的符号，判断函数在某区间内的单调性。
详细描述
导数在某区间内的符号决定了函数在该区间内的单调性。如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。因此，利用导数可以方便地研究函数的单调性。
反函数求导法则
03
对于反函数$y = f^{-1}(x)$，其导数为$(f^{-1})' = frac{1}{f'}$
。
隐函数的导数计算
对数求导法则
对于隐函数$y = f(x)$满足$e^y = f(x)$，其导数为$frac{dy}{dx} = frac{f'(x)}{f(x)}$。
参数方程求导法则
详细描述
在解决实际问题时，如最优化问题、经济问题等，可以利用导数来求解最优解。通过建立数学模型，将实际问题转化为求函数的最值问题，然后利用导数求出最优解，为实际问题的解决提供理论支持。
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当自变量改变量趋于0时，平均变化率趋于导数，即导数是平均变化率的极限形式。

导数的概念及几何意义

导数的概念及几何意义1. 平均变化率与瞬时变化率平均变化率：函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率为，简记作：。

实例：①平均速度；②曲线割线的斜率。

瞬时变化率：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限。

即＝。

实例：① 瞬时速度；② 切线斜率。

2. 导数函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数。

记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝。

3. 割线斜率与切线斜率设函数y＝f（x）的图象如图所示，AB是过点A（x0，f（x0））与点B（x0＋Δx，f（x0＋Δx））的一条割线，此割线的斜率是＝。

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫作此曲线在点A处的切线。

于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′（x0）＝。

4. 导数的几何意义函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f（x）在点A（x0，f（x0））处的切线的斜率。

相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）。

5. 过某点的曲线的切线方程的类型及求法（1）若已知点（x0，y0）为切点，则先求出函数y＝f（x）在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′（x0）（x －x0）。

（2）若题中所给的点（x0，y0）不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程。

因此求曲线的切线方程一定要明确切点的位置，分清楚是“曲线在某点处的切线”还是“过某点的曲线的切线”。

例题求函数y＝在x＝1处的导数。

思路分析：先求该函数在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率，再求当Δx趋于0时的平均变化率的趋近值。

答案：∵Δy＝－1，∴＝＝，当Δx趋近于0时，＝趋近于，∴函数y ＝在x＝1处的导数为。

导数概念与运算

求一个函数 y＝f(x)的导数，要准确地把函数 y＝f(x)分割为基本函数的和、差、商及其复合运算，积、再利用求导法则求导数．利用复合函数的求导法则 y′x＝y′u· x u′ 应注意以下几个方面： (1)利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量的函数． (2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误： (cos 2x)′＝－sin 2x，实际应为－2sin 2x. 1 (3)求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量，如 y＝， 1－3x4 1 若分解为 y＝，u＝v4，v＝1－ω，ω＝3x，计算起来就要复杂得多了． u
y f ( x0 ) f ( x 0 )( x x0 )
f (1) 2.
故所求的斜率为-2.
1 3 4 【典例3】已知曲线y x . 3 3 1 求曲线在点P 2, 4 处的切线方程;
2 求曲线过点P 2, 4 的切线方程; 3 求斜率为4的曲线的切线方程.
x
3

4 3 1 4 ( x0 , x 0 ) , 3 与过点P（2，4）的切线相切于点 3 3
2
则切线的斜率k=y′|x=x0= x0 ……………………………………………6′
∴切线方程为 y (
2
3 1 4 ) 3 x0 3
x0
2
( x x0 ) ,
3 2 4 即 y x0 x x0 3 3
y
Q
△y
T P o
△x
即△x→0时, 如果割线PQ有一个极限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
3.导数的概念:
函数 y f ( x)，如果自变量x在 x0处有增量x，那么 y 函数 y相应地有增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 比值就 x 叫做函数y f ( x)在x0到x0 x之间的平均变化率，即 y f ( x0 x) f ( x0 ) . x x y 如果当x 0 时，有极限, 我们就说函数y f ( x)在 x 点 x0处可导, 并把这个极限叫做函数 y f ( x)在点 x0处

导数平均变化率的几何意义

导数平均变化率的几何意义
导数平均变化率（DMCR）是一种用于测量变量 y 的变化率，以 y 的当前值减
去以前一时刻的值为准。

它反映了特定时间间隔内 y 平均变化的可能程度。

它的几何意义可以从物理和化学角度来看。

在物理上，它可以用于衡量物体处
于定点时，其速度的变化率。

化学上，可以用来评估某种物质的反应速率，例如在反应的某个瞬间，其余与物质的数量正在变化的程度。

换言之，它告诉人们当前值比以前时刻的值发生了多少变化，并且这种变化是在一定时间段内平均发生的。

此外，DMCR还用于测量任何曲线上点的斜率。

例如，当两点在一条曲线上，
可以按照斜率的变化率，应用DMCR表示其变化的程度，从而更准确的确定这两点
之间的斜率。

在数学上，DMCR表示某个变量每次变化时，其平均变化率会随着变化而变化，变化率为正时会增强，为负时会减弱。

因此，DMCR可以用来为常微分方程定义数
学模型。

导数平均变化率是一个重要的工具，可以帮助我们理解变量变化的程度和它们
发生变化所需要的时间。

随着它们的研究发展，DMCR正在不断地被应用于科学，
工程和数学领域。

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