【新教材教案】10.2 事件的相互独立性教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册

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新人教版高中数学必修第二册《事件的相互独立性》教案

事件的相互独立性【教学重难点】【教学目标】【核心素养】相互独立事件的概念理解相互独立事件的概念及意义数学抽象相互独立事件同时发生的概念能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题数学运算、数学建模【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．事件的相互独立性的定义是什么？2．相互独立事件有哪些性质？3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？二、基础知识1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．■名师点拨（1）必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．（2）事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P （A ）·P （B ）．三、合作探究1．相互独立事件的判断一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩．【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P （A ）＝12，P （B ）＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P （A ）P （B ），所以事件A ，B 不相互独立．（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P （A ）＝68＝34，P （B ）＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P （A ）P （B ）成立．从而事件A 与B 是相互独立的．判断两个事件是否相互独立的两种方法（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；（2）定义法：通过式子P (AB )＝P （A ）P （B ）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A ，B 相互独立，这是定量判断.2．相互独立事件同时发生的概率王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．【解】用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件．则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，P （C ）＝0.9，所以P (A － )＝0.2，P (B － )＝0.3，P (C －)＝0.1．（1）由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A － BC )＋P (A B － C )＋P (AB C － )＝P (A － )P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B － )P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C － )＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A － B － C － )＝1－P (A － )P (B － )P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解：恰有一列火车正点到达的概率为P 3＝P (A B － C － )＋P (A － B C － )＋P (A － B － C )＝P （A ）P (B － )P (C － )＋P (A － )P （B ）P (C － )＋P (A － )P (B －)P（C ）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P (ξ≤20)．解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P (ξ≤20)＝1－P (ABC )＝1－P （A ）P （B ）P （C ）＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．与相互独立事件有关的概率问题的求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P （A ），P （B ），那么：（1）A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B ．（2）A ，B 都发生为事件AB ．（3）A ，B 都不发生为事件A － B －.（4）A ，B 恰有一个发生为事件A B －＋A －B ．（5）A ，B 中至多有一个发生为事件A B －＋A － B ＋A － B －.它们之间的概率关系如表所示：A ，B 互斥A ，B 相互独立P (A ＋B )P （A ）＋P （B ）1－P (A － )P (B － )P (AB )0P （A ）P （B ）P (A B )1－[P （A ）＋P （B ）]P (A － )P (B －)3．相互独立事件的综合应用本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P (ξ＝4)和P (ξ＝6)的值．【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P （A ）＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.（2）P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316.概率问题中的数学思想（1）正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P （A ）＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．（2）化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．（3）方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．四、课堂检测1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A ．49B ．29C ．23D ．13解析：选A ．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.2．已知A ，B 是相互独立事件，且P （A ）＝12，P （B ）＝23，则P (A B － )＝________；P (A －B －)＝________．解析：因为P （A ）＝12，P （B ）＝23.所以P (A － )＝12，P (B － )＝13.所以P (A B － )＝P （A ）P (B － )＝12×13＝16，P (A － B － )＝P (A － )P (B － )＝12×13＝16.答案：16163．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3．（1）第3次才接通电话可表示为A 1－ A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1－ A 2－ A 3)＝910×89×18＝110.（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－ A 2＋A 1－ A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1－ A 2＋A 1－ A 2－A 3)＝P (A 1)＋P (A 1－ A 2)＋P (A 1－ A 2－A 3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。

【新教材教案】10.2 事件的相互独立性教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册

10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。

发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。

10.2事件的相互独立性教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

课堂教学设计学科：数学姓名：课题：10.2事件的相互独立性课型：新授课课程标准分析本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，事件的相互独立性是事件之间一种重要关系，本节结合具体的随机试验（古典概型），根据实际问题背景，先直观判断两个实际是否独立，进而给出两个实际相互独立的一般定义，另外，在解决实际问题时，我们通常是直观判断事件的独立性，然后利用P(AB)=P(A)P(B)来求积事件AB的概率，本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、数学运算、发展学生的直观想象、逻辑推理、的核心素养。

.教学背景分析（一）课题及教学内容分析本节的主要内容是事件相互独立性的直观认识、两个事件独立性的定义、利用独立性简化概率的计算，连个事件的独立性石事件之间的一种特殊的关系，直观意义是两个事件发生与否互相不受影响，本质上是两个积事件的概率等于这两个事件概率的积，由于还没有条件概率的概念，教科书从事件的关系和运算的角度研究概率的基本性质出发，结合问题“两个事件的积的概率与这两个事件的概率有什么关系”，通过具体例子引入事件的独立性的概念，是符合知识发展的逻辑性的。

教材结合具体的随机试验（古典概型），根据实际问题背景，先直观判断两个实际是否独立，进而给出两个实际相互独立的一般定义，本节通过两个实验：分别抛掷两枚质地均匀的硬币和从一个袋子中标号分别为1、2、3、4的4个球中，采用有放回方式的随机试验，根据两个试验的共同特征，归纳出事件的相互独立性特征。

（二）学生情况分析通过前面的学习，对抛掷两枚质地均匀硬币的试验及有放回方式的随机试验的相关问题都比较熟悉了，同时也有了会求古典概型概率的学习为奠定基础，对于每一种试验的样本空间都能很熟练地写出，为学生直观判断给定的两个事件是否独立打下了良好的基础，学生还可以进行计算验证，这样既突出了重点，又能有效克服难点，更有利于本节的学习。

教学目标1、结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率教学重点和难点重点：两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题难点：在实际问题情境中判断事件的独立性教学资源和教学方法教学资源：多媒体教学教学方法：讲授法、体验学习教学法。

10.2事件的相互独立性教案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

10.2事件的相互独立性教学目标：1.通过阅读课本理解两个事件相互独立的概念．2．通过实例的学习能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.教学重点：理解两个事件相互独立的概念，利用事件的独立性解决实际问题．教学难点：在实际问题情境中判断事件的独立性．教学过程：一、导入新课，板书课题前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？【板书：事件的相互独立性】二、出示目标，明确任务1.理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 会进行简单的应用.三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书（4min）下面，阅读课本P246--P249练习以上内容，思考如下问题：1.找出阅读内容中的知识点。

2.找出阅读内容中的重点。

3.找出阅读内容中的困惑点，疑难点。

四、自学指导，紧扣教材1.自学指导1（7min）阅读课本246-249页，思考并完成以下问题（1）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？（2）试验2中事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？（3）什么是相互独立事件？（4）考虑必然事件与任意一个随机事件是否相互独立？不可能事件与任意一个随机事件是否相互独立？为什么？（5）试验2的有放回摸球试验中，事件A与B，事件A与B，事件A与B是否独立？为什么？2.自学指导2（5min）（1）按照五步法认真阅读例1，思考例1中的样本空间有哪些？（2）按照五步法认真阅读例2，思考各个事件如何用集合语言表示随机事件？（3）按照五步法认真阅读例3，思考如何利用事件的互斥关系的性质与事件独立性计算两个事件积AB的概率？五、自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT）精讲点拨：点拨1.互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:点拨2.两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;点拨3.两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

10.2事件的相互独立性(教案)【新教材】人教A版(2019)高中数学必修二

第十章概率10.2事件的相互独立性一、教学目标1.理解两个事件相互独立的概念；2.能进行一些与事件独立有关的概念的计算；3.通过对实例的分析，会进行简单的应用；4.通过对事件的相互独立性的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点1.独立事件同时发生的概率．2.有关独立事件发生的概率计算三、教学过程：（1）创设情景抛掷一枚质地均匀的硬币两次。

问：在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？（2）新知探究问题1:第一次出现正面向上发生与否会影响第二次出现正面向上发生的概率吗？学生回答，老师点拨并提出本节课所学内容（3）新知建构相互独立事件的定义:设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立.注意：（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B，A与B，A与B也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).（4）数学运用例1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥B．相互对立C．相互独立D．相等【答案】C【解析】根据题意，事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，两个事件可以同时发生，也可以都不发生，A事件发生与否对B事件没有影响，是相互独立事件，故选：C．变式训练1:一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C ．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D ．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球【答案】C【解析】一个口袋中装有3个白球和3个黑球，对于A ：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，对于B ：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，对于C ：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，对于D ：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：C ．变式训练2:（多选）下列各对事件中,为相互独立事件的是（）A ．掷一枚骰子一次,事件M “出现偶数点”;事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M “从甲组中选出1名男生”,事件N “从乙组中选出1名女生”【答案】ABD【解析】在A 中，样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=，事件{}2,4,6M =，事件{}3,6N =，事件{6}MN =， ∴31()62P M ==，21()63P N ==，111()236P MN =⨯=，即()()()P MN P M P N =，故事件M 与N 相互独立，故A 正确.在B 中，根据事件的特点易知，事件M 是否发生对事件发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件，故B 正确；在C 中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C 错误；在D 中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，故D 正确. 故选：ABD.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=（3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=变式训练:为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，25.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）2950. 【解析】（1）设1A =“甲在第一轮比赛中胜出”，2A =“甲在第二轮比赛中胜出”，1B =“乙在第一轮比赛中胜出”，2B =“乙在第二轮比赛中胜出”，则12A A =“甲赢得比赛”，()()()1212322535P A A P A P A ==⨯=. 12B B =“乙赢得比赛”，()()()12123234510P B B P B P B ==⨯=. 因为23510>，所以派甲参赛获胜的概率更大. （2）由（1）知，设C =“甲赢得比赛”，D“乙贏得比赛”，则()1223()1155P C P A A =-=-=； ()1237()111010P D P B B =-=-=. 于是C D =“两人中至少有一人赢得比赛”3729()1()1()()151050P CD P CD P C P D =-=-=-⨯=.例3:小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.【答案】（1）0.398；（2）0.994；（3）0.092【解析】用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达，则()0.8P A =，()0.7P B =，()0.9P C =，所以()0.2P A =，()0.3P B =，()0.1P C =.且A ，B ，C 相互独立.（1）由题意得，恰好有两列火车正点到达的概率为()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=⋅++⋅0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为1()1()()()10.20.30.10.994P ABC P A P B P C -=-=-⨯⨯=.（3）由题意得，恰有一列火车正点到达的概率为()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++ 0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.变式训练:甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投中；（Ⅱ）恰好有一人投中；（Ⅲ）至少有一人投中.【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.【解析】设A =“甲投中”，B =“乙投中”，则A =“甲没投中”，B =“乙没投中”，由于两个人投篮的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立，由己知可得()0.8P A =，()0.9P B =，则()0.2P A =，()0.1P B =；（Ⅰ）AB =“两人都投中”，则()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=；（Ⅱ）AB AB =“恰好有一人投中”，且AB 与AB 互斥，则()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ⋃=+=+0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=；（Ⅲ）AB AB AB =“至少有一人投中”，且AB 、AB 、AB 两两互斥，所以(()()())P AB AB AB P AB P AB P AB =++)0.720.260.9()(8P AB P ABAB =+==+. 四、小结：相互独立事件的定义:设A,B 两个事件,如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A 与事件B 相互独立.简称独立. 注意：（1）事件A 与B 是相互独立的，那么A 与B ， A 与B ， A 与B 也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B ).五、作业：习题10.2。

10.2事件的相互独立性(教学设计)-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必

《10.2事件的相互独立性》教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第十章《概率》，以下是本章的课时安排本节课是研究事件的相互独立性，是在上一节课学习概率的基本性质的基础上进行学习的，通过复习相关知识与方法，巩固已学内容，为本节课的学习奠定基础。

1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念，培养学生数学抽象的核心素养；2、能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题，培养学生数学运算、数学建模的核心素养。

1.重点：相互独立事件的判断、同时发生的概率。

2.难点：有关独立事件发生的概率计算。

（一）新知导入3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”.【问题】上述问题中事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？事件A 和事件B 相互独立吗？【提示】因为抽取是有放回的，所以A 的发生不会影响B 发生的概率，事件A 和事件B 相互独立.（二）相互独立事件知识点一相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．知识点二相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．【思考1】不可能事件与任何一个事件相互独立吗？【提示】事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.【思考2】必然事件与任何一个事件相互独立吗？【提示】相互独立.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响. 【拓展】互斥事件与相互独立事件是不同的概念：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响.【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√【做一做】甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．【答案】0.56（三）典型例题 1.相互独立事件的判断例1. 假定一个家庭中有两个或三个小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B ＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，判断A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩． (2)家庭中有三个小孩．【解】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.此时P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A 与事件B 不独立．(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个样本点的概率均为18，这时A 中含有6个样本点，B 中含有4个样本点，AB 中含有3个样本点．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与事件B 相互独立．【类题通法】两种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立.【巩固练习1】掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥【解析】事件A ＝{2，4，6}，事件B ＝{3，6}，事件AB ＝{6}，样本点空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}. 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A 与B 相互独立.当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件. 【答案】B2.相互独立事件同时发生的概率例2.王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．【解】用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件．则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.【类题通法】1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．概率问题中的数学思想：(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法． (2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)． (3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．【巩固练习2】甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率.【解】设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A －与B ，A与B －，A －与B －为相互独立事件.(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件AB －发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A －B 发生).根据题意，事件AB －与A －B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P (AB －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为p ＝P (AB )＋[P (AB －)＋P (A －B )]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为p ＝P (A － B －)＋P (AB －)＋P (A －B )＝P (A －)·P (B －)＋P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.（四）操作演练素养提升1.下列事件A,B 是相互独立事件的是 ( )A.一枚硬币掷两次,A 表示“第一次为正面”,B 表示“第二次为反面”B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”D.A表示“一个灯泡能用1 000小时”,B表示“一个灯泡能用2 000小时”2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A．0.42B．0.28C．0.18D．0.123.某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.34.甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别为111234，，，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是．【答案】1.A 2.D 3.D 4.3 4【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

【新教材精品教案】10.2 事件的相互独立性教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册

【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516．【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。

10.2事件的相互独立性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册

【答案】 D
12345
内容索引
3. (多选)如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论中正确的是( )
A. A，B 两个盒子串联后畅通的概率为13 B. D，E 两个盒子并联后畅通的概率为310 C. A，B，C 三个盒子混联后畅通的概率为56 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为2396
内容索引
判断两个事件是否相互独立，可以利用概率公式检验 P(AB) 与 P(A)P(B)是否相等．
内容索引
一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．
(1) 记事件A＝“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”， B＝“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”；
P(A1)＝2×34×14＝38，P(A2)＝342＝196. P(B1)＝2×23×13＝49’猜对3个成语”，则A＝A1B2∪A2B1，且
A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，
所以
P(A)
＝
P(A1B2)
＋
P(A2B1)
由题意得A＝ {(1,1)，(1,2)，(1,3)}， B＝ {(1,2)，(2,2)，(3,2)}，AB＝{(1,2)}，所以 P(A)＝P(B)＝13，P(AB)＝19，即P(AB)＝P(A)P(B)，所以A，B是相互独立事件．
内容索引
(2) 记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3，则样本空间Ω＝{(1,2)， (1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}．
(2) 记事件A＝“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”， B＝“从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”．

10.2事件的相互独立性教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册+

必修二 10.2 事件的相互独立性教学设计（一）课时教学内容概率——事件的相互独立性（二）课时教学目标1.通过经历有放回摸球的具体实例，直观感知两个随机事件独立的含义，利用有限样本空间和古典概型的认识，通过归纳类比，数学运算得出事件独立性的含义，在此过程中发展学生的抽象能力和逻辑推理素养。

2.能利用独立性定义及性质计算古典概型中积事件的概率或一些复杂事件的概率。

（三）教学重点与难点“重点”：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题。

“难点”：在实际问题情境中判断事件的独立性．让学生经历用直观与定义两种方式判断给定的两个事件是否独立，促进学生对独立性的理解.（四）教学过程设计一、引入引例：周易中有“兄弟同心，其利断金.”本节课我们将在一个具体情境中求证这句话。

对于一个问题，已知甲独自解出问题的概率为0.8，兄弟二人，老大、老二独自解出问题的概率分别为0.6，0.5，设两个人中至少有一个人解出问题的概率为P,比较P与0.8的大小?引导语：积事件AB就是事件A与事件B同时发生.积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系.这种关系会是怎样的呢? 本节课，我们来讨论积事件的概率计算有关的问题。

师生活动：教师提出引例问题，学生进行思考，在经历对基本情况的探究后，学生较容易得到P(B∪C)=P(B)+P(C)−P(BC)或P(B∪C)=1−−P(B̅C)及P(B∪C)=P(BC∪BC∪B̅C)=P(BC)+P(BC)+P(B̅C)。

设计意图：通过一个具体实例，引出本节课需要解决的问题。

二、事件的独立性探究一：事件的相互独立性的含义1.具体试验的分析一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设事件A=“第一次摸到球的标号小于3”，事件B=“第二次摸到球的标号小于3”.问题1：你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？师生活动：教师提出问题，学生进行思考后回答，教师关注学生如何解释自己的思考过程。

新教材人教版高中数学必修第二册 10-2 事件的相互独立性教学课件

第十八页，共二十五页。
[变式训练]
1．[变设问]在本例条件不变下，求三人均未被选中的概率．
解：法一：三人均未被选中的概率 P＝P( A B C )＝1－25×1－34×1－13＝110. 法二：由例 2(2)知，三人至少有 1 人被选中的概率为190， ∴P＝1－190＝110.
第十九页，共二十五页。
62
63
6
所以 P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 相互独立．
第十三页，共二十五页。
【知识小结一】
两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件 A，B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率的积，则事件 A，B 为相互独立事件．
第二十一页，共二十五页。
[解] 记“三个元件 T1，T2，T3 正常工作”分别为事件 A1，A2，A3，则 P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34.
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，则不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A 2∪A 3)·P(A 1)
＝[1－P( A 2)·P( A 3)]·P(A1)＝ 1－14×14 ×12＝1352.
()
A．互斥但非对立事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．以上答案都不对
解析：相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，
因此它们不可能互斥．故选 C.
答案：C
第三页，共二十五页。
2．打靶时甲每打 10 次，可中靶 8 次；乙每打 10 次，可中靶 7 次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是
第二十五页，共二十五页。

10.2事件的相互独立性教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

10.2事件的相互独立性一、内容解析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第十章第2节的内容．独立性是概率论的基本概念，与计算积事件的概率有关，可以简化计算，在选择性必修的独立性检验中、利用事件的独立性假定构造检验统计量，独立性的直观意义是“在随机试验中，事件A(或B)发生与否不影响事件B(或A)发生的概率"，本质是P(AB)=P(A)P(B)，教科书先通过实例呈现独立性的直观意义，在此基础上分析计算P(AB)与P(A)，P(B)的关系，再抽象出两个事件相互独立的定义.互斥事件与相互独立的事件的内涵是不同的.事件A与B五斥是指事件A与B不能在任一随机试验中同时发生，其实质为AB=∅、P(AB)=0.因此，当事件A和B的概率都大于0时，如果事件A和B互斥，则Ａ和B一定不相互独立：反之，如果事件A和B相互独立，则A和B一定不互斥.不可能事件∅和必然事件Ω是互斥事件，同时它们也是相互独立的事件，并且不可能事件∅、必然事件Ω与任何事件A是相互独立的.二、目标和目标解析目标：（1）结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义.（2）结合古典概型、利用事件的独立性计算概率.目标解析：（1）两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，不仅要直观感受到两个事件互不影响，还要能够用解析式来说明．因此，在归纳概括事件的相互独立的过程中，一定要用好具体的实例模型．（2）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在事件的相互独立性的教学中，从具体的实例中归纳概括相互独立事件的概念是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用事件的独立性解决具体的实际问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：对两个事件的包含、相等、互斥、互相对立意义的描述，均不涉及事件的概率.而两个事件的相互独立性，需要借助事件的概率来刻画.大多数学生一般倾向于认为连续发生的事件总是有联系的，不仅如此，他们在决策时通常会受到之前发生的事件的结果的影响.例如，对于问题“连续抛掷一枚均匀的硬币，如果前4次的结果都是‘反面朝上’，那么第5次最可能的结果是什么?”一些学生会回答“最有可能是正面”(或者回答“最有可能是反面”).学生的决策可能受到“代表性启发式”(当应用这种策略解决不确定情境的问题时，倾向于预测那些最能体现证据代表性的结果)错误概念的影响，这种错误概念会导致忽视事件之间的独立性.教学中，在给出独立性的数学形式定义之前，教师应首先选择符合独立性直观意义的例子，促进学生直观地认识，并结合实例使学生进一步明晰随机试验的意义．2．教学问题二：学生的另一个错误的认知是，相互独立的事件不能同时发生，这导致他们经常把独立事件与互斥事件混淆.事件的独立性与互斥性是两对不同属性的概念，事件A与B相互独立是从概率的角度来下的定义，其本质是P(AB)=P(A)P(B)，强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率大小没有影响，而事件A与B互斥是从事件运算的角度来下的定义，其内涵是AB=∅.强调的是两个事件不能在任一随机试验中同时发生．基于上述情况，本节课的教学难点定为：有关独立事件发生的概率计算．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到两个事件相互独立，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用具体的实例，既可以帮助学生理解概念也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视事件相互独立的判断，让学生体会判断事件相互独立的基本方法，同时，应用事件的对立性解决问题其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境，引入新知[问题1]分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？教师1：提出问题1．学生1：学生思考，不影响．教师2：提出问题2．学生2：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},通过具体实例，引入本节新课。

人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件1：10.2 事件的相互独立性

[解] 记甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 分别为事件 D，E，F，则甲不胜
A、乙不胜 B、丙不胜 C 分别为事件－D ，－E ，－F .根据各盘比赛结果
相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为 P＝P(D∩E∩－F )＋P(D∩－E ∩F)＋P(－D ∩E∩F)＋P(D∩E∩F)
＝P(D)P(E)P(－F )＋P(D)P(－E )P(F)＋P(－D )P(E)P(F)＋P(D)P(E)P(F)
A [由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件 A 与 B，A 与 C 均相互独立，且 A 与 B，A 与 C 均有可能同时发生，说明 A 与 B，A 与 C 均不互斥，故选 A.]
2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为 0.9，
则他连续做对第 1 题和第 2 题的概率是( )
思考：(1)事件 A 与 B 相互独立可以推广到 n 个事件的一般情形吗？ (2)公式 P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？ [提示] (1)对于 n 个事件 A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件 A1， A2，…，An 相互独立． (2)公式 P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件 A1， A2，…，An 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
【规律方法】判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件 A，B 相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． (2)利用性质：A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
【跟踪训练】
1．坛子里放有 3 个白球，2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A1 表

人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件3：10.2 事件的相互独立性

(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件 A：“出现偶数点”，事件 B：“出现 3 点或 6 点”，则事件 A，B 的关系是( ) A.互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥
解析：(2)事件 A＝{2,4,6}，事件 B＝{3,6}，事件 AB＝{6}，基本事件空间 Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以 P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16＝12×13，即 P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件 A 与 B 相互独立．当“出现 6 点”时，事件 A，B 同时发生，所以 A，B 不是互斥事件．答案： (2)B
4．两个相互独立的事件 A 和 B，若 P(A)＝12，P(B)＝14，则 P(AB)＝________.
解析：∵A、B 是相互独立事件，P(A)＝12，P(B)＝14 ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝12×14＝18. 答案：18
【课堂探究】
题型一相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
根据题意知，P(A)＝180＝45，P(B)＝170，且 A 与 B 相互独立，
故他们都命中目标的概率为 P(AB)＝P(A)·P(B)＝45×170＝1245.
答案：A
3．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别
为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人
能通过的概率是( )
1
2
A.3
B.3
【解】 (1)由于事件 A 为“抽到 K”，事件 B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K，即有可能抽到 K，故事件 A，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到 K 的概率为 P(A)＝542＝113 抽到红牌的概率为 P(B)＝2562＝12，故 P(A)P(B)＝113×12＝216，

高一数学(人教A版)事件的相互独立性1教案

教案B=∅,所以事件=∅=,所以事件C A CΩ,如果事件A与事件B互斥,和事件B的概率与事件的概率之间具有怎样的关系？=P A B P A B()()())()()()B P A P B P A B =+-与事件B 互为对立事件,它们的概率有什么)1()B P A =-,()1()P A P B =-,积事件AB 就是事件A 与事件B 同时发)()P BAB等于P()一个袋子中装有标号分别是除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次“第一次摸到球的标号小于“第二次摸到球的标号小于3”.P B()P B()相互独立,简称为独立与任意一个随机事件是否相互独立？与任意一个随机事件是否相互独立？不会受任何事件是否发生AB,而且=+AB P AB P)())=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(由事件的独立性定义,例题：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.分析：设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”。

从要求的概率可知,需要先分别求A,B的对立事件A,B的概率,并利用A,B,A,B构建相应的事件,我们可以借助树状图来完成这个任务.由此得到,“两人都中靶”=AB,“恰好有一人中靶”AB AB=,“两人都脱靶”AB=,“至少有一人中靶”AB AB AB=,显然AB AB AB与AB互为对立事件.解：设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与B,A与B,A与B都相互独立.由已知可得,()0.8P A=,()0.9P B=,()0.2P A=,()0.1P B=（1）AB=“两人都中靶”,由事件独立性定义,得()()()0.80.90.72P AB P A P B==⨯=（2）“恰好有一人中靶”AB AB=,且AB与AB互斥,根据概率的加法公式和事件独立性定义,得质,计算较复杂事件的概率.))()()(0.10.2AB AB P AB P B P ++⨯+⨯）事件“两人都脱靶”AB =AB AB ,且))()())()0.720.260.98AB AB AB P AB P AB AB P AB AB ++++“至少有一人中靶”的对立事件是根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中0.020.98=21A B ,且分别相互独立,所以1()()3489P A P A ===⨯P B()相互独立,简称为独立相互独立，则A也都相互独立.这是事件的独。

10.2 事件的相互独立性复习课教案高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

10.2 事件的相互独立性复习课教案高一下学期数学人教A 版（2019）必修第二册教学目标：1.进一步理解事件相互独立的概念，能应用解决相互独立事件的概率求解;2.能进行一些相互独立事件概率的计算;3.正难则反的思想和团队协作的精神.教学重点：读懂题意，相互独立事件同时发生的判断和概率计算教学难点：能准确地将复杂的概率问题转化为基本概率模型教学过程：一．引入（启动思维）在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个“臭皮匠”能答对该题目的概率分别为50%,45%,40%，“诸葛亮”能答对该题目的概率为80%，如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛，各选手独立答题，不得商量，团队中只要有一人答出即为该组获胜．问：哪方获胜的可能性大？分析：团队中只要有一人答出即为该组获胜，正面情况有七种，反面只有一种，用正难则反的思想求出三个“臭皮匠”中至少有一人解出的概率。

结果验证了俗语：三个臭皮匠抵个诸葛亮，体现了团队协作合作共赢的思想二．知识回顾1．相互独立的概念(1)事件A 与事件B 相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率________．(2)设A ，B 为两个事件，如果P(AB)＝ ________，则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质(1)若事件A 与B 相互独立，那么 ________，_______， ________也都相互独立．(2)两个相互独立事件A ，B 同时发生，即事件AB 发生的概率为____________________．这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于________________________________．因为是复习课了，知识点同学们已经知道，强调一下就是了，不展开讲三．典例导航例1.某雪滑场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的滑雪费用之和为80元的概率.“表”明题意：让同学们以简表的形式列出题上的信息和数据，引导同学们读懂题意思路探索： (1)甲乙两人付费相同则付费为0元，40元，80元，分别求概率再相加；(2)特别注意：80=40+40=0+80=80+0.例2. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.(1)求(2)P X =；(2)求事件“4X =且甲获胜”的概率.思考：（1）第二问改为求P （X=4）如何解？（2）X 可能等于3吗？四．课时小结求相互独立事件概率的关键是读懂题意，对于较复杂的题可以通过列简表理清题意：(1) 求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．五．自主练习1．从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15.若从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.59C.45D.1902. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.343．从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋中各摸出1球，则(1)两个球都是红球的概率是________； (2)两个球都不是红球的概率是________；(3)两个球不都是红球的概率是________； (4)两个球至少有1个红球的概率是________．4．甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)2人都击中目标的概率；(2)其中恰有1人击中目标的概率；(3)至少有1人击中目标的概率．5.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．。

【教案】事件的相互独立性+教案高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

教学设计【课题】10．2事件的相互独立性【教学目标与核心素养】学习目标：1.理解两个事件相互独立的直观意义与数学定义．2.结合古典概型，利用事件的独立性计算概率素养目标：1.体会特殊到一般、化归与转化、分类讨论等数学思想2.渗透直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养【教学重点】两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题【教学难点】在实际问题情境中判断事件的独立性【教学设计】（1）由互斥（对立）事件引入知识，认识学习的必要性；（2）由情境与问题归纳总结出事件的相互独立性定义；（3）借助独立性定义探究事件的相互独立性的性质；（4）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（5）拓展应用，提升逻辑推理、数学运算等技能．【教法】启发式、讲授法【学法】自主、合作与探究【教学备品】教学课件【课时安排】1课时(40分钟)【教学过程】引言：前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，本节课，我们来讨论与积事件的概率计算有关的问题.一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程情境与问题1下面两个随机试验，各定义了一对随机事件A和B.试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第1枚硬币正面朝上”，B=“第2枚硬币反面朝上”.试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.是A=“第1次摸到球的标号小于3”，B=“第2次摸到球的标号小于3”.探究1你认为两个随机试验中事件A和B是什么关系，是互斥事件吗？若不是，你认为这两个事件的关系用什么“词语”表达比较好呢？你能给你认为的事件A和B的关系下一个定义吗？答：不是互斥事件，因为事件A和B互斥是指事件A和B在一次试验中不能同时发生，而这里的这两个事件可以同时发生.用“独立”词语表达两个事件A和B关系比较合适.显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.相互独立事件的定义1：事件A（或B）发生与否不影响事件B（或A）发生的概率，则称事件A和B是相互独立事件.判断题：下列事件哪些是相互独立的？师生活动：，教师提出问题，学生进行思考后回答问题.教师关注学生如何解释自己的思考过程.设计意图：选择两个符合独立性直观意义的试验，促进学生感悟事件的独立性.给出事件的相互独立性的定义1并渗透事件的相互独立性的性质.探究2我们前面的研究知道两个互斥事件和的概率等于这两个事件的概率之和.即P(A+B)=P(A)+P(B)，那么你能否猜测相互独立事件A与B同时发生的概率公式呢？答：猜测相互独立事件A与B同时发生的概率公式为：P(AB)=P(A)P(B).在试验1中用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点.A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}.用古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=12P(AB)=14.于是P(AB)=P(A)P(B)积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.在试验2中样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，而A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}AB={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}所以P(A)=P(B)=12P(AB)=14.于是也有P(AB)=P(A)P(B)积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.这两个随机试验都满足：事件A和B同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括，我们对具有这种概率关系的两个事件称为“相互独立”.相互独立事件的定义2：对任意两个事件A和B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.小结：以上，我们给出了相互独立事件的两个定义，定义1是指两个事件相互独立的直观意义，是定性地对两个事件独立性作出判断，这就是所谓的凭直觉判断.定义2是两个事件相互独立的数学定义，是定量地对两个事件独立性作出判断，这就是所谓的推理判断.在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义2判断，而是根据实际意义来加以判断的，根据实际背景判断事件的独立性往往并不困难.譬如，必然事件Ω与任意事件是否相互独立？用定义1 因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响，当然，也不影响其他事件是否发生.所以，必然事件Ω与任意事件是相互独立.用定义2设A为任意事件，P(Ω)=1，P(ΩA)=P(Ω)P(A)＝P(A)，即必然事件Ω与任意事件独立.同样，不可能事件ϕ总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生.所以，不可能事件ϕ与任意事件相互独立.师生活动：学生独立思考解决问题，教师，注意观察学生如何计算P(A)，P(B)，P(AB)，关注学生是否能用集合语言正确描述样本空间以及不同的随机事件，并给予个别指导.选择学生代表表达与交流思维过程.设计意图：让学生探索两个试验中事件A，B之间的共同数学本质属性P(AB)=P(A)P(B)，在此基础上，教师给出两个事件相互独立的数学定义.根据定义判断事件的相互独立性，进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性，以使知识完整化、系统化.练习1 证明：若事件A和B是相互独立事件。

人教版A版(2019)课标高中数学必修二10.2事件的相互独立性学案

事件的相互独立性【学习目标】1．理解两个事件相互独立的概念；2．能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

【学习重难点】理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率。

【学习过程】一、问题情境1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次。

在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？2．三张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学有放回地抽取，事件A 为“第1名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“最后1名同学抽到中奖奖券”。

事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗？二、学生活动设B 表示事件“第一次正面向上”， A 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知=)(A P =)(B P =)(AB P ，所以=)(B A P 。

三、建构数学1．两个事件的独立性一般地，若事件A ，B 满足，则称事件A ，B 独立。

2．若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件A ，B 相互独立的充要条件是。

3．两个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且若事件12,,,n A A A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率=)(21n A A A P 。

4．独立与互斥回顾：不可能同时发生的两个事件叫做事件；如果两个互斥事件有一个发生时，另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫事件。

区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件；两个事件相互独立是。

5．练习：例如从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设A=“抽到Ｋ”B=“抽到红牌”，C=“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？①A与B；②A与C四、数学应用例1．求证：若事件A与B相互独立，则事件A与B也相互独立【学习小结】图2-3-2若事件A 与B 独立则A 与B ，B 与A ，A 与 B 都独立。

例2．如图232--，用,,X Y Z 三类不同的元件连接成系统N 。

当元件,,X Y Z 都正常工作时，系统N 正常工作。

新教材高中数学第十章概率事件的相互独立性教学用书教案新人教A版必修第二册

新教材高中数学教学用书教案新人教A 版必修第二册：10.2 事件的相互独立性素养目标·定方向素养目标学法指导1．弄清相互独立事件的概念与意义.(数学抽象)2．能够利用相互独立事件的概率公式求解简单的概率问题.(数学运算)3．能够解决实际问题中的概率问题.(数学建模)1．在概率论中，独立性也是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算.2．注意区分两个事件相互独立与两个事件互斥这两个概念.3．学会并掌握如何用事件的独立性计算随机事件的概率.必备知识·探新知知识点1 相互独立事件的定义对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝__P (A )P (B )__成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.知识点2 相互独立事件的性质当事件A ，B 相互独立时，则事件__A __与事件__B －__相互独立，事件__A －__与事件__B __相互独立，事件__A －__与事件__B －__相互独立.[知识解读] 1．公式的推广如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ).2．两个事件独立与互斥的区别两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.3．相互独立事件与互斥事件的概率计算概率 A ，B 互斥 A ，B 相互独立 P (A ∪B ) P (A )＋P (B )1－P (A －)P (B －) P (AB )P (A )P (B )P (A －B －) 1－[P (A )＋P (B )] P (A －)P (B －) P (A B －∪A －B )P (A )＋P (B )P (A )P (B －)P (A －)P (B )说明：①(A B －)∪(A －B )，表示的是A B －与A －B 的和，实际意义是：A 发生且B 不发生，或者A 不发生且B 发生，换句话说就是A 与B 中恰有一个发生.②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A B －)∪(A －B )可简写为A B －∪A －B .关键能力·攻重难题型探究题型一相互独立事件的判断典例1 下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖； (2)甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.[解析] (1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件.(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件.(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件.(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件.[归纳提升] 两种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立.【对点练习】❶ (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( A )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( B )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥[解析] (1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与事件B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与事件B 可能同时发生，所以事件A 与事件B 不是互斥事件.(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，样本点空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}. 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A 与B 相互独立.当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件.题型二相互独立事件的概率计算典例2 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响.(1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率； (3)求3人均未被选中的概率.[解析] 设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)3人同时被选中的概率P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)3人中有2人被选中的概率 P 2＝P (AB C －∪A B －C ∪A －BC )＝25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×13＝2360. 3人中只有1人被选中的概率P 3＝P (A B －C －)∪A －B C －∪A －B －C )＝25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＝512. 故3人中至少有1人被选中的概率为 P 1＋P 2＋P 3＝110＋2360＋512＝910.(3)法一：三人均未被选中的概率P ＝P (A －B －C －)＝⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＝110. 法二：由例2(2)知，三人至少有1人被选中的概率为910，∴P ＝1－910＝110.[归纳提升] 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤： (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积.2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.3．明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.【对点练习】❷ 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：(1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件是正品的概率.[解析] 用A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B 表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C ＝(A B －)∪(A －B )，D ＝C ∪(AB ).(1)由题意知，A 与B 是相互独立事件， P (B )＝1－P (B －)＝1－0.05＝0.95，P (A )＝0.96，所以两件都是正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝0.96×0.95＝0.912．(2)由于事件A B －与A －B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为 P (C )＝P [(A B －)∪(A －B )]＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝0.96×0.05＋0.04×0.95 ＝0.086．(3)由于事件AB 与C 互斥，所以P (D )＝P [(AB )∪C ] ＝P (AB )＋P (C )＝0.912＋0.086＝0.998．题型三相互独立事件概率的综合应用典例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.[解析] (1)记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则P (A )＝45×12＝25，P (B )＝34×23＝12，P (C )＝23×56＝59.因为P (C )>P (B )>P (A )，所以丙获得合格证书的可能性最大. (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则 P (D )＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC ) ＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130. [归纳提升] 求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.【对点练习】❸ 三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？[解析] 记T 1正常工作为事件A ，T 2正常工作为事件B ，T 3正常工作为事件C ，则P (A )＝12，P (B )＝P (C )＝34，电路不发生故障，即T 1正常工作且T 2，T 3至少有一个正常工作，T 2，T 3至少有一个正常工作的概率P 1＝1－⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34＝1516，所以整个电路不发生故障的概率为 P ＝P (A )×P 1＝12×1516＝1532.易错警示混淆互斥事件和独立事件的概念典例4 甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？[错解] 记A ＝“甲恰好命中2次”，B ＝“乙恰好命中2次”，则P (两人恰好都命中2次)＝P (A )＋P (B )＝3×0.82×0.2＋3×0.72×0.3＝0.825．[错因分析] 错误地把相互独立事件当成互斥事件来考虑，将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A ＝“甲恰好命中2次”与B ＝“乙恰好命中2次”的概率之和.[正解] 记A ＝“甲恰好命中2次”，B ＝“乙恰好命中2次”，A ，B 为相互独立事件，两人恰好都命中2次的概率为P (AB )，则P (AB )＝P (A )P (B )＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169．[误区警示] 首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概念，并且区分计算概率的公式.A ，B 为互斥事件时，有概率公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，A ，B 为独立事件时，有概率公式为P (AB )＝P (A )P (B ).【对点练习】❹ 打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次.若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( D )A ．35B ．34C ．1225D ．1425[解析] 由题意知甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为710，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P ＝45×710＝1425.故选D ．。