考试试卷 应数近世代数A卷
09近世代数A参考答案
浙江海洋学院 2009 - 2010 学年第 一 学期《 近世代数 》课程期末考试A 卷（适用班级B08数学 ）考试时间： 120分钟一、填空+选择+判断：（31015⨯=分）1. 令A 是平面全部向量的集合，A 中向量的内积是一个代数运算 （ × ）2. 域和环中都要求至少有两个元素 （ × ）3. 任何一个群都至少含有一个循环子群 （ √ ）4. 令 12345678910()76538192104ρ=，将ρ写作互不相交轮换的乘积（1 7 9 10 4 3 5 8 2 6），其逆序数为： 23 .5. 与置换（1 2 4）（3 5）（6）共轭的置换是 （ C ）A. （1 2）（3 4 5 6）B. （1 2 4）（3 5 6）C. （2 1 3）（4 6）（5）D. （1 2）（4 3）（5 6） 6. 若一个五元多项式的对称变换群是5S ，举出该多项式的一个例子： 略 .7. 若12,H H 都是G 的子群，则12H H ⋃也是G 的子群。
（ × ） 8.n S 的阶为 n! 。
9. 令1H 是由S 生成的1G 的子群，2H 是由S 生成的2G 的子群，且12G G ≠，则必有12H H ≠. （ × ）10. 取()n G GL =R ，R 是实数域，M 是R 上全体n 阶方阵，做映射：(,)TG M M C A AC ⨯→→则该映射为群作用 （ √ ）学专业班级姓名学号二、计算题（1,2,3每题7分, 4题9分）1. 令12345678910()76538192104ρ=，12345678910()35792614108σ= 求1ρ-，1ρσρ-.解：2. 给定4A 的一个子群4V ={（1），（1 2）（3 4），（1 3）（2 4），（1 4）（2 3）}，作4A 关于4V 的左陪集分解，并说明分解过程。
见教材3. 令2123451234(,,,,)f x x x x x x x x x =+++，写出其所有对称性变换。
近世代数期末考试试卷及答案(正)
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*)中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合,＊为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a —bB 、a*b=max{a ，b}C 、 a*b=a+2bD 、a ＊b=｜a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14),3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个——--变换群—-————同构。
2、一个有单位元的无零因子的—-交换环---称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于—-25--——.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-模n 乘余类加群-—-———同构。
5、A={1。
2.3} B=｛2。
5。
6｝ 那么A ∩B=—-｛2}—--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为--——一一映射—-—-————----—。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的——不都等于零的元-—-n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
近世代数A答案
贵州大学2008-2009学年第二学期研究生考试试卷近世代数姓名：一、（10分）设G 是一个群，u 是在G 中取定的元，在G 中规定结合法"" ： 1a b au b -= , 证明：（G ，）是一个群。
证明 “。
“是G 中的二元运算为显然。
设a,b,c 为G 中任意元。
则（a 。
b ）。
c=(au-1b)u-1c=au-1(bu-1c)=au-1(b 。
c)=a 。
(b 。
c) “。
”满足结合律。
易知，u 是（G,。
）的单位元，对a G ∀∈,直接可验证可知，ua-1u 是a 的逆元，所以（G ，。
）是一个群。
二、（10分）设A ，B ，C 是G 的子群,下面命题中哪些是正确的？给出证明或举出反例。
1) ;2) ;3) ;4) ()A B A C B C A B A C B C AB AC B C A B C AB AC⋃=⋃⇒=⋂=⋂⇒==⇒=⋃=⋃命题1）不正确。
例如取G=S3,A=S3,B={(1)},C={(1),(12)}. 命题2）不正确。
例如取G ＝S3，A ＝｛（1），（12）｝，B ＝｛（1），（13）｝，C ＝｛（1）,(23)｝ 命题3）不正确。
例如取G ＝S3，A ＝S3，B ＝｛（1），（12）｝,C={(1)} 命题4）正确。
因为(),x A B C ∀∈⋃有x=ay,其中..a A y B y C ∈∈∈或三、（10分）证明1f x x-:是G的一个自同构的充要条件是：G是可换群。
椭圆曲线密码体制来源于对椭圆曲线的研究，所谓椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯（Weierstrass）方程：y＾2+a1xy+a3y=x＾3+a2x＾2+a4x+a6 (1)所确定的平面曲线。
其中系数ai(I=1,2,…,6)定义在某个域上，可以是有理数域、实数域、复数域，还可以是有限域GF（pr），椭圆曲线密码体制中用到的椭圆曲线都是定义在有限域上的。
椭圆曲线上所有的点外加一个叫做无穷远点的特殊点构成的集合连同一个定义的加法运算构成一个Abel群。
《近世代数》模拟试题1及答案
近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。
A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、 单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪-⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解： e 是R 的单位元。
近世代数考试试题 A卷
专业考试试题（卷）科目：近世代数
一、 G是有限群，A和B是G的两个非空子集。
证明：
如果|A|+|B|>|G|，则G＝AB＝{ab|a∈A，b∈B}。
（本题10分）
二、设 H和K是群G的两个子群，证明：H∪K≤G当且仅当H包含于K或
K包含于H。
（本题14分）
三、设H,K是群G的子群，证明：
（1）（H:H∩K）≤（G：K）；
（2）当（G：K）有限时，则（H:H∩K）＝（G:K）当且仅当G＝HK。
（本题16分）
四、设N是群G的一个正规子群，且|N|＝m，又（m，n）＝1。
证明：若G
中元素a的阶是n，则aN在商群G/N中的阶也是n；反之，若aN的阶
是n，则在G中存在n 阶元b，使bN＝aN。
本题16分）
五、设G是群，H≤G，N是G的正规子群，证明：
（1）N是HN的正规子群；
（2）HN/N≌H/（H∩N）。
（本题16分）
六、证明：有限群G是其Sylow子群的内直积，当且仅当G没有真子群等
于它自己的正规化子。
(本题16分)
七、证明：不存在56阶单群。
（本题12分）。
最新近世代数期末考试试题和答案解析
最新近世代数期末考试试题和答案解析一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|°3=（ 1324），则。
3=（）A 、二 21B 、二 1匚2C 二 22D 、二 2 15、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ------- 同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
43、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则a 的阶等于--?4、 a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与——同构。
5、 A ={1.2.3} B={2.5.6}那么 A H B=-----。
&若映射「既是单射又是满射，则称「为-------------- 7、'叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的----- a0,a1,…，an 使得 a 0 - a j 川'二广7$『n =08、 a 是代数系统（A,0）的元素，对任何x ?A 均成立x 二x ，则称a 为 --------- 。
1、 A 、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。
“ B 、3, el C 、 ,a 3：＞D 、 ,a,a 312、 A 、下面的代数系统（G ，*）中, G 为整数集合，*为加法）不是群B 、G 为偶数集合，*为加法C 、 G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（A 、 4、设二1、二2、二3是三个置换，其中耳=（12）（ 23）（ 13），貯 2=（ 24）（ 14），9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法圭寸闭；结合律成立、---- 。
近世代数函授A答案
河南教育学院函授考试《近世代数》试卷A 卷答案一：单选题1B 2B 3A 4c 5B 6B 7C 8C 9C 10A二：判断题1错 2错 3对 4对 5错 7对 8对 三：填空题1. H=H （1）= H （12），H （123）= H （13），H （132）= H （23）。
2. [1], [3], [5], [7]3. (1)4. ]2[]2[]2[23---x x x5. n!6. 整数加群，模n 的剩余类加群7. 52-x四：证明题1. 证明： （1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100101111c b a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101222c b a =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++1010112121221c c b c a b a a ，封闭。
（2分）（2）结合律易证 （4分）（3）单位矩阵为单位元。
（6分）（4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100101c b a 的逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----1101111ccab a。
（10分）2. 证明：设21,N N 是G 的两个不变子群，由子群的交还是子群，21N N ⋂是子群，（2分）∈∈∀n G g ,21N N ⋂，131,N n N n ∈∃∈ 使,3a n an = （4分）同样242,N n N n ∈∃∈ 使,4a n an = （6分）1-ana=13-aa n =43n n =∈21N N ⋂，故两个不变子群的交集还是一个不变子群。
（10分）3.证明：R 加法成为加群，（2分） 对乘法封闭，满足结合律，交换律，（4分） 乘法对加法满足分配律。
故R 是一个交换环。
（6分） 又复数域无零因子，从而R 也无零因子，（8分） 且1∈R 。
所以R 是一个整环。
（10分）4.证明：F 加法成为加群，（1分） 对乘法封闭，满足结合律，交换律，（3分） 乘法对加法满足分配律。
故F 是一个交换环。
（4分） 又复数域无零因子，从而F 也无零因子，（5分） 且1∈R 。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多项选择或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，那么G 的子集〔 〕是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统〔G ，*〕中，〔 〕不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，以下哪种运算是可结合的？〔 〕A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=〔12〕〔23〕〔13〕，2σ=〔24〕〔14〕，3σ=〔1324〕，那么3σ=〔 〕A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它〔 〕。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、群G 中的元素a 的阶等于50，那么4a 的阶等于------。
4、a 的阶假设是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、假设映射ϕ既是单射又是满射，那么称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，那么称a 为---------。
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近世代数期末考试试卷及答案1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群.A、 aB、a, eC、e, a3D、e, a,a 32、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 =（ 1324），则3 =（）A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 11 25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）.A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 .2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 .3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4 的阶等于 ------.4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 .5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----.6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- .7、叫做域F的一个代数元，如果存在 F 的a0 , a1 ,, a n使得aa1 a nn0 .8、a是代数系统( A,0)的元素，对任何x A 均成立x ax，则称a为 --------- .9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 ---------.10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群， H 是 G的子群， H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设 E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是 E 中的运算，（ E，?）是一个代数系统，问（ E，?）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 <G，*> 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈ G使得 a*x ＝ b.2、设 m是一个正整数，利用m定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 m︱ a– b.近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4阶D、6阶2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群 .A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（ {2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),)5、设 S3＝ {(1) ， (12) ， (13) ， (23) ，(123) ，(132)} ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有（）A、(1) ， (123) ，(132) B 、 12) ，(13) ，(23)C、(1) ， (123) D 、 S3 中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、群的单位元是 -------- 的，每个元素的逆元素是 -------- 的 .2、如果f是 A 与A间的一一映射，a是 A 的一个元，则f1f a---------- .3、区间 [1 ， 2] 上的运算ab{min a,b}的单位元是 -------.4、可换群 G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= —————————— .5、环 Z8的零因子有 ----------------------- .6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ---------- .7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 --------- .8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------- .9、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为 -------- .三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1， S2是 A的子环，则 S1∩ S2也是子环 .S 1 +S2也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6.1．求和1；2．确定置换1的奇偶性 . 和四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e.近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题 .1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换.和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B 1(A A) C1(A A)，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对2、解：设 A 是任意方阵，令 2 ， 2称矩阵，且AB C.若令有AB1C1 ，这里B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B B1 ，C C1，所以，表示法唯一.3、答：（Mm，m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0 和 m.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G中任意元 x，y，由于(xy)2 e ，所以 xy ( xy) 1 y 1 x1yx（对每个 x，从x2 e 可得 x x 1 ）.2、证明在 F 里ab 1 b 1 a a (a, b R, b 0)bQ所有a(a,b R, b0)有意义，作 F 的子集 bQ显然是 R 的一个商域证毕.近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分).二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、{2} ；6、一一映射；7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(123) ，(1 3)} ，{(1 32) ，(23)}H的 3 个左陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3) ，(2 3)} ，{(1 3 2 ) ，(1 3 )}2、答：（ E，?）不是群，因为（ E，?）中无单位元 .3、解方法一、辗转相除法 . 列以下算式：a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的解 .若 x ∈G也是 a*x ＝ b 的解，则 x ＝e*x ＝(a － 1*a)*x ＝a－1*(a*x ) ＝a－1*b ＝ x. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的惟一解 .2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛x∈ Z； m︱ x– a｝或者也可记为a，称之为模 m剩余类 . 若 m ︱a– b 也记为 a≡b(m).当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案 . 错填、不填均无分 .1、唯一、唯一；2、a； 3、 2； 4、 24；5、； 6、相等； 7、商群； 8、特征； 9、m n；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法. 用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共8 种 .2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈ S1∩S2 有 a-b, ab ∈ S1∩S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ，因而 a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以 S1∩ S2 是子环 .S1+S2不一定是子环 . 在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 ．(1243)(56) ，1(16524 ) ；2．两个都是偶置换 .四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a 0，由理想的定义a 1a 1，因而R的任意元b b ?1这就是说=R，证毕 .2、证必要性：将 b 代入即可得 . 充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以 b=a-1.。
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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A1,0,1；B1,2，则有BA---------。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。
8、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：写成对换的乘积。
1234567864173528，1234567823187654，判断和的奇偶性，并把和12、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
广州大学近世代数2018(A卷)试卷及参考答案
广州大学2017-2018学年第一学期考试卷近世代数 参考答案警示：《广州大学授予学士学位工作细则》第五条：“考试作弊而被给予记过、留校察看或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的，不授予学士学位。
”一、简答题（每小题5分，共25分）1．集合A 上的关系是怎么定义的？答：设R 为直积A A ⨯的子集，则称R 为集合A 上的一个关系。
对于任意的元素A b a ∈,，如果R b a ∈),(，则称a 与b 具有关系R ，否则称a 与b 不具有关系R 。
评分标准：考试要点有两个，一个是：关系是直积的子集，另一个是：两个元素有没有关系的含义。
完整答出这两方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
2．试问n 阶循环群有多少个生成元？答：n 阶循环群有)(n ϕ个生成元，其中)(n ϕ为欧拉函数，定义为集合{1,2,…,n}中与n 互素的整数的个数。
理由是：假定生成元为α，则α的阶为n ，群中每个元素都可写为i α，其中n i <≤0，元素i α为生成元当且仅当i α的阶为n ，而i α的阶等于),/(i n n ，因此i α为生成元当且仅当(n,i)=1，即i 与n 互素，故生成元的个数为)(n ϕ。
评分标准：考试要点有三个，(1) 生成元的阶为n ；(2) a k 的阶的计算方法；(3) 欧拉函数。
完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
3．试说明什么是剩余类环？答：假定R 为环，I 为R 的理想。
考虑加法群，I 是R 的正规子群，R/I={a+I|a R ∈}。
在集合R/I 中定义加法(a+I)+(b+I)=(a+b)+I, 定义乘法(a+I)(b+I)=ab+I ，则R/I 关于新定义的加法和乘法构成一个环，称为剩余类环。
评分标准：考试要点有三个，(1) 由理想构造剩余类环；(2) R/I 中元素的形式；(3) 如何定义运算。
完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
4．试解释什么是域的有限扩张。
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近世代数期末考试题库完整近世代数模拟试题⼀⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（）A 、满射⽽⾮单射B 、单射⽽⾮满射C 、⼀⼀映射D 、既⾮单射也⾮满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中⽅程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说A 、不是唯⼀B 、唯⼀的C 、不⼀定唯⼀的D 、相同的(两⽅程解⼀样)4、当G 为有限群，⼦群H 所含元的个数与任⼀左陪集aH 所含元的个数（）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不⼀定相等。
5、n 阶有限群G 的⼦群H 的阶必须是n 的（）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法⼀般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是⼀个------。
4、偶数环是---------的⼦环。
5、⼀个集合A 的若⼲个--变换的乘法作成的群叫做A 的⼀个--------。
6、每⼀个有限群都有与⼀个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成⼀个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最⼤理想，那么---------。
近世代数期末考试试卷
近世代数模拟试题一一、单项选择题1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x→x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的(C)A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ，a,b ∈G 都有解，这个解乘法来说是(B) A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数(C) A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的(D)A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换群。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是1a。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么-----S R S I ==或者----。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
(1653)(247)(123)(48)(57)στ==σ为奇置换，τ为偶置换)27)(24)(16)(15)(13(=σ)57)(48)(12)(13(=τ3、设集合{0,1,2,,1,}(1)m M m m m =⋯>⋯-，定义m M 中运算“m +”为a+b=(a+b)(modm ),则(m M ，m +)是不是群，为什么？答：(m M ，m +)不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m 。
近世代数A参考答案与评分标准
近世代数A 参考答案与评分标准一、判断题：本题共10小题，每小题2分，满分20分．1. 对，2. 错，3. 错，4. 错，5 对，6. 对，7. 对，8. 错，9. 对，10. 对 。
二、填空题：本题共9小题，每小2分，满分18分．11. 11(...)n n i i i -， 12. 7， 13 ()()(){}23,12,13， 14. ,,ra na r R n Z +∈∈，15．是，16. (162)(3457)，17. [0],[4]，18. 反身律，19. U 是最大理想。
三、解答题：本题共7小题，每小题6分，满分42分．20． 证明：对于N 的任意元 12n n ，，G 的任意元a ，1212121212()()()()()n n a n n a n an n a n a n n ====，（3分）111111n a n ann n nan an ------===，故N 是子群。
（5分） 由于N 的元可与G 的元交换，故aN Na =，即N 是不变子群。
（6分）21．证明：不妨设右单位元为e ，g 的右逆元是1g -，1g -的右逆元为'g ，则1gge -=，1'g g e -=；（2分）于是1111'11'1'1'()g g g ge g gg g g gg g g eg g g e --------======，（4分）即右逆元是左逆元。
再者，若11,()()ge g eg gg g g g g ge g --=====。
（6分）22．证明：假定U 是包含()p 且比()p 大的理想。
由于I 是主理想整环，故()()p U a ⊂=，（2分）因而，,p ya y I =∈（3分），a 是p 的因子，但p 是素元，所以a 不是p 的相伴元，就是单位。
（4分）若a 是p 的相伴元，a p ε=，那么(),()()a p a U p ∈=⊂，与假设矛盾。
近世代数试卷(时间120分钟)
《近世代数》试卷（时间120分钟）一、填空题（共20分） 1. 设G ＝（a ）是6阶循环群，则G 的子群有 。
2. 设A 、B 是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
3. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［10］＋［5］＝ ，［10］·［5］＝ ，方程x 2＝[1]的所有根为 。
4. 在5次对称群S 5中，（12）（145）＝ ，（4521）－1＝ ， （354）的阶为 。
5. 整环Z 中的单位有 。
6. 在多项式环Z 11［x ］中，（［6］x ＋［2］）11＝。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分） 1. （ ）若群G 的每一个元满足方程x 2=e(其中e 是G 的单位元)，则G 是交换群。
2. （ ）一个阶是13的群只有两个子群。
3. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
4. （ ）设G 是群，H 1是G 的不变子群，H 2是H 1的不变子群，则H 2是G 的不变子群。
5. （ ）主理想整环R 上的一元多项式环R[x]是主理想整环。
6. （ ）存在特征是2003的无零因子环。
7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
8. （ ）模21的剩余类环Z 21是域。
9. （ ）整除关系是整环R 的元素间的一个等价关系。
10. （ ）除环只有零理想和单位理想。
姓 名：_______________专业：班级： 学号：______________ ------------------------------------------密-------------------------------封-------------------------------线-------------------------------------------------------三、解答题（共30分）1. 设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。
近世代数试题A卷09级
近世代数试题A卷09级第1页，共8页第2页，共8页任课教师签名：命题教师签名：系主任签名：主管院长签名：湛江师范学院2011 － 2012 学年度第⼀学期期末考试试题A 卷(考试时间: 120 分钟)考试科⽬：An Introduction to Abstract Algebra1. 填空（每⼩题1分，共10分).1．If set {,,,,}A a b c d e =and {,,}B b d f =, then the symmetric difference A B of A and B is .2．Let R and S be two rings, and :R S ?→ be a mapping. Then ? is called a ring homomorphism if for every ,a b R ∈, we have and .3．If the set {,,}A d e f =, then its power set ()P A is . 4．List all zero divisors of 6Z .5．Let G be a finite group and H be a subgroup of G . From Lagrange ’s Theorem, we know that .6．The characteristic of ring n Z is , while ,, and all have characteristic7．There are only two ideals: and in a division ring. 8．An integral domain (or domain) is a commutative ring with which has .9．Let G be a group and H be a subgroup of G . If N is aof G , then the set H N is a subgroup of G , where H N ={h n :h H ∈and n N ∈}.10. Let (2,)GGL = be a group. Then the center ()Z G of G is .2. 解答题 (每⼩题5分，共 20分).1．List the elements of the residue classes of modulo 6.2. Recall that 3 and 4 are the subgroups of group (,)+ , whether the 34? and 34? are the subgroups of (,)+ ?3. Write out all the distinct subgroups of the residue classes additive group 8Z of modulus 8.第3页，共8页第4页，共8页装订线内不许答题4. In 5S , how many permutations are the products of two disjoint transpositions, such as (1,2)(3, 4)? List all such permutations.3. 计算题 (每⼩题5分，共 20分).1．Suppose that the group (2,)G GL = , and0110A -??=, 0111B ??= ?-??G ∈, find theorder of A and B .2. Given a permutation=14526377654321σ.(1) Compute 1-σ，)25(σ；(2) Represent σ，1-σ，)25(σ to the product of disjoint cycles.3. Let the group G=3S and the subgroup {(1),(13)}H =. Compute the right cosets of H in 3S .4. Let R be a real number field. If 1,,0ab S a b d R d =∈??，2000aS a R ??=∈?? ?????，then 12,S S are groups under the addition of matrices, respectively. Let 12:S S φ→0000ab a d ??→. Then φ is an epimorphism from 1S to 2S ，find φKer .4. 证明题 (共 50分).1. Let G be a group. Then the identity element e in G is unique. (5 points)第5页，共8页第6页，共8页2． Let G be a group. Show that if 222()ab a b = for every ,a b G ∈, then G is acommutative group. (5 points)3． If []:2G H =, show that H is a normal subgroup of G .(8 points)4． A relation R on is defined by aR b if and only if there exists a positive integer n such that n a b -(i.e., a b nk -= for some k ∈ ), where ,a b ∈ . Show that R is an equivalence relation on . （8 points ）5．Let R be a ring.,I R J R . Then I J R + .（8 points ）6. Let R be a ring, and I ,J be subrings of R . Show that I J is a subring of R . (8 points)第7页，共8页第8页，共8页装订线内不许答题7. Let R = . For R y x ∈,. The operation ⊕ on R is defined by 1-+=⊕y x y x .Show that (,)R ⊕ is a commutative group. (8 points)。
07-08近世代数A卷
一.判断题:1、平面P 的一个运动是平面P 的一个保距变换 （ T ）2、群G 的所有子群的交与并均为其子群 （ T ）3、有限群中每个元素的阶都是群的阶的因子 （ F ）4、任何n 阶有限群都同n 次对称群n S 的一个子群同构 （ T ）5、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的极大理想，则S ≠0 （ T ）6、如果环R 的阶2≥R ，那么R 的单位元1≠0 （ F ）7、模5剩余类环5Z 的特征为5 （ T ） 二.填空题1、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么j i A A2、设a G =为循环群，若∞=a ，则G3、整数环Z4、在剩余类环12Z 中，零因子，可逆元是5、有单位元的整环R 的一个元素p 叫做R 的一个素元，6、在2，3+i ，2π，3-e Q 上的代数元7、幂零元：某个环R 的一个元素x 是一个幂零元，当且仅当存在一个正整数n ，使得nx 等于加法中的零元素。
三、单项选择题1、设A 是实数集，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是（ C ）A ．:f xx 10 ； B. :f x x 2 ；C. :f x x ；D. :f x x -2、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ A ）A ．11--a bc ； B.11--a c ； C.11--bc a ； D.ca b 1-3、设{})132(),123(),23(),13(),12(),1(3=S ，则3S 中与元素（123）不能交换的元素的个数是( C )个。
A ．1； B.2 ；C.3 ；D.4；4、令22⨯F 为域F 上的2阶全阵环，设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=F b a ba I ,001，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Fb a b a I ,002，则 （ B ）。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
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黄冈师范学院
2009—2010学年度第二学期期末考试试卷 考试课程: 近世代数 考核类型:考试A 卷
考试形式: 闭卷 出卷教师:
考试专业: 应用数学 考试班级：应数07级01-05班 ——————————————————————————————————————
一．判断题(每小题2分,共20分)
1. 实数集R 关于数的乘法成群. （ ）
2. 若H 是群G 的一个非空有限子集，且,a b H ∀∈都有ab H ∈成立，则H 是G 的一个子群. （ ）
3. 循环群一定是交换群. （ ）
4. 素数阶循环群是单群. （ ）
5. 设G 是有限群，a G ∈，n 是a 的阶，若k a e =，则|n k . （ ）
6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，则()f H 是G 的子群. （ ）
7. 交换群的子群是正规子群. （ ）
8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，则||||
G G H H =. （ ） 9. 有限域的特征是合数. （ ）
10. 整数环Z 的全部理想为形如nZ 的理想. （ ）
二．选择题(每小题3分,共15分)
11. 下面的代数系统(),G *中，（ ）不是群.
A. G 为整数集合，*为加法；
B. G 为偶数集合，*为加法；
C. G 为有理数集合，*为加法；
D. G 为整数集合，*为乘法.
12. 设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH . 如果H 的阶为6，那么G
的阶G =（ ）
A. 6；
B.24；
C.10；
D.12.
13. 设()()()()()(){}
31,12,13,23,123,132,S =，则3S 中与元()123不能交换的元的个
数是
A. 1；
B. 2；
C. 3；
D.4. 14. 从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（ ）
A. G=（a ）与G 的子群；
B. 整数加法群与模n 的剩余类的加法群；
C. 变换群与置换群；
D. 有理数加法群与模n 的剩余类的加法群.
15. 整数环Z 中，可逆元的个数是( )。
A.1个
B.2个
C.4个
D.无限个
三．填空题(每小题3分,共15分)
16. 如果G 是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位
元是 .
17. n 次对称群n S 的阶是____________.
18. 整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为 .
19. 设N 是G 的正规子群，商群N G 中的单位元是 。
20. 若R 是交换环, a R ∈则主理想()a =____________.
四．计算题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)
21. 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123456654321ρ， ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=465132654321σ， ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=453126654321τ，计算1,ρσσ-. 22. 设)}132(),123
(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，并说明H 是否是3S 的正规子群.
五．证明题(每题10分,共30分)
23. 设G 是群，H 是G 的子群，证明：a G ∈，则1
aHa -也是子群
24. 设G 是群，H 是G 的正规子群. G 关于H 的陪集的集合为 {|}G gH g G H =∈，
证明：/G H 对于陪集的乘法成为一个群，称为G 对H 的商群.
25. 证明：域F 上全体n n ⨯矩阵的集合()n M F 在矩阵的加法和乘法下成为环.。