2.5方向导数与梯度重要例题

n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 ∂u 6x 6 = 而 = 2 2 P ∂x P z 6x + 8y 14
同理得
∴
∂u ∂n
1 11 = (6× 2 + 8×3 −14×1 ) = 14 7 P
r r r xi + y j + zk
1 1 = ±( − ) = ± 3 3
(3)在 M0 的最大方向导数与梯度 在 的最大方向导数与梯度:
∂u Q ∂x
M0
= −1,
∂u ∂y
M0
∂u = 1, ∂z
M0
=1
∴ gard u M 0
r r r = −i + j + k ,
and gard u M 0 = 3 .
例
设点电荷 q 位于坐标原点, 在点 M ( x , y , z ) q 处的电位为 v = , 其中, ε 为介电系数, r 4πε r r r r r r = xi + y j + z k , r = || r || , 求电位 v 的梯度.
x2 + y 2 − 0 ∂z f ( ρ cos α , ρ cos β ) − 0 = lim = lim =1 2 2 x →0 ∂ l x →0 ρ x +y y →0 y →0
此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件P80-2,7.
解: 向量 l 的方向余弦为
∂u ∂u ∴ ∂l
2 = 2xyz ⋅ 14 P
3 + x y⋅ 14
2
例
由点 P( x , y ) 到坐标原点的距离定 义的函数 z =
x + y 在坐标原点处
2 2
的两个偏导数均不存在, 但它在该点 沿任何方向的方向导数均存在, 且方 向导数值都等于 1:
解
∂z ∴ ∂l
(1,2)
∂z = ∂x
∂z (1,2) • cos α + ∂y
o
(1,2)
• sin α
o
= (12 x + y ) (1, 2 ) cos135 + ( x + 3 y ) (1, 2 ) sin135
3 2
2 =− . 2
例4. 求函数 3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
设 u = xyz + z 2 + 5, 求 grad u , 并求在
点 M (0, 1,−1) 处方向导数的最大 (小) 值 . 解
∂u ∵ = yz , ∂x
∴
∂u = xz , ∂y
∂u = xy + 2z , ∂z
grad u ( 0,1, −1) = ( yz , xz , xy + 2 z ) ( 0,1, −1)
(1, 0 )
∂z = 2 xe 2 y (1, 0 ) = 2, = 1; ∂y ( 1 , 0 )
∂z ∂z cos α + ∂z cos β = 2 − 2 × 2 . = − 2 . = ∂x ∂y (1,0 ) 2 2 2 (1, 0 ) ∂l
例3. 设 z = 3x4 +xy +y3 , 求z 在M (1,2)点处 沿方向 点处 角为α 的方向的方向导数。 角为α=135° 的方向的方向导数。
用定义计算方向导数
例1
xy 2 , 2 4 设 f ( x, y) = x + y 0,
x2 + y2 ≠ 0 x + y =0
2 2
的方向导数. 求 f 沿e = (cosθ , sin θ) 在点 (0,0)的方向导数 的方向导数
解
当 cosθ ≠0 时,
∂f ∂e
(0,0)
例5. 设 u = x y + e z , M0(1,-1,0), P(3,-3,1),
的方向导数; 在 求 (1)在 M0 沿M0 P 的方向导数 (2)在 M0 沿曲线 在 x=t , y= t 2-2, z= t –t 3的切线方向的方向导数 本节 的切线方向的方向导数(本节 不讲);(3)在 M0 的最大方向导数与梯度。 的最大方向导数与梯度。 不讲 在
( 0,0 )
= 0.
用定理计算方向导数
r 分的， 分的，那末函数在该点沿任意方向 l 的方向导数
都存在， 都存在，且有
定理 如果函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y )是可微
∂f ∂f ∂f = cos α + cos β ∂l ∂x ∂y
r 的方向余弦． 其中 cos α , cos β 为方向 l 的方向余弦．
解： (1)
Q M 0 P = {2,−2,1}, ∴ M 0 P = 2 2 + ( −2), cos β = − , cosγ = , 3 3 3
∂u also ∂x
M0
= −1,
∂u ∂y
M0
∂u = 1, ∂z
M0
=1
∂u ∂l
M0
2 2 1 = −1× +1× (− ) + ×1 = −1. 3 3 3
= lim
t →0
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) − f (0,0)
ρ
cosθ • sin2 θ sin2 θ = lim 2 = . ρ →0 cos θ + ρ 2 sin4 θ cosθ
当 cosθ = 0时, 因为 f (ρ cosθ , ρ sin θ) = 0 时
∂f ∴ ∂e
解 由梯度计算公式得
∂u r ∂u r ∂u r gradu( x , y , z ) = i + j+ k ∂x ∂y ∂z
r r r = ( 2 x + 3)i + (4 y − 2) j + 6 zk , r r r 故 gradu(1,1,2) = 5i + 2 j + 12k .
3 1 在 P0 ( − , ,0) 处梯度为 0. 2 2
，
例 2 求函数 z = xe 在点 P (1,0) 处沿从点
2y
解
P (1,0) 到点 Q( 2,−1) 的方向的方向导数 的方向的方向导数. r 这里方向 l 即为 PQ = {1, − 1} ,
∂z ∂z Q = e2 y ∂x (1,0 )
所求方向导数
2 2 {cos α , cos β } = { ,− }. 2 2
解
r r 2 2 2 = grad r = grad x + y + z = 2 2 2 r x +y +z q q q r =− grad r = − grad v = grad r 2 3 4πε r 4πε r 4πε r
自己计算一下这一步. 自己计算一下这一步. 其中, 负号说明离点电荷越远, 电位越低, 即 电位梯度的方向与电场 E 的方向相反.
解
r 由题设知l 的方向余弦为(cos α , sin α )
∂f ∴ ∂l = f x (1,1) cos α + f y (1,1) sin α
(1,1)
= ( 2 x − y ) (1,1) cosα + ( 2 y − x ) (1,1) sinα ,
= cos α + sin α
π ） 故 （1）当α = 时， 方向导数达到最大值 2 ; 4
= ( −1 , 0 , − 2)
∂u max ∂l
从而
5 M =|| grad u ||=
∂u min ∂l
= − || grad u ||= − 5 M
例 5 求函数 u = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 3 x − 2 y 在点 (1,1,2) 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？ 处的梯度， 哪些点处梯度为零？
5π π （2）当 α = ） 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4
π = 2 sin( α + ), 4
3π π 7π π （3）当α = ） 和α = 时， 方向导数等于 0. 4 4
例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数 方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处 在点P 处沿
1 2
.
={cosα , cos β , cosγ }
ln(x +1)
ln(1+ y2 +1)
1 = 2
2 例 练习 求函数 f ( x , y ) = x 2 − xy + yr 在点（1，1） 在点（ ， ） 的方向导数.并 沿与 x 轴方向夹角为α 的方向射线 l 的方向导数 并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ ）最大值； ）最小值； ）等于零？
备用题 1. 函数
处的梯度 解: 则
在点
2 (1, 2, − 2) 9
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 = (1, 2, − 2) 9
u = ln(x + y2 + z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 提示 则
( 2) when x = 1, Q x = t , ∴ t = 1
r 2 ∴ 切线的方向向量 S = {1, 2t , 1 − 3t }
r ∴S
M0
r = { , 2, − 2} and S = 3 1
M0
∂u Therefore r ∂s
1 2 −2 = ±( −1× + 1× + 1× ) 3 3 3