2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.3诱导公式(第1课时)诱导公式二、三、四课件新人教A版必修1

合集下载

高中数学第五章三角函数5-3诱导公式第1课时诱导公式二三四课时作业新人教A版必修第一册

第1课时诱导公式二、三、四必备知识基础练1．[2022·福建福州高一期末]sin 120°＝( ) A ．－12 B ．12C ．－32 D ．322．[2022·山东淄博高一期末]tan (－32π3)的值是( )A ． 3B ．33C ．－ 3D ．－333．若sin (π－α)>0，tan (π＋α)<0，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．[2022·河北保定高一期末]已知cos (π－θ)＝25，则cos (－θ)＝( )A ．－215 B ．－25C ．25D ．2155．化简cos （α＋2π）tan （π＋α）sin （－α）cos （－α）tan （π－α）的结果为( )A ．tan αB ．cos αC ．sin αD ．－sin α6．(多选)已知tan θ＝3sin (θ－π)，则cos θ＝( ) A ．－1 B ．－13C ．13D ．1 7．cos (－52π3)等于________．8．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos (α－2π)＝________．关键能力综合练1．若sin (π＋α)＝12，α∈(π，3π2)，则tan (3π－α)等于( )A ．－12B ．－32C ．－ 3D ．－332．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．sin A ＋sin C ＝sin B B ．sin (A ＋B )＝cos C C ．cos (B ＋C )＝－cos A D ．tan (A ＋C )＝tan B 3．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 24．[2022·山东滨州高一期末]若tan (π＋α)＝2，则sin 2(π2－α)－4sin(π－α)cos(－α)＝( )A ．－95B ．－75C ．75D ．955．已知sin (56π－α)＝a ，则sin (α＋76π)＝( )A ．aB ．－aC ．±aD ．不确定6．(多选)在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是( )A ．sin (α＋π)＝sin βB ．sin (α－π)＝sin βC ．sin (2π－α)＝－sin βD ．sin (2π＋α)＝sin β7．已知角α的终边经过点P (12，5)，则sin (π＋α)＋cos (－α)的值是________． 8．已知cos (π6＋α)＝33，则cos (5π6－α)＝________．9．已知角θ的终边有一点P (12，－32).(1)求tan θ的值；(2)求sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．10．[2022·广东韶关高一期末]已知sin (2π3－α)＝15，(1)求cos (α－π6);(2)若－π3<α<π6，求cos (α＋π3).核心素养升级练1．若p ：tan (α＋2 021π)<0且sin (α－π)<0，q ：α为第二象限角．则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2022·海南高一期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数，则f (f (13))＝________．3．证明：2sin （α＋n π）cos （α－n π）sin （α＋n π）＋sin （α－n π）＝(－1)ncos α，n ∈Z .第1课时诱导公式二、三、四必备知识基础练1．答案：D解析：因为sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝32. 2．答案：A解析：tan (－32π3)＝tan (4π3－12π)＝tan 4π3＝tan (π＋π3)＝tan π3＝ 3.3．答案：B解析：由题设，sin α>0，tan α<0，所以角α的终边在第二象限． 4．答案：B解析：由cos (π－θ)＝－cos θ，得cos θ＝－25，所以cos (－θ)＝cos θ＝－25.5．答案：C解析：cos （α＋2π）tan （π＋α）sin （－α）cos （－α）tan （π－α）＝cos αtan α（－sin α）cos α（－tan α）＝sin α. 6．答案：ABD解析：∵tan θ＝3sin (θ－π)，∴sin θcos θ＝－3sin θ，若sin θ＝0，则cos θ＝1或－1，若sin θ≠0，则cos θ＝－13.7．答案：－12解析：cos (－52π3)＝cos 52π3＝cos 51π＋π3＝cos (17π＋π3)＝cos (π＋π3)＝－cos π3＝－12，所以cos (－52π3)＝－12.8．答案：35解析：由sin (π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.而cos (α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－（－45）2＝35.关键能力综合练1．答案：D解析：∵sin (π＋α)＝12，α∈(π，3π2)，∴－sin α＝12⇒sin α＝－12，cos α＝－1－sin 2α＝－32，tan α＝33，∴tan (3π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－33. 2．答案：C解析：对于A ，若A ＝B ＝C ＝π3，则sin A ＋sin C ＝3≠sin B ，A 错误；对于B ，sin (A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，B 错误；对于C ，cos (B ＋C )＝cos (π－A )＝－cos A ，C 正确；对于D ，tan (A ＋C )＝tan (π－B )＝－tan B ，D 错误．3．答案：C解析：由诱导公式有sin (π－2)＝sin 2，cos (π－2)＝－cos 2，则1＋2sin （π－2）·cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝sin 22＋cos 22－2sin2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|. 由2∈(π2，π)，则sin 2>0，cos 2<0，sin 2－cos 2>0，故原式＝sin 2－cos 2. 4．答案：B解析：因为tan (π＋α)＝tan α＝2，所以sin 2(π2－α)－4sin(π－α)cos (－α)＝cos 2α－4sin αcos α＝cos 2α－4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1－4tan α1＋tan 2α＝－75. 5．答案：B解析：因为56π－α＋α＋76π＝2π，所以sin(α＋76π)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－（56π－α）＝－sin (56π－α)＝－a .6．答案：CD解析：∵α与β的终边关于y 轴对称，∴α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，对于A ，sin (α＋π)＝－sin α，sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin α，则sin (α＋π)＝sin β不恒成立，A 错误；对于B ，sin (α－π)＝－sin α，sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin α，则sin (α－π)＝sin β不恒成立，B 错误；对于C ，sin (2π－α)＝－sin α，－sin β＝－sin (2k π＋π－α)＝－sin α，则sin (2π－α)＝－sin β恒成立，C 正确；对于D ，sin (2π＋α)＝sin α，sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin α，则sin (2π＋α)＝sin β恒成立，D 正确．7．答案：713解析：由题意，角α的终边经过点P (12，5)，可得sin α＝513，cos α＝1213，则sin (π＋α)＋cos (－α)＝－sin α＋cos α＝－513＋1213＝713.8．答案：－33解析：cos (5π6－α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－（π6＋α）＝－cos (π6＋α)＝－33. 9．解析：(1)由题设及正切函数的定义，tan θ＝－3212＝－ 3.(2)sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝3－13＋1＝2－3.10．解析：(1)cos (α－π6)＝cos (π2－2π3＋α)＝sin (2π3－α)＝15.(2)sin (2π3－α)＝sin (π－2π3＋α)＝sin (π3＋α)＝15，若－π3<α<π6，则0<α＋π3<π2，所以cos (α＋π3)＝1－sin 2（α＋π3）＝1－125＝265. 核心素养升级练1．答案：C解析：由题意得tan (α＋2 021π)＝tan α<0，sin (α－π)＝－sin α<0，所以sinα>0，由p 能推出q ，由q 能推出p ，故p 是q 的充要条件．2．答案：12解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数，所以f (f (13))＝f (13π6)＝sin (13π6)＝sin (2π＋π6)＝sin π6＝12.3．证明：当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin （α＋2k π）cos （α－2k π）sin （α＋2k π）＋sin （α－2k π）＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α.右边＝(－1)2kcos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin （α＋2k π－π）cos （α－2k π＋π）sin （α＋2k π－π）＋sin （α－2k π＋π）＝2sin （α－π）cos （α＋π）sin （α－π）＋sin （α＋π）＝2（－sin α）（－cos α）（－sin α）＋（－sin α）＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin （α＋n π）cos （α－n π）sin （α＋n π）＋sin （α－n π）＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．。

人教版高中数学必修第一册5.3诱导公式第1课时诱导公式(1)【课件】

怎样判断任意角所在的象限呢?
【问题8】从诱导公式二、三、四的结构特征来看,它们的主要作用
是什么?
【问题9】我们可以怎样运用诱导公式二、三、四来计算任意角的三
角函数值? 请举例说明.
【问题10】你能归纳出运用诱导公式一、二、三、四求任意角的三
角函数值的一般步骤吗?
典例精析
【例1】 [教材改编题]求下列三角函数值：
化简条件和结论后再求值.
【变式训练3】已知k∈
(−) [(−)−]
，求证则
[(+)+](+)
= −
【解】
(−)(−)(+)
（备选例题）已知α是第三象限角,且f(α)=
(−−)(−−)
(1)
【问题5】在之前的讨论中我们知道角的终边除了关于原点对
称的情况外，还有关于x轴、y轴对称的情况．请你试着探究当角
的终边关于x轴、y轴对称时，三角函数值之间的关系．
【问题6】你能发现公式一、二、三、四的共同特征吗？
【活动3】归纳总结求任意角三角函数值的一般流程
【问题7】诱导公式二、三、四中等式右端的符号由角的象限确定,
第五章
三角函数
5.3
诱导公式
第课时
诱导公式
教学目标
1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,探究和推导三
角函数诱导公式二、三、四.
2. 在推导诱导公式二、三、四的过程中,理解和掌握诱导
公式二、三、四的结构特征.
3. 能熟练运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式
的求值、化简与恒等式的证明.
学习目标

若sin(α-3π)= ,求f(α)的值;

(2) 若α=-1920°,求f(α)的值.

高中数学第5章三角函数 5.3 诱导公式第1课时诱导公式二、三、四教学案新人教A版必修第一

第1课时诱导公式二、三、四(教师独具内容)课程标准：1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．教学重点：诱导公式的推导过程及其应用．教学难点：诱导公式的推导过程.【知识导学】知识点一角的对称(1)角π＋α的终边与角α的终边关于□01原点对称，如图a；(2)角－α的终边与角α的终边关于□02x轴对称，如图b；(3)角π－α的终边与角α的终边关于□03y轴对称，如图c.知识点二诱导公式【新知拓展】(1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2k π＋α(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.(3)利用诱导公式一和三，还可以得出如下公式： sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α， tan(2π－α)＝－tan α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( ) (2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．( )(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( ) (4)诱导公式二～四两边的函数名称一致．( ) (5)诱导公式中的角α只能是锐角．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(1)已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A ．π－4 B ．4 C ．－4D ．4－π(2)sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12(3)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝________. 答案 (1)C (2)A (3)0题型一给角求值问题例1 求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6.[解] (1)sin(－1200°)＝－sin1200° ＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120° ＝－sin(180°－60°) ＝－sin60°＝－32. (2)tan945°＝tan(2×360°＋225°) ＝tan225°＝tan(180°＋45°) ＝tan45°＝1.(3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32.金版点睛利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[跟踪训练1] 求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin 8π3cos 31π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解(1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4 ＝sin 2π3cos 7π6＋tan π4＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＋tan π4＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝14. 题型二给值求值问题例2 (1)已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45C ．±45 D.35(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝________.[解析] (1)因为cos(π－α)＝－cos α，所以cos α＝35.因为α是第一象限角，所以sin α>0. 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.[答案] (1)B (2)－33[结论探究] (1)若本例(2)中的条件不变，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6； (2)若本例(2)条件不变，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值．解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.金版点睛解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [跟踪训练2] (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A ．1B ．－1 C.13D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；(3)已知tan(π＋α)＝3，求2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值．答案 (1)D (2)223(3)见解析解析 (1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13.(2)∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.(3)因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3. 故2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.题型三三角函数式的化简例3 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋4π3(k ∈Z )． [解] (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.(3)当k 为偶数时，原式＝sin 2π3cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－sin π3cos π3＝－34.当k 为奇数时，原式＝sin 2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3＝sin π3cos π3＝34.金版点睛三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.(4)用诱导公式进行化简时，若遇到k π±α的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．[跟踪训练3] 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)sin (1440°＋α)cos (α－1080°)cos (－180°－α)sin (－α－180°). 解 (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos αtan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin (4×360°＋α)cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin αcos (－α)(－cos α)sin α＝cos α－cos α＝－1.1．若n 为整数，则化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α答案 C解析原式＝tan(n π＋α)，无论n 是奇数还是偶数，tan(n π＋α)都等于tan α.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝( ) A.13 B ．－13C.233D ．－233答案 B解析因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13. 3.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值等于________．答案2－2解析原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos225°sin135°－sin210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos45°sin45°＋sin30°＝－2222＋12＝2－2.4．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________.答案－513解析 sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°] ＝－sin(45°＋α)＝－513.5．化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z )．解当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α.当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α.所以原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos α(n 为偶数)，－2cos α(n 为奇数).。

高中数学必修一(人教版)5.3.1诱导公式(一)

sin54π－α＝sinπ＋π4－α＝－sinπ4－α＝－－23＝ຫໍສະໝຸດ 3 2.答案：(1)B
3 (2) 2
题型三利用诱导公式证明三角恒等式——师生共研例 4 证明：cossinαα－－22π0c1o8sπαc＋os2α0＋182π0s1i9nπαs＋in2－01α8π＝tan α.
证明：左边＝cossinαα－－22π0c1o8sπαc＋os2α0＋182π0s1i9nπαs＋in2－01α8π
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝－asin α－bcos β＋2＝1
即 asin α＋bcos β＝1
又 f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＋2＝asin α＋bcos β＋2＝
3.
答案：(1)D (2)3
方法归纳
解决条件求值问题的方法 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
＝sin
α－cos α－sin cos αcos αsin α
α＝tan
α＝右边．∴原式成立．
状元随笔证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，
有针对性地进行变形，以消除其差异. 能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角，再统一函数名称，从而实现左右统一．
跟踪训练 3
证明：sisninα－－α3π－＋cocsosππ＋－αα ＝ttaann
解析：(1)因为 sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得 sin α＝－12，
又 α∈－π2，0，所以 cos α＝ 1－sin2α＝ 23.

5.3诱导公式(第一课时)

tan(−)＝−tan .
用途：“小”角化“锐”角

反思归纳
公式二
sin(＋)＝−sin，
cos(＋)＝−cos ，
tan(＋)＝tan .
公式三
sin(−)＝−sin，
cos(−)＝cos ，
tan(−)＝−tan .
公式四
sin(−)＝sin，
cos(−)＝−cos ，
的关系如何？
探究一：任意角α与（π+α）三角函数值的关系
y
P1(x,y)
+

O
P2（-x,-y）
P2
sin(＋)＝ -y =-sinα
cos(＋)＝ -x =-cosα
y y
tan
tan(＋)＝
x
x
x
导学
探究一：任意角α与（π+α）三角函数值的关系
诱导公式（二）
sin(＋)＝ -sin
概括为：
负化正，正化小，化到锐角就终了
悟学【跟踪训练 1】：求下列各源自角函数值.(1)sin π;
解:(1)sin
(2)cos(-765°);
(3)tan(-750°).
=sin(4π+ π)=sin π=sin(π+ )=-sin =- .
(2)cos(-765°)=cos 765°=cos(2×360°+45°)=cos 45°= .
其中k Z.
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
预学
1
2
1
2
3
2
3
2
3
3
3
3
-
1
2
3
2

5.3诱导公式+说课课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

（4）深入研究，系统归纳出诱导公式；
公式二：sin -sin cos -cos
tan tan 公式三：sin- -sin
cos- cos
tan- -tan
（6）出示例题（以课本例题，链接高考）、强化练习（请学生到黑板上写）；
（8）布置作业（课本课后练习题为必做题，同步作业采用分层布置作业），提高升华。
第六章
板书设计
板书设计
板书设计为分块式，左边属于保留区域, 右边为机动区域。
这样的板书简明清楚，重点突出，加深学生对重点知识的理解和掌握，同时便于记忆，有利于提高教学效果。
板书设计
5.3.1诱导公式（二-四）
公式二：sin -sin
cos -cos tan tan
公式三：sin- -sin
4
初步体会三角函数与周期性之间的内在联系。
注：根据新一轮基础教育课程改革，基于上述教材分析，制定本节课的教学目标如上。
第四章
教法分析
教法分析 1
问题
2
类比
3
发现
4
归纳
基于本节课的特点，本节课采用了“问题、类比、发现、归纳”的思维训练教学方法。
教法分析
首先讨论：锐角与
终边的位置关系
任意角与终边的位置关系
cos- cos
tan- -tan
公式四：sin - sin cos - -cos
tan - -tan
口诀： “函数名不变，符号看象限”
保留区域（教知识）
例1 例2 例3
练习
总结方法：
示范区域（教方法）
回顾：
诱导公式（一）：sin k 2 sin cos k 2 cos

5.3+诱导公式课件(共2课时)(人教A版2019高一数学必修第一册)

cos( 180 ) cos[ (180 )]
cos(180 ) cos
cos sin
所以, 原式
cos
tan ( cos )
课本练习
1.将下列三角函数化为锐角的三角函数：
13
4
-sin1
(2)sin(1 ) ________
公式一 ~ 四可用下面的话来概括：
2k ( k Z ), , 的三角函数值, 等于角的同名函数值,
前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.
公式一：
公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) sin
cos( 2k ) cos (k Z ) cos( ) cos
7
7
4
4
简析： (1)原式 cos( ) - cos
9
9

(5)原式 cos( ) cos
7
7
(6)原式 cos(100021'- 2 360) cos 28021'
(cos180 10021') cos10021'
cos(180 7939') cos7939'
tan( )
y2
x2
从而得公式二：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
1.5
1
T
P
0.5
M1 O
-2
M
-1
-0.5
P1
-1
-1.5
1

第5章5.3诱导公式第1课时公式二_公式四(课件)

你能类比公式二,探究并证明公式三和公式四吗?
精彩课堂
公式三: sin(-α)=-sin Nhomakorabeaα, cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α.
精彩课堂
公式四: sin(π-α)=sin α, cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α.
精彩课堂
3. 探究公式一~公式四的特征你能概括一下探究公式二~公式四的思想方法吗?
导入新课
▶思路二想一想:sin 390°=? sin 570°=? 由公式一可将sin 570°化为sin 210°,210°虽然在0°~360°之间,可是也不能直接得出其三角函数值. 如何求出sin 210°的值? 390°角的终边与锐角30°角的终边重合,那么210°角的终边与哪个锐角的终边有关系呢? 它们的三角函数值之间又有怎样的关系呢?
第1课时公式二~公式四
导入新课
▶思路一 1.回顾利用单位圆定义三角函数的过程. 2.复习公式一. 3.想一想:sin 720°=? sin 600°=? 三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标,显而易见的一个结论就是终边相同的角的三角函数值相等.三角函数与单位圆有着非常密切的联系,而单位圆关于原点、x轴、y轴以及直线y=x都是对称的,这些对称性在三角函数中有何体现呢?
精彩课堂
课堂练习
A
B
课堂练习
-2sin α
3 4
课堂总结
通过这节课的学习,你有什么收获? 公式二:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α. 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.

5.3 第1课时诱导公式二、三、四

3
3
α＝－
5
.
3
返回导航
(2)若cos
A．－
π
3
6π
( －α)＝，则cos ( ＋α)＝(
7
3
7
3
3
B．
3
3
C．
6
3
)
D．－
6
3
答案：A
解析： cos
6π
( ＋α)＝cos
7
π−
π
7
− α ＝－cos
π
3
( －α)＝－ .故选A.
7
3
返回导航
学习目标三
利用诱导公式化简
例3 化简下列各式：
cos π+α cos 3π−α tan π+α
cos α tan α − sin α
cos α − tan α
＝
＝sin α，故选C.
返回导航
3．若cos
1
A．
2
1
3π
(α＋π)＝－， <α<2π，则sin
2
2
B．
3
2
1
C．－
2
D．－
(α＋2π)＝(
)
3
2
答案：D
解析：由cos
1
(α＋π)＝－得－cos
2
1 − cos 2 α＝－ 1 −
第1课时
诱导公式二、三、四
01.课前预学案
内容
索引
02.课堂导学案
【导学】— 新知初探·夯基提能
【导练】— 举一反三·随堂落实
【导思】— 激活思维·创新培优
03.课后检测案（51）
01.课前预学案

人教A版高中数学必修第一册精品课件第5章三角函数 5.3 第1课时诱导公式二、三、四

求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系,然
后利用诱导公式进行变形,将已知式向所求式转化,或将所求
式向已知式转化.
【变式训练 2】已知 sin

A.
C.

B.-

D.-

解析:sin
=-sin

答案:B

- =- .

=
,则
sin

- =sin +

-
(5)sin(α-π)=sin α.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一利用诱导公式解决给角求值问题
【例 1】求下列各式的值:
(1)sin -

;
(2)cos(-120°)sin(-150°)+tan 855°.
解:(1)sin =-sin

=-sin +

=-sin

-·(-)·
解:当 n=2k(k∈Z)时,原式=
=-tan α;
当 n=2k+1(k∈Z)时,原式=
=-tan α.
-·
-··(-)
·(-)
反思感悟
三角函数式的化简方法:(1)利用诱导公式,将任意角的三角函
数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法,即将式中的正
-
.
=-sin α.
答案:-sin α
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:上述求解忽略了n的奇偶性致错.因为n是整数,可能是奇
数也可能是偶数,所以需要对n的奇偶性进行讨论.

2020高中数学第5章三角函数 5. 诱导公式(第1课时)公式二、公式三和公式四讲义第一册

第1课时公式二、公式三和公式四学习目标核心素养1。

了解公式二、公式三和公式四的推导方法．2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．（重点、易混点）3．掌握公式二、公式三和公式四,并能灵活应用．（难点）1.借助公式进行运算，培养数学运算素养．2．通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养。

1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．（2)公式：sin（π＋α）＝－sin_α，cos（π＋α）＝－cos_α，tan(π＋α）＝tan_α.2．公式三（1）角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．（2)公式:sin(－α)＝－sin_α，cos（－α)＝cos_α，tan(－α）＝－tan_α.3．公式四（1）角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．（2)公式:sin（π－α）＝sin_α，cos（π－α）＝－cos_α，tan（π－α）＝－tan_α。

思考：（1）诱导公式中角α只能是锐角吗？（2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．1．如果α,β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是（)①sin α＝sin β;②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β;⑤tan α＝－tan β.A．1 B．2 C．3 D．4C[因为α＋β＝π,所以sin α＝sin（π－β)＝sin β,故①正确，②错误；cos α＝cos(π－β)＝－cos β，故③正确，④错误；tan α＝tan（π－β）＝－tan β,⑤正确．故选C。

］2．tan错误!等于（）A．－错误!B。

错误!C．－错误! D.错误!C［tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝－tan错误!＝－错误!.]3．已知tan α＝3，则tan（π＋α)＝________。

《诱导公式(第一课时)》示范教学方案

《5.3 诱导公式（第一课时）》教学设计1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（π±α，－α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．教学难点：诱导公式的有效识记和应用．PPT课件．资源引用：【知识点解析】对诱导公式一到四的理解【知识点解析】诱导公式一到四的作用【知识点解析】利用诱导公式一到四化简应注意的问题（一）新知探究引导语：我们知道，圆最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，可以根据三角函数定义，利用圆的对称性，研究三角函数的对称性．问题1：如图1，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2．（1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？（2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？预设的师生活动：先由学生独立完成问题1，然后展示，师生帮助一起完善和调理思路．预设的答案：如图2，以OP 2为终边的角β都是与角π＋α终边相同的角，即β=2k π＋(π＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探究角π＋α与α的三角函数值之间的关系即可．设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．因为P 2是点P 1关于原点的对称点，所以x 2＝－x 1，y 2＝－y 1． 11＝y 1x 1（1sin(π＋α)＝y 2，cos(π＋α)＝x 2，tan(π＋α)＝y 2x 2（x 2≠0）．从而得：公式二设计意图：初步感受如何将圆的一个特殊的对称性：在坐标系中关于原点对称，代数化，并得到诱导公式二．并以此问题作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解决问题做好奠基工作．追问1：应用公式二时，对角α有什么要求？预设答案：只要在定义域内的角α都成立．追问2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？预设答案：第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系．从形的角度研究．第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示，体现了数形结合的思想方法．第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二．体现了联系性．追问3：角π＋α还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？预设答案：按逆时针方向旋转角π得到的．sin （π＋α）＝－sin α，cos （π＋α）＝－cos α，tan （π＋α）＝tan α． 22465xyO π+aa P 2P 1图2图1设计意图：追问1旨在帮助学生理解角α的任意性，追问2旨在提炼方法，追问3则渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫．问题2：借助于平面直角坐标系，类比问题1，你能说出单位圆上点P 1的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．预设的师生活动1：先由学生独立思考，尽量多地写出点P 1的对称点，然后展示交流，之后再将之代数化，最后得到相应的诱导公式．学生的回答可能会超越教科书中的研究内容，如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求．如果学生没有想到，教师不需要增加．学生首先想到的应该是点P 1关于坐标轴的对称点；之后关于特殊直线的对称点，比如y=x ；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点．预设答案：单位圆上点P 1的特殊对称点：第一类，点P 1关于x 轴、y 轴的对称点；第二类，点P 1关于特殊直线的对称点，如y ＝x ，y ＝－x ；第三类，点P 1关于x 轴的对称点，再关于特殊直线的对称点．或者是点P 1关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点．等等．预设的师生活动2：针对如上结论，从第一类到第三类依次解决．第一课时可以先解决第一类．预设答案：1．如图3，作P 1关于x 轴的对称点P 3：以OP 3为终边的角β都是与角－α终边相同的角，即β=2k π＋(－α)（k ∈Z ）．因此，只要探究角－α与α的三角函数值之间的关系即可．设P 3(x 3，y 3)．因为P 3是点P 1关于x 轴的对称点，所以x 3＝x 1，y 3＝－y 1．根据三角函数的定义，得sin α＝y 1，cos α＝x 1，tan α＝y 1x 1（x 1≠0）； sin(－α)＝y 3，cos(－α)＝x 3，tan(－α)＝y 3x 3（x 3≠0）．从而得：公式三sin （－α）＝－sin α，cos （－α）＝cos α，tan （－α）＝－tan α．图32．如图4，作P 1关于y 轴的对称点P 4：以OP 4为终边的角β都是与角π－α终边相同的角，即β=2k π＋(π－α)（k ∈Z ）．因此，只要探究角π－α与α的三角函数值之间的关系即可．设P 4(x 4，y 4)．因为P 4是点P 1关于x 轴的对称点，所以x 4＝－x 1，y 4＝y 1．根据三角函数的定义，得sin α＝y 1，cos α＝x 1，tan α＝y 1x 1（x 1≠0）； sin(π－α)＝y 4，cos(π－α)＝x 4，tan(π－α)＝y 4x 4（x 4≠0）．从而得：公式四追问4：公式三和公式四中的角α有什么限制条件？预设答案：三角函数定义域内的角α．设计意图：类比问题1，进一步探索发现．这是一个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比问题1进行分析，解决问题．强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．★资源名称：【知识点解析】对诱导公式一到四的理解★使用说明：本资源展现“对诱导公式一到四的理解”，辅助教师教学，加深学生对于sin （π－α）＝sin α，cos （π－α）＝－cos α，tan （π－α）＝－tan α．图4知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．例1 利用公式求下列三角函数值：（1）cos 225°；（2）sin 3π8；（3）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3π16；（4）tan （－2 040°）．追问5：题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？预设的师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．预设答案：（1）cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22；（2）sin 3π8＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2π2＝sin 3π2＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3ππ＝sin 3π＝23；（3）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3π16＝－sin 3π16＝－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3ππ5＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--3πsin ＝23；（4）tan(－2 040°)＝－tan 2 040° ＝－tan(6×360°－120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－3．设计意图：引导学生有序地思考问题，有理地解决问题．问题3：由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？★资源名称：【知识点解析】诱导公式一到四的作用★使用说明：本资源展现“诱导公式一到四的作用”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流．预设答案：利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升数学运算素养．例2化简：cos(180°＋α)·sin(α＋360°)tan(-α-180°)·cos(-180°＋α)．追问6：本题与例1的异同是什么？由例1总结出的求解程序在此如何应用？预设的师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．预设答案：tan(－α－180°)＝tan［－(180°＋α)］＝－tan(180°＋α)＝－tanα，cos(－180°＋α)＝cos［－(180°－α)］＝cos(180°－α)＝－cos α，所以，原式＝-cos α·sin α(-tan α)·(-cos α)＝－cos α．设计意图：巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力．★资源名称：【知识点解析】利用诱导公式一到四化简应注意的问题★使用说明：本资源展现“利用诱导公式一到四化简应注意的问题”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．（二）梳理小结问题4：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？预设的师生活动：学生自主总结，展示交流．预设答案：（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质．（2）学到了三组诱导公式．研究方法是数形结合，注重联系．设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的研究铺路奠基．（三）布置作业1．教科书练习；2．教科书习题5.3第1，2，3题．（四）目标检测设计计算：（1）cos(－420°)；（2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π67；（3）tan(－1 140°)；（4）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π677；（5）tan 315°；（6）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π411．预设答案：（1）21；（2）21；（3）－3；（4）23-；（5）－1；（6）22-．设计意图：检测学生对基本知识和基本及基本技能的掌握情况．。

5.3.1 诱导公式(第一课时课件)

什么？
公式一
作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π范围内
的角的三角函数值.
2 诱导公式
思考：给定一个角α .则角π+α、π-α、-α的终边与
角α的终边有什么关系？它们的三角函数与角α的三角函
数之间有什么关系？
y
P1 ( x, y )
O
x
2 诱导公式
y
α的终边
P1 ( x, y )
r=1
α
cos 180 cos ,
cos sin
所以原式
1.
sin cos
练一练
1.化简:
1 sin 180 cos sin 180
3
2
sin
cos 2 tan
3 典型例题
例1.利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225;
16
(3)sin(
);
3
11
(2)sin ;
3
(4)tan(-20400)
16
16

3
(3)sin(
) sin
sin(5 )= ( sin ) ;
3
3
3
3
2
方法总结
对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三
诱导公式的推导
任意角三角函数化归流程
诱导公式的应用
课堂小结
二、本节课提升的核心素养
数学抽象逻辑Leabharlann 理数据分析数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
数形结合
转化与化归
类比思想
基础作业：