《平移与旋转》期末复习资料

第15章平移与旋转
一、知识点 1.平移
⑴定义：图形的平行移动简称平移；平移由移动的方向和距离决定。

⑵特征（性质）：平移后的图形与原来的图形的①对应线段平行（或在同一直线上）且相等；②对应角相等；③形状和大小都没有发生变化；④连结对应点的线段平行（或在同一直线上）.
⑶平移的作图：应首先确定平移的方向和距离，然后确定其关键点平移后的位置，最后由对应关系完成作图. 2.旋转 ⑴定义：
①旋转：图形绕平面内固定的一点转动一定的角度，就是旋转，这个定点叫做旋转中心。

②旋转角：在平面内，图形绕一个定点沿某个方向转动的角叫做旋转角。

规律：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。

⑵旋转的条件：旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转方向所决定.
⑶旋转的特征：图形中每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

⑷旋转作图
作图方法：⑴注意四个条件即基本图形、旋转中心、旋转角度和旋转方向； ⑵利用关键点的对应关系画出未知的关键点； ⑶利用关键点画出图形。

3. 旋转对称图形
⑴定义：一个图形绕某一定点旋转一定的角度（小于周角）后，能与自身重合的图形叫做旋转对称图形。

⑵设计旋转对称图形
通常先画一个圆，然后按要求把圆进行等分，再依次连结圆心和各分点. 4.图形的全等变换
⑴全等变换的方式⎪
⎩⎪
⎨⎧旋转
平移翻折轴对称)(
⑵轴对称、平移和旋转比较：
共同点：变换前后的对应线段、对应角相等，图形的大小与形状都不变．
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧不同点
5.中心对称
⑴定义：①中心对称图形：一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心.中心对称图形是旋转对称图形的特殊情况.
②中心对称：一个图形绕着某一个点旋转180°后，能与另一个图形重合，就说这两．个图形．．．
成中心对称，这个点叫对称中心. ⑵中心对称的特征：①在中心对称图形（或中心对称的两个图形）中，连结对称点的线段都经过对称中心并且被对称中心平分；②具有旋转对称的所有特征.
⑶成中心对称的图形的识别：①根据定义；②如果两个图形对应点的连线都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称. ⑴一个图形经过对称轴互相平行的两次轴对称变换相当于一次平移，平移的方向是垂直于对称轴的方向，平移的距离等于两条对称轴之间的距离的2倍.
⑵一个图形经过对称轴相交的两次轴对称变换相当于一次旋转，旋转中心是两条对称轴的交点，旋转的角度等于两条对称轴之间的夹角的2倍.
⑶一个图形经过对称轴互相垂直的两次轴对称变换后的图形与原图形成中心对称，对称中心是两条对称轴的交点（即垂足）. 7.图形的全等
⑴全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
⑵全等图形的特征：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
轴对称：对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段或其延长线的交点在对称轴上． 轴对称由对称轴的位置确定。

平移：对应线段平行或在一条直线上，对应点连线平行或在一条直线上。

平移由平移的方向和平移的距离确定． 旋转：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等。

旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向确定．
B
第1题
E
D
C
B A
二、典型习题 （一）选择题
1．（07德州）在下图右侧的四个三角形中，不能由A B C △经过旋转或平移得到的是（ ）
2. 在图中，将在左边方格纸中的图形绕O 点顺时针旋转90°得到的图形是（• ）
3. 如图，∠DOE 为直角，如果△ABC 关于OD 的对称图形是△A ′B ′C ′，△A ′B ′C ′关于OE 的对称图形是△A ″B ″C ″，则△ABC 与△A ″B ″C ″的关系是（ ） A ．以∠DOE 的平分线成轴对称; B ．关于点O 成中心对称 C ．平移关系; D ．不具备任何关系
4．如图，甲树通过以下变换，不能得到乙树的是（ ）
A ．先轴对称，后平移，再旋转;
B ．先平移，后旋转，再轴对称
C ．先旋转，后平移，再旋转;
D ．先旋转，后轴对称 5. 下列说法不正确的是（ ）
A.中心对称图形一定是旋转对称图形
B.轴对称图形一定是中心对称图形
C.在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分
D.在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上
6. 下列图形中，如图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
7. 4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180度后得到如图（2）所示，那
么她所旋转的牌可能是从左起（ ）
A ．第一张或第二张;
B ．第二张或第三张;
C ．第三张或第四张;
D ．第四张或第一张
（1） （2）
8. （07嘉兴）已知△ABC 的面积为36，将△ABC 沿
BC 平移到△A ´B ´C ´，使B ´和C 重合，连结AC ´交A ′C 于D ，则 △C ´DC 的面积为（ ）
（ ） （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18
9. （07眉山）如图，AC D △和A E B △都是等腰直角三角形，90CAD EAB ∠=∠= ，四边形
A B C D 是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A ．A C E △以点A 为旋转中心，逆时针方向旋转90 后与AD
B △重合 B ．A
C B △以点A 为旋转中心，顺时针方向旋转270 后与
D AC △重合 C ．沿A
E 所在直线折叠后，A C E △与AD E △重合 D ．沿A D 所在直线折叠后，AD B △与AD E △
（二）填空题
1．（07扬州）用等腰直角三角板画45AOB =
∠，并将三角板沿O B 方向平移到如图所示的虚
线处后绕点M 逆时针方向旋转22 ，则三角板的斜边与射线O A 的夹角α为2. 如下图，等边△ABC 经过平移后成为△BDE ，则其平移的方向是__________；△ABC•经过旋转后成为△BDE ，•则其旋转中心____；
旋转角度是_____．
3. 如图所示，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠C=∠AED=90o ，点E 在AB 上，如果△ABC
经过旋转后能与△ADE 重合，则△ABC 绕点______旋转了_____度．
C '
)
(B 'C B
Ｃ
Ｂ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A D
B
C
E
第3题
4. （2012山东青岛3分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠ABC ＝30º，
AC ＝1．现在将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△A ′B ′C ，使得点A ′恰好落在AB 上，连接BB ′，则BB ′的长度为 ．
5. （2012吉林省3分）如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接
BD ．将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC =10，BD =9，则△AED 的周长是_ ____.
6. （2012黑龙江哈尔滨3分）如图，平行四边形ABCD 绕点A 逆
时针旋转30°，得到平行四边形AB ′C ′D ′（点B ′与点B 是对应点，点C ′与点C 是对应点，点D ′与点D 是对应点），点B ′恰好落在BC 边上则∠C = 度．
（三）解答题
1．（07义乌）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这
两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示）
（图1） （图2） （图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。

（1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的
距离；
（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；
（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：A H ﹦
DH
（图4） （图5） （图6）
2.（2012宁夏区8分）正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°。

将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM 。

（1）求证：EF =FM
（2）当AE =1时，求EF 的长。

3.（2012江苏宿迁12分）(1)如图1，在△ABC 中，BA =BC ，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE =
12
∠ABC (0°＜∠CBE ＜
12
∠ABC )。

以点B 为旋转中心，将△BEC 按逆时针方向旋转
∠ABC ，得到△BE ’A （点C 与点A 重合，点E 到点E ’处），连接DE ’。

求证：DE ’=DE . （2）如图2，在△ABC 中，BA =BC ，∠ABC =90°，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE =12
∠ABC (0°
＜∠CBE ＜45°).求证：DE 2
=AD 2
+EC 2
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4.（2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD是边长为2
3的正方形，长方形AEFG的宽AE
7 2 =,
长EF=AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH(如图2)，这时BD与MN相交于点O．
（1）求D O M
∠的度数；
（2）在图2中，求D、N两点间的距离；
（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ
的内部、外部、还是边上？并说明理由．
图1 图2 5.（2012山东济南9分）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=3
2，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
6.（2012内蒙古呼和浩特7分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG 于E，BF∥DE，交AG于F．
（1）求证：AF﹣BF=EF；
（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．。