圆中的数学思想

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高考数学复习点拨：直线与圆的方程中的六种数学思想方法

直线与圆的方程中的六种数学思想方法1.数形结合的思想例1 设k ，a 是实数，要使关于x 的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 对于k 的一切值都有解，求实数a 的取值范围．解在平面直角坐标系中分别画出 l 1：y=|2x-1|和l 2：y=k(x-a)+a 的图象(如图)，其中l 2是过点M(a ，a)且斜率为k 的直线系，l 1是折线y=2x-1(x≥21)和y=-2x+1(x<21)．由图形的直观性可知要使原方程对于k 的一切值都有解的几何意义是直线l 2绕点M(a ，a)旋转时都与折线l 1相交，点M 必须位于过C(21，0)的两条射线上或射线的上方．∵ ⎩⎨⎧+-≥-≥1212a a a a ∴31≤a≤1．例2 已知定点A(1，1)， B(3，3)，动点P 在x 轴上，若∠APB 取得最大值，则点P 的坐标是………………( )A.这样的点P 不存在 B ．(2，O) C ．(3，O) D ．(6，O)分析由A 、B 两点坐标及位置特点，可以看出，动点P 在x 轴正半轴上的某个位置可能使么∠APB 取最大值，此题若设P(x ，O)，用到角公式表示出tanAPB ，再求使之取得最大值时的P 点坐标显然较繁．而利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过AB 且与x 轴正半轴相切的圆与x 轴的切点为P ，(如图)则P 点即为所求的点，而|OP|2=|OA|·|OB|=2·18=6 ∴|0P|=6，点P(6，0)，故选D ．2.分类讨论的思想例3 求与点P(4，3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．解 (1)若截距a≠O，可设直线方程为： a x +a y=1 即x+y-a=0由已知：2|34|a -+=5可得：a=7士32(2)若截距a=O ，由于OP 所在的直线方程为 y=43x ，且|OP|=5 ∴所求直线方程为y=-34x综上，所求直线方程为 x-y-7-52=0或x+y-7+52=0或4x+3y=O 对含有参数的数学问题求解时要注意运用分类讨论的数学思想，正确、严密地求解．例4 讨论直线l ：3x+4y+m=0与圆C ：x 2+y 2-2x=O 的位置关系．分析先求得圆C 的圆心C(1，O)和半径 r=1，再得圆心C 到直线l 的距离d=5|3|m +，最后按d<r 、d=r 、d>r 三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时m的取值范围．解当d=5|3|m +<1，即-8<m<2时，直线与圆相交；当d=5|3|m +=1，即m=-8或m=2时，直线与圆相切；当d=5|3|m +>1，即m<-8或m>2时，直线与圆相离．3.参数思想例5 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论a 为何值，直线总过第一象限．(2)为使这直线不过第二象限，求a 的范围．解 (1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=O 对任意实数a ，恒过直线3x-y=O 与x-2y+1=0的交点(51，53)，∴直线系恒过第一象限内的定点(51，53)；(2)当a=2时，直线为x=51不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为：y=213--a a x-21-a ，不过第二象限的充要条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->--0210213a a a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<--0210213a a a ⇒a>2，总之，a≥2时直线不过第二象限．例6 过点P(2，1)作直线l ，与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，| PA|·| PB|的最小值及此时l 的方程．分析本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法．解设直线AB 的倾斜角为α(2π<α<π),则直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 2t y t x令x=O ，则得B 点所对应的参数t=-αcos 2，令y=O ，则得A 点所对应的参数t=-αsin 1∴|PA|·|PB|=|-αcos 2|·|-αsin 1|=|2sin |4α 当a=π43时|PA|·|PB|有最小值4，此时直线l 的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ππ43sin 143cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 2212224.待定系数法的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用的方法．例7 已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过一定点P(6，-2)，求直线的方程．解法一设直线l 的方程为a x +b y=1． ①∵直线l 过点(6，-2)， ∴a 6-b2=1． ②又∵a=b+1．代入②整理得b 2-3b+2=O ，解之b 1=1，b 2=2，∴a 1=2，a 2=3．代入①得所求的直线方程为x+2y-2=O 或2x+3y-6=O ．解法二设所求直线l 的斜率为k ，又直线l 过定点P(6，-2)，于是直线l 的方程是y+2=k·(x -6)，即kk x 26++)26(+-k y=1. 依题意知k k 26++6k+2=1,∴k=-32或k=-21. ∴直线l 的方程是y+2=-32(x-6)或y+2=-21(x-6)，即x+2y-2=O 或2x+3y-6=O ．例8 已知△ABC 中，A 点坐标为(1，2)， AB 边和AC 边上的中线方程分别为5x-3y-3=O 和7x-3y-5=O ，求BC 边所在直线方程．分析欲求BC 边的方程，没有直接的已知条件，可设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，然后用两点式得方程．解设C(x 1,y 1)，AB 中点坐标为(211+x ，221+y )则⎪⎩⎪⎨⎧=-+•-+•=--0522321703351111y x y x 解得：x 1=3，y 1=4，∴C(3，4)说明此题由代点法，结合解方程组比直接由已知方程求交点要简单得多，同理可求得 B(-1，-4)，由两点式得直线BC 方程为2x-y-2=05.化归的思想. 利用转化的思想可把较繁的问题简单化．例9 求函数y=12+x +842+-x x 的最小值．分析此函数的定义域为R ，如果从代数的角度考虑，确实比较复杂；如果借助于两点间的距离公式，转化为几何问题，则是非常的容易．解 y=12+x +842+-x x =22)10()0(-+-x +22)20()2(-+-x 令A(O ，1)，B(2，2)，P(x ，O)，则问题转化为：在x 轴上求一点P(x ，O)，使得|PA|+|PB|取得最小值．∵A 关于x 轴的对称点为A ’(O ，-1)，∴(|PA|+|PB|)min =|A ’B|=22)12()02(++-=94+=13．6.函数、方程、不等式思想例10 两条平行直线分别过点P(-2，-2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这条直线各自绕点P 、Q 旋转并互相保持平行． (1)求d 的变化范围．(2)用d 表示这两条直线的斜率．(3)当d 取最大值时，求这两条直线的方程．解当过P 、Q 的两条直线的斜率为O 时， d=5；当这两直线斜率不存在，即与x 轴垂直时， d=3．设l 1：y+2=k(x+2)；l 2：y-3=k(x-1) (1)由平行线间的距离公式得d=1|53|2+-k k即(d 2-9)k 2+30k+d 2-25=O ……① 由△=900-4(d 2-9)(d 2-25)≥O，得O<d≤34(2)由①得k=9341522--±-d d d (d≠3) (3)当d=34时,k=-53∴l 1：y+2=-53(x+2)， l 2：y-3=-53(x-1)说明此题的(1)(3)也可利用数形结合的方法来求解．。

例谈在圆面积教学中渗透数学思想方法-2019年教育文档

例谈在圆面积教学中渗透数学思想方法《数学课程标准》在总体目标中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

” 因此，我们在小学数学教学中要根据教学内容，挖掘教学内容中包含的数学思想方法，适时向学生渗透这些数学思想方法。

如我在“圆面积”教学中，力求渗透转化、极限和寓算于理的数学思想方法。

教学片断一：情境导入，渗透转化思想1.多媒体出示：学校草坪中间的喷水龙头洒了一圈水。

师：看了刚才的演示，你想提出哪些与数学有关的问题？（结合学生的提问，抓住有关周长和面积的问题，引导学生区分圆的周长和面积，同时引出课题“圆的面积”，明确“圆面积”的含义）2.确定转化策略。

师：我们还不会计算圆的面积。

同学们，你们想一想，当我们还不会计算平行四边形面积的时候，是利用什么方法推导出了平行四边形的面积计算公式呢？生1：我们是用“割补法”将平行四边形转化成长方形推导出平行四边形的面积计算公式。

师：同学们再想想，我们又是怎样推导出三角形的面积计算公式的呢？生2：我们同样可以用“割补法”将三角形转化成长方形推导出三角形的面积计算公式。

师：对了，当我们不会求平行四边形、三角形的面积时，可以先将平行四边形、三角形“转化”成我们已经会求面积的其他图形（如长方形）的方法来推导出它们的面积计算公式。

这种把新知转化为旧知的方法，是我们解决新问题的一般方法。

分析：通过复习平行四边形、三角形面积公式的推导过程，让学生回忆旧知，引导学生应用旧知类比迁移，使学生对转化思想有了初步的感知，明确化未知为已知的解决问题的策略，有意识地对学生进行学法指导。

化未知为已知的转化思想，利于学生运用已有知识解决新问题。

教学片断二：探究新知，渗透转化和极限思想（让学生通过猜测、操作、验证的策略探究圆面积的计算方法）1. 猜测。

（通过数方格的方法猜测圆的面积）师：请同学们看屏幕（出示图一），在正方形中，每一小格表示1 平方厘米，这个正方形的边长是几厘米？师：你能通过正方形纸片数出每个圆的面积大约是多少平方厘米吗？图一师屏幕出示：正方形的面积= （）平方厘米个圆的面积≈（）平方厘米圆的面积≈（）平方厘米（引导学生数后进行交流）生1：正方形的面积=r2=16 。

数学思想在直线和圆的方程中的应用

Ｃ１，Ｃ２，则ＯＣ１＝ＯＣ２＝! ２，可见当动圆的圆心在线段Ｃ１Ｃ２上时，圆与两直线有公共点，所以ａ的取值范围是：｛ａ│－ ! ２ ≤ａ≤ ! ２｝．
（２）由图可知：当ａ＝ ! ２时，圆与两直线相切，
数学思想
名师点金
数学思想在直线和圆的
河南胡银伟
方程中的应用
数学思想作为一条主线始终贯穿于数学的学习之中，且各个知识板块的内容都有数学思想的指导，直线和圆的方程自然也不例外．本文结合几个例题浅析几种数学思想在直线和圆的方程中的应用．
一、函数与方程的思想
函数的思想，是建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使得问题解决；方程的思想，是建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析问题，从而使得问题解决．
次方等于１３０３２１，２１的四次方等于１９４４８１，都不合题意．最后只剩下一个１８，是不是正确答案呢？
验算一下，１８的立方等于５８３２，四次方等于１０４９７６，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多
么完美的组合！
方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是２１岁；同样道理，１８的四次方是六位数，而１７的四次方
则是五位数了，所以维纳的年龄至少是１８岁．这样，维纳的年龄只可能是１８、１９、２０、２１这四个数中
的一个．
剩下的工作就是“ 一一筛选 ”了．２０的立方是８０００，有３个重复数字０，不合题意．同理，１９的四

融入数学思想，展现课堂魅力——以“圆的面积”一课教学为例

㊀㊀㊀㊀㊀１５２㊀融入数学思想展现课堂魅力融入数学思想，展现课堂魅力㊀㊀㊀以圆的面积一课教学为例Һ施㊀洁㊀（江苏省金湖县金湖娃艺术小学，江苏㊀金湖㊀２１１６００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学思想是人类的宝贵财富，也是数学的精髓．在数学课堂中，教师既要重视知识的传授，也要重视数学思想的挖掘和渗透．圆的面积是小学数学课本中的重要学习内容，对学生的抽象思维能力要求较高．在学习的过程中，教师应注重数学思想的渗透，让学生更好地掌握圆的面积计算公式，学会领悟和使用数学思想，让数学课堂更加精彩㊁更加高效．ʌ关键词ɔ圆的面积；数学思想；课堂教学；圆的面积‘数学课程标准（２０１１版）“中指出：学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法．可见，数学思想在数学课堂中处于不可忽视的地位，其也是数学核心素养的重要组成部分．在传统的课堂教学中，很多教师只注重知识㊁技能的讲解，而弱化知识背后数学思想的挖掘，致使学生对知识的学习停滞于表面，无法走向深入，不利于学生思维品质的培养和长远发展．作为新时期的数学教师，应根据新课标的教学要求，改变以往重结果轻过程的教学倾向，在帮助学生掌握知识的同时，引领学生感悟知识背后的数学思想，从而让学生的学习过程更有意义和价值．而圆的面积一课是学生在掌握圆的特征㊁圆的周长以及平面直线图形面积计算的基础上进行的教学，下面就以这一课为例，谈一谈数学教师如何在教学中自然地渗透数学思想，促进学生数学综合能力的提升．一㊁在小学数学教学中包含的数学思想方法分类思想：分类思想指的是在研究数学问题时，把整个问题看作一个整体，用全局的视角看待此问题．在解决的过程中，按照相应的分类标准，将这一问题进行具体划分，把它分散成若干个小问题，通过解决这些小问题来解决复杂的问题．而在小学数学教学中，不管是学生还是老师，都会用到分类思想，这也可以被用来当作一种解题思路，尤其在解决应用题中的问题时，可以具体分析题目当中的重要信息，结合信息的属性进行分类，这样才能让学生加强对相关概念㊁原理的认知，从而提高解题效率，增强学习效果．转化思想：转化思想又被称作划归思想，在运用这一思想方法时，要用运动和发展的观点来看待数学问题，并且在分析数学问题时，把问题的形式做进一步转化．这一过程可以把较为复杂的问题转变成简单的问题，并且让问题变得更加生动．而这对于小学阶段的学生来讲，学习起来会更有激情，因此，这种转化思想的应用，能有效激发小学生的学习兴趣．这种思想通常在解决空间与图形方面的问题时会用到，是小学生解决数学问题的重要手段之一．数形结合思想：数学这门学科最主要的研究对象就是数量关系和空间形式．数形结合思想作为一种十分常见的思想方法，在数学教学中融入，可以更好地启发小学生的思维，让他们在分析几何类问题时，能展开更多的抽象想象，并通过合适的手段，把抽象化的内容以具象化的形式呈现出来，从而展开深入的理解．而学生进行这样的操作，能有效发展自己的思维能力．归纳思想：归纳在数学教学中既是一种思维方式，也是一种独特的思想方法．归纳是让学生对一些特殊题材和事例进行深入分析，在分析的过程中，找到事物之间的内在联系，对事物的本质和内涵做进一步的明确，在此基础上，概括出普遍性规律，从而得出相应的结论．而小学数学教师在授课活动中，可以引导同学们运用这种思维，即把归纳思想融入教学，让小学生的思维能力得到有效发展．二㊁在小学数学教学中融入数学思想的现状在小学数学教学中融入数学思想十分重要，两者的完美融合能促进数学学科的改革和发展．教师要在实际的授课活动中不断变换教学思路，并能明确数学思想融入数学课堂的必要性，对其发挥的重要作用和价值有足够的了解．另外，教师还要注重学生的学习感受，充分了解小学生的学习习惯，明确他们的数学学习需求，要在课堂中留下更充足的时间，让同学们进行思考，这样才能把数学思想方法充分运用起来．而让数学思想融入教学中，具体可以融入代换思想㊁类比思想和划归思想等等．但是实际的情况却是这些思想的融入情况并不乐观，这直接导致小学生无法全面㊁深入地理解所接触的数学知识，学习效果不佳．而且学生在没有㊀㊀㊀１５３㊀㊀合理的思想方法的指导下，只能跟着老师的教学步骤，用单一的学习方法进行学习，思维能力得不到充分锻炼，久而久之，他们思考能力的发展会受到严重限制．另外，由于教师不注重引导，小学生的想象能力得不到有效发展，他们的创造能力和综合学习能力的发展也会受到一定的限制．在这种情况下，小学生很难在学习数学知识的过程中进行深入的推导和延伸，他们的数学学习效率很难提高，甚至会导致一些学生产生厌学心理，对他们的未来发展十分不利．三、在小学数学教学中融入数学思想的具体方法（一）优化导入环节，感悟化曲为直思想导入是课堂教学的起始环节，导入的成功与否，直接影响着课堂教学效果的好坏．好的导入，可以激发学生的学习兴趣，唤醒学生的求知欲望，让学生主动地融入课堂，完成新知的探索，这样学习效果才会高效．在传统的课堂教学中，很多数学教师对导入并没有引起足够的重视，只是沿用注入式的教学模式，将知识生硬地灌输给学生．因为没有兴趣的参与，学习效果可想而知．因此，教师在课堂教学中，应优化导入设计环节，增进学生探索新知的内驱力．在教学圆的面积时，教师应改变以往直接讲解的模式，注重导入方式的优化．新课伊始，教师出示了一个圆形的铁圈．学生们很是好奇，不知道老师要干什么．教师向学生们提问道：你们能把这个铁圈变直吗？学生们思考后，认为很简单，用尖嘴钳从中间剪开，然后就可以将其拉直．教师点头表示同意，然后告知学生这里面蕴含着一个重要的数学思想化曲为直．这时学生们想起自己在测量圆的周长时，也运用了这样的数学思想，无论是绕绳法还是滚动法都体现了这一数学思想．紧接着，教师将圆形纸片沿着半径对折多次，然后进行裁剪拉直，拉开后的弧度就越来越平．可见，在这样的操作中，同样蕴含着化曲为直的数学思想．好的导入，对学生的学习情绪有很大的影响．枯燥无味的注入式讲解，让学生难以产生足够的学习热情．在上述环节中，教师从学生的生活入手，运用生活中常见的事物引发学生的好奇心，使其产生对旧知的回忆，让学生有效地感悟化曲为直的数学思想，为后面进行新知学习做好了充分的铺垫．（二）创设有效情境，感悟转化思想数学知识抽象㊁复杂，学生难以对其产生学习兴趣．缺少兴趣支撑的数学学习，必定是低效的．所以如何激发学生的学习兴趣，是教师首要考虑的问题．情境的创设，就是行之有效的方法之一，将遥不可及的数学知识融入轻松㊁和谐的情境，可以在无形中拉近学生与所学知识的距离，让学生在心底亲近数学㊁接纳数学，进而主动地探索新知，将所学知识及时地融入原来的知识体系．这样的教学过程可以很好地发挥学生的主体作用，改变他们对数学的印象，让学生从要我学走向我要学．教师在屏幕上出示了学校的一个圆形水池，学生们看到水池，非常熟悉，立即来了兴致．教师告知学生准备在池底铺上地砖，要准备多少地砖才合适呢？学生们听了问题后，觉得要求准备多少地砖，实际上就是求这个圆形水池的面积．教师肯定了学生们的想法，顺势在黑板上板书：圆的面积，并向学生问道：先前已经学习了平行四边形㊁三角形㊁梯形的面积计算公式，还记得它们的推导过程吗？学生们通过回顾，在探索平行四边形面积公式时，是将平行四边形转化成了长方形，在探索三角形和梯形的面积时，是将它们转化成了平行四边形．教师自然地引出了转化的数学思想，并问道：那么圆可以转化成什么图形，来探究它的面积计算公式呢？学生纷纷说出了自己的猜想，那么猜想是否正确呢？学生们很期待后面的验证环节，这为探索圆的面积计算公式做更深一层的铺垫．于是，教师让学生们拿出课前准备的学具：等份的圆形，让学生们动手拼一拼，看看有什么发现．学生们迅速投入到了动手操作中，很快发现圆可以拼成一个近似的平行四边形，这个近似的平行四边形面积和圆的面积是相等的．在上述教学环节中，教师根据教学内容，为学生设计了生活情境，自然地激发了学生的思考愿望和探究动机，进而抓住了学生的思维生长点，让学生回顾头脑中已有的平面图形面积计算公式的推导过程，唤醒学生对转化思想的认知，并使其对所学新知进行猜想，为后面进行动手验证埋下了伏笔．这样的学习过程，有助于将所学知识连点成线，提升课堂教学效益．（三）引导学生探究，感悟极限思想极限思想，是数学思想的有机组成部分，很多学生片面地理解为极限＝无限，实际上这是不对的．为了让学生更好地感悟数学极限思想，教师可以从逼近入手，更好地培养学生的抽象思维能力，提升思维品质．在圆的面积一课中，教师应注重渗透极限思想，促进学生对圆面积计算公式的理解，提升课堂学习效果．在学生动手拼后，教师让学生把圆分成８等份㊁１６等份后，都拼成了近似的平行四边形，比较所拼的图形，看看底㊀㊀㊀㊀㊀１５４㊀有什么变化？学生很快发现１６等份的底更要直一些．教师追问如果将圆分成３２等份，结果会怎么样？学生们说底会再直一些．在此基础上，教师让学生闭着眼睛想想，如果将圆分成６４等份㊁１２８等份呢？无限等份呢？学生们异口同声地说会接近于长方形．教师借助多媒体进行演示，将圆平均分成的份数越多，所拼成的图形会越来越接近于长方形．在这样的演示过程中，教师自然地渗透了极限思想，获得感性的支持㊁理性的结论．在此基础上，教师将圆和拼成的长方形摆在了一起，让学生观察所拼的长方形和原来的圆有着怎样的联系．学生们进入了深思，并把自己的发现和周围的同学进行了交流．学生首先肯定了圆的面积和所拼长方形的面积是相等的，所拼长方形的长相当于原来圆周长的一半（πｒ），所拼长方形的宽为圆的半径（ｒ），依据长方形的面积计算公式，可以得出圆的面积计算方法为：Ｓ＝πｒˑｒ＝πｒ２．学生学习数学的过程，应该是参与知识形成和发展的全过程，同时是数学思想自然融入和凸显的过程．上述教学环节中，教师从渗透性的原理出发，巧用学具和信息技术，引导学生进行动手操作，领会蕴含在知识中的数学思想，让他们在潜移默化中探索出了圆的面积计算公式．这比教师单纯的告知，效果无疑要好得多．（四）设计有效练习，感悟模型思想‘数学课程标准“指出：让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力㊁情感态度与价值观等多方面得到进步和发展．模型思想是数学核心素养的重要组成部分，也是数学基本思想之一．在数学课堂中，教师不仅要让学生收获知识，还要引导学生研究数学模型㊁建立数学模型㊁应用数学模型，让学生在应用中巩固所学知识，提升他们的思维品质和数学素养．在教学圆的面积后，教师可以为学生们设计具有针对性的练习，升华学生的认知，让学生领略模型思想的魅力．１．算一算，根据已知条件求圆的面积．（１）ｒ＝１０ｃｍ；（２）ｄ＝１２ｄｍ；（３）ｃ＝３７．６８ｄｍ．２．火眼金睛，判断对错，并说明理由．（１）直径是４厘米的圆，它的周长和面积相等．（㊀㊀）（２）两个圆的周长相等，面积也一定相等．（㊀㊀）３．巧解妙答．（１）一根绳子，长１０米，将它绕一棵树３０圈后剩５２厘米，这棵树的横截面面积是多少平方厘米？（２）大圆半径是小圆半径的３倍，大圆面积是８４．７８平方厘米，则小圆面积为多少平方厘米？（３）在一个面积是１６平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？题目１，相同的是都是求对应圆的面积，但不同的是已知条件，告知的分别是圆的半径㊁直径和周长，让学生能根据不同的条件运用圆的面积计算公式模型，有助于提升学生对圆面积公式模型的印象．题目２，不仅可以帮助学生巩固面积计算公式的模型，旨在帮助学生建立面积与周长的联系，建构完善的知识网络．题目３，是变式训练，重在建立数学与生活的联系，需要学生灵活地运用所学模型，进行解决，重在培养学生思维的灵活性和深刻性，提升他们活学活用㊁举一反三的能力．可见，这些练习具有很强的层次性和梯度性，可以引领学生的学习过程一步步深入，让他们在练习的过程中更好地领略模型思想的价值．总之，数学思想是人类智慧的结晶，也是数学文化的瑰宝，对学习数学知识具有重要的指导意义，有助于学生深化对所学知识的理解，建构完善的知识体系，提升思维品质．为此，作为新时期的小学数学教师，应遵循新课标的教学要求，精心研读教材，充分认识到数学思想的重要性，并将其融入数学课堂，促进学生内化新知，掌握知识的本质，领略数学的无穷魅力，真正将数学思想扎根于学生的头脑中，形成良好的思维习惯，不断提升他们的数学核心素养，实现可持续发展．ʌ参考文献ɔ［１］郑华．小学数学教学中渗透数学思想与方法的策略［Ｊ］．课程教育研究，２０１９（４７）：１４８－１４９．［２］李义．关于小学数学教学中渗透数学思想方法的实践与思考［Ｊ］．新课程（中），２０１９（１２）：３１．［３］李建坤．潜移默化㊀有效渗透小学生的数学思想渗透初探［Ｊ］．读写算，２０１９（３３）：１７７．［４］刘贤虎．基于深度学习的问题教学略论以小学数学教学为例［Ｊ］．中国教师，２０１９（１１）：７７－７９．［５］吴增生．数学思想方法及其教学策略初探［Ｊ］．数学教育学报，２０１９，２３（３）：１１－１５．［６］田润垠，胡明．小学数学数的运算教学中渗透数学思想方法的实践研究［Ｊ］．西北成人教育学院学报，２０１９（４）：９３－９９．［７］王永春．小学数学教材与数学思想方法［Ｊ］．课程．教材．教法，２０１９，３５（９）：４４－４８．。

高中数学论文用分类思想讨论圆中的问题

用分类思想讨论圆中的问题用分类思想解圆中的问题常常出现在中考题中，这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养学生严谨周密的逻辑思维能力。

如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。

现收集整理这方面的例题进行分析讨论，供大家参考。

按点与圆的位置关系讨论例1 在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8㎝，最短距离为2㎝，则⊙O的半径为。

解析：根据点P与⊙O的位置关系有如图1两种可能。

过点P 和圆心O作直线分别与⊙O相交于A、B两点。

PA、PB分别表示圆上各点到P的最长距离和最短距离。

（1）当P点在圆内时如图1（1）直径AB=PA+PB=10㎝（2）当P点在圆外时如图1（2）直径AB=PA-PB=6㎝所以⊙O的半径应为5㎝或3㎝图 1(2)(1)PB图2(2)(1)aa、例2 ⊙O的直径为6㎝，如果直线a上的一点C到点O的距离为3㎝，则直线a与⊙O的位置关系是。

解析：题目中只涉及点C到圆心的距离，并非是圆心到直线a的距离，所以有如图2两种可能。

（1）当直线a与⊙O仅有一个交点C时，点C到点O的距离为3㎝，它与半径相等。

则此直线为⊙O的切线，交点C为切点。

∴直线a与⊙O相切如图2（1）（2）当直线a与⊙O不止个交点时，OC=3 OC是⊙O的半径∴直线a与⊙O相交如图2（2）所以直线a与⊙O的位置关系是相切或相交。

按点在弧上的位置关系讨论例9、PA、PC分别切⊙0于A、C两点，B为⊙0上与A、C不重合的点，若∠P=50°，则∠ABC=___________度解析：由于点B可能在优弧ABC上，也可能在劣AC上，所以有如图6（1）、6（2）两种情况。

连接OA、OC，由于PA、PC是⊙0的切线，A、C是切点，∠P=50°，∴∠AOC=1300。

（1）当点B在优弧AC上时，∠ABC=65°，1（360°－130°）=1150 （2）当点B在劣弧AC上时，∠ABC=2所以∠ABC=650或115°例10：在⊙0中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点，判断∠COB与∠CPD的数量关系，并证明你的结论。

专题14 圆中的两解及多解问题分类讨论思想)归类集训-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练

专题14 圆中的两解及多解问题（分类讨论思想）归类集训（解析版）类型一讨论弦上某点或端点的位置1．在半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为．思路引领：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．解：作OC⊥AB于点C，∴AC=12AB＝8，由勾股定理得，OC=OA2―AC2=6，∴PC=OP2―OC2=27，当点P在线段AC上时，AP＝AC﹣PC＝8﹣27，当点P在线段BC上时，AP＝8+27，故答案为：8﹣27或8+27．总结提升：本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形、运用分情况讨论思想是解题的关键．2．（2021•无棣县模拟）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．25cm B．43cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm思路引领：分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM=12AB=12×8＝4（cm），OD＝OC＝5（cm），当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2―AM2=52―42=3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC=AM2+CM2=42+82=45（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得：OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=42+22=25（cm）；综上所述，AC的长为45cm或25cm，故选：C．总结提升：本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．3．（2020•黑龙江）在半径为5的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP ＝　．思路引领：如图1，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12CD＝2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE＝1，同理可得OF＝1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到PA＝PC＝1，根据三角形面积公式求得即可．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，则AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12CD＝2，如图1，在Rt△OBE中，∵OB=5，BE＝2，∴OE=OB2―BE2=1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∴PE＝PF＝1，∴PA＝PC＝1，∴S△APC=12×1×1=12；如图2，同理：S△APC=12×3×3=92；如图3，同理：S△APC=12×1×3=32；故答案为：12或32或92．总结提升：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．类型二圆心在两弦之间或者两弦之外4．（2021•商河县校级模拟）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？思路引领：分两种情形分别求解即可解决问题．解：作半径OD⊥AB交AB于C，连接OB，如图所示，由垂径定理得：BC=12AB＝30cm，在Rt△OBC中，OC=502―302=40cm，当水位上升到圆心以下，水面宽80cm时，则OC′=502―402=30cm，水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．总结提升：本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（1）半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于；（2）在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是　；（3）已知圆内接△ABC中．AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰长AB．思路引领：（1）根据垂径定理求得AD的长，再根据三角形函数可得到∠AOD的度数，再根据圆周角定理得到∠ACB的度数，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠AEB的度数；（2）连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可；（3）可根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值．注意：圆心在内接三角形内时，AD＝10cm；圆心在内接三角形外时，AD＝4cm．解：（1）如图1，过O作OD⊥AB，则AD=12AB=12×3=32．∵OA＝1，∴sin∠AOD=ADOA=32，∠AOD＝60°．∵∠AOD=12∠AOB＝60°，∠ACB=12∠AOB，∴∠ACB＝∠AOD＝60°．又∵四边形AEBC是圆内接四边形，∴∠AEB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°．故这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120度．故答案为：60°或120度．（2）解：有两种情况：①如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE=32，AF＝CF=32，cos∠OAE=AEOA=32，cos∠OAF=AFOA=22，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°；②如图3所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE=32，AF＝CF=22，cos∠OAE=AEOA=32，cos∠OAF=AFOA=22，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°，故答案为：75°或15°；（3）分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图4，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，连接OB，作AD⊥BC于D，连接OD，∵AB＝AC，∴AD是BC的中垂线，∴OD也是BC的中垂线，∴A、O、D三点共线，∵OD＝3cm，OB＝7cm，∴AD＝10cm，∴BD=OB2―OD2=210cm，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴AB=AD2+BD2=235cm；如图5，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，和图4解法一样，只是AD＝7﹣3＝4cm，∴AB=AD2+BD2=214cm，综上可得腰长AB＝235cm或214cm．总结提升：本题主要考查了垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．类型三讨论点在优弧上或劣弧上6．（2022秋•双城区期末）已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，则弦AB的中点到这条弦所对的弧的中点的距离为．思路引领：由垂径定理得出AC，再由勾股定理得出OC，从而得出CD和CE的长．解：如图，∵C是弦AB的中点，AB＝23，∴OC⊥AB，AC=12AB=3，∴AD=BD，AE=BE，在Rt△AOC中，OC=22―(3)2=1，∴CD＝2﹣1＝1cm，CE＝2+1＝3．故答案为：1或3．总结提升：本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．8．（2021秋•凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与⊙O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是．思路引领：此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点．（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时，根据AB，AC与⊙O相切，结合已知条件，在△ABC中，即可得出圆心角∠COB的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出∠BP1C的度数；（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时，根据⊙O的内接四边形的性质，即可得出∠BP2C的度数．解：分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点，（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点∴OC⊥AC，OB⊥AB，∵∠A＝50°，∴在△ABC中，∠COB＝130°，∵在⊙O中，∠BP1C为圆周角，∴∠BP1C＝65°，（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，∵∠BP1C＝65°，∴∠BP2C＝115°故答案为：65°或115°．总结提升：本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用．类型四弦所对的圆周角7．（2018秋•泗阳县期中）若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于．思路引领：圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则所分的劣弧的度数是90°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于45°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于135°．解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．连接OA、OB；则∠AOB＝90°；①当所求的圆周角顶点位于D点时，这条弦所对的圆周角∠ADB=12∠AOB＝45°；②当所求的圆周角顶点位于C点时，这条弦所对的圆周角∠ACB＝180°﹣∠ADB＝135°．故答案为：45°，135°．总结提升：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．9．（2020秋•溧阳市期末）已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC＝23，则∠A的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°思路引领：首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，求得答案．解：如图，作直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，∵△ABC是半径为2的圆内接三角形，BC＝23，∴BD＝4，∴CD=BD2―BC2=2，∴CD=12 BD，∴∠CBD＝30°，∴∠A＝∠D＝60°，∴∠A′＝180°﹣∠A＝120°，∴∠A的度数为：60°或120°．故选：D．总结提升：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．类型五讨论圆内接三角形的形状10．（2019•绥化）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB 于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．思路引领：如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC＝AB＝53，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC=2OB＝52．解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD =32OB =532，∴BC ＝AB ＝53，如图2，当∠DOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴BC =2OB ＝52，综上所述：若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为53或52，故答案为：53或52．点睛：本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．101．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，求BC 边上的高．思路引领：从圆心向BC 引垂线，交点为D ，则根据垂径定理和勾股定理可求出，OD 的长，再根据圆心在三角形内部和外部两种情况讨论．解：连接AO 并延长交BC 于D 点，∵AB ＝AC ，∴AB =AC ，根据垂径定理得AD ⊥BC ，则BD ＝4，根据勾股定理得OD ＝3①圆心在三角形内部时，三角形底边BC 上的高＝5+3＝8；②圆心在三角形外部时，三角形底边BC 上的高＝5﹣3＝2．所以BC 边上的高是8或2．总结提升：本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论．类型六讨论点与圆的位置关系12．（2020•南通模拟）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为．思路引领：点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a+b，因而半径为a+b 2；当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是a―b 2；故答案为：a+b2或a―b2．总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．13．已知点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm．试求⊙O的半径长．思路引领：分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可解：①当P在⊙O外时，如图，∵P当⊙O的最长距离是为6cm，最短距离为2cm，∴PB＝6cm，PA＝2cm，∴AB＝4cm，∴⊙O的半径为2cm'；当P在⊙O内时，，此时AB＝8cm，⊙O的半径为4cm．即⊙O的半径长为2cm或4cm．解题秘籍：本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键．类型七讨论直线与圆的位置关系14．（2021•崇明区二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切思路引领：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．总结提升：本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．15．（2021秋•信都区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为　．思路引领：如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．解：如图，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB=AC2+BC2=62+82=10，∵S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CH，∴CH=24 5，∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，∴r的取值范围为r＜24 5，∵⊙C与AB边只有一个公共点，∴r的取值范围为6＜r≤8或r=24 5，故答案为：r＜245，6＜r≤8或r=245．总结提升：本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（衢州中考）如图，已知直线l的解析式是y=43x﹣4，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l 相切时，则该圆运动的时间为（）A．3秒或6秒B．6秒C．3秒D．6秒或16秒思路引领：由y=43x﹣4可以求出与x轴、y轴的交点A（3，0）、B（0，﹣4）坐标，再根据勾股定理可得AB＝5，当C在B上方，根据直线与圆相切时知道C到AB的距离等于1.5，然后利用三角函数可得到CB，最后即可得到C运动的距离和运动的时间；同理当C在B下方，利用题意的方法也可以求出C 运动的距离和运动的时间．解：如图，∵x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝3，∴A（3，0）、B（0，﹣4），∴AB＝5，当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD，则C到AB的距离等于1.5，∴CB＝1.5÷sin∠ABC＝1.5×53=2.5；∴C运动的距离为：1.5+（4﹣2.5）＝3，运动的时间为：3÷0.5＝6；同理当C在B下方，直线与圆相切时，连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）＝8，运动的时间为：8÷0.5＝16．故选：D．总结提升：此题首先注意分类讨论，利用了切线的性质和三角函数等知识解决问题．17．（2018•浦东新区二模）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是3cm，圆心O到直线l1的距离是1cm，如果圆O 与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．思路引领：根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题．解：如下图所示，设圆的半径为r如图一所示，r﹣1＝3，得r＝4，如图二所示，r+1＝3，得r＝2，故答案为：2或4．总结提升：本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．18．（2021秋•新荣区月考）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心O 点放置在AC 的中点上，DE 与直角边AC 重合，如图1所示，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，OD ＝3，量角器交AB 于点G ，F ，现将量角器DE 绕点C 旋转，如图2所示．（1）点C 到边AB 的距离为 245　．（2）在旋转过程中，求点O 到AB 距离的最小值．（3）若半圆O 与Rt △ABC 的直角边相切，设切点为K ，求BK 的长．思路引领：（1）如图1，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用勾股定理求得AB ，再利用AB •CH ＝AC •BC ，即可求得答案．（2）当CD ⊥AB 时，点O 到AB 的距离最小，再由OH ＝CH ﹣OC ，即可求得答案．（3）分两种情况：①当半圆O 与BC 相切时，如图2，设切点为K ，连接OK ，运用勾股定理即可求得答案；②当半圆O 与AC 相切时，如图3，设切点为K ，连接OK ，运用勾股定理求得CK ，再利用勾股定理即可求得BK ．解：（1）如图1，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB =AC 2+BC 2=62+82=10，∵CH ⊥AB ，∴AB •CH ＝AC •BC ，∴CH =AC ⋅BC AB=6×810=245，即点C 到边AB 的距离为245，故答案为：245.（2）∵O 为AC 的中点，∴OC =12AC =12×8＝4，当CD ⊥AB 时，点O 到AB 的距离最小，∴OH ＝CH ﹣OC =245―4=45，∴点O 到AB 距离的最小值为45．（3）①当半圆O 与BC 相切时，如图2，设切点为K ，连接OK ，∴∠OKC ＝90°，在Rt △OCK 中，OK ＝3，OC ＝4，∴CK =OC 2―OK 2=42―32=7，∴BK ＝BC ﹣CK ＝6―7；②当半圆O 与AC 相切时，如图3，设切点为K ，连接OK ，∴∠OKC ＝90°，在Rt △OCK 中，OK ＝3，OC ＝4，∴CK =OC 2―OK 2=42―32=7，在Rt △BCK 中，BK =BC 2+CK 2=62+(7)2=43；综上所述，BK 的长为7或43．解题秘籍：本题是几何综合题，考查了圆的性质，切线的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积，解题关键是熟练掌握旋转变换的性质等相关知识，运用分类讨论思想解决问题．。

初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧

初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧1. 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2. 垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3. 圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.同样还可以得到：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.4. 圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。

的圆周角所对的弦是直径.5. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.6. 点和圆的位置关系(1)点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.(2)设(DO的半径为r.点P到圆心的距离OP=d,则有：①点P在圆外od>「；②点P在圆上<=>d=r；③点P在圆内od<r.7. 直线和圆的位置关系(1)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离.(2 )设。

0的半径为「，圆心0到直线I的距离为d,则有:①直线I和00相交od<「；②直线I和(DO相切od=r；③直线I和00相离od>r.8. 切线的判定定理和性质定理(1) 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂苴于这条半径的直线足圆的切线.(2) 切线的性质定理：|员I的切线垂直于过切点的半径.9. 圆的切线的性质(1) 切线和圆只有一个公共点；(2) 切线和I员］心的距离等于圆的半径；(3) 切线垂直于过切点的半径；(4) 经过恻心且垂直于切线的直线必过切点；(5) 经过切点且垂直于切线的直线必过恻心.10. 切线长经过岡外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到闖的切线长.11 •切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.12. 三角形的内切圆(1) 与三角形各辺都相切的圆叫做三角形的内切圆.(2) 三角形的内切圆的岡心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.13. 圆和圆的位置关系(1)圆和ia的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.(2)如果两圆的半径分别为h和「2( r«2)，圖心距(两岡圆心的距离)为d.则两圆的位置关系如下表;14 •正多边形的有关计算设正多边形的边数为g半径为R,边心距为r,边长为a,则有，(1)正多边形的每个内拜:82卜180。

点击直线与圆中的数学思想

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个正数的和或积为定疽．使等号成Ｉ如伺构造出且Ｌ．
这样的数是顺利解题的关键。本文就如何构造出均值不等式的条件进行归纳，同学们参考．供

直线与圆问题中的数学思想和方法

三个点；当ｒ＞６时，有四个点．抓住变化过程中的临
界值作答．
五、数形结合思想
例６已知曲线ｙ＝１＋
!４－ｘ２与直线ｙ＝ｋｘ＋４－２ｋ
有两个交点，则实数ｋ的取
值范围是
．
ｙ４ｌ１
１Ａ（－２，１）
－２Ｏ
Ｐ（２，４）
ｙ
高径为ａ，圆心为（ｂ，ｃ），则直线
二ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０与直线ｘ－ｙ＋１＝０的
交点在
（
）
Ｏｘ
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
解析半径ａ＞０，圆心为（ｂ，ｃ）．
由图知：ｂ＜０，ｃ＞０，ｂ＞ａ，ａ＞ｃ，
所以ａ＋ｂ＜０，－ｂ＞ａ＞０，０＜－
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交
Ｄ．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是
（．写出所有真
命题的代号）
解析由已知得动圆的圆心坐标为（ｋ－１，３ｋ），
半径是ｒｋ＝! ２ｋ２．
对于Ａ，若Ａ正确，显然该直线的斜率存在，设
求ｌ的倾斜角；
（３）求弦ＡＢ中点Ｍ的轨迹方程；
（４）若定点Ｐ（１，１）分弦ＡＢ为ＡＰ＝１，求此ＰＢ２
时直线ｌ的方程．
（１）证明由已知直线ｌ为ｙ－１＝ｍ（ｘ－１），
所以直线ｌ恒过定点Ｐ（１，１）．
因为１２＋（１－１）２＝１＜５，所以点Ｐ（１，１）在圆Ｃ

《第二十四章《圆》章末复习》名师教案

第24章章末回顾一、本章思维导图二、典型例题讲解例1．（1）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD =4，∠ABC =∠DAC ，则AC 长为．CDOAB【知识点】三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理【数学思想】转化思想、方程思想【解题过程】解：连接DC ， ∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ACD ＝90°又∵∠ABC=∠DAC ，∠ABC ＝∠ADC ∴∠ADC =∠DACCDOAB设AC ＝DC ＝x ∵AD=4，∠ACD ＝90°∴由勾股定理：222AD DC AC =+，即2224=+x x 解得：22=x ∴AC ＝22【思路点拨】在圆中，根据直径所对的圆周角是直角这一性质，往往会围绕直径构造直角三角形（即图中的Rt △ADC ）．同时在圆中，根据同弧或等弧所对的圆周角相等这一性质，进行等角的转化（即图中的∠ABC ＝∠ADC ）．（2）如图，在半径为5的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，求OP 的长．【知识点】垂径定理、等弦对等弦心距、等圆的有关性质、正方形的判定和性质、勾股定理【数学思想】方程思想【解题过程】解：过点O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为E 、F∴DF ＝FC ＝DC 21又∵DC ＝8 ∴DF ＝4 又∵OD ＝5∴在Rt △OFD 中，由勾股定理得 OF ＝34522=-又∵AB ⊥CD ，OF ⊥DC ，OE ⊥AB ∴∠FPE ＝∠PEO ＝∠PFO ∴四边形OEPF 是矩形∴OE ＝OF∴矩形OEPF 是正方形 ∴OF ＝PF ＝3∴在Rt △OFP 中，由勾股定理得：OP ＝233322=+【思路点拨】本题需根据垂径定理构造由“半径＋半弦长＋弦心距”组成的直角三角形．例2．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，求图中休闲区（阴影部分）的面积是多少？【知识点】扇形面积、三角形面积、含30°的直角三角形、勾股定理【数学思想】割补思想【解题过程】解：连接DO ，∵弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，∴OC =21OA =21×6=3米，∵∠AOB =90°，CD ∥OB ， ∴CD ⊥OA ，在Rt △OCD 中，∵OD =6米，OC =3米 ∴∠ODC ＝30° ∴∠DOC =60°又∵在Rt △ODC 中，由勾股定理得： DC ＝333632=-米∴S 阴影=S 扇形AOD ﹣S △DOC =)2396(333213606602-=⨯⨯-⨯⨯ππ平方米．【思路点拨】阴影部分的面积不太好直接求，可以通过连接OD ，用扇形AOD 的面积减去△DOC 的面积来得到，而求扇形AOD 面积的关键是圆心角∠AOD 的度数．例3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）当∠BAC ＝60º时，DE 与DF 有何数量关系？请说明理由；C【知识点】等腰三角形的判定和性质，平行的判定和性质，圆的切线的判定，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质【数学思想】转化思想【解题过程】（1）证明：连接OD ， ∵AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠C 又∵OD ＝OB ∴∠ABC ＝∠ODB 。

“圆”中渗透的数学思想

“圆”中渗透的数学思想作者：赵传东来源：《初中生世界·九年级》2017年第05期数学思想是人们对数学活动经验的概括和总结，是数学基础知识及基本技能的本质体现，是数学知识的提炼、升华和结晶，是解决数学问题的灵魂.本文就带你到“圆”形世界去挖掘其中所蕴含的分类思想和转化思想，领略其美丽的风采.一、圆中的分类思想由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在没有明确图形位置的情况下，符合题意的图形可能有多种.因此在本章中应注意圆的问题的多样性，不要忘记分情况讨论.1.点和圆位置关系中的分类讨论.例1 如图1，直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B、C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（）.A.25°或155°B.50°或155°C.25°或130°D.50°或130°【分析】点D可以在劣弧上，也可以在优弧上.解：当点D在优弧BC上时，如图1，连接OB，∵直线AB与⊙O相切于B点，∴∠OBA=90°，∠AOB=50°，∠BDC=[12]∠AOB=25°；当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图1，∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=155°.∴∠BDC的度数为25°或155°.【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.由于点D既可在优弧BC上，也可在劣弧BC上，所以要分两种情况讨论.2.直线和圆位置关系中的分类讨论.例2 如图2，平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）.A.1B.1或5C.3D.5【分析】⊙P可以在y轴的左边也可以在y轴的右边.解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.【点评】本题主要考查了切线的性质的应用等知识，由于圆P在运动过程中，既可能和y 轴左边相切，也可能和y轴右边相切，所以要分情况讨论.3.圆与圆位置关系中的分类讨论.例3 以O为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm，若圆P与这两个圆都相切，则圆P的半径为 .【分析】圆P既可以和小圆内切同时也可以和小圆外切.解：①若圆P与小圆外切，如图3（1），此时圆P的半径=[12]（3-1）=1（cm）；②若圆P与小圆内切，如图3（2），此时圆P的半径=[12]（3+1）=2（cm）.【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，虽然圆P只能和大圆内切，但和小圆既可内切，也可外切.所以两圆相切，应分情况讨论.二、圆锥中的转化思想例4 如图4所示，圆锥的母线OA=8，底面的半径r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 .【分析】将圆锥沿一条母线剪开，其侧面展开图是一个扇形，小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，爬行的最短路线的长实际上是扇形中弦AB的长度.[AB]的长度就是圆锥的底面周长.解：圆锥侧面展开图扇形的圆心角n=[rl]×360°=[28]×360°=90°，所以△OAB是直角三角形，根据勾股定理得AB=[82+82]=[82]，即最短距离为[82].【点评】对于立体图形研究两点间的最短距离，往往是先把立体图形展开成平面图形，再根据“在平面内两点之间线段最短”的性质解决.解决的关键是明确展开前后有关图形的对应关系.例5 如图5，在Rt△ABC中，AC=BC=[22]，若把Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（）.A.4πB.[42π]C.8πD.[82π]【分析】Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周形成两个圆锥，而且两个圆锥的形状完全相同.求所得几何体的表面积的关键是求出锥体的底面半径.解：∵∠ACB=90°，AC=BC=[22]，∴AB=[222+222]=4，Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周所形成的几何体是由有公共底面的两个相同圆锥构成，其底面半径为2，母线长为[22]，圆锥的侧面展开图是扇形，此扇形的弧长是圆锥的底面圆周长，即为2×π×2=4π，半径是圆锥的母线长[22]，根据扇形的面积公式可求得这个圆锥的侧面积为[12]×4π×[22]=[42]π，所以几何体的表面积为[42]π×2=[82]π.故选D.【点评】绕直角三角形的斜边旋转，首先要搞清直角三角形的直角边是圆锥的母线，斜边上的高是圆锥的底面圆半径.所以明确圆锥侧面展开图的扇形的弧长、半径与圆锥的底面圆周长、母线的对应关系是解决本题的关键.（作者单位：江苏省丰县初级中学）。

圆教学中的数学思想方法-2019年精选文档

圆教学中的数学思想方法数学思想方法已成为中学数学教学内容的重要组成部分.教师在进行中学数学教学的过程中，必须做到让学生在知识学习的过程中，渗透和体验数学思想方法，并且要充分把握住讲课的过程中的概念的形成、结论的推导、方法的思考、规律的揭示以及问题的发现这些环节，对学生进行思维训练，培养学生的数学思想方法的形成.由于圆的教学的抽象性以及现实生活中的形象性的结合，再加之初中教材中对于圆这一章的处理不够精妙，使得学生感觉知识点繁杂，学习过程中往往感觉比较吃力.笔者就这一章节中所体现出的三种数学思想方法进行一一梳理，并希望学生对该章节的学习形成系统，真正掌握到数学的精髓之处.1.分类讨论的数学思想方法由于数学的抽象性以及概括性，通常其涉及的问题和对象都比较多元化，因此很难用一种大而化之的方法来解决，必须采取分情况一一进行讨论，而这种方法就是数学中常常用到的分类讨论思想.初三教材中的圆，基本上在每个小节都牵涉和体现到了分类讨论思想的运用.比如，在研究点与圆的位置关系时，要分圆外、圆上、圆内三种情况；研究直线与圆的位置关系时，要分相离、相切、相交三种情况；在解决圆与圆的相切问题时，要分清楚是外切还是内切；在计算弧对应的圆周角时，要弄明白这段弧是优弧还是劣弧.另外在研究圆周角定理时以及解决题目中常出现的动点以及动弦的问题时，也涉及了分类讨论思想的运用.而这种思想对于普遍的初中学生来说，掌握是比较困难的，通常他们在运用这种思想的时候，经常会讨论不周到、不全面.例1 半径为5 cm的圆O中，弦AB∥弦CD.又AB=6 cm，CD=8 cm，则AB和CD两弦的距离为.不少学生只填写７ cm，而漏掉另一答案１ cm.这是因为他们在考虑问题时，只想到了两弦分别在圆心的两侧，没考虑到另一种情形：两弦在圆心的同侧.因此，针对该种情况，教师要对学生加强这方面的强化训练，同时在日常的教学活动中，就应该要从各方面来渗透分类讨论的数学思想.2.数形结合的数学思想方法数学以现实世界的数学关系与空间形式作为其研究的对象，而形与数是互相联系的，也是可以相互转化的.把问题的数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质问题转化为数量的关系问题，是数学活动中的一种十分重要的思维策略，这种处理问题的思想，就是数形结合的基本思想方法.在初三的圆这一章的教学中，不管是教材的举例还是教材课后的习题中，都不乏这种思想方法.比如说教材在引进圆的概念的时候，就采取了数与形相结合的思想；在研究直线与圆的关系时，也把形转变成数来进行进一步的解决；另外在课后题目的设置中，中点弦定理的证明也正是进一步深化了该数学思想方法的运用.3.方程和函数的数学思想方法方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重要的方法论意义.在中学数学中，方程与函数是极为重要的内容，对各类方程和基本初等函数都作了较为系统的研究.对于一个较为复杂的问题，常常只需要寻求等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，就能很好地得到解决.在初中的圆的教学过程中，圆所涉及的数量关系比较多，同时它们之间的转化关系也比较多，另外还可以与三角形的相关知识进行串联，因此在解决圆的问题时，方程和函数的数学思想方法的运用是最为广泛的.教师在培养学生的方程和函数的数学思想方法的形成过程中就应该给学生灌输“一方程（等式）对应一未知元”的终极数学思想，同时引导学生利用相关已知条件来建构相关方程或等式.图 1例2 （2011年无锡）如图1，已知O(0，0)，A(4，0)，B(4，3).动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA，AB，BO做匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向做匀速平移运动.若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动.(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围.(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA，OB交于C，D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形.解析（1）根据点P与直线l的距离d＜1分为点P在直线l的左边和右边，分别表示距离，列不等式组求范围.（2）四边形CPBD不可能为菱形.依题意可得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t.由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性质得CD=PB可求t的值.又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7-3t，把t代入PA2+AC2，PC2中，看结果是否相等，如果结果不相等，就不能构成菱形.设直线l比P点迟a秒出发，则AC=t-a，OC=4-t+a，再利用平行线表示CD，根据CD=PB，PC∥OB，得相似比，分别表示t，列方程求a即可.本题考查直线与圆的位置关系，运用相似比、边相等等关系，用代数的方法，列方程求解.4.化归转换的数学思想方法化归，即转化与归结的意思.把有待解决或者未解决的问题，通过转化过程，归结为所熟悉的规范性问题或者已解决的问题中去，从而求得问题解决的思想.这种思想，是初中阶段接触的最为广泛的一种数学思想，在圆这一节的教学过程中，通常要求学生在解决相关问题时将未知转化为已知，将题目中不确定的关系转化为确定的关系，将一般情况转化为特殊情况来处理.因此，教师要对化归转换的思想加以重视.在圆的教学中，相似变换、射影变换以及等积变换都是常用的变换.另外，这一章节还要求学生能掌握将不规则图形变换成规则图形来求解相关问题的能力，比如把扇形转换成三角形与一弓形的组合图形，进而可以利用相关公式来求取弓形的面积或者其他相关因素.图 2例3 如图2，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都为0.5 cm，则图中阴影部分的面积之和为（）.解析图中阴影部分为三个扇形，所以只要求出扇形的面积即可.但求扇形的面积必须知道圆心角的度数，如何求出这三个扇形的圆心角的度数呢？显然是比较困难的，因为这是一个普通的三角形.我们观察到三个圆的半径相同，于是考虑将三个圆心角拼在一起，这样就可以利用三角形的内角和定理来解决了.三个扇形圆心角的度数之和为三角形的内角和，即180°，所以阴影部分的面积之和为nπr2360°=180°×π×0.52360°=π8.故选B.数学思想方法是数学的灵魂.因此，教师在日常的数学教学中要引导学生细心观察给出的图形,探寻进行转化的途径和方法是解决此类问题的关键.5.对称转换的数学思想方法对称，是一种生活中常见的现象，并且人类的审美观往往对于对称的图形产生一种平衡以及和谐的感觉.而对称转换，在圆这一章的教学中运用得淋漓尽致.教材在推导定理以及结论的时候，充分地体现到了这点.比如在推导垂径定理的时候，巧妙地利用了圆的对称性这一性质，推导出了垂径定理；利用圆的旋转不变性，很快便推导出弧、弦、圆心角之间的关系式.以垂径定理与圆心角与弧的关系定理为例，在这两个定理的叙述过程中，我们不禁质疑：把一张圆形的纸片沿着任意一条直径对折，直径两侧的两个半圆为什么能够互相重合?为什么在同圆中，点A与点A′重合，点B与点B′重合，弧AB就能与弧A′B′重合?不妨选择下面的定理进行讨论：定理在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等.分析我们从课本86页倒数第二行开始：我们把∠AOB连同弧AB绕圆心O旋转，所以点A与点A′重合，点B与点B′重合，这样弧AB与弧A′B′必重合.假若不然，不妨设此时弧AB内存在一点M，它不能与弧A′B′内任意一点重合，即M不在弧A′B′上(显然M在∠AOB 或∠A′O′B′内).由于M在弧AB上，根据圆的集合定义第(1)条，M与圆心O的距离一定等于定长r(圆半径长r)，再根据圆的集合定义第(2)条(在∠A′O′B′内)与定点O的距离等于定长r的点一定在弧A′B′上.这就与假设点M不在弧A′B′上矛盾.由反证法，可知点M必在弧A′B′上，于是弧AB与弧A′B′必重合.从上述分析过程可以发现，对称问题的根源在于圆是到定点的距离等于定长的点的集合.总而言之，应深入挖掘教材中圆的数学思想，用数学思想指导课堂教学，让学生在知识学习的过程中，渗透和体验数学思想方法，通过小结复习讲座，提炼和概括数学思想方法，通过相关问题的解决，掌握和深化数学思想方法，进而引导学生在学数学、用数学的过程中理解和掌握数学思想方法，并促进其思维能力的发展.【。

圆中的基本图形和常见数学思想

圆中的基本图形和常见数学思想
圆是一种普遍存在的图形，被广泛应用在各种场景中，并备受称赞。

圆某种程度上是自成一体的，其来源可以被追溯到古希腊抽象数学思想及其抽象图形，尤其是著后的极点，它的简洁多样性使得圆在文学作品和艺术作品中被广泛使用，成为圆形派的代表。

古希腊哲学家柏拉图把圆描绘为：“完整的，圆润的，无限靠近完美的形状”。

虽然圆有无穷多种形状，但它们具有共同的特征，比如高度对称性，每个角都距离圆心相等。

其他一些基本形状也可以以圆的形式呈现，如椭圆、抛物线和圆环，而它们也可以成为解决许多数学问题的很好工具。

圆几乎在任何领域都有重要的作用，它可以被应用到几何学，物理学，工程学和计算机科学等诸多课程中。

几何学尤其依赖圆来描述三维物体，圆的形状可以用来定位及构建平面图形，绘制表面积与体积之类。

在物理学中，圆被认为是最接近完美的形状，它们可以被用来表示多种物理运动的特性，如，电场的发射，以及力的传递。

在工程学，圆形的零件通常比其它形状的零件更容易制造，因为它们可以用更少的材料和工序完成。

在计算机科学中，圆的概念可被用来描述一系列的操作，如，圆弧，圆心坐标计算，椭圆拟合，圆心距等。

在游戏开发中，圆也被广泛使用，比如，碰撞检测系统，物体运动模拟，以及视图和摄影技术等。

总之，圆是一种普遍存在的基本图形，其形状极具艺术性，被广
泛应用到各种场景中。

它带来的数学思想和理论比其他几何形状要多，并且可以用来解决许多现实世界的问题，是当前重要的研究课题之一。

圆中的基本图形和常见数学思想

圆中的基本图形和常见数学思想圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。

而且中考中圆常常和四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。

所以学生遇到圆的综合题往往觉得相当吃力。

针对这种情况，笔者一直在考虑如何突破圆的教学难关，让学生对圆不再望而生畏，并且提高解题能力。

教师有必要把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。

另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。

让他们熟悉圆中常用的数学方法。

笔者归纳了以下几个方面的内容，概述如下。

1 圆中基本图形主要有这个图形中涵盖了：１、垂径定理及其推论；２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍；３、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系；４、直径所对的圆周角是直角这个图形中涵盖了：１、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角，２、相似关系;３、割线定理这个图形中涵盖了：１、弦切角等于所夹弧所对的圆周角，２、相似关系;３、切割线定理这个图形中涵盖了：１、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍这个图形中涵盖了：１、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。

２、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等３、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系，４、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系这个图形中涵盖了：１、同弧所对的圆周角相等，２、相似关系，３、相交弦定理这个图形中涵盖了：１、直径所对的圆周角是直角，９０度的圆周角所对的弦是直径２、相似关系，射影定理，３、直角三角形的外心在斜边的中点４、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半这个图形中涵盖了：１、连心线垂直平分公共弦２、圆的对称性这个图形中涵盖了:等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了:正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。

圆中的数学思想

圆中的数学思想江苏李洪洋1．数形结合思想例1 已知{}()M x y y x b ==+，|，{}2()9N x y y x ==-，|，若M N φ≠I ，求b 的取值范围．分析：由于本题所给圆不是整圆，而仅是圆的一部分，所以应用数形结合处理．解：集合M 是斜率为1，在y 轴上截距为b 的一束平行线，集合N 是以原点为圆心，半径为3的圆在x 轴上方的部分（包括与x 轴的交点）．由题意作出图形，如上图，当直线y x b =+过(30)A ，时，3b =-．当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得32b =． 32b =±∴，由图形易知0b >，故32b =．332b -∴≤≤．评注：在涉及到半圆或圆的一部分的题目时，应用数形结合处理较简单．2．转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法.一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解决的问题通过变换转化为容易解决的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 例2 求圆22(2)(3)4x y -++=上的点到直线20x y -+=的最小、最大距离．分析：由于圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最小（大）距离为圆心到直线的距离减去（加上）半径．解：由圆的方程22(2)(3)4x y -++=易知圆心坐标为(23)-，，半径2r =．而(23)-，到直线20x y -+=的距离为232722++=．故圆上的点到直线的最大距离为722+，最小距离为722-．评注：凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题.3．方程思想通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，达到解决问题的目的.例3 过已知点(30)，的直线l 与圆22630x y x y ++-+=相交于P Q ，两点，且OP OQ ⊥（其中O 为原点），求直线l 的方程．分析：因为OP OQ ⊥，若设1122()()P x y Q x y ，，，，则12121y y x x =-·，由P Q ，在圆及直线上，可借助方程求解．解：设直线l 的方程为30(0)x ay a +-=≠，则点1122()()P x y Q x y ，，，的坐标满足方程组2263030x y x y x ay ⎧++-+=⎨+-=⎩，，消去y ，得2233630x x x x a a --⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭·， 212231891a a x x a -+=+∴． ① 由方程组消去x ，得22(3)(3)630ay y ay y -++--+=，122151y y a =+∴． ② 依题意知OP OQ ⊥，12121y y x x =-∴·，即12120y y x x +=．由①，②知，222318915011a a a a -++=++，整理，得2680a a -+=，解得2a =或4a =． ∴所求直线l 的方程为230x y +-=或430x y +-=．评注：本题巧用根与系数的关系，列出12120y y x x +=，进而求得方程．。

用“从特殊到一般”的数学思想方法探究圆中的几何性质

㊀㊀㊀解题技巧与方法１３１㊀数学学习与研究㊀２０２２１７从特殊到一般的数学思想方法探究圆中的几何性质用从特殊到一般的数学思想方法探究圆中的几何性质Һ钱秋平㊀（南京市第二十九中学幕府山初级中学，江苏㊀南京㊀２１００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘义务教育课程标准（２０１１年版）“在圆章节的教学建议中指出：充分挖掘教材中蕴含的数学思想方法，加强思想方法的教学．在教学过程中，提高学生对数学思想方法的认识㊁理解和运用，有利于学生探究圆中的类似问题．ʌ关键词ɔ数学思想方法；从特殊到一般；圆；几何性质一㊁数学思想方法的重要性数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带着普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想．在学生认知水平和已有经验的基础上，引导学生通过观察㊁分析㊁交流等方式来发现和归纳几何图形的共性特征，进而发展学生的几何直观和逻辑思维能力，培养学生的空间观念．通过猜想得出特殊几何图形的性质，然后利用已有的知识理论证明㊁验证自己的猜想，从而得出一般几何图形的共性特征．从一般出发，发现其共性的性质，并以一般为依据，探究特殊几何图形的个性特征，从而感受一般与特殊之间的联系．圆是中学数学中研究的第一个曲线类几何图形，从特殊到一般的数学方法是转化思想方法中的一种，是探究圆中几何性质的重要数学思想方法之一．在研究圆中的问题时，运用特殊化㊁具体化的方法，总结出一般性的结论，并用已有的理论知识去验证一般性的结论，可以帮助学生降低问题的难度，从而找到解决问题的方法．二㊁用从特殊到一般的数学思想方法探究圆中的几何性质１．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半在圆中，同弧所对的圆心角只有一个，而同弧所对的圆周角却有无数个，在探究同弧所对的圆心角和圆周角两者之间的数量关系时，可将同弧所对的无数个圆周角和圆心之间的位置关系分为如图１所示的三类情形：圆心在圆周角的一边上㊁圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部．图１观察三类图形，不难发现，当圆心在圆周角的一边上时（如图①），利用圆心角øＢＯＣ是等腰әＯＡＣ顶角的外角，易得øＢＡＣ＝１２øＢＯＣ．由此，我们可以推测圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，但在第二种和第三种情形中，无法直接证明同弧所对的圆周角和圆心角之间的数量关系，需要通过添加辅助线去解决问题，那么如何添加辅助线呢？回到情形一的特殊位置关系，当圆心角是等腰三角形的一个外角时，易得两者之间的数量关系，故在情形二和情形三中，通过添加辅助线：连接ＡＯ并延长交☉Ｏ于点Ｄ，构造圆心角是等腰三角形顶角的一个外角．图２㊀㊀㊀图３如图２，当圆心在圆周角的内部时，连接ＡＯ，并延长交☉Ｏ于点Ｄ，㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３２数学学习与研究㊀２０２２１７由情形一可知，øＢＡＤ＝１２øＢＯＤ，øＣＡＤ＝１２øＣＯＤ，ʑøＢＡＤ＋øＣＡＤ＝１２（øＢＯＤ＋øＣＯＤ），ʑøＢＡＣ＝１２øＢＯＣ．如图３，当圆心在圆周角的外部时，连接ＡＯ，并延长交☉Ｏ于点Ｄ，由情形一可知，øＢＡＤ＝１２øＢＯＤ，øＣＡＤ＝１２øＣＯＤ，ʑøＢＡＤ－øＣＡＤ＝１２（øＢＯＤ－øＣＯＤ），ʑøＢＡＣ＝１２øＢＯＣ．综上所述，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．在探究圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的过程中，先通过对圆心在圆周角的一边上这一特殊情形的探究，得出一般情形下的猜想，再对其余两种情形进行演绎推理．在这个过程中，通过添加辅助线，在一般情形中构造特殊情形时的基本图形，借助特殊图形的结论去验证猜想．２．圆的内接四边形的对角互补如图４，在☉Ｏ的内接四边形ＡＢＣＤ中，øＡ与øＣ㊁øＡＤＣ与øＡＢＣ有怎样的数量关系？一组对角øＡ和øＣ是弦ＢＤ所对的一组圆周角，从特殊情形考虑，当弦ＢＤ是一条直径时，如图５，直径ＢＤ所对的两个圆周角øＡ＝øＣ＝９０ʎ，所以øＡ＋øＣ＝１８０ʎ．再由四边形ＡＢＣＤ的内角和为３６０ʎ，得øＡＤＣ＋øＡＢＣ＝３６０ʎ－（øＡ＋øＣ）＝１８０ʎ．因此，可以猜想：圆的内接四边形对角互补．或者从特殊情形øＡ为直角考虑，则弦ＢＤ是直径，所以øＣ为直角，故øＡ＋øＣ＝１８０ʎ．再由四边形ＡＢＣＤ的内角和为３６０ʎ，得øＡＤＣ＋øＡＢＣ＝３６０ʎ－（øＡ＋øＣ）＝１８０ʎ．因此，也可以猜想：圆的内接四边形对角互补．图４㊀㊀㊀图５图６如图６，在一般情形中，通过连接ＤＯ并延长交☉Ｏ于点Ｅ，构造直径ＤＥ，将一般情形下的圆周角øＤＡＢ和øＤＣＢ转化成直径ＤＥ所对的９０ʎ的圆周角øＤＡＥ和øＤＣＥ，此时，øＤＡＥ＋øＤＣＥ＝１８０ʎ，即øＤＡＢ＋øＢＡＥ＋øＤＣＢ－øＥＣＢ＝１８０ʎ．又ȵøＢＡＥ＝øＥＣＢ，ʑøＤＡＢ＋øＤＣＢ＝１８０ʎ，ʑ在四边形ＡＢＣＤ中，有øＡＤＣ＋øＡＢＣ＝３６０ʎ－（øＤＡＢ＋øＤＣＢ）＝１８０ʎ．因此，圆的内接四边形对角互补．在探究圆的内接四边形对角互补的过程中，先通过直径所对的圆周角为直角的结论，特殊化这一组对角，得出一般情形下的猜想．在推理证明过程中，根据特殊情形的基本图形特征，通过构造直径，将一般情形下的一对圆周角转化为直径所对的圆周角，从而验证猜想．３．对角线互相垂直的圆内接四边形的对边平方和等于一个定值如图７，☉Ｏ的半径为Ｒ，在☉Ｏ的内接四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣʅＢＤ，则ＡＢ２＋ＣＤ２＝，ＡＤ２＋ＢＣ２＝，ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２＋ＢＣ２＝．（用含Ｒ的代数式表示）☉Ｏ的内接四边形ＡＢＣＤ的对角线是相互垂直的两条弦，当这两条弦特殊化为两条直径时，四边形ＡＢＣＤ为如图８的正方形ＡＢＣＤ，此时，ＡＢ２＝ＣＤ２＝ＡＤ２＝ＢＣ２＝ＯＡ２＋ＯＢ２＝２Ｒ２，所以ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２＋ＢＣ２＝４Ｒ２．因此，可以猜想：对角线互相垂直的圆内接四边形的对边平方和相等，且等于４Ｒ２．如图７，边ＡＢ和边ＣＤ是两个直角三角形的斜边，想要得到ＡＢ２＋ＣＤ２＝４Ｒ２，则需要重新构造直角三角形，使得边ＡＢ或边ＣＤ是直角边，由图８可知，可以通过将弦特殊化，构造直径，得到直径所对的圆周角为直角，从而将圆内接四边形的边放到直角三角形里．㊀㊀㊀解题技巧与方法１３３㊀数学学习与研究㊀２０２２１７图７㊀㊀㊀图８图９如图９，连接ＣＯ，并延长交☉Ｏ于点Ｅ，连接ＤＥ，则在ＲｔәＣＤＥ中，øＣＤＥ＝９０ʎ，有ＤＥ２＋ＣＤ２＝ＣＥ２，ʑＤＥ２＋ＣＤ２＝４Ｒ２，且øＥ＋øＥＣＤ＝９０ʎ．又ＡＣʅＢＤ，ʑøＣＢＤ＋øＢＣＡ＝９０ʎ．ȵøＥ＝øＣＢＤ，ʑøＥＣＤ＝øＢＣＡ．又ȵøＥＯＤ＝２øＥＣＤ，øＢＯＡ＝２øＢＣＡ，ʑøＥＯＤ＝øＢＯＡ，ʑＤＥ＝ＡＢ，ʑＡＢ２＋ＣＤ２＝４Ｒ２．同理，ＡＤ２＋ＢＣ２＝４Ｒ２，ʑＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２＋ＢＣ２＝４Ｒ２．在探究对角线互相垂直的圆内接四边形的对边平方和等于一个定值的过程中，先通过两条相互垂直的直径得到圆内接四边形的对边平方和等于４Ｒ２的结论，从而得出一般情形下的猜想．在推理证明的过程中，通过作直径，构造特殊情形时的基本图形特征，将圆内接四边形的边转化为直角三角形的直角边，得到两边平方和等于４Ｒ２．再通过等量代换，可以得到对角线互相垂直的圆内接四边形的对边的平方和等于４Ｒ２．三㊁在一般情形中，构造特殊情形下的基本图形模块当利用从特殊到一般的数学思想方法探究几何图形的基本性质时，我们不仅可以利用特殊情形下的结论作为一般情形下的猜想，还可以在一般情形中，构造特殊情形下的基本图形去验证猜想．在探索圆的几何性质的过程中，根据已知图形中的边㊁角属性，添加适当的辅助线，构造特殊图形，这是解决圆中一类问题的一个有效的方法．但有时会发现很难将图形中的已知条件建立联系，导致学生对在圆中添加适当的辅助线感到无助．此时，我们可以指导学生学会基于对几何图形特征的深入观察和分析，通过对特殊情形中的几何图形进行研究，形成大胆的猜想，并以特殊情形中的基本图形作为构造辅助线的一个方法，然后进行推理论证，体现了几何模型思想的应用．四㊁加强数学思想方法在课堂教学中的渗透数学思想方法不同于具体的数学知识，它往往隐藏于数学知识的生成和应用的过程中．数学思想的体验和领悟，要以数学知识为载体，经历分析㊁解决问题的过程，逐渐成为一种培养数学素养和解决问题的方法．在教学过程中，应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验㊁感受知识生成过程中所蕴含的数学思想方法．数学来源于生活，在教学中，教师可以把学生熟悉的㊁了解的㊁感兴趣的生活事例搬进数学课堂．在对实际情境问题进行数学建模的过程中，让学生进行观察㊁分析㊁猜想㊁论证㊁概括，看到知识形成的过程及其中蕴涵的思想．如此，学生在课堂上所获得的知识就是自己的，并且是可迁移的㊁可发散的．教师要将数学思想方法在教学过程中显化，让学生充分体验数学思想，进而使他们对数学思想方法的感悟得到提高．学生对数学知识的获取㊁理解和应用不是一蹴而就的，而是在不同阶段，从不同角度逐步认识㊁加强理解的一个反复的过程．所以，教师可以针对相应的知识块㊁一节课，或单元的章节复习，加强数学思想方法的过程性渗透，从而使学生在不断拓展中逐步感悟数学思想方法，并且加强对数学思想方法的认识．教师还可以有意识地培养学生的自我分析㊁自我提炼以及自我概括数学思想方法的能力，帮助学生逐步建立起自己的数学思想方法体系．数学思想方法的学习与研究，有助于提高学生的数学文化素养，数学思想方法的应用能有效指导我们更好地研究数学和解决数学问题，因此在数学课堂教学中㊁在问题探究中㊁在例题分析中，我们应该有意识㊁有目的地将数学思想方法渗透到数学知识的发生㊁发展过程中，培养学生的思维策略，使学生进行有意义的数学学习活动，才能真正深入透彻地理解与掌握数学知识．。

(整理版)圆中的数学思想

圆中的数学思想1．数形结合思想例1 {}()M x y y x b ==+，|，{}2()9N x y y x ==-，|，假设M N φ≠，求b 的取值范围．分析：由于此题所给圆不是整圆，而仅是圆的一局部，所以应用数形结合处理．解：集合M 是斜率为1，在y 轴上截距为b 的一束平行线，集合N 是以原点为圆心，半径为3的圆在x 轴上方的局部〔包括与x 轴的交点〕．由题意作出图形，如上图，当直线y x b =+过(30)A ，时，3b =-．当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得32b =． 32b =±∴，由图形易知0b >，故32b =．332b -∴≤≤．评注：在涉及到半圆或圆的一局部的题目时，应用数形结合处理较简单．2．转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法.一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解决的问题通过变换转化为容易解决的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 例2 求圆22(2)(3)4x y -++=上的点到直线20x y -+=的最小、最大距离．分析：由于圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最小〔大〕距离为圆心到直线的距离减去〔加上〕半径．解：由圆的方程22(2)(3)4x y -++=易知圆心坐标为(23)-，，半径2r =．而(23)-，到直线20x y -+=的距离为2327222++=．故圆上的点到直线的最大距离为7222+，最小距离为7222-．评注：但凡涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题.3．方程思想通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，到达解决问题的目的.例3 过点(30)，的直线l 与圆22630x y x y ++-+=相交于P Q ，两点，且OP OQ ⊥〔其中O 为原点〕，求直线l 的方程．分析：因为OP OQ ⊥，假设设1122()()P x y Q x y ，，，，那么12121y y x x =-·，由P Q ，在圆及直线上，可借助方程求解．解：设直线l 的方程为30(0)x ay a +-=≠，那么点1122()()P x y Q x y ，，，的坐标满足方程组2263030x y x y x ay ⎧++-+=⎨+-=⎩，，消去y ，得2233630x x x x a a --⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭·， 212231891a a x x a -+=+∴． ① 由方程组消去x ，得22(3)(3)630ay y ay y -++--+=，122151y y a =+∴． ② 依题意知OP OQ ⊥，12121y y x x =-∴·，即12120y y x x +=．由①，②知，222318915011a a a a -++=++，整理，得2680a a -+=，解得2a =或4a =． ∴所求直线l 的方程为230x y +-=或430x y +-=．评注：此题巧用根与系数的关系，列出12120y y x x +=，进而求得方程．。

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