全国通用版2019高考数学二轮复习专题四立体几何第1讲空间几何体学案文word格式

第1讲空间几何体

[考情考向分析] 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．

热点一三视图与直观图

1．一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．

2．由三视图还原几何体的步骤

一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．

例 1 (1)(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

答案 A

解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.

(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．

答案 2＋

22

解析 如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，

则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22

. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝2

2

＋1. 由此可还原原图形如图所示．

在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝2

2

＋1， 且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，

∴这块菜地的面积为S ＝1

2(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′

＝12×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1＋1＋22×2＝2＋22. 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑． 跟踪演练1 (1)(2018·衡水模拟)已知一几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

答案 D

解析由选项图可知，选项D对应的几何体为长方体与三棱柱的组合，其侧(左)视图中间的线不可视，应为虚线，故该几何体的俯视图不可能是D.

(2)(2018·合肥质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )

答案 A

解析如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，AC，AE，CF，则EF∥AC，平面ACFE，即为平面ACE截正方体所得的截面，据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A所示．

热点二几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧． 例2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A ．3π＋4

B ．4π＋4

C ．6π＋4

D ．8π＋4 答案 B

解析 由三视图可得该几何体由上下两部分组成，上部分是半径为1的四分之一球，下部分是底面圆半径为1，高为2的半圆柱． 故该几何体的表面积为

S 表＝1

4×()4π×12＋12×()π×12＋12×()2π×1×2＋12

×()π×12＋2×2＝4π＋4.

(2)(2018·内蒙古鄂伦春自治旗模拟)甲、乙两个几何体的三视图如图所示(单位相同)，记甲、乙两个几何体的体积分别为V 1，V 2，则( )

A ．V 1>2V 2

B ．V 1＝2V 2

C ．V 1－V 2＝163

D ．V 1－V 2＝173

答案 D

解析 由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为V 1＝83

－4×4×6＝416； 由乙的三视图可知，该几何体是一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为V 2＝1

3×9×9×9＝243.

∴V 1－V 2＝416－243＝173.

思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和． (2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

跟踪演练2 (1)(2018·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A ．20＋2 3

B ．18＋2 3

C ．18＋ 3

D ．20＋ 3

答案 B

解析 由三视图可知，正方体棱长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，故该几何体的表面积为3×22＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22＋34

×()222

＝18＋23，故选B.

(2)(2018·孝义模拟)某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )

A.28π

3 B.32π

3 C.52π

3

D.56π

3

答案 A

解析 由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成，其中圆柱的底面半径为2，高为4，圆锥的底面半径和高均为2，其体积为V ＝12×4π×4＋12×13×4π×2＝28π

3，

故选A.

热点三 多面体与球

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截