2018北师大版高中数学必修四学案：第二章向量应用举例.

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2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例2.7.2向量的应用举例课件北师大版必修4

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名师点拨平面几何中的向量方法: (1)几何法: ①证明线段相等常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则. ②证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件:a∥b⇔a=λb(b≠0)(或x1y2-x2y1=0). ③证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a· b=0(或 x1x2+y1y2=0).
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3.向量在物理中的应用 (1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与向量有所不同.大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,它们就不相等.但是在不计作用点的情况下,可用平行四边形法则计算两个力的合力. (2)速度是具有大小和方向的向量,因此,可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度.
答案:菱形
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2.向量在解析几何中的应用因为平面向量在坐标平面内有相应的坐标,能进行坐标运算,所以它与平面解析几何存在着密切的联系.根据向量的线性运算和数量积运算,可以方便地处理平行、垂直、距离、角度、方向等问题.
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【做一做2】已知▱ABCD的三个顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求顶点D的坐标. 分析:先将平行四边形的性质“对边平行且相等”转化为向量之间的关系,然后由向量相等求解. 解�� = �� , 即(3,-1)-(-1,-2)=(5,6)-(x,y), 即(4,1)=(5-x,6-y), 5-�� = 4, �� = 1, ∴ ∴ �� = 5. 6-�� = 1. ∴顶点 D 的坐标为(1,5).

高中数学北师大版必修4第2章7《向量应用举例》ppt课件

－x2y1＝0.若y1≠0且y2≠0(即向量b不与坐标轴平行)，则上式可
变形为
x1 y1
＝
x2 y2
，但当两向量与坐标轴平行时，不能应用a∥b⇔
xy11＝yx22，否则容易漏解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
• 已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C 上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝ 2AN，求点N的轨迹方程．
[解析] 设M(x0，y0)，N(x，y)，
由M→A＝2A→N得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)．
∴
x0＝3－2x， y0＝3－2y.
(1)设点P是过点A且与直线l平行的直线上的动点，P点坐标为(x，y)，直线l的方向向量为v
则A→P＝(x＋1，y－2)． ∵所求直线与直线l平行，∴A→P∥v，即1×(y－2)－43×(x＋1)＝0，整理得4x－3y＋10＝0，这就是所求的过A且平行于l的直线方程．
(2)设Q(x，y)为过点A且垂直于直线l的直线上任一点，则 A→Q＝(x＋1，y－2)为直线l的法向量，∴A→Q⊥v.
联系，将_几_何__问_题__转_化__为_向__量_问__题_________通过向__量_运__算___研究几何
元素之间的关系；还原到几何问题中作答．
• 3．向量在物理中的应用
• 力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的 ___________相类似，可以用向量的方法来解决．
减法与加法
1．若向量
向量在解析几何中的应用
已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正

2017-2018学年高一数学北师大版必修四教学案：第二章 §7 向量应用举例

[核心必知]1．点到直线的距离公式y0)是一平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d若M(x2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．[问题思考]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d＝|·n0|?提示：如图所示，过M作MN⊥l于N，则d＝||.在Rt△MPN中，||是在方向上的射影的绝对值，则||＝|||cos∠PMN|＝|||×1×cos∠PMN|＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0|∴d ＝|·n 0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．3．利用向量可以解决哪些物理问题？提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．讲一讲1．已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n ，若D 为斜边AB 的中点， (1)求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．[尝试解答] 以C 为坐标原点，以边CB 、CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)，AB ＝(n ，－m )．(1)证明：∵D 为AB 的中点， ∴D (n 2，m2)，∴|CD ＝12 n 2＋m 2，|AB |＝m 2＋n 2，∴|CD |＝12|AB |，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，所以E (n 4，m4)，设F (x,0)，则AE ＝(n4，－34m )，AF ＝(x ，－m )，∵A 、E 、F 共线，∴AF ＝λAE ，解得(x ，－m )＝λ(n 4，－34m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34m λ，即x ＝n3，即F (n3，0)．AF ＝(n3，－m )． ∴|AF |＝13 n 2＋9m 2.即AF ＝13n 2＋9m 2.利用向量解决几何中常见问题的基本策略：(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行； (3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直； (4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．练一练1．已知▱ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，试求对角线AC 的长．讲一讲2．已知过点A (0,2)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，且＝12，求k 及直线l 的方程．[尝试解答] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意知，l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －2＋y －2＝1得，(1＋k 2)x 2－(4＋2k )x ＋4＝0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝4＋2k 1＋k 2，x 1x 2＝41＋k2 ∵＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝12.y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2∴x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)－8＝0， ∴(1＋k 2)×41＋k 2＋2k ×4＋2k 1＋k 2－8＝0，解得k ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2，即x －2y ＋4＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．练一练2. 过点M (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当最大时，求直线l 的方程．解：可知圆C 的圆心C (1,0)，半径r ＝2∴＝cos ∠ACB＝2×2cos ∠ACB ＝4cos ∠ACB 当最大时，∠ACB 最小．连接CM ，当AB ⊥CM 时，∠ACB 最小这时直线l 的法向量为：＝(12，1)－(1,0)＝(－12，1)． ∴l 的方向向量为(1，12)，∴l 的斜率为k ＝12故直线l 的方程为y －1＝12(x －12)，即2x －4y ＋3＝0.讲一讲3. 一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A 、C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．＝2 0002＋1 0002－2×1 000×2 000×12＝3×106有∠ABD ＝60°，于是∠DBC ＝30°.所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.法二：建立如图所示的坐标系，并取a ＝500，则AB ＝(2a cos 150°，2a sin 150°) ＝(－3a ，a )，AC ＝(4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－23a ，－2a )，∴BC ＝(－3a ，－3a )，|BC |＝23a ，即||＝1 000 3 (km)．又cos C ＝＝6a 2＋6a24a ×23a ＝32，C ＝30°，结合图形可知BC 的方向为南偏西30°，所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，所以可以用向量的知识来解决；2．物理中的功是一个标量，它是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ. 练一练3．已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生的位移s ＝(2lg 5，1)，求这两个共点力对物体做的功W 的值．解：W ＝(F 1＋F 2)·s ，又F 1＋F 2＝(1, 2lg 2)，s ＝(2lg 5，1)，所以W ＝2lg 5＋2lg 2＝2.如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1，求：(1)|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围．[巧思] 力的合成与分解满足平行四边形法则，合理使用平行四边形法则及三角形法则对各量间进行分析和运算，从三角函数的角度分析力的变化，从不等关系研究角的范围．[妙解](1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，知－G ＝F 1＋F 2. 解直角三角形，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |·tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大． (2)令|F 1|＝|G |cos θ≤2|G |，得cos θ≥12.又0°≤θ＜90°，∴0°≤θ≤60°.1．过点A(2，3)，且法向量为n＝(2，1)的直线方程为( )A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0解析：选A 由题意知，可取直线的方向向量为v＝(1，－2)，∴直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.2．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( ) A．(－2，4) B．(－30，25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析：选C 设5秒后点P运动到点A，则＝5v＝(20，－15)，∴＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．3．已知△ABC，＝b，且a·b<0；则△ABC的形状为( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选A 由a·b＝cos∠BAC<0知cos∠BAC<0，∴∠BAC为钝角．4．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．解析：设小船的静水速度为v，依题意|v|＝22＋102＝226.答案： 226 m/s5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．解析：由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28，∴|F3|＝27.答案： 276．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b.若c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.证明：以C点为原点建立如图所示的直角坐标系．则A(b,0)，B(0，a)．∴AB＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)．∴|AB|＝－b2＋a2＝c.故c2＝a2＋b2.一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值是( )A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选D 取直线l的方向向量v＝(－2，m)，则m(1－m)－1×(－2)＝0，即m2－m－2＝0，得m＝－1或m＝2.2．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小为(精确到0.1 N)( )A．20.6 N B．18.8 NC ．20.8 ND ．36.8 N 解析：选C设两条绳索的拉力F 1，F 2的合力为F 合．如图所示，则＝12，F 合＝，连接BD交AC 于M ，∠BAM ＝30°，∴|F 合|＝2||＝2×12cos 30°＝123≈20.8 N.3．在△ABC 中，若＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定4．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)解析：选D 由题可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)．二、填空题5．已知F ＝(2，3)作用于一物体，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则力F 对物体做的功为________．解析：∵AB ＝(－4,3)，∴W ＝F ·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案：16．已知直线l 经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则原点O 到直线l 的距离为________．解析：可知直线l 的斜率k ＝－12，∴l 的方程为y ＝－12(x ＋5)，即x ＋2y ＋5＝0， ∴原点到l 的距离为d ＝512＋22＝1.答案：17．在边长为1的正三角形中，设，则＝________.＝12(－1－13×1×1×cos 60°＋23×1) ＝－14.答案：－148．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则＝__________.解析：如图，取D 为AB 的中点，∵OA ＝1，AB ＝3， ∴∠AOD ＝π3.∴∠AOB ＝2π3.∴＝1×1×cos 2π3＝－12.答案：－12三、解答题9．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解：依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地如图所示，根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v 风地的有向线段AD 对应▱ABDC的对角线．∵|AC |＝4，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝90°. 在Rt △ADC 中，|DC |＝|AC |cos 30°＝2 3. ∴风的实际方向是正南方，汽车速度的大小为2 3 m/s. 10．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．证明：设△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如图：＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证：b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则：C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，∴＝(b cos A，b sin A)－(c,0)＝(b cos A－c，b sin A)，∴a2＝|BC|2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos2A－2bc cos A＋c2＋b2sin2A，＝b2－2bc cos A＋c2，即：a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证：b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.。

【小初高学习】2018北师大版高中数学必修四学案：第二章 2.1 向量的加法

2．1向量的加法学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．知识点一向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．思考1从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？思考2上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？梳理(1)向量加法的定义求________________的运算，叫作向量的加法．(2)向量加法的法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．知识点二向量加法的运算律思考1 实数加法有哪些运算律？思考2 根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b )思考3 根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )梳理向量加法的运算律类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1 如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c .(1) (2)反思与感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”． (2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量． (1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________； (3)OA →＋FE →＝________.类型二向量加法运算律的应用例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．(2)向量求和的多边形法则：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特別地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A 1＝0.跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________. 类型三向量加法的实际应用例3 在静水中船的速度为20 m /min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．引申探究1．若本例中条件不变，则经过1 h ，该船的实际航程是多少？2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．反思与感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题关键．跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)1.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( ) A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →2.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( ) A.FD →＋DA →＋DE →＝0 B.AD →＋BE →＋CF →＝0 C.FD →＋DE →＋AD →＝AB → D.AD →＋EC →＋FD →＝BD →3．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A.BC → B.AB → C.AC →D.AM →4.如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形5．小船以10 3 km /h 的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.答案精析问题导学知识点一思考1 后面的一次位移叫作前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC →表示的力是OA →与OB →表示的力的合力．体现了向量的加法运算．思考2 三角形法则和平行四边形法则．梳理 (1)两个向量和 (2)a ＋b AC → AC →知识点二思考1 交换律和结合律．思考2 ∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a . ∴a ＋b ＝b ＋a .思考3 ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →， ∴AD →＝(a ＋b )＋c ，又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．梳理 b ＋a a ＋b b ＋c 题型探究例1 解 (1)作法：在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .跟踪训练1 (1)OB → (2)AD →(3)0 例2 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AD →＋DF →＋FA → ＝AF →＋FA →＝0. 跟踪训练2 2 2例3 解作出图形，如图所示．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||A D →|＝1020＝12， ∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． ∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进．引申探究1．解由例3知v 船＝20 m/min ， v 实际＝20×sin 60°＝103(m/min)，故该船1 h 行驶的航程为103×60 ＝6003(m)＝335(km)．2．解如图，作平行四边形ABDC ，则AD →＝v 实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α＝|BD →||AB →|＝2010＝2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.跟踪训练3 解如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →. 易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°， ∴|CE →|＝|CG →|cos 30° ＝10×32＝53(N)， |CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5(N)．∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N. 当堂训练1．D 2.D 3.C 4.C 5.20。

北师大版必修4高中数学第2章平面向量7向量应用举例

3.进一步体会向量是一种处理几何养.
问题、物理问题等的工具.
自主预习探新知
向量应用举例
(1)点到直线的距离公式
若 M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距 |Ax0＋By0＋C|
离为：d＝______A_2_＋__B_2_____.
(2)直线的法向量 ①定义：称与直线的方向向量_垂__直__的向量为该直线的法向量． ②公式：设直线 l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量 v＝(B，－A)，则直线 l 的法向量 n＝_(A__，__B_)_． (3)向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在_几__何___中的应用；二是在_物__理__ 中的应用．
法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2)．
因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0. 所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为 0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
则|F1＋F2|为( )
A．(5,0)
B．(－5,0)
C． 5
D．－ 5
[答案] C
3．点 P0(－1,2)到直线 l：2x＋y－10＝0 的距离为________． [答案] 2 5
4．已知 F＝(2,3)作用一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(4,0)，则力 F 对物体作的功为________．
[答案] 4
合作探究提素养
平面几何中的垂直问题
【例 1】如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE.

北师大版高一数学必修4第二章§7.2向量的运用举例

一、几何中的应用举例
例2 如图,已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
求证：AD，BE，CF相交于同一点.
思路分析
C D
解决此类问题一般是将相关的线 E
段用向量表示，利用向量的三角形 A
H
法则和平行四边形法则，结合题目
F
B
中的已知条件进行运算，得出结果，
再翻译成几何语言 .
证明 :设AD , BE交于点H，以下只需
uuur CB
0，所以uAuCur
uuur CB,
A ∠ACB=90°.
b
O
B
2.一条河的两岸平行，河宽d 500 m，一艘船从A ur
出发航行到河的正对岸B处.航行的速度 v1 ur
10km / h，水流的速度 v2 2 km / h，问行驶航程最
短时，所用的时间是多少？
思路分析如图，已知v v1 v2， v1 10 km / h, v2 2 km / h， v v2，求t.
例大小4 为已5知0力NFr，与一水个平质方量向为的8夹k角g的为木30块°受（力斜Fr向的上作）用，在
动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力
r F
和摩擦力
r f
所做的功分别为多少？（g=10
m/s2）
分析：本题是向量在物理学中“力学
问题”上应用的例子，可以清楚地看
r f几何问题的“三步曲”：
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何元素.
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形

高中数学北师大版必修4第2章11向量应用举例word导学案1

陕西省榆林育才中学高中数学第2章《平面向量》11向量应用举例
（1）导学案北师大版必修4
利用说明
1.根据学习目标，认真阅读讲义第99页到第100页内容，完成预习引导的全数内容.
2.课堂上（最好在课前完成讨论）发挥学习小组作用，踊跃讨论，斗胆展示，完成合作探讨部份.
学习目标
1.了解并初步掌握用向量处置平面几何问题的一般方式.
2.通过点到直线的距离的向量证明方式,了解向量在解析几何中的应用.
3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处置有关平面几何,解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习踊跃性.
学习重点用向量方式解决平面几何问题,解析几何问题.
学习难点如何将几何等实际问题化归为向量问题.
一、自主学习
【预习自测】
1.求点)32(P -，
到直线l :y x =的距离.
2. 已知三点）2,1(A -，）4,3(B ，）5,2(C -,求通过点A 且与过C ,B 两点的直线垂直的
直线方程.
二、合作探讨
1.如图所示，用向量方式证明点到直线的距离公式.
直线的法向量：____________________________________________________.
2.求证：过点)y ,x (A 000并且垂直于向量)b ,a (n =的直线方程是00by ax by ax +=+.
）（y ,x P ）（00y ,x M n x y
O
四、收获及疑问。

高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例学案北师大版必修4

2.7 向量应用举例1．假设M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C ＝0距离为____________．预习交流1点(2,4)到直线y＝2x－1距离是__________．2．与直线方向向量垂直向量为该直线法向量．设直线l：Ax＋By＋C＝0，那么它方向向量为________，它法向量为________．3．可运用向量方法证明有关直线平行与垂直、线段相等及点共线等问题，其根本方法有：(1)要证明两线段AB＝CD，可转化为证明AB→2＝CD→2；(2)要证明两线段AB∥CD，只要证明：存在一实数λ≠0，使AB→＝λCD→成立；(3)要证明两线段AB⊥CD，只要证明它们数量积AB→·CD→＝0即可；(4)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→；或假设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，只要证明存在一个实数t，使c＝t a＋(1－t)b；(5)求与夹角相关问题，往往利用向量夹角公式cos θ＝a·b|a||b|.预习交流2(1)假设四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，那么该四边形一定是( )．A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)在平面直角坐标系中，正方形OABC对角线OB两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，那么AB→·AC→＝__________.4．向量在物理中应用：(1)求力向量，速度向量常用方法：一般是向量几何化，借助于向量求与三角形法那么或平行四边形法那么求解．(2)用向量方法解决物理问题步骤：①把物理问题中相关量用向量表示；②转化为向量问题模型，通过向量运算使问题解决；③结果复原为物理问题．预习交流3向量可以解决哪些物理问题？答案：1．d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2预习交流1：d ＝|2×2－4－1|22＋(－1)2＝55.2．(B ，－A ) (A ，B )预习交流2：(1)B (2)1 解析：如下图，AB ＝(0,1)，AC ＝(－1,1)，A B ·A C ＝(0,1)·(－1,1)＝1.预习交流3：提示：解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量合成与分解问题，以及与力做功相关问题．1．向量在平面几何中应用设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同四点，假设A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，那么称A 3，A 4调与分割A 1，A 2.平面上点C ，D 调与分割点A ，B ，那么下面说法正确是( )．A ．C 可能是线段AB 中点 B ．D 可能是线段AB 中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 延长线上在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD中点，AE 延长线与CD 交于点F ，假设AC →＝a ，BD →＝b ，那么AF →＝( )．A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b用向量证明平面几何问题方法，常见有两种思路．(1)向量线性运算法： (2)向量坐标运算法：2．向量在平面解析几何中应用点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 轨迹方程．思路分析：设出M 点坐标，利用AM →＝－32MQ →，可以将A 点坐标用M 点坐标表示出来，从而用PA→·AM →＝0确定所求轨迹．以向量为载体考察解析几何问题．点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上一点，假设RA →＝2AP→，求点P 轨迹方程．利用向量运算求轨迹要理解几何关系与向量表示内在联系，正确理解向量条件是解题根底．向量坐标表示，使向量成为解决解析几何问题有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点坐标表示，利用向量有关法那么、性质列出方程，从而使问题解决．3．向量在物理学中应用(1)一质点受到平面上三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)作用而处于平衡状态．F1，F2成60°角，且F1，F2大小分别为2与4，那么F3大小为( )．A．6 B．2 C．2 5 D．27(2)点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P 运动方向与v一样，且每秒移动距离为|v|个单位)．设开场时点P0坐标为(－10,10)，那么5秒后点P坐标为( )．A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B处，同质量细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC哪根绳受力最大？用向量解与物理相关题目思路首先应根据题目条件作出向量图，从图中观察合力与分力关系．在向量合成中，注意向量模并不是两向量模简单相加，只有在两向量方向一样时才可以相加．求合力大小，实际上是解三角形问题．注意：力、速度、加速度、位移都是向量；其中功W＝F·s即功是力F与所产生位移s数量积；动量m v是数乘向量等．答案：活动与探究1：D 解析：∵C，D调与分割点A，B，∴AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2(*)，不妨设A (0,0)，B (1,0)，那么C (λ，0)，D (μ，0)，对A ，假设C 为AB 中点，那么AC ＝12AB ，即λ＝12，将其代入(*)式，得1μ＝0，这是无意义，故A 错误；对B ，假设D 为AB 中点，那么μ＝12，同理得1λ＝0，故B 错误；对C ，要使C ，D 同时在线段AB 上，那么0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴1λ＞1，1μ＞1，∴1λ＋1μ＞2，这与1λ＋1μ＝2矛盾；故C 错误；显然D 正确．迁移与应用：B 解析：如图，∵E 是OD 中点，∴OE ==14b .又∵△ABE ∽△FDE ，在△AOE 中，11.24AE AO OE a b =+=+活动与探究2：解：设点M (x ，y )为轨迹上任一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)，那么AM ＝(x ，y －b )，MQ ＝(a －x ，－y )．∵AM ＝－32MQ ，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y2，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3，0. PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，－y 2，AM ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ，3y 2.∵PA ·AM ＝0，∴3x －34y 2＝0.即所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．迁移与应用：解：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，那么RA ＝(1－x 1，－y 1)，AP ＝(x －1，y )．由2RA AP =，得(1－x 1，－y 1)＝2(x －1，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x ＋3，y 1＝－2y .代入直线l 方程得y ＝2x .所以，点P 轨迹方程为y ＝2x .活动与探究3：(1)D (2)C 解析：(1)因为力F 是一个向量，由向量加法平行四边形法那么知F 3大小等于以F 1，F 2为邻边平行四边形对角线长，故|F 3|＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1||F 2|cos 120°＝4＋16＋8＝28，所以|F 3|＝27.(2)由题意知，0P P ＝5v ＝(20，－15)，设点P 坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15，解得点P 坐标为(10，－5)．迁移与应用：解：设OA ，OB ，OC 三根绳子所受力分别是a ，b ，c ，那么a ＋b ＋c ＝0，a ，b 合力为c ′＝a ＋b ，|c ′|＝|c |，如图，在平行四边形OB ′C ′A ′中，因为OB '⊥OC '，B C ''=OA '，所以|OA |＞|OB |，|OA |＞|OC |. 即|a|＞|b|，|a|＞|c|，所以细绳OA 受力最大．1．假设向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，那么|F 1＋F 2|为( )．A ．(5,0)B ．(－5,0) C. 5D ．－52．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b .当a ·b ＜0时，△ABC 为( )．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，那么实数m 值是( )．A ．－1B ．1C ．2D ．－1或24．平面上不共线四点O ，A ，B ，C .假设OA→－3OB →＋2OC →＝0，那么|AB→||BC→|等于_______．5．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从A (20,15)移到点B (7,0)．其中i ，j 是x 轴，y 轴正方向上单位向量．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做功； (2)F 1，F 2合力F 对该质点做功．答案：1．C 解析：|F 1＋F 2|＝|(1,1)＋(－3，－2)|＝|(－2，－1)|＝ 5.2．C 解析：∵a·b ＝|a|·|b|·cos A ＜0， ∴cos A ＜0，∴A 为钝角． ∴△ABC 为钝角三角形．3．D 解析：由于11－m ＝－m2，得m ＝－1或m ＝2.4．2 解析：∵OA －3OB ＋2OC ＝0，∴(OA OB -)－2(OB OC -)＝0. ∴BA ＝2CB .∴|BA |＝2|CB |.∴AB BC＝2.5．解：(1)AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， ∴W F 1＝F 1·AB ＝－13－15＝－28(J)，W F 2＝F 2·AB ＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)． (2)F ＝F 1＋F 2＝(5，－4)，∴W ＝F ·AB ＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．。

[推荐学习]2018北师大版高中数学必修四学案：第二章 2.2 向量的减法

2.2向量的减法学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一相反向量思考实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫作什么？梳理与a________________的向量，叫作a的相反向量，记作________．(1)规定：零向量的相反向量仍是________．(2)－(－a)＝a.(3)a＋(－a)＝________＝________.(4)若a与b互为相反向量，则a＝________，b＝________，a＋b＝____.知识点二向量的减法思考1根据向量的加法，如何求作a－b?思考2向量减法的三角形法则是什么？梳理(1)定义：向量a加上____________，叫作a与b的差，即a－b＝__________.求两个向量____的运算，叫作向量的减法．→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝________，如图所示．(2)几何意义：在平面内任取一点O，作OA(3)文字叙述：如果把向量a与b的起点放在O点，那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量BA→就是a—b.知识点三|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系思考在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？→＝a，AB→＝b，则a＋b＝OB→，如图(1)，根据三角形的三梳理当向量a，b不共线时，作OA边关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①因为|a－b|＝|a＋(－b)|，所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.类型一向量减法的几何作图例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.引申探究若本例条件不变，则a －b －c 如何作？反思与感悟在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．跟踪训练1 如图所示，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d .类型二向量减法法则的应用例2 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．反思与感悟向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．类型三向量减法几何意义的应用例3 已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．反思与感悟 (1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(2)在公式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相反且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a ＋b |；当a 与b 方向相同时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)在公式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相同且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a －b |；当a 与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |.跟踪训练3 在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，且AC →＝a ＋b ，若|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形1.如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是( ) A ．a ＋b 和a －b B ．a ＋b 和b －a C ．a －b 和b －a D ．b －a 和b ＋a2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP →D.SQ →3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________. 4．若向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为________，|a －b |的最大值为________．5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.→＝BA→就可以把减法转1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．→＝a，AD→＝b，则两条对角线表示的向量为3．平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别为AB→＝a＋b，BD→＝b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．AC答案精析问题导学知识点一思考相反向量．梳理长度相等、方向相反－a(1)零向量(3)(－a)＋a0(4)－b－a0知识点二思考1先作出－b，再按三角形法则或平行四边形法则作出a＋(－b)．思考2(1)两个向量a，b的始点移到同一点；(2)连接两个向量(a与b)的终点；(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．→梳理(1)b的相反向量a＋(－b)差(2)BA知识点三思考它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.题型探究→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→例1解方法一如图①，在平面内任取一点O，作OA＝c，则CB→＝a＋b－c.→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作CB→＝c，连方法二如图②，在平面内任取一点O，作OA接OC，则OC→＝a＋b－c.引申探究→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b.解如图，在平面内任取一点O，作OA再作CA→＝c，则BC→＝a－b－c.跟踪训练1 解如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .则a －b ＝BA →，c －d ＝DC →.例2 解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0. 跟踪训练2 解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.例3 解 ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6， ∴3≤|AB →－AD →|≤15.当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3；当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15]．跟踪训练3 B 当堂训练1．B 2.B 3.2 4.7 175．解 ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ，→＝AC→－AB→＝b－a，BC→＝AE→－AB→＝c－a，BE→＝AE→－AC→＝c－b，CE→＝BC→＋CD→＝b－a＋c. ∴BD。

北师大版高中数学必修四学案：第二章向量应用举例(1)

(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
反思与感悟利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
跟踪训练1 在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线方程．
类型二用平面向量求解平面几何问题
问题导学
知识点一
思考是，为直线的法向量．
梳理 (1)垂直 (2)(A，B)
知识点二
思考点M到直线l的距离d即为向量在向量n方向上的射影的绝对值，即d＝.
知识点三
思考1 可用向量共线的相关知识：
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
思考2 可用向量垂直的相关知识：
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化．
跟踪训练2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
类型三向量在物理中的应用
例3 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
反思与感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．
跟踪训练3 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．

高中数学第二章向量应用举例教案北师大版必修4

向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P100练习1、2、3题[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。

证：设BE 、CF 交于一点H ，−→−AB = a , −→−AC = b , −→−AH = h ,则−→−BH = h - a , −→−CH = h - b , −→−BC = b - a ∵−→−BH ⊥−→−AC , −→−CH ⊥−→−AB ∴0)()()(0)(0)(=-∙⇒∙-=∙-⇒⎭⎬⎫=∙-=∙-a b h a b h b a h a a h b a h∴−→−AH ⊥−→−BC又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识：1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→−2PP ，λ叫做点P 分−→−21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 注意几个问题：①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在②始点终点很重要，如P 分−→−21P P 的定比λ=21 则P 分−→−12P P 的定比λ=22．线段定比分点坐标公式的获得：设−→−P P 1=λ−→−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算−→−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→−2PP=( x 2-x 1, y 2-y 1) ABCDEFHP 1 P 1P 1P 2P 2P 2PP POP 1PP 2∵−→−P P 1=λ−→−2PP即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1) ∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→−21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。

【配套K12】2018北师大版高中数学必修四学案：第二章向量应用举例.

[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．2．(2018届高三·安徽名校阶段测试)设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1≤x <32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x ≤3 解析：选B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.4．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2,3,5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117解析：选B 由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，与y ＝3，y ＝5时，没有相同的元素，当y ＝3，x ＝5,15,25，…，95时，与y ＝5，x ＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.5．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R}，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实数m 组成的集合是( )A ．{－1,0,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12解析：选A 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .若B 为∅，则m ＝0；若B ≠∅，则－m －1＝0或12m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{－1,0,2}．[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由2－x ≥0，得x ≤2，由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2⇒/ 0≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．2．(2017·惠州三调)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C.3．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.4．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选A 由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 5．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题解析：选B 对于选项A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”为假命题，故其逆否命题为假命题，综上可知，选B.2．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n解析：选C因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n ∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．3．(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析：选B当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1}B．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2017·成都一诊)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．3．(2017·广西三市第一次联考)设集合A ＝{x |8＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，则A ∩B 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1,3}C ．{1,3}D ．{3,1，－1}解析：选C ∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{1,3,5，…}， ∴A ∩B ＝{1,3}．4．(2017·郑州第二次质量预测)已知集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x>1，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[1,2]D ．(2，＋∞)解析：选C 因为A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |0<x <1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥1}＝{x |1≤x ≤2}．5．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．6．(2018届高三·湘中名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( )A ．{2}B ．{2,8}C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}．7．(2017·石家庄调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝U C ．∁U B ⊆AD ．∁U A ⊆B解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅，A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.8．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 9．(2017·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 命题p 等价于0<a <4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，必有a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件． 10．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )>0 解析：选C 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．而p 的否定为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0，故选C. 11．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：选C 由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)<0，即－1·(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，即a >2，则綈q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是(1,2]．12．在下列结论中，正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确． ∵OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→，∴OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝0，即OB ―→·CA ―→＝0， ∴OB ―→⊥CA ―→.同理可知OA ―→⊥BC ―→，OC ―→⊥BA ―→，故点O 是△ABC 的垂心，∴②正确． ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当M >N 时，⎝⎛⎭⎫23M <⎝⎛⎭⎫23N ，当⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N 时，M <N . ∴“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N”的既不充分也不必要条件，∴③错误．由逆否命题的写法可知，④正确． ∴正确的结论有3个．二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：________________________.解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}．则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是________．解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，所以①③正确．答案：①③16．a ，b ，c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 不是年龄最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a ，b ，c 的年龄由小到大依次是________．解析：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A 可知，当b 不是最大时，则a 是最小，所以c 最大，即c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“若a 的年龄不是最小，则b 的年龄是最大”为真，即b >a >c .同理，由命题B 为真可得a >c >b 或b >a >c .故由A 与B 均为真可知b >a >c ，所以a ，b ，c 三人的年龄大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小．答案：c ，a ，b送分专题(二) 函数的图象与性质[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (－3))＝( ) A.43B ．23C ．－43D ．3解析：选D 因为f (－3)＝2－2＝14，所以f (f (－3))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－log 214＝3. 2．函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 要使函数y ＝1－x 22x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以该函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1. 3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式为________．解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：f (x )＝－2x 2＋25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.答案：⎣⎡⎭⎫0，12 [准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：选D 易知函数y ＝x 2ln|x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.2．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象，因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A 、C 、D ，选B.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A 、B ，易知，当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是()A．f(x)＝1x－x B．f(x)＝x3C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x解析：选A“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等价于f(x)在(0，＋∞)上为减函数，易判断f(x)＝1x－x满足条件．2．(2017·广西三市第一次联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(－2)，则a的取值范围是()A．(－∞，3) B．(0，3)C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：选B ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.3．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：64．(2017·福建普通高中质量检测)已知函数f (x )＝x 2(2x －2－x )，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是________．解析：因为f (－x )＝(－x )2(2－x －2x )＝－x 2(2x －2－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥f (－1)．易知，当x >0时，函数f (x )为增函数，所以函数f (x )在R 上为增函数，所以f (2x ＋1)≥f (－1)等价于2x ＋1≥－1，解得x ≥－1.答案：{x |x ≥－1}[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题 1．函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝|x |－1 C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：选B A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x －a2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D ．14解析：选B 由题意得f (0)＝0，∴a ＝2. ∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ＋1＋b ， ∴b ＝12，∴log 212＝－1.4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.5．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝( ) A ．2 016 B.14C ．4 D.12 016解析：选C 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1， f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4， ∴f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4. 6．函数y ＝sin xx，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )解析：选A 函数y ＝sin xx ，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B 、C ，又当x 趋近于π时，y ＝sin xx趋近于0，故选A.7．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意知，当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝fx －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.8．如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B 设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.9．(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 10．函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 解析：选C ∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝bc 2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，c <0，故选C.11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)解析：选C (转化法)由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0，即f (x )＝ln 1|x |＋1的值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]14．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________.解析：因为log 49＝log 23>0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13.答案：－1315．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图象，由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2.答案：(1,2]16．(2017·惠州三调)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为____________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝⎛⎭⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数在R 上不可能是单调函数，④错误．故真命题的序号为①②③. 答案：①②③送分专题(三) 平面向量[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．(2017·贵州适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB ―→＝e 1＋me 2，AC ―→＝ne 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1解析：选A 法一：因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB―→＝λAC ―→，所以有e 1＋me 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.法二：因为A ，B ，C 三点共线，所以必有1n ＝m1，所以mn ＝1.2.如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误．故正确命题的结论为①③.3．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→＝0，则|AB ―→||BC ―→|＝________.解析：由已知得OA ―→－OB ―→＝2(OB ―→－OC ―→)，即BA ―→＝2CB ―→， ∴|BA ―→|＝2|CB ―→|，∴|AB ―→||BC ―→|＝2. 答案：24．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于________．解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得m n＝－2.答案：－2[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．已知向量m ＝(t ＋1,1)，n ＝(t ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则t ＝( ) A ．0 B ．－3C ．3D ．－1解析：选B 法一：由(m ＋n )⊥(m －n )可得(m ＋n )·(m －n )＝0，即m 2＝n 2，故(t ＋1)2＋1＝(t ＋2)2＋4，解得t ＝－3.法二：m ＋n ＝(2t ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴－(2t ＋3)－3＝0，解得t ＝－3.2．(2017·洛阳统考)已知向量a ＝(1,0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．1D ．－1解析：选D 依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |＝－1.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0且a ，b 不共线．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，又k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B. 4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：法一：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC ―→|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.答案：2 35．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.答案：33[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2AD ―→＝DC ―→，则BA ―→·BD ―→的值是( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 法一：由题意得，BA ―→·BC ―→＝0，BA ―→·CA ―→＝BA ―→·(BA ―→－BC ―→)＝|BA ―→|2＝36，∴BA ―→·BD ―→＝BA ―→·(BC ―→＋CD ―→)＝BA ―→·⎝⎛⎭⎫BC ―→＋23 CA ―→ ＝0＋23×36＝24. 法二：(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (6,0)，C (0,6)．由2AD ―→＝DC ―→，得D (4,2)．∴BA ―→·BD ―→＝(6,0)·(4,2)＝24.2.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2 B.13 C.3＋223D.34解析：选C 由已知可得AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→，又M ，G ，N 三点共线，故13x ＋13y ＝1，∴1x ＋1y ＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·13＝13⎝⎛⎭⎫3＋2y x ＋x y ≥3＋223(当且仅当x ＝2y 时取等号)．3．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.4．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP ―→＝λCB ―→，当PA ―→·PC ―→取到最小值时，λ的值为( )A.14 B.15 C.16D.18解析：选D 如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设BC ＝4，P (x,0)(0≤x ≤4)，则A (3，3)，C (4,0)，∴PA ―→·PC ―→＝(3－x ，3)·(4－x,0)＝(3－x )(4－x )＝x 2－7x ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －722－14.当x ＝72时，PA ―→·PC ―→取得最小值－14.∵CP ―→＝λCB ―→，∴⎝⎛⎭⎫－12，0＝λ(－4,0)， ∴－4λ＝－12，解得λ＝18.故选D.5.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ―→＝3PD ―→，AP ―→·BP ―→＝2，则AB ―→·AD ―→的值是________．解析：因为AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋14AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－34AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→·⎝⎛⎭⎫AD ―→－34AB ―→＝ |AD ―→|2－316|AB ―→|2－12AD ―→·AB ―→＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ―→·AD ―→＝22. 答案：22[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D ．32解析：选A 因为c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.2．(2017·贵州适应性考试)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2,3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A.25 B ．－25C.35D ．－35解析：选B 法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，由a ＋λb 与c 共线可知2－λ2＝4＋λ3，解得λ＝－25. 3．(2018届高三·云南11校跨区调研)已知平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A ．13＋6 2B ．2 5 C.30D ．34解析：选D 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.4．在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→ C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.5．(2017·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6 C.π4D.3π4解析：选A 法一：因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝3，又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.法二：(特例法)设a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12cos π3，12sin π3＝⎝⎛⎭⎫14，34，则(a ＋2b )·b ＝⎝⎛⎭⎫32，32·⎝⎛⎭⎫14，34＝34，|a ＋2b |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b|a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6. 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( ) A.322B ．3152C ．－322D ．－3152解析：选A 由题意知AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，则AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|·cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→|CD ―→|＝322. 7．(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD ―→·AE ―→等于( )A.16 B.29 C.1318D.13解析：选C 法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos 60° ＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79，即AD ＝73，同理可得AE ＝73，在△ADE 中，由余弦定理得 cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD ―→·AE ―→＝|AD ―→|·|AE ―→|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318. 法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318.8．(2017·东北四市模拟)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为( )A.52B.102C. 5D.10解析：选C 由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，所以n ＝1－m 且0<m <1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0<m <1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.9．已知向量m ，n 的模分别为2，2，且m ，n 的夹角为45°.在△ABC 中，AB ―→＝2m ＋2n ，AC ―→＝2m －6n ，BC ―→＝2BD ―→，则|AD ―→|＝( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：选B 因为BC ―→＝2BD ―→，所以点D 为边BC 的中点，所以AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝2m －2n ，所以|AD ―→|＝2|m －n |＝2(m －n )2＝22＋4－2×2×2×22＝2 2. 10．(2018届高三·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，C ＝120°，则实数λ的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1解析：选C 设AB 中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→PD ―→. 因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB . 因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1.11．已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量a ＝OA ―→|OA ―→|，b ＝OB ―→|OB ―→|，OP ―→＝a ＋2b ，则PA ―→·PB ―→的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 如图，设A (m,0)，B (0，n )，∴mn ＝2，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，OP ―→＝a ＋2b ＝(1,2)，PA ―→＝(m －1，－2)，PB ―→＝(－1，n －2)，PA ―→·PB ―→＝5－(m ＋2n )≤5－22nm ＝1，当且仅当m ＝2n ，即m ＝2，n ＝1时，等号成立．12．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18 C.14D.118解析：选B 如图所示， AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋34AC ―→·(AC ―→－AB ―→)＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→ ＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→. 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°，故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.二、填空题13．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且||BO ―→＝3||CO ―→，当AO ―→＝x AB ―→＋y AC ―→时，则x －y ＝________.解析：∵AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋32BC ―→＝AB ―→＋32(AC ―→－AB ―→)＝－12AB ―→＋32AC ―→，∴x －y＝－2.答案：－214．已知a ，b 是非零向量，f (x )＝(ax ＋b )·(bx －a )的图象是一条直线，|a ＋b |＝2，|a |＝1，则f (x )＝________.解析：由f (x )＝a ·bx 2－(a 2－b 2)x －a ·b 的图象是一条直线，可得a ·b ＝0.因为|a ＋b |＝2，所以a 2＋b 2＝4.因为|a |＝1，所以a 2＝1，b 2＝3，所以f (x )＝2x . 答案：2x15．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－AB ―→ (λ∈R)，且AD ―→·AE ―→＝－4，则λ的值为________．解析：法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→.又AB ―→·AC ―→＝3×2×12＝3，所以AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫13AB ―→＋23AC ―→·(－AB ―→＋λAC ―→) ＝－13AB ―→2＋⎝⎛⎭⎫13λ－23AB ―→·AC ―→＋23λAC ―→2 ＝－3＋3⎝⎛⎭⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)．由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝⎛⎭⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案：31116．定义平面向量的一种运算a ⊙b ＝|a ＋b |·|a －b |·sin 〈a ，b 〉，其中〈a ，b 〉是a 与b 的夹角，给出下列命题：①若〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝a 2＋b 2；②若|a |＝|b |，则(a ＋b )⊙(a －b )＝4a ·b ；③若|a |＝|b |，则a ⊙b ≤2|a |2；④若a ＝(1,2)，b ＝(－2,2)，则(a ＋b )⊙b ＝10.其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝|a ＋b |·|a －b |＝a 2＋b 2，所以①成立；②中，因为|a |＝|b |，所以〈(a ＋b )，(a －b )〉＝90°，所以(a ＋b )⊙(a －b )＝|2a |·|2b |＝4|a ||b |，所以②不成立；③中，因为|a |＝|b |，所以a ⊙b ＝|a ＋b |·|a －b |·sin 〈a ，b 〉≤|a ＋b |·|a －b |≤|a ＋b |2＋|a －b |22＝2|a |2，所以③成立；④中，因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,2)，所以a ＋b ＝(－1,4)，sin 〈(a ＋b )，b 〉＝33434，所以(a ＋b )⊙b ＝35×5×33434＝453434，所以④不成立．故①③正确．答案：①③送分专题(四) 不等式[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12解析：选B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2. 2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >ymD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．(2017·云南第一次统一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x －2，x <1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤3}解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x －2，x <2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x <2时，由22－x －2≤0，解得1≤x <2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．4．已知x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0恒成立，则实数a 的取值范围为( )。

高中数学第二章平面向量 7 向量应用举例教学案北师大版必修4

7 向量应用举例[核心必知]1．点到直线的距离公式y0)是一平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d若M(x2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．[问题思考]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d＝|·n0|?提示：如图所示，过M作MN⊥l于N，则d＝||.在Rt△MPN中，||是在方向上的射影的绝对值，则||＝|||cos∠PMN|＝|||×1×cos∠PMN|＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0|∴d＝|·n0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．3．利用向量可以解决哪些物理问题？提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．讲一讲1．已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n ，若D 为斜边AB 的中点， (1)求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．[尝试解答] 以C 为坐标原点，以边CB 、CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)，AB ＝(n ，－m )．(1)证明：∵D 为AB 的中点， ∴D (n 2，m2)，∴|＝12 n 2＋m 2，|AB |＝m 2＋n 2，∴|CD |＝12|AB |，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，所以E (n 4，m4)，设F (x,0)，则AE ＝(n4，－34m )，AF ＝(x ，－m )，∵A 、E 、F 共线，∴AF ＝λAE ，解得(x ，－m )＝λ(n 4，－34m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34m λ，即x ＝n3，即F (n3，0)．AF ＝(n3，－m )． ∴|AF |＝13 n 2＋9m 2.即AF ＝13n 2＋9m 2.利用向量解决几何中常见问题的基本策略：(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行； (3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直； (4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．练一练1．已知▱ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，试求对角线AC 的长．讲一讲2．已知过点A (0,2)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，且＝12，求k 及直线l 的方程．[尝试解答] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意知，l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －2＋y －2＝1得，(1＋k 2)x 2－(4＋2k )x ＋4＝0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝4＋2k 1＋k 2，x 1x 2＝41＋k2 ∵＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝12.y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2∴x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)－8＝0， ∴(1＋k 2)×41＋k 2＋2k ×4＋2k 1＋k 2－8＝0，解得k ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2，即x －2y ＋4＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．练一练2. 过点M (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当最大时，求直线l 的方程．解：可知圆C 的圆心C (1,0)，半径r ＝2 ∴＝cos ∠ACB＝2×2cos ∠ACB ＝4cos ∠ACB 当最大时，∠ACB 最小．连接CM ，当AB ⊥CM 时，∠ACB 最小这时直线l 的法向量为：＝(12，1)－(1,0)＝(－12，1)． ∴l 的方向向量为(1，12)，∴l 的斜率为k ＝12故直线l 的方程为y －1＝12(x －12)，即2x －4y ＋3＝0.讲一讲3. 一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A 、C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．＝2 0002＋1 0002－2×1 000×2 000×12＝3×106有∠ABD ＝60°，于是∠DBC ＝30°.所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.法二：建立如图所示的坐标系，并取a ＝500，则AB ＝(2a cos 150°，2a sin 150°) ＝(－3a ，a )，AC ＝(4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－23a ，－2a )，∴BC ＝(－3a ，－3a )，|BC |＝23a ，即||＝1 000 3 (km)．又cos C ＝＝6a 2＋6a24a ×23a ＝32，C ＝30°，结合图形可知BC 的方向为南偏西30°，所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，所以可以用向量的知识来解决；2．物理中的功是一个标量，它是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ. 练一练3．已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生的位移s ＝(2lg 5，1)，求这两个共点力对物体做的功W 的值．解：W ＝(F 1＋F 2)·s ，又F 1＋F 2＝(1, 2lg 2)，s ＝(2lg 5，1)，所以W ＝2lg 5＋2lg 2＝2.如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1，求：(1)|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围．[巧思] 力的合成与分解满足平行四边形法则，合理使用平行四边形法则及三角形法则对各量间进行分析和运算，从三角函数的角度分析力的变化，从不等关系研究角的范围．[妙解](1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，知－G ＝F 1＋F 2. 解直角三角形，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |·tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大． (2)令|F 1|＝|G |cos θ≤2|G |，得cos θ≥12.又0°≤θ＜90°，∴0°≤θ≤60°.1．过点A(2，3)，且法向量为n＝(2，1)的直线方程为( )A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0解析：选A 由题意知，可取直线的方向向量为v＝(1，－2)，∴直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.2．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( ) A．(－2，4) B．(－30，25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析：选C 设5秒后点P运动到点A，则＝5v＝(20，－15)，∴＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．3．已知△ABC，＝b，且a·b<0；则△ABC的形状为( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选A 由a·b＝cos∠BAC<0知cos∠BAC<0，∴∠BAC为钝角．4．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．解析：设小船的静水速度为v，依题意|v|＝22＋102＝226.答案： 226 m/s5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．解析：由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28，∴|F3|＝27.答案： 276．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b.若c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.证明：以C点为原点建立如图所示的直角坐标系．则A(b,0)，B(0，a)．∴AB＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)．∴|AB|＝－b2＋a2＝c.故c2＝a2＋b2.一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值是( )A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选D 取直线l的方向向量v＝(－2，m)，则m(1－m)－1×(－2)＝0，即m2－m－2＝0，得m＝－1或m＝2.2．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小为(精确到0.1 N)( )A．20.6 N B．18.8 NC ．20.8 ND ．36.8 N解析：选C设两条绳索的拉力F 1，F 2的合力为F 合．如图所示，则＝12，F 合＝，连接BD 交AC 于M ，∠BAM ＝30°，∴|F 合|＝2||＝2×12cos 30°＝123≈20.8 N. 3．在△ABC 中，若＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定4．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)解析：选D 由题可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)．二、填空题5．已知F ＝(2，3)作用于一物体，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则力F 对物体做的功为________．解析：∵AB ＝(－4,3)，∴W ＝F ·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：16．已知直线l 经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则原点O 到直线l 的距离为________．解析：可知直线l 的斜率k ＝－12， ∴l 的方程为y ＝－12(x ＋5)，即x ＋2y ＋5＝0，∴原点到l 的距离为d ＝512＋22＝1.答案：1 7．在边长为1的正三角形中，设，则＝________.＝12(－1－13×1×1×cos 60°＋23×1) ＝－14. 答案：－148．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则＝__________.解析：如图，取D 为AB 的中点，∵OA ＝1，AB ＝3，∴∠AOD ＝π3. ∴∠AOB ＝2π3. ∴＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案：－12三、解答题9．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解：依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地如图所示，根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段AD 对应▱ABDC的对角线．∵|AC |＝4，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，|DC |＝|AC |cos 30°＝2 3.∴风的实际方向是正南方，汽车速度的大小为2 3 m/s.10．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．证明：设△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如图：＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证：b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则：C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，∴＝(b cos A，b sin A)－(c,0)＝(b cos A－c，b sin A)，∴a2＝|BC|2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos2A－2bc cos A＋c2＋b2sin2A，＝b2－2bc cos A＋c2，即：a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证：b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.。

高中数学第二章平面向量的运算与应用例题讲解素材北师大版必修4 教案

平面向量的运算与应用
平面向量是数学中重要的基本概念之一，向量知识是进一步学习数学、物理及其它科学的有效工具，尤其是向量加减法，向量的倍积与数量积的运算律在运算中扮演着重要角色．
一、向量的几何运算
向量运算有着丰富的几何背景，三角形法则与平行四边形法则是向量加减法运算的最基本而直观的运算方法．
例1已知点G是△ABC的重心，O为平面内任意一点．
证设AD、AE分别是△ABC的中线，交点为G(如图1)．
什么？
∴当0≤t≤1时，点P的轨迹为线段AB，
当t≥1时，点P的轨迹为射线BC，
当t≤0时，点P的轨迹为射线AD．
综上所述，当t∈R时，点P的轨迹为直线AB．
二、向量的坐标运算
平面向量的坐标表示为向量的坐标运算提供了依据．特别是平面向量的数量积定义与有关性质，可以解决有关长度、夹角与垂直等问题．
位向量的坐标．
三、向量的应用
向量运算在平移变换与力学中有广泛的应用．
例5：
系式．
解设曲线F上任意一点P(x，y)，曲线F'上的对应点为P'(x'，y')，则x'＝x＋m，y'＝y ＋n，∴x＝x'－m，y＝y'－n，将它们代入y＝f(x)得y'－n＝f(x'
例6：
两绳的夹角为θ(如图3)．
边形法则及余弦定理得
由于y＝cosx在[0，π)上为减函数，
另外，向量的数量积用来推导证明正、余弦定理也非常简便，不再赘述．。

北师大版高中数学高一必修4学案第二章7向量应用举例

向量应用举例预习课本P101～104，思考并完成以下问题1．如何计算点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离？2．直线的法向量的定义是什么？[新知初探]1．点到直线的距离公式点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝|ax0＋by0＋c|a2＋b2.2．直线l：ax＋by＋c＝0的法向量(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l的方向向量v＝(b，－a)，则直线l的法向量n＝(a，b)．[点睛](1)与直线垂直的向量都是该直线的法向量，故任意直线的法向量都有无数多个．(2)若直线l的方程为y＝kx＋b，则其方向向量与法向量常分别设为(1，k)与(k，－1)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l的方向向量u＝(1，－2)，则其法向量为(2，－1) ()(2)直线的方向向量与法向量互相垂直()答案：(1)×(2)√2．直线3x－4y＋7＝0的方向向量a与法向量b可以为() A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)C ．a ＝(4,3)，b ＝(3，－4)D ．a ＝(－4,3)，b ＝(3,4)解析：选C 直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个法向量为(A ，B )，一个方向向量为(－B ，A )，故可知C 正确．3．若向量1OF ＝(1,1)，2OF ＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．2 5 C. 5D.15解析：选C 由于F 1＋F 2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝(－2)2＋(－1)2＝ 5.4．过点A (－1,2)，且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为__________．解析：设点P (x ，y )是所求直线上的任意一点，则AP ＝(x ＋1，y －2)． ∴AP ∥a ，∴(x ＋1)－3(y －2)＝0.即x －3y ＋7＝0.∴直线方程为x －3y ＋7＝0. 答案：x －3y ＋7＝0向量在解析几何中的应用[典例] 已知A (2,3)，B (4，－5)，P (1,2)，求： (1)过点P 且方向向量为AB 的直线l 1的方程； (2)过点P 且法向量为AB 的直线l 2的方程； (3)过点P 且与A ，B 两点等距离的直线l 3的方程．[解] (1)由题意知AB ＝(2，－8)，故可设直线l 1的方程为－8x －2y ＋c 1＝0.① ∵点P (1,2)在直线l 1上，∴－8×1－2×2＋c 1＝0， ∴c 1＝12.即c 1＝12代入①式并化简，得直线l 1的方程为4x ＋y －6＝0. (2)设直线l 2的方程为2x －8y ＋c 2＝0.②∵直线l 2过点P (1,2)，∴2×1－8×2＋c 2＝0， ∴c 2＝14.将c 2＝14代入②式并化简，得直线l 2的方程为x －4y ＋7＝0.(3)设线段AB 的中点为M ，则点M 的坐标为M (3，－1)，PM ＝(2，－3)，又设N (x ，y )为直线l 3上任一点，则PN ＝(x －1，y －2)．由PM ∥PN ，得2(y －2)＋3(x －1)＝0，整理，得3x ＋2y －7＝0.与AB 平行的直线方程同(1)，为4x ＋y －6＝0.故满足条件的直线l 3的方程为4x ＋y －6＝0,3x ＋2y －7＝0.利用向量解决解析几何问题的方法(1)利用直线的方向向量和法向量求直线方程；(2)利用向量共线的条件处理解析几何中有关平行、共线等问题；(3)利用向量的数量积可以把有关长度、角度、垂直等几何关系转化为数量关系，从而解决问题；(4)利用平面向量的知识求动点的轨迹方程．[活学活用]已知直线l 经过点A (1，－2)，且直线l 的一个法向量n ＝(2,3)，则点B (2,3)到直线l 的距离是________．解析：依题意得AB ＝(1,5)，由距离的向量公式d ＝⎪⎪⎪⎪AB ·n |n |，可得d ＝|1×2＋5×3|22＋32＝1713＝171313.答案：171313向量在平面几何中的应用 BE ⊥CF .[证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．BE ＝(－1,2)，CF ＝(－2，－1)．所以BE ·CF ＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，所以BE ⊥CF ，即BE ⊥CF . [一题多变]1．[变设问]本例条件不变，证明AP ＝AB .证明：连接AP .建系同例题，设点P 坐标为(x ，y )，则FP ＝(x ，y －1)，FC ＝(2,1)，因为FP ∥FC ，所以x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2，同理，由BP ∥BE ，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎨⎧x ＝65，y ＝85，所以点P 坐标为⎝⎛⎭⎫65，85. 所以|AP |＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝2＝|AB |，即AP ＝AB .2．[变条件，变设问]本例条件变为“P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形”，求证：AP ⊥EF .证明：法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，BP ＝λBD ，则E (2，y )，F (x,2)，(x －2，y )＝λ(－2,2)，即x ＋y ＝2. 所以AP ·EF ＝(x ，y )(x －2,2－y ) ＝x 2－2x ＋y (2－y )＝x 2－2x ＋(2－x )(2－2＋x )＝0. 所以AP ⊥EF ，即AP ⊥EF .法二：如图，设AB ＝a ，DA ＝b ，由已知得，|a |＝|b |且a·b ＝0. 设DF ＝λa ，则CF ＝(λ－1)a ，DP＝λDB＝λ(a＋b)，CE＝λb，所以EF＝CF－CE＝(λ－1)a－λb，AP＝DP－DA＝λ(a＋b)－b＝λa＋(λ－1)b，AP·EF＝[λa＋(λ－1)b]·[(λ－1)a－λb]＝(λ2－λ)a2－(λ2－λ)b2＝0，所以AP⊥EF，即AP⊥EF.用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用[典例]某人在静水中游泳的速度为4 3 km/h，水的流速为4 km/h.(1)如果他径直游向河对岸，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？[解](1)如图①，设人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为OA＋OB＝OC，根据勾股定理，|OC|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为OB，水流速度为OA.∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB－OA＝AB，在Rt △AOB 中，|AB |＝43，|OA |＝4，|OB |＝4 2. ∴cos ∠BAO ＝33，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 2 km/h.利用向量解决物理问题的步骤[活学活用]如图，无弹性的细绳OA ，OB 的一端分别固定在A ，B 处，同样无弹性的细绳OC 下端系着一称盘，且使得OB ⊥OC ，试分析三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大．解：如图，设OA ，OB ，OC 三根绳子的受力分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝0，a 与b 的合力为c ′＝a ＋b ，|c ′|＝|c |，在如图的平行四边形中，因为OC '⊥OB '，|B C ''|＝|OA '|，所以|OA '|＞|OB '|，且|OA '|＞|OC '|，即|a |＞|b |且|a |＞|c |，故绳OA 受力最大．层级一学业水平达标1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为 ( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2 C ．|v 1|－|v 2|D.⎪⎪⎪⎪v 1v 2解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．2．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为 ( ) A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0解析：选A 设P (x ，y )是所求直线上除A 点外的任一点，则AP ·a ＝0，又AP ＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，当x ＝2，y ＝3时也成立， ∴所求的直线方程为2x ＋y －7＝0.3．已知△ABC 中，BC 边最长，AB ＝a ，AC ＝b ，且a·b ＞0，则△ABC 的形状为 ( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵a·b ＝|a |·|b |·cos ∠ABC ＞0， ∴cos ∠BAC ＞0，∴0°＜∠BAC ＜90°，又∵BC 边最长，则∠BAC 为△ABC 中最大的角，故△ABC 为锐角三角形．4．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( ) A ．(9,1) B ．(1,9) C ．(9,0)D ．(0,9)解析：选A F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． ∵起点坐标为A (1,1)， ∴终点坐标为(9,1)．故选A.5．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC ·AB ＝5，则AC 的长为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵BD ＝AD －AB ＝12AC －AB ，∴2BD ＝⎝⎛⎭⎫12AC －AB 2＝142AC －AC ·AB ＋2AB ，即142AC ＝1.∴|AC |＝2，即AC ＝2. 6．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |等于________．解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案： 27．如图，作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，已知|F 1|＝1， |F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为2π3，则F 3的大小为________．解析：∵F 1，F 2，F 3三个力处于平衡状态， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)， ∴|F 3|＝|F 1＋F 2| ＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝1＋2×1×2×cos 2π3＋4＝ 3.答案： 38．一艘船从点A 出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的行驶速度为4 km/h ，则河水速度的大小为________km/h.解析：如图所示，船实际行驶的速度实际上是船速与水速的合成，由向量加法的几何意义知，|v 水|＝ 42－(23)2＝2.答案： 29．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2，所以c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，所以e ·(c －d )＝0.因为BC ＝BD ＋DC ＝d －c ，所以AD ·BC ＝e ·(d －c )＝0，所以AD ⊥BC ，即AD ⊥BC .10．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i，j分别是与x轴，y轴同方向的单位向量)．求：(1)F1，F2分别对该质点所做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点所做的功．解：AB＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.(1)F1所做的功W1＝F1·s＝F1·AB＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28(J)，F2所做的功W2＝F2·s＝F2·AB＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23(J)．(2)因为F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F所做的功W＝F·s＝F·AB＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5(J)．层级二应试能力达标1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为() A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选D l的方向向量为v＝(－2，m)，由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为() A．40 N B．10 2 NC．20 2 N D．10 3 N解析：选B|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N.3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生的位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为() A．lg 2 B．lg 5C．1 D．2解析：选D∵F1＋F2＝(1,2lg 2)，∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.4．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次为△ABC的() A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心解析：选C由|OA|＝|OB|＝|OC|，知点O为△ABC的外心．如图，∵NA＋NB＋NC＝0，∴NB＋NC＝－NA.依向量加法的平行四边形法则，知|NA|＝2|ND|(D为BC的中点)，同理可得|NB|＝2|NE|，|NC|＝2|NF|，故点N为△ABC的重心．∵PA·PB＝PB·PC，∴(PA－PC)·PB＝CA·PB＝0，∴PB⊥CA，同理，得PC⊥AB，PA⊥BC，∴点P为△ABC的垂心．5．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×12＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.答案：56．如图所示，两块斜边长相等的直角三角形板拼在一起．若AD ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________，y ＝____________. 解析：作DF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F .设AB ＝AC ＝1，则BC ＝DE ＝ 2.又∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32， ∴AD ＝AF ＋FD ＝⎝⎛⎭⎫1＋32AB ＋32AC ， ∴x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 327．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)．(1)求AB ·AC 和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状； (2)若M 为BC 边的中点，求|AM |.解：(1)由题意得AB ＝(3，－1)，AC ＝(－1，－3)，AB ·AC ＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.所以AB ⊥AC ，即∠A ＝90°.因为|AB |＝|AC |，所以△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝45°. (2)因为M 为BC 中点，所以M (2,0)．又A (1,2)，所以AM ＝(1，－2)．所以|AM |＝12＋(－2)2＝ 5.8．如图所示，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)判断|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围．解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G ＝F 1＋F 2，|F 1|＝|G |cos θ， |F 2|＝|G |tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大． (2)由|F 1|＝G cos θ，|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若3x －2(x －a )＝0，则向量x ＝ ( ) A ．2a B ．－2a C.25a D ．－25a解析：选B 由题意知3x －2x ＋2a ＝0，故x ＝－2a . 2．若a 为任一非零向量，b 是模为1的向量，则下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1.其中正确的是 ( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③D ．②③解析：选B ①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两非零向量是否平行取决于方向是否相同或相反，故②错误；③显然正确；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误．故选B.3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于 ( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：选C 由题意知1×2－m 2＝0，∴m ＝±2.4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝ ( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 5．已知D 是△ABC 所在平面内一点，AD ＝713AB ＋613AC ，则BD ＝ ( ) A.713BC B.613BC C.137BC D.136BC 解析：选B 由题意，得BD ＝BA ＋AD ＝－AB ＋713AB ＋613AC ＝613(AC －AB )＝613BC ，所以选B. 6．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|＝|G |，则θ的值为( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选D 作OA ＝F 1，OB ＝F 2，OC ＝－G ，则OC ＝OA ＋OB ，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形， ∴∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为 ( ) A ．1 B.77C ．－1D.277解析：选A 设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ.又cos θ＝(a －2b )·a|a －2b |·|a |＝a 2－2a·b|a －2b |·|a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1.8．如图，e 1，e 2为互相垂直的两个单位向量，则|a ＋b |＝ ( ) A ．20 B.10 C ．2 5D.15解析：选C 由题意，知a ＝－12e 1－72e 2，b ＝－32e 1－12e 2，所以a ＋b ＝－2e 1－4e 2，所以|a ＋b |＝(－2e 1－4e 2)2＝4|e 1|2＋16e 1·e 2＋16|e 2|2＝20＝25，故选C.9．已知直角坐标系内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)使平面内的任一个向量c 都可以唯一表示成c ＝λa＋μb，则m的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C ．(－∞，3)∪(3，＋∞)D ．[－3,3)解析：选B 由已知，知a 与b 不共线，即1×(2m －3)≠3m ，∴m ≠－3. 10. 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB ＝a ，AC ＝b ，AF ＝xa ＋yb ，则(x ，y )为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫12，12 B.⎝⎛⎭⎫23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，13D.⎝⎛⎭⎫23，12解析：选C ∵AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴F 是△ABC 的重心，则DF ＝13DC ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13DC ＝AD ＋13(AC －AD )＝23AD ＋13AC ＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b ，∴x ＝13，y ＝13.11．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是 ( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：选B 法一：若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ，同理排除C ，D ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a ＝(3,2)表示出来．法二：因为a ＝(3,2)，若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ，同理排除C ，D ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1，所以a ＝2e 1＋e 2.12．已知Rt △ABC 的斜边AB 的长为4，点P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则PA ·PB 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，52 B.⎣⎡⎦⎤－52，52 C ．[－3,5]D ．[1－23，1＋23]解析：选C 建立如图所示的直角坐标系，设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，其中a >0，b >0，由已知得a 2＋b 2＝16，x 2＋y 2＝1，所以PA ·PB ＝(a －x ，－y )·(－x ，b －y )＝x 2－ax ＋y 2－by ＝1－(ax ＋by )，令ax ＋by ＝t ，由|t |a 2＋b2＝|t |4≤1得－4≤t ≤4，故PA ·PB 的取值范围是[－3,5]．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝________.解析：由题意，得a·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5. 答案： 514．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．解析：∵c ⊥a ，∴c·a ＝0，∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋a·b ＝0.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°15．在平行四边形ABCD 中，AB ＝e 1，AC ＝e 2，NC ＝14AC ，BM ＝12MC ，则MN ＝________(用e 1，e 2表示)．解析：∵NC ＝14AC ＝14e 2，∴CN ＝－14e 2.∵BM ＝12MC ，BM ＋MC ＝BC ＝AC －AB ＝e 2－e 1，∴MC ＝23(e 2－e 1)，∴MN ＝MC ＋CN ＝23(e 2－e 1)－14e 2＝－23e 1＋512e 2.答案：－23e 1＋512e 216．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°， AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－52. 答案：－52三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的射影的数量为－1，求：(1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·b .解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π3即为所求． (2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3.18．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12.∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·72＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.19．(本小题满分12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0， (1)用OA ，OB 表示OC .(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．解：(1)因为2 AC ＋CB ＝0，所以2(OC －OA )＋(OB －OC )＝0， 2OC －2OA ＋OB －OC ＝0，所以OC ＝2OA －OB . (2)证明：如图，DA ＝DO ＋OA ＝－12OB ＋OA ＝12(2OA －OB )．故DA ＝12OC .即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形．20．(本小题满分12分)如图，G 是△OAB 的重心，OG 的延长线交AB 于点M ，又P ，Q分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG ＝λPQ ，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP ＝x OA ，OQ ＝y OB ，证明：1x ＋1y是定值．解：(1)OG ＝OP ＋PG ＝OP ＋λPQ ＝OP ＋λ(OQ －OP )＝(1－λ) OP ＋λOQ . (2)由(1)及OP ＝x OA ，OQ ＝y OB ，得OG ＝(1－λ)OP ＋λOQ ＝(1－λ)x OA ＋λy OB . ① ∵G 是△OAB 的重心，∴OG ＝23OM ＝23×12(OA ＋OB )＝13OA ＋13OB . ②由①②得⎣⎡⎦⎤(1－λ)x －13OA ＝⎝⎛⎭⎫13－λy OB ，而OA ，OB 不共线，∴⎩⎨⎧(1－λ)x ＝13，λy ＝13，解得⎩⎨⎧1x＝3－3λ，1y ＝3λ，∴1x ＋1y ＝3，即1x ＋1y是定值． 21．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB ＝2e 1＋e 2，BE ＝－e 1＋λe 2，EC ＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC 的坐标；(3)已知点D (3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD 为平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE ＝AB ＋BE ＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE ＝k EC ，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，则(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC ＝BE ＋EC ＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC . 设A (x ，y )，则AD ＝(3－x,5－y )． ∵BC ＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16.又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k ，当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ；由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)，所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。