2013高考数学一轮同步训练(文科) 2.9函数与方程

第九节函数与方程

强化训练

1.函数f (x )=e 2x x +-的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 答案:C

解析:因为f (0)=-1<0,f (1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选C. 2.若0x 是方程lg x +x =2的解,则0x 属于区间( ) A.(0,1)

B.(1,1.25)

C.(1.25,1.75)

D.(1.75,2)

答案:D

解析:构造函数f (x )=lg x +x -2,由f (1.75)=7()4f =lg 71044

-<及f (2)=lg2>0知0x 属于区间(1.75,2).

3.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:

那么方程22x x =的一个根位于下列区间的( ) A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0) 答案:C

解析:由f (0.6)=1.516-0.36>0,f (1.0)=2.0-1.0>0,故排除A; 由f (1.4)=2.639-1.96>0,f (1.8)=3.482-3.24>0,故排除B;

由f (1.8)=3.482-3.24>0,f (2.2)=4.595-4.84<0,故可确定方程22x x =的一个根位于区间(1.8,2.2).

4.若方程ln x +2x -10=0的解为0x ,则不小于0x 的最小整数是 . 答案:5

解析:令f (x )=ln x +2x -10,则f (5)=ln5>0,f (4)=ln4-2<0. ∴045x <<.

∴不小于0x 的最小整数是5.

5.若函数()(x f x a x a a =-->0且1)a ≠有两个零点,则实数a 的取值范围是 . 答案:a >1

解析:设函数(0x y a a =>且1)a ≠和函数y =x +a ,则函数()(x f x a x a a =-->0且1)a ≠有两个零点,就是函数(0x y a a =>且1)a ≠与函数y =x +a 有两个交点,由图象可知当01时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y =x +a 所过的点(0,a )一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是a >1. 6.已知关于x 的二次函数2()(21)f x x t x =+-+1-2t . (1)求证:对于任意t ∈R ,方程f (x )=1必有实数根;

(2)若3124

t <<,求证:方程f (x )=0在区间(-1,0)及1

(0)2

,内各有一个实数根.

证明:(1)由f (1)=1知f (x )=1必有实数根. (2)当3124

t <<时,

因为f (-1)3344()04

t t =-=->,

f (0)1122()02

t t =-=-<,

3111()(21)1202424

f t t t =+-+-=->, 所以方程f (x )=0在区间(-1,0)及1

(0)2

,内各有一个实数根.

见课后作业B

题组一 函数的零点的判断

1.方程22x x +=的解所在区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

答案:A

解析:令()22x f x x =+-,则0(0)202f =+-=-1<01(1)2121f ,=+-=>0,所以方程

22x x +=的解所在区间是(0,1).

2.函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

答案:B 解析:由f 1

(1)30(2

f -=

-<,0)=1>0及零点存在性定理知f (x )的零点在区间(-1,0)上.

3.已知函数1()()3

x

f x =-lo

g 2x ,若实数0x 是方程f (x )=0的解,且100x x <<,则1()f x 的值

( ) A.恒为正值 B.等于零 C.恒为负值 D.不大于零

答案:A

解析:在同一坐标系中作出函数1()3

x

y =和y =log 2x 的图象,发现01x >,并且当10

0x x <<时,1()f x =11()3

x

-log 210x >.

题组二 函数零点的求法

4.用二分法求方程3250x x --=在区间[2,3]上的近似解,取区间中点02x =.5,那么下一个有解区间为 . 答案:[2,2.5]

解析:令3()25f x x x =--,则3(2)222f =-⨯-5=-1<0, f (2.5)=2.3522-⨯.5-5=5.625>0,故下一个有解区间为[2,2.5].

5.若函数f (x )的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则f (x )可以是( ) A.f (x )=4x -1 B.2()(1)f x x =- C.f (x )=e 1x - D.f (x )=ln 1()2

x -

答案:A

解析:f (x )=4x -1的零点为2

1()(1)4

x f x x =,=-的零点为x =1,f (x )=e 1x -的零点为

x =0,f (x )=ln 1

()2

x -的零点为32

x =.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点,因为

g (0)=-1,1()2g =1,所以g (x )的零点1(0)2

x ∈,.

又函数f (x )的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25, 只有f (x )=4x -1的零点适合.

6.设函数f (x )= 222[1)2(1)x x x x x -,∈,+∞,

⎧⎨-,∈-∞,,

⎩ 求函数F (x )=1()4f x -的零点.

解:当1x ≥时911()2220444

f x x x ,-=--=-=,

∴98

x =.