「精品」八年级数学上册第五章二元一次方程组5.4应用二元一次方程组_增收节支课时训练题新版北师大版

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5.4 应用二元一次方程组——增收节支

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8．(习题改编)甲、乙二人都以不变的速度在环形上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2 min相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6 min相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？
x＝1 3 2（x＋y）＝1，解：设甲、乙二人每分分别跑x，y圈，则有解得 6 （ x － y ）＝ 1. y＝1 6
10．(2016·凉山模拟)雅西高速公路于4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米．一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过 2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米．设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时，则下列正确的是( D )
x＋y＝70 A. 2.5x＋2.5y＝420 x－y＝70 B. 2.5x＋2.5y＝420 x＋y＝70 C. 2.5x－2.5y＝420 2.5x＋2.5y＝420 D. 2.5x－2.5y＝70
x＋y＝18 A. y－x＝16 x＋2y＝18 C. x－2y＝16 x＋y＝18 B. x－y＝16 x＋y＝18 D. 2x－y＝16
7．甲、乙二人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙，如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，则甲、乙两人的速度分别是
6米/秒，4米/秒
请解答下列问题：
蔬菜品种批发价(元/kg) 西红柿 3.6 青椒 5.4 西兰花 8 豆角 4.8
零售价(元/kg)
5.4
8.4
14
7.6
第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300 kg，用去了
1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少钱？
x＋y＝300，解：设批发西红柿x kg，西兰花y kg，由题意得 3.6x＋8y＝1 520. x＝200，解得 (5.4－3.6)×200＋(14－8)×100＝960元， y ＝ 100.

5.4应用二元一次方程组——增收节支

巩固练习
4、某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6 吨或粗加工蔬菜16吨(两种加工不能同时进行)。
销售方式每吨获利(元) 直接销售 100 粗加工后销售 250 精加工后销售 450
⑴如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，完成下列表：
销售方式全部直接销售全部粗加工后销售获利(元) 尽量精加工，剩余部分直接销售
⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间? ⑶这样加工可获利多少元？
1、已知有含盐20％与含盐5％的
盐水，若配制含盐14％的盐水200千克，
问需含盐20％和5％的盐水各多少千克？
巩固练习
2、某人以两种形式储蓄了800元，一种储蓄的年利率为10%，另一种储蓄的年利率为11%，一年到期时去提取，他共得
到利息85元5角，问两种储蓄他各存了多
少钱？
巩固练习
3、一笔贷款，分两次贷出，一份年利率为10％，另一份年利率为8％，一年时间共得利息4 400元。如果把两份的利率交换，那么利息一年可增加 200元，问这笔款有多少?
病人的需要？
合作探究
关键:找出等量关系.
每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量
每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量
每餐甲原料中含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量=35 每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40
每餐甲原料中含铁质量 =1×每餐甲原料的质量
合作探究
某工厂去年的利润（总收入—总支出）为 200万元。今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总收入、总支出各是多少万元？设去年的总收入为 x 万元，总支出为 y 万元。

2022年八年级数学上册第五章二元一次方程组5.4应用二元一次方程组__增收节支教案新版北师大版

5.4应用二元一次方程组——增收节支教学目标【知识与能力】1.能运用列表分析法分析数量关系；2.能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题.3．掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能.【过程与方法】经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养学习数学应用能力.【情感态度价值观】1.通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系.2.通过对问题的解决，培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的意识.教学重难点【教学重点】1.初步体会列方程组解决实际问题的步骤．2.学会用图表分析较复杂的数量关系问题.【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系.课前准备教具：教材，课件，电脑（视频播放器）学具：教材，练习本教学过程第一环节：创设情境，导入新课（5分钟，学生观看图片和实际问题，引发思考和提升解决问题的兴趣.创设问题情景，引导学生思考，导入课题）你想过吗？提出问题：同学们你知道你的生活有哪些必要开支吗？引发问题：经济生活在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化，生活的更加幸福惬意吗？那么你能帮帮解决下面的实际经济问题吗？教学进程：教师演示幻灯片，学生回答问题1．开商店小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价.由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他？2．购物新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”.你能帮助他吗？（最优化决策）最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike 400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？第二环节：新课讲解（15分钟，通过回答知识回顾问题，教师启发学生做经验提升；通过回答问题对学生能力进行及时评价，如果回答错误及时纠正.）知识回顾：填一填1. 某工厂去年的总产值是x 万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值是__________万元;2. 若该厂去年的总支出为y 万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;3. 若该厂今年的利润为780万元, 那么由1, 2可得方程___________________________.(1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x - (1-10%) y =780经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x )=b(其中:a 表示基数；x 表示增降率；b 表示目标数；增时为加，降时为减)例题探索例1 ＣＮＩ公司去年的利润（总产值—总支出）为200万元.今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元？分析：关键:找出等量关系.⎩⎨⎧=-=-万元今年的总支出今年的总产量万元去年的总支出去年的总产量780200 今年的总产值=去年总产值×(1+20%）今年的总支出=去年的总支出×(1—10%）相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！（题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个２×３的表格来分析看）得到两个等式： x —y =200 ，(1+20%) x —(1—10%) y =780.解：设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，则今年的总产值=（1+20%）x 万元，今年的总支出=（1—10%）y 万元. 由题意得:解得 ⎩⎨⎧=--+=-)2(.780%)101(%)201()1(,200y x y x ⎩⎨⎧==.1800,2000y x答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.教学进程：学生作相等关系、数量关系的分析，教师教学生画表格分析数量关系，并共同解答.例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？分析：找出等量关系.⎩⎨⎧=+=+.40,35每餐乙原料中含铁质量每餐甲原料中含铁质量量每餐乙原料中含蛋白质量每餐甲原料中含蛋白质每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量，每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量，每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量，每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量，由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关系之间的关系，有利于根据相等关系列方程.（题目中可分析蛋白质含量，铁的含量；甲、乙两种原料和病人配置的营养品，所以画个２ ×３的表格来分析；学生通常对要分析那些数量关系不太明确，所以讲解时要说明为什么会这样画表格）解：设每餐需要甲、乙两种原料各x , y 克，则有下表：由上表可以得到的等式：化简得：（1）×2得 10x +14y =700 (5)(5)－(4)得 10y =300⎩⎨⎧=+=+)2(.404.0)1(,357.05.0y x y x ⎩⎨⎧=+=+)4(.400410)3(,35075y x y xy =30将y =30代入(3)得 x =28答：每餐需甲原料28克，乙原料30克.第三环节：练习提高、合作学习；（5分钟，小组探究） 1．育才学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名? 设去年有寄宿学生x 名,走读学生y 名,则可列出方程组为. 分析：找出等量关系.去年寄宿学生＋去年走读学生＝３１００名今年寄宿学生＋今年走读学生＝３１００ ×（１＋４.４％）题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数．画个２ ×３的表格来分析⎩⎨⎧+⨯=-++=+%).4.41(3100%)21(%)61(,3100y x y x 2．编题有一个方程组：⎩⎨⎧+⨯=-++=+%).4.41(3100%)21(%)61(,3100y x y x 你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？活动规则：四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流．第四环节：问题解决；（10分钟，学生尝试独立解决问题，后全班交流）解决问题一小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价.由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？分析：找出等量关系.题目中可分析上衣，裤子；成本．实际售价和利润．画个２× ３的表格来分析上衣成本＋裤子成本＝５００元上衣利润＋裤子利润＝１５７元解：设上衣的成本价为x 元，裙子的成本价为y 元，则上衣利润元，裤子利润为0.9(1+40%)y -y 元，依题意得x +y =500，0.9×(1+50%)x -x +0.9×(1+40%)y -y =１５７. 整理得:x +y =500 ， ……① 35x +26y =１５７00. …… ② ②－① ×26,得9x =２700, ∴x =３００.把其代入①，得y =500－３００=２００x =３００， y =２００.答：上衣成本３００元，裙子成本２００元. 解决问题二新年来临爸爸想送Mike 一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Mike 说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”.你能帮助他吗？（1）解：设书包单价为x 元，则随身听单价为y 元,根据题意可列出方程：⎩⎨⎧=-=+.84,452y x y x 解之得：⎩⎨⎧==.360,92y x 答：书包单价92元，随身听单价360元. 最优化决策：聪明的Mike 想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？提示：书包单价92元，随身听单价360元. 2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×108=361.6（元） ∵ 361.6<400 ∴可以选择在人民商场购买.在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）.因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买. 因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱.第五环节：学习反思；（5分钟，学生思考回答，不足的地方教师补充和强调.）你的收获是什么？ x x -+⨯%)501(9.01．通过本节的学习活动，你会用列表分析数据吗？2．你能用列方程组的方法解决实际问题吗？3．你体会到方程思想在生活中的存在吗？小结：１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：分析求解抽象检验３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．。

北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组5.4应用二元一次方程组—增收节支(教案)

（1）掌握二元一次方程组在增收节支问题中的应用，建立实际问题与数学模型之间的联系；
（2）熟练运用二元一次方程组求解方法，解决实际问题；
（3）培养学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力。
举例：
在教学过程中，重点关注以下问题：
-如何引导学生从实际问题中抽象出二元一次方程组模型？
-如何指导学生运用所学求解方法，如代入法、消元法等，解决实际问题？
-通过实际案例，引导学生发现数量关系，建立方程组模型，如利润、返现等问题；
-在求解过程中，指导学生根据方程组的特点，选择合适的求解方法，并进行详细步骤讲解；
-对于复杂问题，指导学生抓住关键信息，进行问题分解，逐步求解，如购物返现问题中的最大返现策略。
在教学过程中，教师要关注学生对以下细节的理解：
-如何判断一个方程组是否为二元一次方程组？
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何建立实际问题中的方程组和选择合适的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤讲解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与增收节支相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用二元一次方程组解决实际问题。
3.解决以下典型例题：
（1）某企业计划生产甲、乙两种产品，已知生产一件甲产品利润为100元，生产一件乙产品利润为150元。若本月计划利润为30000元，问企业应生产甲、乙两种产品各多少件？
（2）某商店举行促销活动，购买甲商品满200元可返现30元，购买乙商品满300元可返现50元。小明打算用500元购物，求他购买甲、乙商品各花多少钱时，能够实现最大返现？
五、教学反思

北师版八年级数学上册第五章二元一次方程组4 应用二元一次方程组——增收节支

销售、增长率问题列
增收节支
表
储蓄问题
分析
行程问题
法
感悟新知
解题秘方：根据题意和表格中的数据，可以列出知1－练相应的方程组，然后求解即可 .
解：由题意，得ቊ1.25x+x1+.y3=y5=2502，0+140，
解得ቊxy==322000，. 所以 1.25x=400，1.3y=260. 答： 2023 年进口额是 400 亿元，出口额是 260 亿元 .
第五章二元一次方程组
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
学习目标
1 课时讲解列方程组解决增收节支问题
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
感悟新知
知识点 1 列方程组解决增收节支问题
知1－讲
常见问题数量关系 ( 或等量关系 )
注意
①增长(降低)率 =
审题时，①看清是
增长(降低) 率问题
800，解得xy＝＝3500.，
答：A 种服装购进 50 件，B 种服装购进 30 件．
感悟新知
知1－练
(2)如果 A 种服装按标价的 8 折出售， B 种服装按标价的 7 折出售，那么这批服装全部售完后，服装店的毛利润为__1__3_6_0__元 .
知1－练
例3 张明沿公路匀速前进，每隔4 min 就迎面开来一辆公共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度.
由题意，得ቊ71(0x(＋x－y)y＝)＝14104，0. 解得ቊyx＝＝31.7，答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为 3 km/h.

5.4应用二元一次方程组——增收节支知识点及练习

5.4 应用二元一次方程组——增收节支知识点列方程组解应用题常用的公式（1）有关销售问题的公式①利润=总产值-总支出②利润率=总产值总支出总产值-×100% ③商品利润=销售价格-进货价格④商品利润率=商品进价商品利润×100% （2）列方程组解应用题常用的关系式还有①工程问题：工作量=工作效率×工作时间②行程问题：路程=速度×时间顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度③浓度问题：溶质=溶液×浓度④储蓄问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息自测：夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各1瓶共花费7元，调价后上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？重难点：列方程组解决有关行程问题例1：从甲地到乙地的路有一段上坡，一段下坡。

如果上坡评教每分钟走50m,下坡平均每分钟走100m,那么从甲地走到乙地需要25min,从乙地走到甲地需要20min，甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？变式：某人沿公路匀速前进，每隔4min就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6min就有一辆公共汽车从背后超过他。

假定公共汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200m,求此人前进的速度和公共汽车的速度以及公共汽车每隔几分钟发一班车。

易错点：列方程组解应用题时，没有审清题意而导致的错误例2：某商场以每件a元购进一种服装，如果规定以每件b元卖出，平均每天卖出15件，30天共获利润22500元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价20%卖出，结果平均每天比降价前多卖出10件，这样30天仍然可获利润22500元，试求a,b的值。

（每件服装的利润=每件服装的卖出价-每件服装的进价）。

八年级数学上册《第五章4 应用二元一次方程组——增收节支》讲解与例题

《第五章4 应用二元一次方程组——增收节支》讲解与例题1．列方程组解答生活中的增收节支问题在生活中，咱们时刻都在与经济打交道，常常面临利润问题、利息问题等．解决这种问题，应熟记一些大体公式：(1)增加率问题：增加率＝增长量计划量×100%. 打算量×(1＋增加率)＝增加后的量；打算量×(1－减少率)＝减少后的量．(2)经济类问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品的利润商品的进价×100%. 【例1】某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？分析：可列下表(去年总产值x 万元，总支出y 万元)：总产值总支出差去年x y 500 今年 (1＋15%)x (1－10%)y950 题中有两个相等关系：(1)去年的总产值－去年的总支出＝500万元；(2)今年的总产值－今年的总支出＝950万元．解：设去年的总产值是x 万元，去年的总支出是y 万元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝500，1＋15%x －1－10%y ＝950. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 000，y ＝1 500.因此(1＋15%)x ＝2 300，(1－10%)y ＝1 350.因此今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元．谈重点分析表格中数字含义找等量关系先认真审题，找出问题中的已知量和未知量．再借助于表格分析具体问题中蕴涵的数量关系，问题中的相等关系就会清楚地浮现出来．2．列方程组解答行程问题、水路问题、工程问题在咱们的生活中，常常面临行程问题、水路问题、工程问题．解决这种问题，应熟记一些大体公式：(1)行程问题的大体数量关系：路程＝速度×时刻．(2)水路问题的大体数量关系：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度．(3)工程问题的大体数量关系：工作量＝工作效率×工作时刻．【例2－1】 A 市至B 市航线长1 200 km ，一架飞机从A 市顺风向飞往B 市需2小时30分，从B 市逆风向飞往A 市需3小时20分．求飞机的速度与风速．分析：此题中明显的未知数有两个，即：飞机的速度与风速．除此之外，还有两个隐藏的未知数，即：顺风速度与逆风速度．因此咱们能够通过设直接未知数和间接未知数，列出二元一次方程组求解．解：设飞机速度为x km/h ，风速为y km/h ，依照路程＝速度×时刻列出方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ 212x ＋y ＝1 200，313x －y ＝1 200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝420，y ＝60. 因此飞机的速度为420 km/h ，风速为60 km/h.【例2－2】某地为了尽快排除堰塞湖险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽，经计算需挖出土石方13.4万立方米，开挖2天后，为了加速施工进度，又增调了大量的人员和设备，天天挖的土石方比原先的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比打算时刻大大提早．依照以上信息，求原打算天天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后天天挖土石方多少万立方米？分析：抓住关键语句：开挖2天和增调人员后所干的3天里，一共挖出土石方13.4万立方米；天天挖的土石方比原先的2倍还多1万立方米来构建数学模型．解：设原打算天天挖土石方x 万立方米，增调人员和设备后天天挖y 万立方米，依据题意，可列出方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，2x ＋5－2y ＝13.4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.3，y ＝3.6.因此原打算天天挖土石方1.3万立方米，增调人员和设备后天天挖3.6万立方米．3．配套问题中的相等关系在实际问题中，大伙儿常见到一些配套组合问题，如螺钉与螺母的配套，盒身与盒底的配套等．解决这种问题的方式是抓住配套关系，设出未知数，依照配套关系列出方程组，通过解方程组解决问题．产品配套是工厂生产中大体原那么之一，如何分派生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系．常见的题型有：(1)配套与人员分派问题．(2)配套与物质分派问题．析规律配套问题配套问题的背景尽管不同，但解决问题的方式是一样的，需要抓住配套问题的关键语句进行配套．【例3】某车间22名工人一辈子产螺钉和螺母，每人天天平均生产螺钉1 200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使天天生产的产品恰好配套，应该分派多少名工人一辈子产螺钉，多少名工人一辈子产螺母？分析：此题的配套关系是：一个螺钉配两个螺母，即螺钉数∶螺母数＝1∶2.解：设分派x 名工人一辈子产螺钉，y 名工人一辈子产螺母，那么一天生产的螺钉数为1 200x 个，生产的螺母数为2 000y 个．依照题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝22，2×1 200x ＝2 000y . 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝22，6x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝12. 因此为了使天天生产的产品恰好配套，应安排10名工人一辈子产螺钉，12名工人一辈子产螺母．4．注意及时幸免一些常见的错误二元一次方程组是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，其应用即能够将实际问题转化为数学模型，列出二元一次方程组，最终求得符合实际的解．而在具体求解时，很多同窗由于审题不清等问题，总会显现如此那样的错误，这就要求咱们认真地审题，及时地找出题目中的等量关系．若是两车相向而行，那么其相对速度为速度之和，若是两车同向而行，那么其相对速度为速度之差，这一点很多同窗是可不能明白得错的，问题是在相对移动的进程中，移动的距离应为两车的长度之和，很多同窗往往忽略这一点而造成错解．【例4】一列快车长168 m ，一列慢车长184 m ，若是两车相向而行，从相碰到离开需4 s ，若是同向而行，从快车追及慢车到离开需16 s ，求两车的速度．分析：两车相向而行，其相对速度为两车的速度之和，两车同向而行，其相对速度为两车的速度之差，如此设快车速度为x m/s ，慢车速度为y m/s ，即可利用方程组求解．解：设快车速度为x m/s ，慢车速度为y m/s. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝168＋184，16x －y ＝168＋184，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝352，16x －16y ＝352，也即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝88，x －y ＝22. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝55，y ＝33.因此快车的速度为55 m/s ，慢车的速度为33 m/s.。

北师大数学八年级上册第五章5.4应用二元一次方程组(增收节支)

5.4应用二元一次方程组（增收节支）知识精讲步骤1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；4．解方程组；5．检验：检验方程的根是否符合题意；6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．二、基本公式单价×数量=总价利润=实际售价-成本实际售价=标价（原价）×折扣利润率= 利润成本×100%三点剖析易错点：1.正确找出等量关系列出方程2.注意单位要统一，单位不同的量不可直接相加减3.要根据应用题的实际意义检查所求得的结果是否合理，不符合题意的要舍去增收节支例题1、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？【答案】商品定价为200元．【解析】设此商品的定价为x元，进价为y元，根据题意，得0.920%0.810x y y x y -=⎧⎨-=⎩，解得200150x y =⎧⎨=⎩，因此，此商品定价为200元．例题2、某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元，去年的总产值为________万元，总支出是________万元．【答案】 2000；1800【解析】设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，则有根据题意得：200(120%)(110%)780x y x y -=⎧⎨+--=⎩，解得：20001800x y =⎧⎨=⎩．答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元．例题3、某中学组织七年级同学到银川春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用60座客车，则多出1辆，且其余客车恰好坐满，已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元，试问：（1）七年级人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）要使每个同学都有座位，怎样租车更合算？【答案】（1）七年级共有240人，计划租5辆车（2）见解析【解析】（1）设七年级人数是x 人，原计划租y 辆车，则45156060x y y x -=⎧⎨-=⎩，解得2405x y =⎧⎨=⎩，答：七年级共有240人，计划租5辆车．（2）租45座（5+1）×220=1320元；租60座（5﹣1）×300=1200元；租4辆45座1辆60座 4×220+300=1180元，租4辆45座1辆60座更合算．随练1、某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：总产值／万元总支出／万元利润／万元去年 x y 200 今年（1＋20％）x （1－10％）y 780销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（元） 100 250 450（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？【答案】（1）见下表：（2）应安排10天进行精加工，5天进行粗加工．【解析】（1）全部直接销售获利为：100×140=14000（元）；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000（元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）．（2）设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工．由题意，得15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩．解得，105x y =⎧⎨=⎩．故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工．随练2、列二元一次方程组解应用题某工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．【答案】去年总收入为200万元，总支出为150万元【解析】设去年总收入为x 万元，总支出为y 万元，根据题意得：50(110%)(120%)100x y x y -=⎧⎨+--=⎩，解得：200150x y =⎧⎨=⎩．答：去年总收入为200万元，总支出为150万元．课后练习1.小林在某商店购买商品A ，B 共三次，只有其中一次购买时，商品A ，B 同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A 、B 的数量和费用如表所示，（1）在这三次购物中，第_____次购物打了折扣；（2）求出商品A 、B 的标价；销售方式全部直接销售全部粗加工后销售尽量精加工，剩余部分直接销售获利（元）销售方式全部直接销售全部粗加工后销售尽量精加工，剩余部分直接销售获利（元） 14000 35000 51800（3）若商品A 、B 的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？【答案】略【解析】解：（1）对比第二次和第三次可以发现，由购买的A 和B 的数量都增多时，购买总费用反而降低可知，所以小林在第三次以折扣价购买了商品A 和B ．故答案为：三；（2）设商品A 的标价为x 元，商品B 的标价为y 元，根据题意，得，{6x +5y =11403x +7y =1110 解得：{x =90y =120．答：商品A 的标价为90元，商品B 的标价为120元；（3）设商店是打a 折出售这两种商品，根据“单价×数量=总价”、“标价×折扣=售价”，得（9×90+8×120）×=1062.解得：a=6．答：商店是打6折出售这两种商品的．2.有一商场计划用7万元从厂家购进60台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场销售一台甲种电视机可获利200元，销售一台乙种电视机可获利300元，销售一台丙种电视机可获利400元，在同时购进两种不同型号电视机方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？【答案】略【解析】解：（1）设购买电视机甲种x 台，乙种y 台，丙种z 台，由题意得：①{x +y =60100x +1300y =70000，解得{x =40y =20. ②{z +y =602100z +1300y =70000 解得{x =70y =−10（舍去） ③{x +z =60100x +2100z =70000 解得{x =56z =4. 综上所述，进货方案为：甲种40台，乙种20台或甲种56台，乙种4台；（2）方案一：40×200+20×300=14000（元）．方案二：56×200+4×400=12800（元）．购买甲种电视机40台，乙种电视机20台获利最多．3．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据题意得：{6x +3y =66050×0.8x +40×0.75y =5200，解得：{x =70y =80．答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）=3120（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．4．某专卖店有A ，B 两种商品．已知在打折前，买20件A 商品和10件B 商品用了400元；买30件A 商品和20件B 商品用了640元．A ，B 两种商品打相同折以后，某人买100件A 商品和200件B 商品一共比不打折少花640元，计算打了多少折？【解答】解：设打折前A 商品的单价为x 元/件，B 商品的单价为y 元/件，根据题意得：{20x +10y =40080x +20y =640，解得：{x =16y =8．打折前，购买100件A 商品和200件B 商品一共要用100×16+200×8=3200（元），打折后，购买100件A 商品和200件B 商品一共要用3200﹣640=2560（元），∴=．答：打了八折．。

北师大版数学八年级上册5.4《应用二元一次方程组-增收节支》教案

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组在增收节支中的基本概念。二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的，它可以描述现实生活中的多种问题，如成本、收入和利润的关系。它是解决实际问题的重要数学工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一家公司计划通过提高产量和单价来增加收入，同时减少某些不必要的开支。我们将建立相应的二元一次方程组来分析这个问题。
举例：
a.难点突破：通过引入具体的增收节支情景，如家庭预算、企业成本利润等，帮助学生理解问题背后的数学关系，并引导学生将其转化为二元一次方程组。
b.方法运用：教师应通过示例演示代入法、消元法的步骤，并指导学生通过练习逐步掌握这些方法，特别是在选择哪个方程和变量进行消元时，要明确解释原理和步骤。
c.错误分析：在学生解题后，教师应收集和分析常见的错误类型，如错误的方程转化、不恰当的消元选择等，并通过讲解和练习帮助学生克服这些难点。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于将实际问题转化为二元一次方程组的过程感到有些困难。这并不意外，因为将现实生活中的问题抽象成数学模型确实是一个挑战。我尝试通过具体的案例和引导性问题来帮助学生理解这个过程，但感觉还需要更多的实践和练习。
课堂上，我注意到一些学生在解方程组时对代入法、消元法的运用不够熟练。这让我意识到，需要设计更多的习题和例题来加强他们对这些解题技巧的掌握。同时，我也发现个别学生在选择消元的变量时犹豫不决，这说明他们对这一步骤的理解还不够深入。在未来的教学中，我需要更加注重对这一难点的解释和练习。
小组讨论的环节进行得比较顺利，学生们能够积极参与，提出自己的见解。但我观察到一些小组在分享成果时表达不够清晰，可能是因为他们对问题的理解还不够深入。为此，我计划在下一节课中增加一些口语表达和逻辑思维训练，帮助学生们更好地组织和表达自己的思路。

八年级数学上册第五章二元一次方程组 5.4 应用二元

4 应用二元一次方程组——增收节支
1.利润率=总产总值产-总值支出×100%;利润=售价- 进价 .
2.甲、乙两件衣服的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将
甲服装按50%Βιβλιοθήκη 利润定价,乙服装按40%的利润定价,在实际出售时,
应顾客需求,两件衣服均按9折出售,这样商店共获利157元,求甲、
乙两件服装的成本各是多少元.
= =
300, 200.
故甲服装成本 300 元,乙服装成本 200 元.
1.(2017台湾中考)威立到小吃店买水饺,他身上带的钱恰好等于15 个虾仁水饺或20个韭菜水饺的价钱,若威立先买了9个虾仁水饺,则他身上剩下的钱恰好可买多少个韭菜水饺( B )
A.6 B.8 C.9 D.12
解析:设1个虾仁水饺为x元,1个韭菜水饺为y元, 则由题意可得15x=20y,即3x=4y.
分析:存在两个等量关系:甲服装的成本+乙服装的成本=500;甲
的利润+乙的利润=157.
解:设甲服装的成本为 x 元,乙服装的成本为 y 元,则
�� + �� = 500,
(1 + 50%)��·90% + (1 + 40%)��·90%-500 = 157,
解得
��
则15x-9x=6x=2×3x=2×4y=8y,
故他身上剩下的钱恰好可买8个韭菜水饺,故选B. 2.某企业有90人加工螺母与螺栓(2个螺母与1根螺栓配套),每人每时平均加工螺母15个或螺栓12根.如何分配人数,才能使加工的螺母题与意螺得栓方正程好组配��1��5套+��?��=如�� =2果9×设01,加2��工�� . 螺母需要x人,加工螺栓需要y人,由解析:两个等量关系:①加工螺母人数+加工螺栓人数=90人;②加工螺母数量=2×加工螺栓数量.

八年级数学上册第五章二元一次方程组 5.4 应用二元一次方程组—增收节支课件

（1）设一、二两班学生数分别为x名，y名，填写下表。
学生数达标学生数
一班
x 87.5%x
二班
y 75%y
两班总和
100 100×81%
第七页，共十一页。
反馈练习巩固新知 (gǒnggù)
（2）求出一、二两班(liǎnɡ bān)的学生数各是多少？
答：一班(yī bān)有学生48名名，二班有学生52名。
增收节支(zēng shōu jié zhī)
第一页，共十一页。
课堂导入 (kètáng)
做一做：
复习回顾
1、工艺商场(shāngchǎng)按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35 元销售该工艺品12件所获利润相等.设该工艺品每件的进价为x元，则标价为45+x元，等量关系：8（45+x）×0.85-
8x=（45+x-35）×12-12x
2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售
(chūshòu)，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售(chūshòu)后，
商家所获利润率为40%。设这种鞋的标价为x,等量关系：
40%80%x60 60
第二页，共十一页。
合作交流探究新知 (tànjiū)
克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7
单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么(nàme)每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析解题关键(guānjiàn):找出等量关每餐甲原料系中式含.蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量每餐甲原料中含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量=35

八年级数学上册第五章二元一次方程组 5.4 应用二元一次方程组——增收节支教学课件

解得:
x=2, y =5.
12/13/2021
第十六页，共二十一页。
4.某人以两种形式存8000元,一种储蓄的年利率为10%, 另一种储蓄的年利率为11%.一年到期(dào qī)后,他共得利息855元(没有利息税),问两种储蓄他各存了多少钱?
解：设年利率为11%的存x元,年利率10%存 y元.
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去年今年
x (1+20﹪)x
y
(1-10﹪)y
200
780
12/13/2021
第七页，共二十一页。
分析(fēnxī)
今年的总产值=
去年总产值×(1+20%）
关键:找出等量关系.
今年的总支出=去年的总支出×(1—10%）
去年(qùnián)的总产值—去年(qùnián)的总支出=200万元，
结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比
（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方
程组应为（） D
A．
6x 5 y,
x
2y
40
B．
6x 5 y,
x
2y
40
12/13/2021
5x 6 y,
C．
x
2 y 40
D．
x+y=100 87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100
所以一、二班(èr bān)的学生数分别为48名和52名.
12/13/2021
第十九页，共二十一页。
课堂(kètáng)小结
增长率、利润(lìrùn)问题
列方程组解决实际(shíjì)问题