高中数学第二章§2.4线性回归方程配套课件苏教版必修

答 都不是函数关系．因为当其中一个变量变化时，另一个变量 的变化还受其它因素的影响．
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问题3 “名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就 越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数 关系吗？为什么？
答
不是函数关系．因为学生的成绩提高的原因是多个因素
^ ^
的距离的平方和，可以用来衡量直线 y ＝bx＋a与图中六个点的接 近程度，所以，设法取a，b的值，使Q(a，b)达到最小值．这种方 法叫做最小平方法(又称最小二乘法)．经研究知：当a，b分别为 下面的值时，Q(a，b)达到最小值．
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n n n n xiyi－ xi yi i＝1 i＝1 i＝1 ， b＝ n n 2 n xi － xi2 i＝1 i＝1 a＝ y － b x . 像这样能用直线方程y＝bx＋a近似表示的相关关系叫做线性相 关关系，一般地，设有n对观察数据如下：
答 在平面直角坐标系中，表示两个变量的一组数据图形， 称为散点图．
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探究点三 最小平方法
问题1 在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱 分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，上 述问题中卖出热茶的杯数与当天气温的散点图中的点的 分布有什么特点？
答 这些点大致分布在一条直线附近．
【学习要求】 1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系； 2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是 否具有线性关系； 3．会求数据的线性回归方程，并根据线性回归方程做出合理的 判断． 【学法指导】 通过现实问题认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍 存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相 关关系；经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知 道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建 立线性回归方程.
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探究点一 变量之间的相关关系
问题1 当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确 定，则这两个变量之间是怎样的关系？
答 这两个变量是一个函数关系．
问题2 考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想它们的关系是 函数关系吗？为什么？ (1)商品销售收入与广告支出经费； (2)粮食产量与施肥量； (3)人体内的脂肪含量与年龄．
Q(a，b)＝(26b＋a－20)2＋(18b＋a－24)2＋(13b＋a－34)2＋ (10b＋a－38)2＋(4b＋a－50)2＋(－b＋a－64)2＝1 286b2＋6a2＋ 140ab－3 820b－460a＋10 172，
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先把a看作常数，那么Q是关于 b的二次函数．易知，当 b＝ 140a－ 3 820 － 时， Q取得最小值．同理，把 b看作常数，那么 Q 2×1 286 140b－ 460 是关于 a的二次函数．当 a＝－ 时， Q取得最小值．因 12 此，由此解得 b≈－ 1.647 7， a≈ 57.556 8.所求直线方程为 y＝ － 1.647 7x＋ 57.556 8. 当 x＝－ 5时， y ≈ 66，故当气温为－ 5℃ 时，热茶销量约为 66杯． ^ 小结 Q(a，b)是直线 y ＝bx＋a与各散点在垂直方向(纵轴方向)上
(1)选择能反映直线变化的两个点，例如取(4,50)，(18,24)这两点 的直线； (2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本 相同； (3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别算出各条直线斜率、 截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距． 问题4 用怎样的标准确定直线来近似地表示热茶销量与气温之间的 关系呢？ ^ 答 用方程为y＝bx＋a的直线拟合散点图中的点，应使得该直线
的共同结果，并不由老师这一个因素唯一确定．况且一个老 师教几十个学生，也有成绩差的．
小结 问题2、问题3中两个变量之间的关系是一种非确定性关 系，称之为相关关系．
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问题4 函数关系与相关关系之间的区别与联系是怎样的？
答
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是
一种非确定性关系．函数关系是一种因果关系而相关关系不一 定是因果关系，也可能是伴随关系，函数关系与相关关系之间 有着密切联系，在一定条件下可以互相转化．
机动车辆数x/千台 交通事故数y/千件
95
110 112 120 129 135 150 180 8.5 8.7 9.8 10.2 13
6.2 7.5 7.7
解 在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图．
直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．
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从而计算相应的数据之和：
与散点图中的点最接近．
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问题5 怎样衡量直线y＝bx＋a与图中六个点的接近程度呢？
答 将表中给出的自变量x的6个值带入直线方程，得到相应
^
^
的六个 y 的值，26b＋a,18b＋a,13b＋a,10b＋a,4b＋a，－b＋a. 这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好．所以，我们 用类似于估计平均数时的思想考虑离差的平方和；
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x y
x1 y1
x2 y2
x3 y3
„ „
xn yn
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当a，b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋„＋(yn－bxn－a)2 取得最小值时，就称 y ＝bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方 程，该方程所表示的直线称为回归直线． 线性回归方程y＝bx＋a中的系数a，b可以用下面公式计算，
解 从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了
吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是 很多因素共同作用的结果．我们可以找到长寿的吸烟者，也更容 易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问 题．但吸烟引起健康问题的可能性大．因此“健康问题不一定是 由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的．
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例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
解 两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关 关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻 产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关 性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函 数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就 不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交 通事故的发生率之间具有相关关系．
解 (1)散点图如下．
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(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x 线性相关．
(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算．
i xi yi xiyi x2i 1 40 12 2 50 20 3 55 27 4 60 36 5 67 46 6 70 56
300 400 500 600 700 800
问题2 探究点二导引中卖出热茶的杯数与当天气温的关系 可用怎样的函数近似地表示出来？为什么？ 答 可用一次函数近似地表示，因为卖出热茶的杯数与当 天气温的散点图中的点大致分布在一条直线附近．
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问题3 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？
答 可能有多种思考方案：
问题1 观察上表中的数据，随着气温的降低，卖出热茶的杯数 发生了怎样变化？ 答 随着气温的降低，卖出热茶的杯数逐渐增加．
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问题2 以x轴表示气温，y轴表示热茶销量，你能将表中数据 构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出吗？
答
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问题3 问题2画出的坐标系叫做散点图，你能给散点图下个 定义吗？
a＝ y －b x ＝57－0.058 86×550＝24.627.
因此所求的线性回归方程为y ＝0.058 86x＋24.627. (4)将x＝1 000代入回归方程得 y＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487， 即退水温度是1 000℃时， 黄酮延长性大约是83.487%.
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a，b满足
上式还可以表示为
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[问题情境]
在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数
学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照 这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种 关系，显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述， 那么这究竟是一种什么关系？下面我们共同来研究．
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探究点二 散点图
导引 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机 统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温/℃ 杯数
26 20
18 13 10 24 34 38
4 50
－1 64
如果某天的气温是－5℃，那么你能根据这些数据预测这天 小卖部卖出热茶的杯数吗？
填一填·知识要点、记下疑难点
1．与函数关系不同，相关关系是一种有一定的关系，但不 是确定性的关系．
填一填·知识要点、记下疑难点
2．能用直线方程 y ＝bx＋a 近似表示的相关关系叫做线性相 关关系，该方程叫
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线性回归方程
，给出一组数据
(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，线性回归方程中的系数
000 000 500 000 900 000 90 160 250 360 490 640 000 000 000 000 000 000 x ＝550， y ＝57