一元二次方程
一元二次方程式解法公式
一元二次方程式解法公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。
解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。
一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。
1. 当方程有实数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ的值决定了方程的根的性质：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
2. 当方程有复数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。
与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。
当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。
根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。
需要注意的是，解法公式只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程不适用。
此外，解法公式的使用还需要注意以下几点：1. 在计算解时，需要先计算出判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质。
2. 当判别式的值为0时，仍然需要进行计算，并且在计算过程中需要注意虚部的表示方式。
1元二次方程的解法
1元二次方程的解法1元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数且 a 不为 0。
求解 1 元二次方程的方法主要有以下几种：一、因式分解法当二次项系数 a 为 1 时，若二次方程 ax^2 + bx + c = 0 能够分解成 (x + m)(x + n) = 0 的形式，则方程的解为 x = -m 和x = -n。
二、公式法对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中√(b^2 - 4ac) 称为判别式，它决定了方程的解的个数和性质：若判别式大于 0，则方程有两个不相等的实数解。
若判别式等于 0，则方程有两个相等的实数解。
若判别式小于 0，则方程无实数解，但有 2 个共轭复数解。
三、配方法配方法适用于二次项系数 a 为 1 的情况。
将 x^2 + bx + c = 0 变形为 (x + b/2)^2 = (b^2 - 4c)/4，然后求出 x 的值：x = -b/2 ± √((b^2 - 4c)/4)四、韦达定理法韦达定理适用于二次项系数 a 为 1 的情况。
若方程 x^2 + bx + c = 0 的两个解为 x1 和 x2，则：x1 + x2 = -bx1 x2 = c利用这两个关系式可以求出 x1 和 x2。
举例：求解二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
使用公式法：x = (-(-5) ±√((-5)^2 - 4(1)(6))) / 2(1)= (5 ± √(25 - 24)) / 2= (5 ± 1) / 2因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。
拓展：除了上述方法外，求解 1 元二次方程还有其他一些方法，例如：图形法：将二次方程转化为抛物线方程，然后通过抛物线的图象求解方程的解。
数值法：使用二分法或牛顿法等数值方法求解方程的近似解。
1元二次方程公式法题目
1元二次方程公式法题目一、一元二次方程的一般形式与求根公式1. 一元二次方程的一般形式- 一元二次方程的一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项。
2. 求根公式- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
求根公式的推导是通过配方法得到的。
- 在求根公式中，b^2-4ac叫做判别式，记作Δ。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根。
二、题目示例与解析1. 题目- 解方程x^2-2x - 3 = 0。
2. 解析- 对于方程x^2-2x - 3 = 0，这里a = 1，b=-2，c=-3。
- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-2)^2-4×1×<=ft(-3)=4 + 12=16。
- 因为Δ = 16>0，所以方程有两个不相等的实数根。
- 根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，可得x=(-<=ft(-2)±√(16))/(2×1)=(2±4)/(2)。
- 当取+时，x_1=(2 + 4)/(2)=3；- 当取-时，x_2=(2-4)/(2)=-1。
3. 题目- 解方程2x^2-3x+1 = 0。
4. 解析- 对于方程2x^2-3x + 1=0，其中a = 2，b=-3，c = 1。
- 计算判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-3)^2-4×2×1=9 - 8 = 1。
- 因为Δ=1>0，方程有两个不相等的实数根。
- 由求根公式可得x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}=(3±√(1))/(4)。
一元二次方程公式
一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
一元二次方程概念
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程式
四、一元二次方程式就一般而言，凡是使得方程式等号成立的数称之为方程式的解；而使得多项式的值为零的数称之为多项式的根。
因此，一元二次方程式的解就是所对应的二次多项式的根。
所以，我们也称此类方程式的解为根。
我们将首先介绍常见的一元二次方程式的三种解法：因式分解法、配方法和公式解。
然后，利用判别式来探讨两根的特性，最后再讨论根与系数之间的关系。
4-1 一元二次方程式的解法【因式分解法】因为一元二次方程式20ax bx c ++=（a 、b 和c 为实数且a ≠0）的左式为二次多项式，如果我们能将这个多项式因式分解成两个一次多项式的乘积，就很容易求得方程式的解。
我们以下面的例子来说明这种解法。
【范例1】求22151x x +=-的解。
【解】 利用移项可把原方程式改写为 2252x x -+= 0。
由因式分解，可得2252x x -+= (21)(2)x x -- 因此，原方程式改写为(21)(2)x x --= 0 所以，可得210x -=或20x -= 即12x =或2x =。
【类题练习1】求231030x x ++=的解。
【配方法】我们也可以利用平方根的概念来解方程式，例如将2420x x -+=改写为2(2)2x -=的形式，进而解得2x =2420x x -+=⇒242x x -=-两边同加22 ⇒22222222x x -⋅⋅+=-+左式可写成完全平方式 ⇒ 2(2)2x -=∵右式为正，两边开平方 ⇒ 2x -=⇒ 2x =上面的例子是利用配成完全平方式的方法，先将方程式改写成 (x －h )2＝k 的形式。
当0≥k 时，我们就可以利用平方根的概念来解题： 即 2()0x h k -=≥两边同时开方 ⇒ x -h =移项 ⇒ x = h注：x = h ±表示x = h x = h我们将这个方法称为配方法，也就是配成完全平方的意思。
以下的例题继续来说明这种解法。
【范例2】求下列各方程式的解：(1) 2680x x -+= (2) 22460x x +-=【解】 (1) 2680x x -+=⇒2238x x -⋅⋅=-⇒22223383x x -⋅⋅+=-+⇒ 2(3)1x -=⇒31x -=±⇒ x -3 = 1或x -3 =-1⇒ x = 2或x = 4(2) 22460x x +-=⇒2230x x +-=⇒223x x +=⇒22221131x x +⋅⋅+=+⇒2(1)4x +=⇒12x +=±⇒12x +=或12x +=-⇒1x =或3x =-在上例中，我们当然也可用十字交乘法来做因式分解。
一元二次方程拆分
一元二次方程拆分摘要：一、一元二次方程的概念1.一元二次方程的定义2.一元二次方程的标准形式二、一元二次方程的拆分方法1.因式分解法2.完全平方公式法3.十字相乘法三、拆分一元二次方程的实例1.因式分解法实例2.完全平方公式法实例3.十字相乘法实例四、总结与拓展1.拆分一元二次方程的意义2.不同拆分方法的特点与适用范围3.一元二次方程在其他领域的应用正文：一元二次方程是中学数学中的一个重要概念，通常形式为ax+bx+c=0（a≠0）。
在解决实际问题时，我们常常需要将一元二次方程进行拆分，将其化为更简单的形式，以便于求解。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是一个包含两个未知数（通常为x）的二次方程。
它的标准形式为ax+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c 为常数，分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次方程的拆分方法拆分一元二次方程的方法有多种，这里我们介绍三种常用的方法：因式分解法、完全平方公式法和十字相乘法。
1.因式分解法：通过找到两个数，使得它们的乘积等于方程的常数项，再找到一个数，使得它与方程的一次项系数的和等于这两个数的和。
然后，将方程分解为两个一次方程的乘积，从而简化方程。
2.完全平方公式法：利用完全平方公式(a+b)=a+2ab+b，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而简化方程。
3.十字相乘法：通过交叉相乘的方法，将方程的常数项分解为两个数的乘积，再将这两个数分别代入方程的一次项系数，求得两个解，从而简化方程。
三、拆分一元二次方程的实例下面我们通过实例来具体讲解这三种拆分方法。
1.因式分解法实例：假设我们有一个一元二次方程3x-6x-10=0，首先我们可以找到两个数的乘积等于-10（如-2 和5），然后找到一个数，使得它与方程的一次项系数的和等于这两个数的和（如-6=-2-5）。
于是，我们可以将方程分解为(3x-2)(x-5)=0，从而求得解x=2/3 和x=5。
2.完全平方公式法实例：假设我们有一个一元二次方程x-6x+9=0，我们可以发现这个方程已经是完全平方的形式，即(x-3)=0，从而求得解x=3。
一元2次方程公式
一元2次方程公式
在数学中，一元二次方程公式是一种非常重要的概念，它可以用
来解决多种问题。
一元二次方程公式通常写成 ax^2 + bx + c = 0 的
形式，其中a、b、c是已知的数（a ≠ 0），x是未知数。
这样的方程也被称为二次方程。
尽管这个公式看起来很简单，但求解它的过程却非常复杂。
首先，我们可以使用这个公式来求解未知数x 的值，从而得出方程的解。
具体来说，我们需要将给定的数a、b和c代入公式，并使用求根公式来
求解x。
如果方程有两个实数解，则表示a、b和c的值满足特定关系。
如果方程没有实数解，则称该方程无解。
另外，我们也可以使用二次方程公式来解决实际生活中的问题。
例如，假设我们知道一个物体从地面上抛出，最高点的高度为h，抛出角度为α，则可以使用二次方程公式计算出物体抛出的初始速度v。
具体来说，我们可以使用以下公式：
v²sin²α/2g = h
其中，v表示物体的初始速度，α表示抛出角度，g表示重力加速度。
通过解这个方程，我们可以计算出初始速度v的值，从而得出物
体的抛出速度。
总的来说，一元二次方程公式是一种非常重要的数学公式，它可以被广泛应用到各个领域。
了解这个公式的意义和用途，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
一元二次方程的五种解法
一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中的一种基本形式，解一元二次方程是数学学习的重要内容之一。
解一元二次方程的方法有很多种，下面将介绍其中的五种解法。
第一种解法是因式分解法。
对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，如果可以将其因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，那么方程的解就是x=-b1/a1和x=-b2/a2。
这种方法适用于方程具有特殊形式的情况，例如完全平方和差的形式。
第二种解法是配方法。
对于一般形式的一元二次方程，可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体做法是将方程的常数项c分解为两个数的乘积，使得一元二次方程可以写成(x+p)^2=q的形式，然后通过开方得到方程的解。
这种方法适用于方程的系数较为复杂的情况。
第三种解法是求根公式法。
一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a、b、c分别是方程的系数。
通过代入系数的值，可以得到方程的解。
这种方法是一元二次方程求解的基本方法，适用于一般情况。
第四种解法是图像法。
一元二次方程的解对应于抛物线的顶点和交点。
通过绘制方程对应的抛物线，并观察抛物线与x轴的交点和顶点的坐标，可以得到方程的解。
这种方法可以直观地理解方程的解的性质，并可以通过图像来验证解的正确性。
第五种解法是因式分解与配方法的结合。
对于一元二次方程，如果既可以进行因式分解，又可以进行配方法，那么可以结合两种方法来求解方程。
具体做法是先进行因式分解，然后再进行配方法，最终得到方程的解。
这种方法可以利用因式分解和配方法的优势，适用于复杂方程的求解。
解一元二次方程的方法有很多种，包括因式分解法、配方法、求根公式法、图像法和因式分解与配方法的结合。
不同的方法适用于不同的方程形式和解的要求。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的解法，来求解一元二次方程。
掌握这些解法，有助于提高数学问题的解决能力，培养逻辑思维和分析问题的能力。
一元二次方程的含义
一元二次方程的含义
一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a不等于0。
这种方程在数学中起着重要的作用，其含义
涉及到几个方面。
首先，一元二次方程可以用来描述抛物线的形状。
方程中的a
决定了抛物线的开口方向，正值表示抛物线开口向上，负值表示抛
物线开口向下；b决定了抛物线在x轴方向的平移；c决定了抛物线
在y轴方向的平移。
因此，通过一元二次方程，我们可以对抛物线
的形状和位置有一个直观的了解。
其次，一元二次方程的解可以帮助我们解决实际问题。
例如，
通过一元二次方程可以求解抛物线与x轴的交点，从而可以解决抛
物线的最值问题或者求解物体的抛射运动轨迹等实际问题。
另外，一元二次方程也是代数学中重要的研究对象，通过一元
二次方程的求解方法，我们可以学习到求根公式、配方法、因式分
解等代数学的重要内容，这对我们的数学学习具有重要的意义。
总的来说，一元二次方程在数学中有着重要的地位，它不仅可
以描述抛物线的形状，还可以帮助我们解决实际问题，同时也是代数学学习中的重要内容。
希望这些内容可以帮助你全面了解一元二次方程的含义。
一元二次方程ppt课件
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
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公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程公式法的推导过程
一元二次方程公式法的推导过程（原创实用版）目录一、一元二次方程的概述二、一元二次方程的求解公式三、公式推导过程1.配方法2.韦达定理3.完全平方公式四、公式的应用及意义正文一、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为已知常数，且 a≠0。
在这个方程中，二次项的系数 a 决定了方程的开口方向和大小，一次项的系数 b 决定了方程的左右平移，常数项 c 决定了方程的上下平移。
一元二次方程的求解对于理解许多实际问题具有重要意义。
二、一元二次方程的求解公式一元二次方程的求解公式为：x, x = (-b ±√(b - 4ac)) / 2a其中，x和 x分别为方程的两个解（根），当 b - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实根；当 b - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根；当 b - 4ac < 0 时，方程无实根。
三、公式推导过程1.配方法我们将一元二次方程 ax+bx+c=0 中的常数项 c 移到等式右边，得到ax+bx=-c。
接下来，我们将二次项的系数 a 化为 1，即除以 a，得到x+b/a*x=-c/a。
为了使左边成为一个完全平方，我们需要加上一个数，这个数是一次项系数 b/2a 的平方，即 (b/2a)。
于是，我们有：x+b/a*x+(b/2a)=-c/a+(b/2a)左边可以化为一个完全平方：(x+b/2a)，右边可以化简为：(b -4ac)/4a。
因此，我们得到：(x+b/2a)=(b - 4ac)/4a开平方，我们得到：x+b/2a=±√(b - 4ac)/2a从而，我们可以求得方程的两个解：x = (-b + √(b - 4ac)) / 2ax = (-b - √(b - 4ac)) / 2a2.韦达定理韦达定理给出了一元二次方程的两个解 x和 x与系数 a、b、c 之间的关系：x + x = -b/axx = c/a我们可以通过这两个关系式，根据已知的系数和其中一个解，求得另一个解。
一元二次方程大全
一元二次方程一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。
一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。
(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）补充说明1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。
(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是中考的热点。
3、方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。
一般式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1.分解因式法（可解部分一元二次方程）因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如 1.解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0解得：x?= x?=-1 2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即x-3=0 或x+1=0∴x1=3，x2=-1 3.解方程x^2-4=0解：（x+2）（x-2）=0 x+2=0或x-2=0∴x?=-2，x?= 2十字相乘法公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例： 1. ab+b^2+a-b- 2=ab+a+b^2-b-2 =a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中） 2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2 3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4.开方法（可解部分一元二次方程）如：x^2-24=1解：x^2=25x=±5∴x?=5 x?=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1*x2=c/a求得m。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
一元二次方程五大解法
一元二次方程五大解法
1、直接开平方法。
对于直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1=x2=a的形式，其他的都是比较简单。
2、配方法。
在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解。
3、公式法。
公式法是解一元二次方程的根本方法，没有使用条件，因此是必须掌握的。
用公式法的注意事项只有一个就是判断“△”的取值范围，只有当△≥0时，一元二次方程才有实数解。
4、因式分解法。
因式分解，在初二下学期的时候重点讲了，之前也有相关的文章，重要性毋庸置疑，在一元二次方程里，因式分解法用的还是挺多的，难度非常容易调节。
5、图像解法。
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax2+bx+c的图像（为一条抛物线）与x轴交点的x坐标。
当△＞0时，则该函数与x轴相交（有两个交点）。
当△=0时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）。
当△＜0时，则该函数与轴x相离（没有交点）。
一元二次方程的判别式。
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。
一元二次方程ax+bx+c=0（a不等于0）的根与根的判别式有如下关系：△=b2-4ac。
①当△>0时，方程有两个不相等的实数根。
②当△=0时，方程有两个相等的实数根。
③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
一元二次方程举例
一元二次方程举例
一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
下面举几个例子：
例一：求解方程x+2x-8=0。
解法：将方程化为标准形式，得x+2x=8。
再利用配方法，将等式左边的x+2x加上1，同时将等式右边的8加上1，即：
x+2x+1=9
(x+1)=9
对两边求平方根，得x+1=±3，即x=-1±3，故方程的解为x1=-4，x2=2。
例二：求解方程2x-5x-3=0。
解法：同样将方程化为标准形式，得2x-5x=3。
再利用配方法，将等式左边的2x-5x加上1/4，同时将等式右边的3加上1/4，即： 2(x-5/4)=49/8
(x-5/4)=49/16
对两边求平方根，得x-5/4=±7/4，即x=3或x=-1/2，故方程的解为x1=-1/2，x2=3。
例三：求解方程x-6x+9=0。
解法：将方程化为标准形式，得x-6x+9=(x-3)=0。
因为一个数的平方等于0，当且仅当这个数等于0，所以方程的解为x=3。
这里仅给出了简单的例子，实际上解一元二次方程可能需要运用
更多的数学知识和技巧。
一元二次方程讲解
一元二次方程讲解1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
例题：方程：①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次是 （ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③2；③必须是整式方程。
例题：当a_______时，关于x 的方程0422=+++x x ax 是一元二次方程 例题：方程8)2(2)1(3++=-x x x 化成一般形式是__________________ 课堂演练1 下列方程中，一元二次方程的个数有（ ）①07x 32=+ ②0c bx ax 2=++ ③()()1x 5x 2x 2-=+- ④0x 5x 32=-⑤0y x 2=-A.1个B. 2个C.3个D.4个2已知关于x 的方程()()04m 3x 2m 6x 4m 22=-+---，当m 为何值时，方程是一元二次方程？当m 为何值时，方程是一元一次方程？ 针对练习1.关于x 的方程2x q p x 3x p 222+=-+-是一元二次方程，则（ ） A.1p = B.1p > C.0p ≠ D. 1p ≠2.若关于x 的方程01mx 3x )2m (|m |=+++是一元二次方程，则（ ） A.2m ±= B.2m = C.2m -= D. 2m ±≠ 3 已知m,n 都是方程02008x 2006x 2=-+的根， 试求代数式()()2007n 2006n 2007m 2006m 22++-+的值.课后练习1._________m 01mx 1x 2==++-=的一个根，则是方程x . 2. _________k 02x k 21x 2==---=的一个根，则是方程x .3．方程（m2－1）x2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是（ ）（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m|≠1 （D ）m ＝±1 2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b +=或者x a b +=-，∴x a b =-±。
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1．若方程x 2－3x －2=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1＋2）（x 2＋2）的值为（ ） A 、－4 B 、6 C 、8 D 、12[2．△ABC 的一边长为5，另两边分别是方程x 2﹣6x+m=0的两根，则m 的取值范围是（ ）． A ．m ＞114 B ．114＜m ≤9 C ．114≤m ≤9 D ．m ≤1143．关于x 的方程（a ﹣6）x 2﹣8x+6=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）．A ．6B ．7C ．8D ．9 4．下列方程中有实数根的是（ ）A ．220x x ++=B ．220x x -+=C ．230x x -+=D ．210x x --= 5．已知n m ,是方程02=++c bx ax 的两个实数根，设2233100100123100s m n s m n s m n s m n =+=+=+=+，，，...+， 则200820092010cs bs as ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．2010D ．20116．关于x 的方程2310kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是( )．A ．94k ≤-B ．94k ≥-且0k ≠C ．94k >-且0k ≠D ．94k ≥- 7．已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3＝0的两实数根，则1221x x x x + 的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．108．已知α,β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2=0的两个不相等的实数根,且满足α1+β1=-1,则m 的值是( )A.3B.1C.3或-1D.-3或19．α,β是方程x 2+2x-5=0的两个实数根,则α2+2α+αβ的值为（ ） A ．5 B ．- 5 C ．0 D ．1010．已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．m ＜﹣1 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m≠0 D ．m ＞﹣1且m≠011．关于x 的方程（k ＋2）x 2-kx-2=0必有一个根为（ ）. A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-212．设a b ，是方程220150x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．201513．关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k <C ．1k <且0k ≠D ．1k >-且0k ≠ 14．两个一元二次方程0132=--x x 和032=+-x x 的所有实数根之和是（ ） A ．2 B ．4- C ．4 D ．3 15．已知x 1和x 2是方程x ²－x －1=0的两个根，则x 21+x 22的值是（ ）A 、3B 、﹣3C 、3D 、﹣116．关于x 的方程mx 2x-1=0有两个实数解，则m 的取值范围是（ ） A 、m ≥-53 B 、0＜m ≤5 C 、-53≤m ≤5且m ≠0 D 、0＜m ≤5且m ≠0 17．若方程0132=--x x 的两根为1x 、2x ，则2121x x x x +的值为（ ） A ．3 B ．－3 C ．31 D ．31- 18．一元二次方程（1-k ）x 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞2B ．k ＜2且k ≠1C ．k ＜2D ．k ＞2且k ≠119．已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）. A ．当0=k 时，方程无解 B ．当1-=k 时，方程有两个相等的实数解 C ．当1=k 时，方程有一个实数解D ．当0≠k时，方程总有两个不相等的实数解20．关于x 的方程的022=+-a ax x 两个根的平方和5是，则a 的值是（ ）A ．－1或5B ． 1C ．5D ．－121．已知a 、b 是一元二次方程x x --=2320的两根，那么a b+11的值为（ ） A ．23 B ．32 C ．-23 D ．-3222．（3分）一元二次方程0342=-+x x 的两根为1x ，2x ，则21x x ⋅的值是（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣323．若关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞-1 B ．k ＞-1且k≠0 C ．k ＜1 D ．k ＜1且k≠024．一元二次方程2340x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根25．一元二次方程0242=+-x x 的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定26．m 是方程x 2+x ﹣1=0的根，则式子m 3+2m 2+2009的值为（ ） A ．2008 B ．2009 C ．2010 D ．2011 27．已知21x x 、是方程2210x x --=的两个根，则2111x x +的值为（ ）A ．21-B ．2C ．21D ．-228．已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点()A a c ，，点1B b c （，＋）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根12x x ，判断正确的是（ ）A.121210x x x x >⋅>+， B.121200x x x x <⋅>+，C.1212010x x x x <<⋅>+， D.12x x +与12x x ⋅的符号都不确定29．关于x 的方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ＜-1D ．k ＞-130．若方程0132=--x x 的两根为1x 、2x ，则2121x x x x +的值为（ ） A ．-3 B.3 C ．31 D.31- 31．若方程x 2－3x －2＝0的两实根为x 1，x 2，则(x 1＋2)(x 2＋2)的值为（ ）A ．－4B ．6C ．8D ．1232．已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ）A ．27120x x -+=B ．27120x x ++=C ．27120x x +-=D ．27120x x --=33．设1x ，2x 是方程2x +5x ﹣3=0的两个根，则2212x x +的值是（ ） A ．19 B ．25 C ．31 D ．3034．若02=++c bx x 的两个根中较小的一个根是m （m 0≠）,则 ）A 、mB 、-mC 、2mD 、-2m35．已知1x 、2x 是一元二次方程0142=+-x x 的两个根，则21x x ⋅等于（ ）A.4-B.1-C.1D.436．设a b 、是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++37．若一元二次方程x 2﹣x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 ．38．已知一元二次方程x 2－4x －3＝两根为x 1、x 2，则x 1x 2＝___________．39．关于x 的方程0)(2=+-n p x m 的解是x 1= -3，x 2=2（m ，n ，p 均为常数，m ≠0），则方程的0)5(2=++-n p x m 解是 ．40．关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是 ．41．已知一元二次方程2430x x -+=的两根为1x ，2x ，那么12(1)(1)x x ++的值是________；42．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2－1=0的一个根为0，则m 的值为43．设x 1，x 2是方程x 2－x －2013＝0的两实数根，则x 13＋2014x 2－2013＝ ． 44．已知a ，b 是方程230x x --=的两个根，则代数式23a b ++的值为 ． 45．已知n 是方程2230x x --=的一个根，则代数式236n n -的值是________． 46．若,αβ是方程2250x x --=的两个实数根，则22αβ+=_______47．关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 48．反比例函数xky =的图象上有一点A （x, y ），且x, y 是方程012=--a a 的两个根，则______=k49．已知关于x 的方程x 2﹣6x+k=0的两根分别是x 1，x 2，且满足+=3，则k 的值是 ．50．设1x 、2x 是方程220150x x --=的两实数根，则321122017x x x -+＝_ ___．51．已知a 是2201510x x -+=的一个根，则22201520141a a a -++的值是 ． 52．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____；53．若1x 、2x 是方程210x x +-=的两个根，则12(2)(2)x x ++=______________． 54．关于x 一元二次方程2x （kx-4）-x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是 。
55．关于x 的方程210mx x m +-+=，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解②当0m ≠时，方程有两个不等的实数解③无论m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）56．若α，β是一元二次方程x 2-x-1=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为 ．57．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两个实数根，则1211x x +的值为 ． 58．若关于x 的一元二次方程220x x m --=的两根为a ，b ，则m= .59．已知关于x 的方程x 2－2（k －1）x+k 2=0有两个实数根x 1，x 2. （1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值.60．（10分）已知关于x 的一元二次方程2210x x k -+-=．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围； （2）已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k 的值；61．已知关于x 的一元二次方程0142=-+-m x x 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．62．已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值。