初中数学竞赛辅导几何变换(平移)

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八年级数学竞赛例题专题讲解26：几何变换(含答案)

专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 2F 1F 2F 2F 1α1.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.BAOP【例2】如图，P 是等边△ABC 的内部一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比是5:6:7，则以PA ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）ABCP解题思路：解本例的关键是如何构造以PA ，PB ，PC 为边的三角形，若把△PAB ，△PBC ，△PCA 中的任一个，绕一个顶点旋转060，就可以把PA ，PB ，PC 有效地集中在一起.【例3】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD 翻折造全等.ACBD【例4】如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥FE ，CD ∥AF ，对边之差BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.A FEDC B【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1）如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.CD AB图2图1NMABC C BA MN能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）ABCAB CPyx BAOC(第1题) （第2题）（第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，PA =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）D'OACB ABDC PABDCD A'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的长为31-. 其中正确的结论有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CBDACBA P9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）FDBCAE10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）GFED H KABC C'B'A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）PQAB C12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△PAB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）yxOAB13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）lM L P Q NC HFEGA DB14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1MEMACBBCAEDD15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）23BCAD。

初二数学竞赛讲义——几何变换：轴对称与平移

初二数学竞赛讲义——几何变换：轴对称与平移例1、牧童在A处放牛, 家在B处, 天色将晚，需要回家了，但牛需要喝水。

则在何处饮水，所走路程最短？lABB解：作出A关于l的对称点C,连接CB,交l于P，则P就是所求的点。

证明：在l上任意取一点Q，只要证明QA+QB>PA+PB即可。

根据轴对称性，PC=PA,QC=QA,因此PA+PB=PC+PB=BC<QC+QB=QA+QB.说明：本题也可以换成以下物理背景：(1)l是一面镜子，A处的光线要想经过镜子反射以后照亮B处的物体，应如何选择入射点？(2)在A处击台球，要想经过桌子边缘反射以后击中B处的球，应如何选择入射点？这些问题的解决和上面是一样的。

例2、A、B在直线两侧，且到直线的距离不等，要在直线上找一点P,使得P到A、B的距离之差最大。

AB解：作B关于直线的对称点B’,连接AB’交直线于点P，则P就是所求的点。

证明：在直线上另外取点Q，连接QA、QB、QB’,那么QA-QB=QA-QB’<AB’=AP-B’P=AP-BP.说明：请你比较一下例1和例2的区别。

例3、锐角∠AOB内有一点P，求作△PEF，使E在OA 上，F在OB上，且使△PEF的周长最小.MC解：如图，分别作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN交OA、OB于E、F，则△PEF就是所求的三角形。

证明：在OA、OB上分别取异于E、F的点G、H，只要证明PG+GH+PH>PE+EF+PF即可。

事实上，PG+GH+PH=NG+GH+HM>NM=NE+EF+FM=PE+EF+PF.说明：(1)如果∠AOB是直角或钝角，那么图示的△PEF不复存在。

如果P看作一个锐角三角形的一边上的点，那么问题相当于求经过P点的△ABC的内接三角形，并使得周长最短。

(2)进一步的问题是：P在AC边上什么位置时，得到的内接三角形周长最短？答案是：当P 是AC边上的垂足时，内接三角形周长最短，这样的三角形叫做垂足三角形。

几何变换平移旋转翻转

几何变换平移旋转翻转几何变换：平移、旋转、翻转几何变换是几何学中常用的一种操作，能够改变图形的位置、形状或方向。

其中，平移、旋转和翻转是最基本的几何变换方法。

本文将就这三种几何变换进行详细讨论，探讨它们的定义、特点以及在实际问题中的应用。

第一部分：平移平移是指将一个图形在平面上沿着直线方向保持形状和大小不变地移动一段距离。

平移变换的性质如下：1. 平移变换是保形变换，即平移后的图形与原图形相似。

2. 平移变换不改变图形的方向。

3. 平移变换的向量表示为 t(x,y)，其中 t 表示平移向量，(x,y) 表示原图形上的一个点，t(x,y) 表示平移后的对应点。

平移变换的应用十分广泛，常见于计算机图形学、建筑设计和机械工程等领域。

在计算机图形学中，平移操作常用于图像处理和图形动画制作，在建筑设计中，平移操作用于确定建筑物的位置和布局，在机械工程中，平移操作用于确定机器零件的位置和运动轨迹。

第二部分：旋转旋转是指将一个图形绕着一个固定点进行转动，使图形在平面上发生方向和角度的改变。

旋转变换的性质如下：1. 旋转变换是保形变换，即旋转后的图形与原图形相似。

2. 旋转变换改变了图形的方向和角度。

3. 旋转变换的中心点称为旋转中心，旋转角度表示图形绕旋转中心逆时针旋转的角度。

旋转变换在许多领域被广泛应用。

在航空航天领域，飞机和卫星的轨道计算需要使用旋转变换，在地图制作中，经纬度的转换也离不开旋转变换，在计算机图形学中，旋转操作是实现3D图像旋转和3D模型建模的重要手段。

第三部分：翻转翻转是指将一个图形沿着某条轴线进行对称，使得图形在平面上发生左右或上下的镜像变化。

翻转变换的性质如下：1. 翻转变换是保形变换，即翻转后的图形与原图形相似。

2. 翻转变换改变了图形的方向，使得左右或上下位置互换。

翻转变换在日常生活中也十分常见，如镜子中的人脸照片即为左右翻转的图像。

在计算机视觉和图像处理领域，翻转操作常用于图像增强、图像识别和人脸匹配等应用中。

初中阶段的五种图形变换

初中阶段的五种图形变换初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。

这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。

其中前四种变换还不改变图形的大小。

下面，让我们逐一回顾与归纳。

【一】平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。

〔提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。

〕2.平移的性质：〔1〕平移前后，对应线段平行〔或共线〕且相等；〔2〕平移前后，对应点所连线段平行〔或共线〕且相等；〔3〕平移前后的图形是全等形。

〔提示：平移的性质也是平移作图的依据。

〕3.用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点〔x，y〕向右或向左平移a 〔a>0〕个单位，可以得到对应点〔x＋a，y〕或〔x－a，y〕；向上或向下平移b 〔b>0〕个单位，可以得到对应点〔x，y＋b〕或〔x，y－b〕。

【二】轴对称变换1.轴对称图形：〔1〕定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

〔提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。

〕〔2〕性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。

2.轴对称：〔1〕定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线〔成轴〕对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

〔2〕性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点必在对称轴上。

〔3〕判定：①根据定义〔提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称〕；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

中考培优竞赛专题经典讲义第31讲几何三大变换之平移

第31讲几何三大变换之平移平移的性质函数的平移变换八字真言：“左加右减”，“上加下减”【例题讲解】例题1．如图，将ABC ∆沿BC 方向平移得到DEF ∆，若90B ∠=︒，6AB =，8BC =，2BE =， 1.5DH =，阴影部分的面积为．【解答】解：ABC ∆ 沿BC 方向平移得到DEF ∆，6DE AB ∴==，1.5DH = ，6 1.5 4.5HE DE DH ∴=-=-=，90B ∠=︒ ，∴四边形ABEH 是梯形，DEF CEH ABC CEH ABEHS S S S S S ∆∆∆∆=-=-=阴影梯形1()2AB HE BE =+ 1(6 4.5)22=⨯+⨯10.5=．故答案为：10.5．平移的性质：△ABC ≌△DEF平移的距离：BE =CF =AD平移的性质：△ABC ≌△DEF平移的距离：BE =CF =AD平移的性质：△ABC ≌△DEF平移的距离：BE =CF =AD四边形ABED 、四边形BECF 、四边形ACFD 均为平行四边形，且S 四边形ABED 十S 四边形BEFC =S 四边形ACFD例题2．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AB cm =，D 是AB 的中点．现将BCD ∆沿BA 方向平移1cm ，得到EFG ∆，FG 交AC 于H ，则GH 的长等于cm ．【解答】解：ABC ∆ 中，90ACB ∠=︒，8AB cm =，D 是AB 的中点，142AD BD CD AB cm ∴====；又EFG ∆ 由BCD ∆沿BA 方向平移1cm 得到的，//GH CD ∴，1GD cm =，AGH ADC ∴∆∆∽，∴GH AG DC AD =，即4144GH -=，解得，3GH =cm ；故答案是：3．例题3．如图，ABC ∆和DBC ∆是两个具有公共边的全等三角形，3AB AC cm ==．2BC cm =，将DBC ∆沿射线BC 平移一定的距离得到△111D B C ，连接1AC ，1BD ．如果四边形11ABD C 是矩形，那么平移的距离为cm ．【解答】解：作AE BC ⊥于E ，190AEB AEC ∴∠=∠=︒，90BAE ABC ∴∠+∠=︒AB AC = ，2BC =，112BE CE BC ∴===，四边形11ABD C 是矩形，190BAC ∴∠=︒，190ABC AC B ∴∠+∠=︒，1BAE AC B ∴∠=∠，ABE ∴∆∽△1C BA ，∴1BE AB AB BC =3AB = ，1BE =，∴1133BC =，19BC ∴=，11927CC BC BC ∴=-=-=；即平移的距离为7．故答案为7．例题4．如图，反比例函数(0)k y x x=>的图象和矩形ABCD 在第一象限，//AD x 轴，且2AB =，4AD =，点A 的坐标为(2,6)．若将矩形向下平移，使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则k 的值是．【解答】解：设矩形平移后A 的坐标是(2,6)x -，C 的坐标是(6,4)x -，A 、C 落在反比例函数的图象上，2(6)6(4)k x x ∴=-=-，解得3x =，即矩形平移后A 的坐标是(2,3)，代入反比例函数的解析式得：236k =⨯=．故答案为6．例题5．已知：如图①，在矩形ABCD 中，5AB =，203AD =，AE BD ⊥，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．若将ABF ∆沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值；【解答】设平移中的三角形为△A B F '''，如答图2所示：由对称点性质可知，12∠=∠．由平移性质可知，//AB A B ''，41∠=∠，3BF B F =''=．①当点F '落在AB 上时，//AB A B '' ，34∴∠=∠，32∴∠=∠，3BB B F ∴'=''=，即3m =；②当点F '落在AD 上时，//AB A B '' ，62∴∠=∠，12∠=∠ ，51∠=∠，56∴∠=∠，又易知A B AD ''⊥，∴△B F D ''为等腰三角形，3B D B F ∴'=''=，2516333BB BD B D ∴'=-'=-=，即163m =．例题6．已知二次函数21342y x x =-+的图象如图．将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若90ACB ∠=︒，求此时抛物线的解析式．【解答】解：由21342y x x =-+得：32b x a=-=，(3,0)D ∴；如图，设平移后的抛物线的解析式为21342y x x k =-++，则(0,)C k ，即OC k =，令0y =，即213042x x k -++=，解得：1349x k =++，2349x k =-+(349A k ∴-+0)，(349B k ++0)，22(493349)1636AB k k k ∴=+-++=+，2222222(349)(349)2836AC BC k k k k k k +=+-+++++=++，222AC BC AB += ，即228361636k k k ++=+，解得：14k =，20k =（舍去），∴抛物线的解析式为213442y x x =-++．【巩固练习】1．在直角坐标系中，一直线a 向下平移3个单位后所得直线b 经过点(0,3)A ，将直线b 绕点A 顺时针旋转60︒后所得直线经过点(B 0)，则直线a 的函数关系式为.2．若二次函数y 1=2（x +1）2-1是由二次函数y 2=ax 2+bx +c 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的，则a =，b =，c =.3．已知点P 是二次函数23y x x =-+图象在y 轴右侧部分上的一个动点，将直线2y x =-沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点．若以CD 为直角边的PCD ∆与OCD ∆相似，则点P 的坐标为．4．如图，直线43y x =与双曲线(0)k y x x =>交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线(0)k y x x =>交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AO BC =，则k =．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为(2,4)，直线2x =与x 轴相交于点B ，连结OA ，二次函数2y x =图象从点O 沿OA 方向平移，与直线2x =交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点M 的横坐标为m ，当m 为何值时，线段PB 最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段PB 最短时，二次函数的图象是否过点(,1)Q a a -，并说理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线24y x =+与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，抛物线211:4C y x bx c =-++过A 、B 两点，与x 轴的另一交点为C ．（1）求抛物线解析式及C 点坐标；（2）向右平移抛物线1C ，使平移后的抛物线2C 恰好经过BC 的中点，求抛物线2C 的表达式；7．如图，已知抛物线经过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点．（1）该抛物线解析式为；顶点坐标为；（2）将该抛物线向下平移3个单位长度，再向右移动(0)n n >个单位长度使得抛物线的顶点在ABC ∆内部（不包括边界），试求n 的取值范围；8．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，2AD =，6BC =，3AB =．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFC 为正方形B EFG '，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B EFG '的边EF 与AC 交于点M ，连接B D '，B M '，DM ，是否存在这样的t ，使△B DM '是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B EFG '与ADC ∆重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．9．如图，有一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，3BC =，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A ，0)，AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在的直线上，得到折痕(EF F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 方向平行移动，至B 点到达A 点停止（记平移后的四边形为1111)B C F E ．在平移过程中，设平移的距离1BB x =，四边形1111B C F E 与AEF ∆重叠的面积为S ．（1）求折痕EF 的长；（2）平移过程中是否存在点1F 落在y 轴上？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由；（3）直接写出S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形AB=，BC=，直线ABCD的边AB在x轴上，且3y=-C，交y轴于点G．（1）求C，D坐标；（2）已知抛物线顶点y=-C，D的抛物线的解析式.（3）将（2）中抛物线沿直线y=-y轴于点F，顶点为点E（顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使以EF=EG的EFG∆为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案1.【解答】解：设直线AB 的解析式为y kx b =+，(0,3)A，(B 0)，∴30b b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线AB的解析式为3y =+．由题意，知直线3y =+绕点A 逆时针旋转60︒后得到直线b ，则直线b 经过(0,3)A，，0)，易求直线b的解析式为3y =+，将直线b 向上平移3个单位后得直线a ，所以直线a的解析式为33y =++，即6y =+．2.【解答】a =2，b =12，c =16.3.【解答】解：设(0,2)D a ，则直线CD 解析式为22y x a =-+，(,0)C a ∴，:1:2OC OD ∴=，2OD a ∴=，OC a =，根据勾股定理可得：CD ==．以CD 为直角边的PCD ∆与OCD ∆相似，①当90CDP ∠=︒时，若::1:2PD DC OC OD ==，则52PD a =，设P 的横坐标是x ，则P 点纵坐标是23x x -+，根据题意得：222222222(32))2))(3)()x x x a x x x a ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪+=-++-⎪⎩，解得：1212x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则P 的坐标是：1(2，5)4，②当90CDP ∠=︒时，若::1:2DC PD OC OD ==，同理可以求得(2,2)P ，③当90DCP ∠=︒时，若::1:2PC DC OC OD ==，则11(4P ，1116，④当90DCP ∠=︒时，若::1:2DC PD OC OD ==，则13(5P ，2625．故答案为：1(2，5)4，(2,2)，11(4，11)16，13(5，2625．4.【解答】解：设点A 的坐标为4(,)3a a ， 2AO BC=，取OA 的中点D ，∴点B 相当于点D 向右平移了92个单位，点D 的坐标为1(2a ，2)3a ，B ∴点坐标为91(22a +，2)3a ，点A ，B 都在反比例函数k y x=的图象上，4291()3322a a a a ∴⨯=⨯+，解得3a =或0(0不合题意，舍去）∴点A 的坐标为(3,4)，12k ∴=．5.【解答】解：（1）设直线OA 的解析式为y kx =，(2,4)A ，24k ∴=，解得2k =，∴线段OA 所在直线的函数解析式为2y x =；（2）顶点M 的横坐标为m ，且在OA 上移动，2(02)y m m ∴=，(,2)M m m ∴，∴抛物线的解析式为2()2y x m m =-+，∴当2x =时，22(2)224(02)y m m m m m =-+=-+，2224(1)3(02)PB m m m m ∴=-+=-+，∴当1m =时，PB 最短，当PB 最短时，抛物线的解析式为2(1)2y x =-+；（3）若二次函数的图象是过点(,1)Q a a -则方程21(1)2a a -=-+有解．即方程2340a a -+=有解，△2(3)41470=--⨯⨯=-<．∴二次函数的图象不过点Q ．6.【解答】解：（1）直线24y x =+与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，∴令0x =，可得4y =，则点A 的坐标为(0,4)A ，令0y =，可得2x =-，则点B 的坐标为(2,0)-，将(0,4)A ，(2,0)B -代入214y x bx c =-++，可得410424c b c =⎧⎪⎨=-⨯-+⎪⎩解得324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线1C 的解析式为：213442y x x =-++，令0y =，则2134042x x -++=，解得8x =，C ∴点坐标为(8,0)；（2）由（1）知，(2,0)B -，(8,0)C ．设BC 的中点为G ，则(3,0)G ．22131254(3)4244y x x x =-++=--+ ，∴平移后抛物线的解析式为：2125(8)44y x =--+；7.【解答】解：（1）设抛物线为2(0)y ax bx c a =++≠，将(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 代入得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．故抛物线解析式为：223y x x =-++，2223(1)4y x x x =-++=--+，故顶点坐标为(1,4)；故答案为：223y x x =-++，(1,4)；（2）由（1）得，2223(1)4y x x x =-++=--+，平移后的抛物线为：22(1)43(1)1y x n x n =---+-=---+，∴平移后的抛物线顶点为(1,1)n +，设直线BC 的解析式为：y mx n =+，将(3,0)B 、(0,3)C 代入得303m n n +=⎧⎨=⎩，解得：13m n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，当1y =时，2x =，112n ∴<+<，01n ∴<<，8.【解答】解：（1）如图①，设正方形BEFG 的边长为x ，则BE FG BG x ===，3AB = ，6BC =，3AG AB BG x ∴=-=-，//GF BE ，AGF ABC ∴∆∆∽，∴AG GF AB BC=，即336x x -=，解得：2x =，即2BE =；（2）存在满足条件的t ，理由：如图②，过点D 作DH BC ⊥于H ，则2BH AD ==，3DH AB ==，由题意得：BB HE t '==，|2|HB t '=-，4EC t =-，//EF AB ，MEC ABC ∴∆∆∽，∴ME EC AB BC =，即436ME t -=，122ME t ∴=-，在Rt △B ME '中，222222112(2)2824B M ME B E t t t '=+'=+-=-+，在Rt DHB ∆'中，2222223(2)413B D DH B H t t t '=+'=+-=-+，过点M 作MN DH ⊥于N ，则MN HE t ==，122NH ME t ==-，113(2)122DN DH NH t t ∴=-=--=+，在Rt DMN ∆中，2222514DM DN MN t t =+=++，（Ⅰ）若90DB M ∠'=︒，则222DM B M B D ='+'，即222511(28)(413)44t t t t t t ++=-++-+，解得：207t =，（Ⅱ）若90B MD ∠'=︒，则222B D B M DM '='+，即22215413(28)(1)44t t t t t t -+=-++++，解得：13t =-23t =--，3t ∴=-+（Ⅲ）若90B DM ∠'=︒，则222B M B D DM '='+，即：2221528(413)(1)44t t t t t t -+=-++++，此方程无解，综上所述，当207t =或3-+时，△B DM '是直角三角形；（3）①如图③，当F 在CD 上时，::EF DH CE CH =，即2:3:4CE =，83CE ∴=，846233t BB BC B E EC ∴='=-'-=--=，122ME t =- ，12FM t ∴=，当403t 时，2111224FMN S S t t t ∆==⨯⨯=，②如图④，当G 在AC 上时，2t =，33tan (4)344DH EK EC DCB EC t t CH =∠==-=-，3214FK EK t ∴=-=-，2433NL AD == ，43FL t ∴=-，∴当423t <时，22114312()(1)423483FMN FKL S S S t t t t t ∆∆=-=---=-+-；③如图⑤，当G 在CD 上时，::B C CH B G DH '='，即:42:3B C '=，解得：83B C '=，2423EC t B C ∴=-='-=，103t ∴=，111(6)3222B N B C t t '='=-=- ，112GN GB B N t ='-'=- ，∴当1023t <时，211114335211222223483FKL GNMF S S S t t t t t t ∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯-+---=-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭梯形，④如图⑥，当1043t <时，33(6)44B L B C t '='=- ，33(4)44EK EC t ==-，11(6)22B N B C t '='=-，11(4)22EM EC t ==-，1522MNLK B EKL B EMN S S S S t ''==-=-+梯形梯形梯形．综上所述：当403t 时，214S t =，当423t <时，21283S t t =-+-；当1023t<时，235283S t t =-+-，当1043t <时，1522S t =-+．9.【解答】解：（1）90ACB ∠=︒ ，60B ∠=︒，30BAC ∴∠=︒，(3A ，0)，1EO ∴=，60EFO ∠=︒ ，90EOF ∠=︒，23sin 603EO EF ∴==︒，（2）存在，理由如下：如图1，作1B D BC ⊥，3FO =，13B D ∴=60B ∠=︒112sin 603B D BB ∴==︒，即23x =，（3）①当02x 时，即点E 到A 时经过的面积，如图2，3AO = 90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，2AE ∴=，11BB EE x == ，12E A x ∴=-，13)E M x ∴=-，21111233323()[)]22S EF E M E E x x x x ∴=+=-=-+ ②当1023x <时，S 为AEF ∆的面积，所以11232322233S EF AE ==⨯= ，③当1043x <时，如图390ACB ∠=︒ ，60B ∠=︒，3BC =，33AC ∴=，3AO = 33OF =，353333CF ∴=∴此时1103BB =，即当11B C 过点F 时103x =，当103x >时，310)23FM x =-，在RT NMF ∆中，3103(23NM FM x ==-，NMF ∴∆的面积为：11310310()()222323FM MN x x =⨯-⨯- ，2313103103573()()322323822AEF NMF S S S x x x x ∆∆∴=-=-⨯-⨯-=-+-，④当46x <时，如图4，90ACB ∠=︒ ，60B ∠=︒，3BC =，6AB ∴=，16AB x =-，11(6)2DB x ∴=-，3)AD x =-，21111333393(6))2222822S DA DB x x ∴==⨯-⨯-=-+ ，综上可知S 与x的函数关系式为：222(02)2310(2)333357310(4)8223333936)822x x S x x x x x x ⎧+⎪⎪⎪<⎪⎪=⎨⎪-+-<⎪-+<⎪⎩，故答案为：222(02)10)3510(4)23333936)822x x S x x x x x ⎧+⎪<=⎨⎪+-<⎪-+<⎪⎩．10.【解答】解：（1）令y =，=-4x =，则431OA =-=，(4C ∴，，(1D，；（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为14522+=，令52x =，则5322y =-，∴顶点坐标为5(2，2，∴设抛物线解析式为25(2y a x =-+(1D，代入得，a =，∴解析式为25)2y x =-+，即223103143333y =-+，（3）设顶点E 在直线上运动的横坐标为m ，则(E m0)m ->∴可设解析式为2)3y x m =-+-，若GE EF =时，FG =，则(0F，-，2-=-0m =（舍去），32m =，此时所求的解析式为：22333()322y x =--；。

初中数学几何变换之平移

平移的性质：1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．2．平移前后，所对应的图形全等．1．平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．2．平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．A CD BPA CD BPQ如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．模块一平行多边形和平移的构造如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠．请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．F GHE1423 B A D C 5867P图2-1 图2-2【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠8765B DCA KPK8765PDCBA （6∠不动移5∠）（5∠不动移6∠）KA BCDP 5678K8765P D C BA （5∠，6∠均移动）（5∠，6∠均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？DE FGNMBCADE FGNMBCPA过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D F EC B AC 1E 12133A 1DF EC B A（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒，易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ，可得等边111AC E △，其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=．在此基础上可求得EF 、AF 的长，进而求得六边形的周长：11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，故六边形的周长是13322415+++++=．（方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △．易得PQR △的边长为1337++=，则7322EF =--=，7124FA =--=，故六边形的周长是13322415+++++=．在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．FE DCBAPFE RQD CBA平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，PR PE RE AF CD =-=-．由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？2133RQPD F EC B AACDBFEACDBFEG将DEF △平移到BAG △的位置；将BCD △平移到GAF △的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积．易知长方形BDFG 的面积等于2418432⨯=（平方厘米）， ∴六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．设凸六边形ABCDEF 的三组对边分别平行．求证：ACE △的面积与BDF △的面积相等．如图，将B 、D 、F 分别沿CD 、EF 、AB 平移至B '、D '、F '，则F '在BB '上，B '在DD '上，D '在FF '上，且D F AB DE ''=-，F B CD FA ''=-，B D EF BC ''=-．记六边形ABCDEF 的面积为S ，B D F '''△的面积为T ．因四边形FABF '、BCDB '、DEFD '均为平行四边形，于是，11()()22BDF S S T T S T =-+=+△．AB CDEFB'D'F'AB C DEFA'C'E'同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E '''，则有||A C AB DE ''=-，||C E CD FA ''=-，||E A EF BC ''=-．因而A C E '''△的面积也为T ，于是也有1()2ACE S S T =+△，故BDF ACE S S =△△．AB CDEF如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +≥．CAOBDCAO'B DB考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=．在BB D '△中可得BB BD B D ''+≥，（当AC BD ∥时，BB BD B D ''+=），即AC BD B D '+≥．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +≥．如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD CE =．求证：2DE BC ≥．EDCB AGHFEDC B AABC D EFHG H G HFEDC B A方法一：通过构造平行四边形把DE 和12BC 平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．模块二共端点的平移构造方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点．下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．图1图2图3图4ABCDE FABCDE F ABC DEFFE DC BA已知：ABC △．（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．C AEBD NFEDC BA（1）DB EC =；（2）结论：BC DE >．过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠．在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =．在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222AM CM BM DM+=+．CABDM CABDMFE过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM∥，AM BE∥∴AM BE=，AB EM=∵AB CD=，AB CD∥∴EM CD∥，EM CD=∴ECDM为平行四边形，∴CE DM=∵EM BC⊥∴222BM BF FM=+，222CE EF CF=+，222CM CF FM=+，222BE BF EF=+∴2222AM CM BM DM+=+．如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD⊥．AB CDEFMKKMFEDCBA AB CDEFMPK模块一平行多边形和平移的构造如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =．连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线且KM BC ⊥又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。

七年级数学平移和旋转的变换复习知识点总结

平移和旋转都是二维的几何变换，是数学中重要的内容之一、它们在生活和科学中有着广泛的应用，比如地图的绘制、机器人的运动轨迹规划等。

在初中数学中，我们将学习平移和旋转的基本概念、性质以及应用。

一、平移的概念和性质1.平移的定义：平移是指将一个点或者图形沿着同一方向和距离移动，移动后仍保持原来的大小、形状和朝向。

2.平移的性质：(1)平移是保形变换，即平移前后图形的形状保持不变。

(2)平移是保角变换，即平移前后图形的角度保持不变。

(3)平移是可逆变换，即平移后再反向平移能够还原原来的图形。

(4)平移可以通过向量来描述，平移向量的大小和方向与移动的距离和方向一致。

二、旋转的概念和性质1.旋转的定义：旋转是指将一个点或者图形绕着一些点旋转一定的角度，旋转之后保持原来的大小和形状。

2.旋转的性质：(1)旋转是保形变换，即旋转前后图形的形状保持不变。

(2)旋转不改变图形的大小。

(3)旋转是可逆变换，即旋转后再反向旋转能够还原原来的图形。

(4)旋转可以通过角度来描述，顺时针和逆时针旋转用正负号表示。

1.平移的变换公式：对于平移向量为(a,b)，将点P(x,y)平移得到点P'(x',y')，变换公式为：x'=x+ay'=y+b2.旋转的变换公式：对于以点O为中心逆时针旋转角度θ，将点P 到点P'，变换公式为：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ四、平移和旋转的性质和作用1.平移的性质和作用：(1)平移不改变图形的形状和大小，只改变了图形的位置。

(2)平移可以用来解决位置和位置之间的关系问题，比如寻找相对位置、计算坐标等。

2.旋转的性质和作用：(1)旋转不改变图形的形状和大小，只改变了图形的方向和朝向。

(2)旋转可以用来解决角度和角度之间的关系问题，比如确定旋转中心、计算旋转角度等。

(3)旋转也可以用来解决图形的对称性问题，比如寻找对称图形、判断对称轴等。

中考数学专题分类复习：平移变换(解析版)

中考数学专题分类复习：平移变换涉及图形平移的问题一般在选择题或填空题中出现的比较多，相对比较容易，在解答题中会和轴对称，旋转相结合，是区分度较大的一类几何问题。

平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；②对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；③平移的距离即是对应点的连线段的长度.如图△ABC 平移到△DEF 时，点A ，B ，C 的对应点分别是点D ，E ，F ，根据平移的性质有：①△ABC ≌△DEF ；②AB ∥DE 且AB ＝DE ，BC ∥EF 且BC ＝EF ，CA ∥FD 且CA ＝FD ；③AD ＝BE ＝CF .1.抓住平移前后的对应点，对应线段，对应点之间的距离是平移的距离，对应线段平行且相等或在同一条直线上；2.如果图形上的一个点沿一定的方向移动一定的距离后，那么这个图形上所有点移动的方向和距离都相同；3.点P （a ，b ）在坐标系内的移动，遵循“正方向＋，负方向－”的规律；4.线段AB 的中点是C ，已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）C （x ，y ）中任意两个点的坐标，即可利用中点坐标公式：122x x x +=，122y y y +=，求第三个点的坐标.例1.如图，将△ABC 沿BC 方向平移3cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为20cm ，则四边形ABFD 的周长为（）A . 20cmB . 22cmC . 24cmD ．26cm【答案】D例2.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（）A. （4，3）B. （3，4）C. （﹣1，﹣2）D. （﹣2，﹣1）【答案】B【精细解读】直接利用平移中点的变化规律求解即可．解：由A点平移前后的纵坐标分别为﹣1、2，可得A点向上平移了3个单位，由A点平移前后的横坐标分别为﹣4、﹣2，可得A点向右平移了2个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得点B′的坐标为（1＋2，1＋3），即为（3，4）．故选：B．例3.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点Ｃ的方向平移到△ＤEF的位置，AB＝10，ＤH＝4，平移距离为6，求阴影部分的面积．【答案】阴影部分的面积为48.1.如图，图形W，X，Y，Z是形状和大小相同，能完全重合的图形.根据图中数据可计算的图形W的面积是（）A. 4－πB. 1－0.25πC. 4－0.25πD. 1－16【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，通过平移知四个小图形占四个小正方形，且中间缺少一个圆，正方形的边长为1，圆的半径为0.5，然后可求面积为2×2－π×0.5×0.5＝4－0.25π.故选：C .2.在平面直角坐标系中，将点A 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点B （﹣2，1），则点A 的坐标为（）A . （﹣5，3）B . （﹣5，﹣1）C . （1，3）D . （1，﹣3）【答案】C【解析】设点A 的坐标是（x ，y ），∵将点A 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得点B ，可得B 的坐标为（x ﹣3，y ﹣2），∵点B 的坐标是（﹣2，1），∴x ﹣3＝﹣2，y ﹣2＝1，∴x ＝1，y ＝3，∴A 的坐标是（1，3），故选C ．3.某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米， 30BAC ∠=︒， 90C ∠=︒，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为________．【答案】（2＋3）米;1.若将点A (1，3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到B ，则点B 的坐标为( )A . (－2，－1)B . (－1，0)C . (－1，－1)D . (－2，0)【答案】C【解析】根据坐标点的平移，上加下减，左减右加，可得B 点的坐标为（1－2，3－4），即（－1，－1）. 故选：C .2.如图，将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′＝（）A 、1 B、23C 、13-D 、32- 【答案】C 3.如图，直角边长为3的等腰直角三角形ABC 沿直角边BC 所在直线向上平移1个单位，得到三角形A'B'C'，则阴影部分的面积为____________。

几何变换中的平移

几何变换中的平移几何变换是指在平面或者空间中对图形进行变换的过程，其中平移是一种基本的几何变换方式。

它通过沿着指定的方向和距离，将图形整体移动到一个新的位置上。

平移是保持图形形状、大小和方向不变的变换，可以应用于各种几何图形，包括点、线段、多边形和曲线等。

一、平移的定义与性质平移是指将一个图形的每一个点都沿着同一方向和同一距离移动的操作。

在平移过程中，图形的形状和大小保持不变，只是位置发生了变化。

也就是说，平移是一种向量运算，通过给定的平移向量来确定移动的方向和距离。

平移的性质如下：1. 平移对图形的大小和形状没有影响，只改变了图形的位置。

2. 平移保持图形上所有点的相对位置关系不变，即图形内部的线段和角度不变。

3. 平移是一种刚体变换，即保持图形的长度、角度和面积不变。

二、平移的表示方法平移可以通过向量运算来表示。

给定平移向量u=(a, b)，对于二维平面上的点P(x, y)，其平移后的新位置P'可以表示为P'=(x+a, y+b)。

其中，向量u表示了平移的方向和距离，向量a=(a, b)的起点为原点，终点为平移前的点P，即a为向右移动的距离，b为向上移动的距离。

三、平移的应用1. 图像处理平移在图像处理中经常被应用，例如，将图像整体向左/右/上/下平移可以改变图像的位置，让图像在不同的位置上显示。

这在图像编辑和合成中是一种常见的操作。

2. 几何证明平移在几何证明中也经常被使用，例如，通过平移两个相等的线段，可以证明它们的长度相等。

又如，通过平移一个角，可以证明两个角相等或者互补。

3. 几何建模在计算机图形学中，平移可以用于几何建模，通过对二维或者三维图形进行平移，可以构建出更复杂的图形模型。

例如，在三维建模中，通过向量运算将一个物体沿着指定的方向平移，可以创建出多个相同的物体并排放置在场景中。

四、平移的实例1. 平移一个点假设有一个点P(3, 5)，要将其沿x轴正方向平移7个单位，沿y轴负方向平移4个单位，可以使用平移向量u=(7, -4)来进行平移。

八年级数学竞赛专题训练29 几何变换(附答案)

旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.
例题与求解
【例l】如图，∠AOB= ，角内有点P，PO= ，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值为_______________.（黄冈市竞赛试题）
解题思路：作P点关于OA，OB的对称点，确定Q，R的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.
（北京市竞赛试题）
12.如图，已知在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为， .
(1)若是轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求的值；
（2）若是轴上的两个动点，当四边形ABCD的周长最短时，求的值；
（3）设M，N分别为轴，轴上的动点，问：是否存在这样的点和，使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.
（天津பைடு நூலகம்竞赛试题）
解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.
【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞，求证：该六边形的各角都相等.
（天津市中考试题）
解题思路：符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM沿直线CM对折，得△DCM.连DN，只需证DN=BN，∠MDN= ；或将△ACM(或△BCM)旋转.
【例6】如图，∠DAC= ，∠DBC= ，∠CAB= ，∠ABD= ，求∠DCA的度数.
（日本算术奥林匹克试题）
解题思路：已知角的度数都是的倍数，，这使我们想到构作正三角形.
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM，且BM⊥DM；

专题30 几何变换之平移模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)

专题30几何变换之平移模型【理论基础】一、平移1.平移的定义把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。

2.平移的两个要素：(1)平移方向；(2)平移距离。

3.对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

4.平移方向和距离的确定(1)要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移。

若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。

若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平移来完成(有特殊要求例外)，而移动距离是由最终要达到的位置确定的。

具体给出从某点P 到另一点P’的方向为平移方向，线段PP’的长度为平移距离。

给出具体方位(如向东或者西北等)和移动长度(如10cm)(2)图形平移后，平移方向与平移距离的确定。

图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。

5.平移性质图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。

平移后的图形与原图形①对应线段平行(或在同条一直线上)且相等；②对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等；③图形的形状与大小都不变(全等)；④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。

6.判别平移图形：除根据定义判别外，还可以根据平移特征，从中去掉那些能互相替代和包含的内容，只要具备以下三条：(1)这两个图形必须是全等形；(2)这两个全等形的对应线段必须互相平行或者在同一条直线上)(3)这两个全等形的对应点连线必须互相平行(或在同一条直线上)。

以上为判别方法一，由判别方法一还可以演变推出如下判别方法二：(1)这两个图形必须是全等形；(2)这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同(同位顺时针或同为逆时针)；(3)这两个全等形的对应点连线必须互相平行(或在同一条直线上)。

初中数学几何变换平移教案

初中数学几何变换平移教案教学目标：1. 理解平移的定义和性质；2. 学会运用平移变换解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和几何思维。

教学重点：1. 平移的定义和性质；2. 平移变换在实际问题中的应用。

教学难点：1. 平移的性质的理解和运用；2. 复杂图形的平移变换。

教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的几何变换，如对称、旋转等；2. 提问：今天我们要学习一种新的几何变换——平移，你们知道平移是什么吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解平移的定义：把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移；2. 讲解平移的两个要素：平移方向和平移距离；3. 讲解平移的性质：平移前后两个图形的形状和大小完全相同，新图形的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的；4. 示例：演示如何对一个图形进行平移变换，并解释平移过程中的对应点、对应线段、对应角等概念。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生在课件上进行平移变换的练习，巩固所学知识；2. 引导学生运用平移变换解决实际问题，如简化计算、作图等。

四、拓展提高（10分钟）1. 引导学生思考：平移变换在实际生活中有哪些应用？；2. 让学生尝试进行复杂图形的平移变换，提高他们的空间想象能力。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生明确平移的定义、性质和应用；2. 强调平移变换在几何学习中的重要性。

教学反思：本节课通过讲解平移的定义、性质和应用，让学生掌握了平移变换的基本知识。

在课堂练习环节，学生通过实际操作，巩固了所学知识，并能够运用平移变换解决实际问题。

在拓展提高环节，学生思考了平移变换在实际生活中的应用，提高了他们的空间想象能力。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对平移变换有了较为深入的理解。

但在教学过程中，需要注意引导学生理解平移的性质，并加强对复杂图形的平移变换的讲解和练习。

八年级数学竞赛讲座图形的平移与旋转附答案

第二十九讲图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F l变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F l上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F l绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F l到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ．思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN 相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．(全俄数学奥林匹克竞赛题)思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (西安市竞赛题)思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识： (1)两点间线段最短，垂线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【例5】如图，等边△ABC 的边长为31225+=a ，点P 是△ABC 内的一点，且PA 2+PB 2＝PC 2，若PC=5，求PA 、PB 的长． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨题设条件满足勾股关系PA 2+PB 2＝PC 2的三边PA 、PB 、PC 不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．学历训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，现将△ABP 绕点B 顾时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，PA ＝6，PB=8，PC ＝10，则∠APB ．3．如图，四边形ABC D 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，若AD=a ，AB=b ，则CD 的长为．4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( ) A ．12- B ．22C ．lD ．21 (2002年荆州市中考题)5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (2003年江苏省苏州市中考题)6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四边形ABCD d=8，则BE的长为( ) A．2 B．3 C．3 D．22 (2004年武汉市选拔赛试题)7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．(1)计算：O1D= ，O2F= ；(2)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ；(3)随着中心O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题)8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；在图b中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ；（3）联想与探索：如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．(2002年河北省中考题)9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．(绍兴市中考题)12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PC<AD+ACC． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为( )A ．5B ．13C ．5D ．6 (2004年武汉市选拔赛试题)14．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE>DC ． 15．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA 2+PB 2=PC 2，设PA=m ，n 为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m ，求△ABC 的面积．16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，O 是△ABC 内一点，点O 到△ABC 各边的距离都等于1，将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°，得△A 1B l C 1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ ． (1)证明：△AKL 、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形； (2)求△ABC 与△A 1B l C 1公共部分的面积． (山东省竞赛题)18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．(江苏省连云港市中考题)。

初中数学图形变换平移教案

初中数学图形变换平移教案教学目标：1. 知识与技能：让学生经历图形平移的观察、操作、欣赏及抽象概括的过程，发现图形平移的性质，并能够灵活运用平移的性质解决实际问题。

2. 数学思考：培养学生变化的眼光看待图形，善于在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，培养学生的审美意识和数学应用意识。

3. 问题解决：使学生理解平移的基本性质，能够从整体和局部角度把握平移的关键特征，借助平移将未知转化为已知，从而解决问题。

4. 情感态度：在数学学习中培养学生与同伴合作交流的能力，既能理解、尊重他人意见，又能独立思考，大胆质疑，体验成功的喜悦。

教学重点：图形平移的概念、平移的基本性质。

教学难点：平移性质的探索及灵活应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体展示一些生活中的平移现象，如滑滑梯、升国旗等，引导学生观察并思考这些现象与数学中的图形变换有什么关系。

2. 学生分享观察到的平移现象，教师总结并引出本节课的主题——图形平移。

二、新课讲解（15分钟）1. 教师通过展示图形平移的动画，引导学生直观地感受图形的平移变换。

2. 教师提出问题：“图形平移后，它的位置和形状会发生什么变化？”，让学生进行思考和讨论。

3. 学生回答问题，教师根据学生的回答总结出图形平移的性质：平移前后图形全等，对应点连线平行或在同一直线上且相等。

4. 教师引导学生通过实际操作，验证图形平移的性质。

三、例题讲解（15分钟）1. 教师展示例题，引导学生运用平移的性质解决问题。

2. 学生独立思考，教师进行讲解和指导。

四、巩固练习（10分钟）1. 教师布置练习题，让学生运用平移的性质进行解答。

2. 学生互相讨论，教师进行巡回指导。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结图形平移的性质及运用。

2. 学生分享自己在课堂上的收获和感受。

六、作业布置（5分钟）1. 教师布置课后作业，让学生进一步巩固图形平移的知识。

教学反思：本节课通过引导学生观察生活中的平移现象，引出图形平移的概念，并通过讲解、例题和练习，使学生掌握图形平移的基本性质。

初中数学竞赛几何变换

几何变换一、平移变换1．定义设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得=，则T 叫做沿有向线段的平移变换。

记为X −−→−)PQ (T X'，图形F −−→−)PQ (T F' 。

2．主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。

两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。

二、轴对称变换1．定义设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得X 与X'关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。

记为X −→−)l (SX'，图形F −→−)l (S F' 。

2．主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。

三、旋转变换1．定义设α是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点O 仍变到O （不动点），而把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得OX'=OX ，且∠XOX'=α，则R叫做绕中心O ，旋转角为α的旋转变换。

记为X −−−→−α),O (RX'，图形F −−−→−α),O (R F' 。

其中α<0时，表示∠XOX'的始边OX 到终边OX'的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。

2．主要性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。

四、位似变换1．定义设O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得 =k ·，则H 叫做以O 为位似中心，k 为位似比的位似变换。

记为X −−−→−)k ,O (HX'，图形F −−−→−)k ,O (H F' 。

初二奥数之几何变换

2020年数学竞赛初二奥数之几何变换专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.1.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.l图3图2图1F 1F 2O【例2】如图，P 是等边△ABC 的内部一点，∠APB ，∠BPC ，∠CP A 的大小之比是5:6:7，则以P A ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）解题思路：解本例的关键是如何构造以P A ，PB ，PC 为边的三角形，若把△P AB ，△PBC ，△PCA 中的任一个，绕一个顶点旋转060，就可以把P A ，PB ，PC 有效地集中在一起.【例3】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD 翻折造全等.【例4】如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥FE ，CD ∥AF ，对边之差BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.BCC【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1）如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.A图2图1MA B B能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）(第1题) （第2题）（第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 01506.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的长1. 其中正确的结论有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个B（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDADA'7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）l第8题图第7题图CBBA B C A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）B14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）图2图1ACBBCAB专题29 几何变换例1 210例2 A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形. 例3 提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4 提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5 (1)如图a ，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠, ∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式: 222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b 例6 如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠===，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠=.123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=能力训练1. 452. 1503. 12 提示: 如图, 设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴, 交于点D , 过B 作BE x ⊥轴, 交于点E由,2AO AD OD AOD BCE BC BE CE ∴===, 则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上, 4291()3322a a a a ∴=+, 解得 123,0a a ==(舍去) 3412k ∴=⨯=4. 15 提示: 分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F , 连接,FC EB 相交于G , 证明四边形AFGE 为正方形5. B6. C7. B8. D9. 提示: 延长FD 至G , 使DG FD =, 连接EG10. 提示: 作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11. 提示: 作//CD BQ , 连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形, DQ QB = , 由,AP QB CD AQ PC === ,A PCD ∠=∠ 得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== Q P D ∴为等边三角形, 又,CDP A PQA ∠=∠=∠2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠= 20,A ∴∠=80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠= 30PCQ ∠=12. 提示: (1) 作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短, (3.5,0)P ∴ (2) 将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ，再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴=(3) 作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M , 交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13. 提示: 过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠=== 则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证: ''PP QQ =又 '//,'//EP AN FQ ND , 又''AN ND EP FP =∴= 从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+则 PE FQ =14. 提示:(1)11,,BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠ 2,DME DCM ∠=∠2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠= B M D M ∴⊥(2) 延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC . 可证:EMD CMF ≅,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠ //ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF ∠=∠ ,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠, 又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠=, BDF ∴为等腰三角形, ,BM DM BM DM ∴=⊥15. 如图, 以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形, 不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABC h SBC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。

简单的几何变换(平移旋转翻转)

简单的几何变换（平移旋转翻转）几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了图形在平面或者空间中的位置和形状的变化。

本文将介绍三种简单的几何变换，包括平移、旋转和翻转，并对它们的应用进行探讨。

一、平移平移是指将图形按照一定的方向和距离移动到新的位置，而保持其形状和大小不变。

在平面几何中，平移可以通过将每个点的坐标进行相应的变换来实现。

具体来说，给定一个点P(x, y)，将其平移至新的位置P'(x', y')，可以通过下述公式计算得到新的坐标：x' = x + ay' = y + b其中(a, b)表示平移的方向和距离。

平移可以用来描述物体的移动、平面的平行移动等。

例如，当一个平面图形需要向右平移5个单位时，我们可以将每个点的x坐标加上5。

二、旋转旋转是指将图形按照某个中心点进行旋转，使得每个点相对于中心点的角度保持不变。

在平面几何中，旋转可以通过将每个点的坐标绕旋转中心点进行相应的变换来实现。

具体来说，给定一个点P(x, y)，将其绕旋转中心O旋转Θ角度后得到新的位置P'(x', y')，可以通过下述公式计算得到新的坐标：x' = (x - a) * cosΘ - (y - b) * s inΘ + ay' = (x - a) * sinΘ + (y - b) * cosΘ + b其中(a, b)表示旋转的中心点，Θ表示旋转的角度。

旋转可以用来描述物体的旋转、钟表的指针转动等。

例如，当一个平面图形需要顺时针旋转90度时，可以通过将每个点的坐标按照上述公式进行计算。

三、翻转翻转是指将图形按照某个轴进行对称翻转，使得图形相对于轴是镜像对称的。

在平面几何中，翻转可以通过将每个点的坐标关于翻转轴进行对称的变换来实现。

具体来说，给定一个点P(x, y)，将其关于翻转轴进行对称翻转得到新的位置P'(x', y')，可以通过下述公式计算得到新的坐标：x' = 2 * a - xy' = 2 * b - y其中(a, b)表示翻转轴上的一个点。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题02平移变换与等积变形

专题2平移变换与等积变形专题解读】"平移”是初中几何中的一种重要的图形变换.解答相关问题时，若能恰当地运用图形的平移变换，往往能起到聚集条件、开阔思路、化难为易等岀奇制胜的效果；“等积变形”就是一种将一个图形转换为另一个与之面枳相等的图形•等积变形通常可以通过利用平行线达成，它的主要依据就是“平行线间距离处处相等”，当然，有时我们也可以将目标图形先进行分割再分别进行等积变形.思维索引例1.如图，在10X10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1, AAFC的三边长分别是6, 8, 10.以AABC 的三条中线为三边长，能否组成一个三角形？如果能，在同一网格内作岀这个三角形，并求出它的而积：如果不能，说明理由.例2.操作与实践（1）如图1,已知△ABC,过点A画一条平分三角形面积的直线：<2）如图2,已知人/〃2,点£，F在人上，点G, H在匕上，试说明AEGO与△FHO而积相等;（3）如图3,点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形而积的直线.（4）如图4,已知四边形ABCD,过点A画一条平分四边形而积的直线.（简述作图过程）An素养提升1.如图，有四个形状和大小相同的四个等腰三角形，下而的四个图形中不能由四个小三角形经过平移得到的是（）2. 如图，将周长为10个单位的厶ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为3.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A, B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A, B, Q为顶点的三角形面积为1,则点C的个数为（）4. 如图是一块矩形ABCD的场地，AB=\02m,从A、B两处入口中的路宽都为1杯两小路汇合处路宽为2m,其余部分种植草坪，若草坪的而积为5000加》则AD的长为（）A. 49加B. 50〃】C・D・52in5. 如图，AB//DC, ED//BC. AE//BD.图中和△ ABD而积相等的三角形（不包括△48»）有（）A・1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 如图，将MBC沿着点B到C的方向平移到ZWEF的位宜，AB=10, DO=4,平移距离为6,则阴影部分而积为_________ ■B・14 C・16 D・18A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个A. 127. 如图，ZBAC=ZBCA, D在ZABC外角平分线上，/\ABD的面积为6cm2,则△BCD的而积为_cw2.8. 如图，长方形ABCD中，AB=6,第1次平移将长方形ABCD沿的方向向右平移5个单位，得到长方形AibCiDi,第2次平移将长方形AibCi D沿Ai®的方向向右平移5个单位，得到长方形AzBiCiD^-, 第n次平移将长方形沿A n-iB…-i的方向平移5个单位，得到长方形A n B n C n D… (n>2), 若AB,.的长度是2021,则“的值为______________________________________ .9. 下面所说的“平移“，是指只沿方格的格线(即左右或上下)运动，并将图中的任一条线段平移一格称为“1步二通过平移，使得图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要移动 __________ 步.10.如图，AB//CD. AD〃BC,点E在线段上一点，连接DE交CB延长线于点F,若S汕如⑷s=10,AE : BE=3 : 2,则_______11・如图，已知直线l\〃g点人B在直线上，点C\ D在直线/2±,点C在点D的右侧，ZADC= 80。

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第1讲几何变换——平移
典型例题
【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，已知3AD BC +=
，AC
，BD ，
求梯形ABCD 的面积．
【例2】如图所示，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A B ︒∠+∠=，AB a =，CD b =，E 、
F 分别是AB 、CD 的中点，求EF 的长．
【例3】求证：两中线相等的三角形都是等腰三角形．
【例4】求证10条两两相交的直线所成的所有角中，至少有一个角不大于18︒．
A
C
D
B
F
D
C
B
A
E
【例5】已知六边形ABCDEF 的三双对边分别平行并且AB ED =，求证：BC EF =，
CD FA =．
【例6】在六边形
ABCDEF 中，AB DE BC EF CD AF ∥，∥，∥，且
BC EF -=DE AB -=AF CD -0＞．求证：六边形ABCDEF 的各内角相等．
【例7】如图，ABC △中，D 是BC 的中点，DE DF ⊥，试判断BE CF +与EF 的大小
关系，并证明你的结论．
【例8】如图，ABC △中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．
【例9】已知：ABCD 是凸四边形，且AC BD =．E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF
交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠=∠．
【例10】已知，如图，四边形ABCD 中AD ＝BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、
EF 和BC 的延长线分别交于M N ，两点，求证：AME BNE ∠=∠．
E
D
C
A
B
M
N A
B
D
C
F E
E
N G
F
D
C
B
A
M
【例11】如图，任意五边形ABCDE 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的
中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL AE ∥，且1
4
KL AE
．
【例12】已知：矩形ABCD 内有定点M ，求证：存在四边形，它的四条边分别等于MA 、
MB 、MC 、MD ，对角线分别等于AB 和BC ，且两条对角线互相垂直．
【例13】如图，已知ABC △中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，
连DE ，求证：DE BC ＞．
D
E
D
C
B
A
L
N
M
K
Q
P
【例14】如图，在等腰三角形ABC 的两腰AB 、AC 上分别取点E 和F ，使得AE CF =．已
知2BC =，求证：1EF ≥．
【例15】已知：M 是三角形ABC 内的定点，从M 点出发沿平行于边BC 的直线运动，直
到和AC 边交于1B 点，然后再沿平行于AB 边的直线运动，直到和BC 边交于1A 点，然后再沿平行于AC 边的直线运动，直到和AB 边交于1C 点，…如此继续下去．求证：若干步后，M 点的轨迹将是封闭的．
【例16】已知ABC △的三条中线长分别为3，4，5，求ABC △的面积．
【例17】已知：ABCD 是梯形，A ∠、B ∠的平分线交于M 点，C ∠、D ∠的平分线交于N ．
求证：2MN AB CD BC AD =+--．
【例18】如图所示，在ABC △中，90C ︒∠=，点M 在BC 上，且BM AC =，N 在AC 上，
且AN MC =，AM 与BN 相交于P ．求证：45BPM ︒∠=．
作业
1. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AC BD ⊥．求证：222()AC BD AB DC +=+．
A
B
C
P
N
M
2. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC =，BD DC =，AC BD ⊥于M ．求证：1
()2
CM AB DC =+．
3. 四边形ABCD 中，AB CD ∥，2D B ∠=∠，若AD a =,AB b =，求CD 的长．
4. 叙述并证明梯形中位线的性质定理．
5. 如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，垂足为E ，DF BC ⊥于F ，MN 是梯
形的中位线，求证：DF MN =．
A
M
D
C
B
E
D
A
6. 在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别AB 、BC 、CD 、DA 边上的点，
且EG FH ⊥，求证：EG FH =． 7.
ABCD 是四边形，N 是BC 中点，M 是AD 边中点，BA 、NM 的延长线交于P ，CD 、NM 的延长线交于Q ，如果BPN NQC ∠=∠，求证：AB CD =．
8.
ABC △中，BE 和CD 分别是B ∠和C ∠的角平分线，P 是DE 的中点，
PQ BC ⊥于Q ，PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于N ．求证：PQ PM PN =+．。