用平方差公式因式分解

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利用完全平方差公式进行因式分解

因式分解的几种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

用平方差公式分解因式

2.用平方差公式因式分解步骤：
一变、二分解
课外作业
1：教材P 2: 练习册
反过来又如何？
a2-b2 = (a+b)(a-b)
2、你能把分解因式吗？
x2-25
a2-b2 = (a+b)(a-b)
观察上面的式子，你发现其有何特征？
左边是两数的平方差，右边是两数和与它们差的积。
填空：
(1)a2-16=a2-( 4 )2 =(a+ 4)(a- 4 )
(2)64-b2=( 8)2-b2
拓展训练1：因式分解
1.-125x2y2+4 2.4(a-b)2-9(2a+3b)2 3.(2a-b)2-9a2 4.(x2+3x)2-(x+1)2
拓展训练2：利用因式分解计算
1.10122-9882
2.73×1452-1052×73
3.1522-522
2842-162
课堂小结
1.平方差公式：a2-b2 = (a+b)(a-b)9来自3.x2y2-16y2
例2：把下列各式分解因式：
1.(x+y)2-(x-y)2
2.9(a+b)2-4(a-b)2
练一练2：
1.(x-2)2-9
2.(x+a)2-(y-b)2
3.-25(a+b)2+4(ab)2
例3：求圆环绿地的面积
35m 15m
练一练3：如图，在边长为 16.4厘米的正方形纸片的４个角各剪去一边长为1.8厘米的正方形，求余下纸片的面积
数学家陈景润的故事
1966年屈居于六平方米小屋的陈景润，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一支笔，耗去了几麻袋的草稿纸，居然攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥的辉煌。他证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果国际上誉为“陈氏定理”，受到广泛征引。这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学者阿 •威尔(A Weil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。

因式分解运用公式法(完全平方公式)

说明：系数是分数时应提取，使各项系数化为整数.
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式时，在运算过程中应用括号来表示这个多项式的整体性,并且由于式子变得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52

因式分解公式平方差公式

因式分解公式平方差公式因式分解公式中的平方差公式，那可是数学世界里的一个超级实用的工具！咱们先来看看啥是平方差公式。

简单说，就是 a² - b² = (a + b)(a - b) 。

这公式看着简单，用起来可厉害着呢！就拿我曾经教过的一个学生小明的例子来说吧。

有一次课堂练习，题目是分解因式 x² - 25 。

小明一开始抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。

我就提醒他，看看这式子像不像平方差公式的样子？他眼睛一亮，马上反应过来，25 不就是 5 的平方嘛，这式子不就是 x² - 5²嘛。

然后，他迅速写下 (x + 5)(x - 5) ，那脸上的表情，别提多得意了。

再比如，遇到 9m² - 4n²这样的式子。

咱们一看，9m²就是 (3m)²，4n²就是 (2n)²，那这就可以用平方差公式分解为 (3m + 2n)(3m - 2n) 。

平方差公式在解决实际问题中也大有用处。

比如说，要计算一个长方形场地的面积，已知它的长是 (x + 3) 米，宽是 (x - 3) 米，那面积就是 (x² - 9) 平方米。

这时候用平方差公式一分解，就能更清楚地知道具体数值。

而且啊，平方差公式还能帮我们在做数学证明题的时候找到思路。

有些看起来特别复杂的式子，一旦发现能用平方差公式分解，就好像找到了打开难题大门的钥匙。

我还记得有一次考试，有一道题是分解 16a⁴ - b⁴。

很多同学都被难住了，但那些真正掌握了平方差公式的同学，很快就把它分解为 (4a²+ b²)(2a + b)(2a - b) ，轻松拿下分数。

在数学的学习中，平方差公式就像是我们的得力助手，只要用对了地方，就能让难题变得简单。

所以同学们一定要好好掌握这个公式，多做练习，让它成为我们解题的神器！总之，平方差公式虽然简单，但是用处多多。

八年级数学平方差公式1

运用平方差公式分解因式
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2);
2) . (x+2y) (x-2y)
3). (t+4s)(-4s+t)
看谁做得最快最正确！
4). (m² +2n² )(2n² - m² )
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ，它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。
4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再
考虑运用平方差公式分解因式。
随堂练习：
P49
1
2
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （ D ）
D. - X² + y² ）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) B.
-( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
D.
-(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
做一做
2、如图，在一块边长为 acm 的正方形的四角，各剪去一个边长为 bcm的正方形，求剩余部分的面积。如果 a=3.6，b=0.8呢?

因式分解-平方差公式

知识探索
2、口答下列各题： (1) a2-1=( a )2-( 1 )2 (2) x4y2-4= ( x2y )2-( 2 )2 (3) 0.49x2-0.01y2=( 0.7x )2-( 0.1y )2
(4) 0.0001-121x2=( 0.01 )2-( 11x )2 3、能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？①有且只有两个平方项； ②两个平方项异号；
)
是否否
把下列各式进行因式分解 1. a3b3-a2b-ab ab(a2b2-a-1)
2. -9x2y+3xy2-6xy -3xy(3x-y+2)
在横线内填上适当的式子，使等式成立：（1）（x+5)(x-5)= （2）（a+b)(a-b)= （3） x2-25 = (x+5)( （4） a2-b2 = (a+b)( x2-25 a2-b2 x-5 a-b ; ; ); )。
2
2
= (a ▲ + b )( a b) ▲
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）２－（）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
你对平方差公式认识有多深？
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
进一步分解因式。
4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，
直到不能再分解为止。
小试身手
把下列各式分解因式:
(1) (2) 2 2 2 解：(1) 36-25x =6 -(5x) =(6+5x)(6-5x) (2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)

冀教版七年级下册数学第11章因式分解用平方差公式分解因式

解：(1)(x＋1)2－a2＝(x＋1＋a)(x＋1－a)． (2)(2x＋3)2－4m2＝(2x＋3)2－(2m)2＝(2x＋3＋ 2m) (2x＋3－2m)．
（来自教材）
知2－练
(3)(2x＋3)2－(3x－4)2＝[(2x＋3)＋(3x－4)][(2x＋3) －(3x－4)]＝(5x－1)(7－x)．
8 【中考·北海】下列因式分解正确的是( D ) A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
知1－练
9 【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(B ) A．a(a－1) B．a(a－2) C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
(2) 2ab3－2ab ＝2ab(b2－1) ＝(b－1)(b＋1).
知2－讲
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a 和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止． (2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简.
2 易错小结
1. 分解因式：(a＋b)2－4a2. 解：(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)
＝(3a＋b)(b－a)．易错点：忽视系数变平方的形式导致出错
本题易将4a2写成(4a)2导致出错．
2. 分解因式：a4－1. 解：a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
知1－导
知1－导

因式分解——运用公式法

因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。

通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。

公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。

例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。

2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。

例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。

3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。

例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。

4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。

例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。

5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。

例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。

除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。

例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。

根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。

用完全平方差公式因式分解

x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。平方差公式法：适用于平方差形式的多项式完全平方公式法：适用于完全平方式
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式是不是一个完全平方式。做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) a2 4a 4 (2) (3) m2n2 4 4mn
2 (3)a 2a 1
2 (4)4 x 4 x 1
(5)ax2 2a2 x a3
(6) 3x2 6xy 3y2
(7) (a+b)4-10(a+b)2+25
例2.用简便方法运算。
(1)2006 2 62 (2)132 213 3 9 (3)112 39 2 66 13
分解因式4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？
(1)两项 (2)平方差
下面的多项式能用平方差公式分解因式吗？ (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
完全平方公式：完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2

12.5.因式分解-平方差公式

（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）２－（）２的形式。
(2) 公式右边: （是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
下列多项式能转化成（）２－（ m2 －1 = m2 －12 (2)4m2 －9 = (2m)2 －32 (3)4m2+9 不能转化为平方差形式
(4)x2 －25y 2 ＝ x2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式 (6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －x2
铺路之石
填空：
平方差公式：
整式乘法
(a + b)(a - b) = a2 - b2
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。
a2 - b2 = (a+ b)( a - b)
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
a 2 ▲- b 2 = ( a ▲+ b )( a -▲ b )
华师版 ·数学 ·八年级(上)
把-9x2y+6xy2-3xy分解因式 -3xy(3x-2y+1)
比一比
• 比一比，看谁算的又快又准确！
322-312
5.52-4.52
知识探索
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2
a2-b2= (a+b)(a-b)
整式乘法因式分解
这种分解因式的方法称为公式法。
（1） 1 ＝（
36
1 6
)2 ;
（3）9m2 ＝ ( 3m )2;

平方差公式法分解因式

求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值.
பைடு நூலகம்
当堂检测
把下列各式分解因式：
(1) x2 y2-36
(2)18a2-50 (3)-3ax2+3ay4
(4)(2a b) 4a
2 2 2
2 2
(5)(x 3x) x 1
6x
4
16
小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式可运用平方差公式分解因式。 2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。 4.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再
=(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)
分解因式： xm+2-xm
解：xm+2-xm =xmx2-xm =xm(x2-1) =xm(x+1)(x-1)
（你会做么？？？）
利用因式分解计算
2 2 1.1012 -988 2 2 2.73×145 -105 ×73
创新与应用
已知, x+ y =7, x-y =5,
思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号；
例3分解因式: (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析: 在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2, 即可用平方差公式分解因式.

因式分解平方差公式

因式分解平方差公式因式分解平方差公式是高中数学中的一个重要概念，它在代数运算中有着广泛的应用。

本文将介绍因式分解平方差公式的定义、推导方法以及实际应用。

一、定义因式分解平方差公式是指将两个平方数的差分解为两个因数的平方差的代数公式。

具体表达式为：a² - b² = (a + b)(a - b)，其中a和b为任意实数。

二、推导方法为了更好地理解因式分解平方差公式，我们可以通过几何图形来进行推导。

我们将一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形相邻地放置在一起，构成一个长方形。

根据几何图形的性质，这个长方形的长为a + b，宽为a - b。

然后，我们可以计算这个长方形的面积，即 (a + b)(a - b)。

根据几何图形的性质，这个长方形的面积等于两个正方形的面积之差，即a² - b²。

我们得到了因式分解平方差公式的推导过程：a² - b² = (a + b)(a - b)。

三、实际应用因式分解平方差公式在数学问题的解决中有着广泛的应用。

下面将介绍一些常见的实际应用场景。

1. 平方差的因式分解在解决代数表达式的因式分解问题时，经常会用到平方差的因式分解。

例如，我们要将x² - 4 分解为两个因数的平方差，根据因式分解平方差公式，可以得到x² - 4 = (x + 2)(x - 2)。

2. 求解方程因式分解平方差公式也可以用于求解一元二次方程。

例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为 (x - 2)(x - 3) = 0，从而得到方程的两个解为 x = 2 和 x = 3。

3. 计算面积在几何学中，我们经常需要计算各种形状的面积。

因式分解平方差公式可以帮助我们计算一些特殊图形的面积。

例如，在计算一个矩形的面积时，如果只知道长和宽的和以及长和宽的差，我们可以使用因式分解平方差公式来计算出长和宽，进而求得矩形的面积。