2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷(解析版)

2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1. “”是“一元二次方程有实数解”的
A. 充分非必要条件
B. 充分必要条件
C. 必要非充分条件
D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】解：当一元二次方程有实数解，则：，
即，即，
又”“能推出“”，
但“”不能推出”“，
即“”是“一元二次方程有实数解”的充分非必要条件．
故选：A．
先求出一元二次方程有实数解的充要条件为，再判断“”与”“的关系即可．
本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及一元二次方程的解，属简单题．
2. 下列命题正确的是
A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
B. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面
C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
D. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
【答案】D
【解析】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故错误；
如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故错误；
如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故错误；
果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故正确；
故选：D．
根据空间线面关系的判定定理，性质及几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题．
3. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有种．
A. 72
B. 36
C. 64
D. 81
【答案】B
【解析】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，
先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，
再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有．
故选：B．
先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到
结果
本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．
4. 已知点，，P为曲线上任意一点，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设则由可得，
令，，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知全集，集合，则______．
【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
进行补集的运算即可．
考查区间表示集合的概念，以及补集的运算．
6. 抛物线的焦点坐标是______．
【答案】
【解析】解：根据题意，抛物线的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，
且，
则抛物线的焦点坐标为，
故答案为：．
根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．
本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．
7. 不等式的解为______．
【答案】
【解析】解：根据题意，，
若，即，
解可得，
即不等式的解集为；
故答案为：．
根据题意，由行列式的计算公式可得，原不等式变形可得，解可得x的取值范
围，即可得答案．
本题考查对数不等式的解法，涉及行列式的计算，属于基础题．
8. 已知复数z满足为虚数单位，则z的模为______．
【答案】
【解析】解：复数z满足为虚数单位，
，则．
则．
故答案为：．
利用复数的运算法则及其性质即可得出．
本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9. 若函数的图象恒过点，则函数的图象一定经过定点______．
【答案】
【解析】解：因为的图象恒过，所以过，
所以的图象一定经过定点
故答案为：
因为的图象恒过，所以过，在上移3个单位得
本题考查了反函数，属基础题．
10. 已知数列为等差数列，其前n项和为若，则______．
【答案】12
【解析】解：数列为等差数列，其前n项和为，
，
解得，
．
故答案为：12．
由，得，再由，能求出结果．
本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11. 在中，内角A，B，C的对边是a，b，若，，则______．
【答案】
【解析】解：，
又，．
故答案为：．
在中，运用余弦定理：，代入计算即可得到．
本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．
12. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为______．
【答案】
【解析】解：圆锥的体积为，母线与底面所成角为，
如图，设圆锥底面半径，则母线长，高，
，
解得，，，
该圆锥的表面积为．
故答案为：．
设圆锥底面半径，则母线长，高，则，
求出，，该圆锥的表面积为，由此能求出结果．
本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13. 已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为______．【答案】
【解析】解：已知二项式的展开式中，
前三项的二项式系数之和为，则，
故展开式中的第五项为，
故答案为：
由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的第五项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】解：由可得，
即有三个正根，
可得或，
由，递减，可得方程有一解；
由，时取得等号，
可得时，有两个正根，
综上可得a的范围是
故答案为：
由，可得，可得或，由函数的单调性和基本不等式，即可得到所求范围．
本题考查函数的零点问题解法，注意运用分离参数法和函数的单调性、基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
15. 已知数列满足：，且，，若，
则______．
【答案】1009
【解析】解：，，，
，时，，
，对于上式两边取极限可得：，
化为：，解得．
故答案为：1009．
，，，可得，时，，
根据已知，对于上式两边取极限可得：，即可解出．
本题考查了数列极限性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，
则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】解：当时，
当时，
若，则在上是单调递增函数，
所以若满足题目要求，则
所以，，又，所以．
若，则，
在上是单调递增函数，此时；
在上是单调递减函数，此时．
若满足题目要求，则，
，又，所以．
综上，．
故答案为：．
由题意可得在的范围包含在的范围内，先运用基本不等式求得在的范围，再讨论，，结合函数的单调性可得的范围，解a的不等式可得所求范围．
本题考查分段函数的运用，考查任意性和存在性问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属
于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）
17. 已知直三棱柱中，，．
求异面直线与所成角；
求点到平面的距离．
【答案】解法一：
在直三棱柱中，，，
，
所以，
分
因为，，
所以为异面直线与所成的角或补角
分
在中，因为，，
所以，异面直线与所成角为
分
设点到平面的距离为h，
由得，
分
，分
因为，，分
所以，，解得，．
所以，点到平面的距离为分
解法二：
设异面直线与所成角为，如图建系，
则，，分
因为，
所以，异面直线与所成角为分
设平面的法向量为，则．又，，分
所以，由，得分
所以，点到平面的距离分
【解析】法一：求出，从而，进而为异面直线与所成的角或补角，由此能求出异面直线与所成角．
设点到平面的距离为h，由，能求出点到平面的距离．
法二：
设异面直线与所成角为，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角．求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查异面直线所成角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
18. 已知函数．
若角的终边与单位圆交于点，求的值；
当时，求的单调递增区间和值域．
【答案】解：角的终边与单位圆交于点，
，
；
由；
由，
得，，
又，所以的单调递增区间是；
，
，
，
故得的值域是．
【解析】利用定义即可求解的值；
利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当时，求解内层函数，从而求解值域．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
小时以内含3小时为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值单位：与游玩时间小时满足关系式：；
到5小时含5小时为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为即累积经验值不变；
超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．
当时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；
该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．
【答案】解：，
当时，，
当时，，则，
，
综上，
【解析】根据题意即可得到函数的解析式，并求出游玩6小时的累积经验值，
根据这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求出，再分类讨论，即可求出a的范围．
本题考查了函数在实际生活中的应用，关键求出函数的解析式，属于中档题
20. 已知双曲线：的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和
CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点如图．
若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；
若，，，，试求双曲线的方程；
在的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线l：分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．
【答案】解：双曲线的渐近线方程为：
即，所以，分
从而，，
所以分
设，则由条件知：，
，即分
所以，，分
代入双曲线方程知：分
双曲线的方程：分
因为，所以，由知，，所以的方程为：，
令，所以，：，令，所以，：，令，所以，分
故以MN为直径的圆的方程为：，
即，
即，分
若以MN为直径的圆恒经过定点
于是
所以圆过x轴上两个定点和分
【解析】可得，从而，，即
求得即，从而得，代入双曲线方程知：即可；
可得的方程为：，求得，：，令，所以，以MN为直径的圆的方程为：，于是，即可得圆过x轴上两个定点和．
本题考查了双曲线的方程与性质，以及圆过定点问题，属于中档题，
21. 已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物
线上依次取点，，，，，使得都为等边三角形，其中为坐标
原点，设第n个三角形的边长为．
求，，并猜想不要求证明；
令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
已知数列满足：，数列满足：，求证：．
【答案】解：，分
猜想分
分
由，
，，，分
分
分
对任意恒成立分．
证明：，记，则分，记，则分
，
当时，可知：，分
【解析】，，进而猜想出．
由，可得，，，，利用等比数列的求和公式即可得出根据对任意恒成立即可得出范围．，记，可得，，记，可得，根据当时，即
可得出．
本题考查了数列与函数的关系、等比数列的通项公式与求和公式及其性质、三角函数求值及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。