几何概型的常见题型

几 何 概 型 的 常 见 题 型

李凌奇2017-06-26

1．与长度有关的几何概型

例1．在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2

cos

x

π的值介于0到

2

1

之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.3

2 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos

2

x

π的值介于0到

2

1

之间, 需使2

23x

π

ππ

-

≤

≤-

或

322x

π

ππ

≤

≤

∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3

2

，

由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2

1

之间的概率为

3

1232

===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.

2．与面积有关的几何概型

例2．ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）

A ．

4

π

B.14

π

-

C.

8

π D.18π

-

分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型.

解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为

2

π

因此取到的点到O 的距离大于1的面积为2

2π

-，

则取到的点到O 的距离大于1的概率为

A

O D C

B

1

图

4

12221)(ππ

-=-

=

=

的面积

长方形的面积

的距离大于取到的点到ABCD O A P . 故选B.

3．与角度有关的几何概型

例3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC ，求使得

AOC ∠和BOC ∠都不小于30°的概率？

分析：此题关键是搞清过O 作射线OC 可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的.

解：记事件A 是“做射线OC ，使得AOC ∠和BOC ∠都不小于30°”，

030=∠=∠=∠MON BOM AON ，则符合条件的射线OC 应落在扇形MON 中， 所以.3

1

9030)(00==∠∠=

的度数的度数AOB MON A P 4．与体积有关的几何概型

例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？ 分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率. 解：“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A ， 则.2.05

1

.)(===

所有水的体积取出的水的体积A P

从而所求的概率为0.2.

5．与线性规划有关的几何概型

例5．小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？

分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设晚报送到和晚饭开始的时间分别为y x 、，然后把这两个变量所满足的条件写成集合的形式，把问

A

C

B O

M

N

2

图

题转化为线性规划问题进行求解.

解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别为y x 、.用），（y x 表示每次试验的结果，则所有可能结果为：{}

76,30:630:5),(≤≤≤≤=Ωy x y x ，

即为图3中正方形ABCD 的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件A ，则事件A 的结果为：{}

y x y x y x A ≤≤≤≤≤=,76,30:630:5),(，即为图2中阴影部分区域.

111=⨯=ABCD S ，8

72121211=⨯⨯-=阴影S .

所以所求概率为：8

7187

===

ABCD

S S P 阴影. 故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是

8

7. 反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为： （1）找设变量.从问题中找出两个随机变量，设为y x ,；

（2）集合表示.用),(y x 表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全部结果Ω和事

件A 所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集. （3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合A ,Ω对应的区域的面积. （4）计算求解.由几何概型公式求出概率.