【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 9.4变量间的相关关系与统计案例练习

第四节 变量间的相关关系与统计案例
时间：45分钟 分值：100分
基 础 必 做
一、选择题
1．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1
B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3
C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1
D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3
解析 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r 2<r 4<0<r 3<r 1.故选A. 答案 A
2．下面是2×2列联表：
则表中a ，b 的值分别为A ．94,72 B ．52,50 C ．52,74
D ．74,52
解析 ∵a ＋21＝73，∴a ＝52，又a ＋22＝b ，∴b ＝74. 答案 C
3．对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为y ^
＝0.8x －155，则实数m 的值为( )
A.8 C ．8.4
D ．8.5
解析 x ＝196＋197＋200＋203＋204
5
＝200，
y ＝
1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m
5
.
样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫200，17＋m 5，将样本中心点⎝ ⎛⎭
⎪⎫200，17＋m 5 代入y ^
＝0.8x －155，可得m ＝8.故A 正确． 答案 A
4．登山族为了了解某山高y (km)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
由表中数据，得到线性回归方程y ＝－2x ＋a (a ∈R )，由此请估计出山高为72(km)处气温的度数为( )
A ．－10
B ．－8
C ．－4
D ．－6
解析 由题意可得x ＝10，y ＝40，
所以a ^
＝y ＋2x ＝40＋2×10＝60.
所以y ^
＝－2x ＋60，当y ^
＝72时，－2x ＋60＝72，解得x ＝－6，故选D. 答案 D
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由K 2
＝n a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d
，
算得K 2
＝110× 40×30－20×20
2
60×50×60×50
≈7.8.
附表：
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析 根据独立性检验的定义，由K 2
≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.
答案 C
6．已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A.b ^
>b ′，a ^
>a ′
B.b ^
>b ′，a ^
<a ′
C.b ^
<b ′，a ^
>a ′
D.b ^
<b ′，a ^
<a ′
解析 x ＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72
，
y ＝
0＋2＋1＋3＋3＋46＝136
，
b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
＝57，a ^＝y －b ^
x ＝－13
. 由两组数据(1,0)和(2,2)可知直线方程为y ＝2x －2，∴b ′＝2>b ^，a ′＝－2<a ^
. 答案 C 二、填空题
7．(2015·云南师大附中模拟)某车间为了规定工时定额．需要确定加工零件所需时间，
为此进行了5次试验，收集到如下数据，由最小二乘法求得回归直线方程y
^
＝0.67x ＋54.9.
后来表中一个数据模糊不清了，请你推断出该数据为________． 解析 设所求数据为m ， 因为x ＝
10＋20＋30＋40＋50
5
＝30，
y ＝
62＋m ＋75＋81＋895＝m ＋307
5
.
又(x ，y )在回归直线上， 所以
m ＋307
5
＝0.67×30＋54.9.解得m ＝68.
答案 68
8．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：
为了判得到K 2
＝50× 13×20－10×7 2
23×27×20×30≈4.844，因为K 2
≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，
那么这种判断出错的可能性为__________．
解析 ∵K 2
≈4.844＞3.841，∴有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系，即作出“主修统计专业与性别有关系”的判断，出错的可能性不超过5%.
答案 5%
9．(2015·成都模拟)一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚长x (单位：cm)与身高y (单位：cm)进行测量，得如下数据：
作出散点图后，发现散点在一条直线附近．经计算得到一些数据：x ＝24.5，y ＝171.5，
∑i ＝1
10
(x i －x )(y i －y )＝577.5，∑i ＝1
10
(x i －x )2＝82.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对裸
脚印，量得每个脚印长26.5 cm ，请你估计案发嫌疑人的身高为________cm.
解析 由已知得b ^
＝
∑i ＝1
10
x i －x
y i －y
∑i ＝1
10
x i －x
2
＝7，
a ^
＝y －b ^
x ＝0，故y ^
＝7x .
当x ＝26.5时，y ＝185.5(cm)． 答案 185.5 三、解答题
10．一台机器由于使用时间较长，但还可以用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果.
(1)(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程．
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
解 (1)画出散点图，如图．
(2)x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝1
4
x i y i ＝438，∑i ＝1
4
x 2
i ＝660，
所以b ^
＝
∑i ＝1
4
x i y i －4x
·y
∑i ＝1
4
x 2i －4x 2
＝438－4×12.5×8.25660－4×12.5
2
≈0.728 6， a ^＝y －b ^
x ≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5.
所以线性回归方程为y ^
＝0.728 6x －0.857 5.
(3)要使y ^
≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10，x ≤14.901 9. 所以机器的转速应控制在15 rad/s 以下．
11．(理)为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查．得到了如下的统计结果：
表1：男生上网时间与频数分布表
(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？
附：K 2
＝ a ＋b c ＋
d a ＋c b ＋d
解 (1)60分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的
概率为C 160C 2
40C 3100＝156539
.
(2)
K 2
＝100×100×130×70＝91≈2.20，
∵K 2
≈2.20<2.706.
∴没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”．
(文)某校为了比较“传统式教学法”与该校所创立的“三步式教学法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”．
(1)若全校共有学生2 000名，其中男生1 100名，现抽取100名学生对两种教学法的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？
(2)表1,2分别为实行“传统式教学法”与“三步式教学法”后的数学成绩： 表1
学法有差异．
参考公式：K 2
＝ a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
参考数据：
解 (1)设抽取女生x 人，则
2 000－1 100＝x
，
解得x ＝45，所以女生抽取45人． (2)列联表如下：
K 2
的观测值k ＝80×20×50×50
＝6.25，
由此可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为这两种教学法有差异，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这两种教学法有差异．
培 优 演 练
1．(理)高三某班学生每周用于物理学习的时间x (单位：小时)与物理成绩y (单位：分)之间有如下关系：
．(答案保留到0.1)
解析 由已知可得
x ＝24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13
10＝17.4，
y ＝
92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59
10
＝74.9.
设回归直线方程为y ^
＝3.53x ＋a ^
，则74.9＝3.53×17.4＋a ^
，解得a ^
≈13.5. 答案 13.5
2．(理)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：
小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析 小李这5天的平均投篮命中率
y ＝15(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5， x ＝15
(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴b ^
＝
∑i ＝1
5
x i －x
y i －y
∑i ＝1
5
x i －x 2
＝
0.2＋0＋0＋0.1＋ －0.2
－2 2＋ －1 2＋0＋12＋2
2＝0.01，
∴a ^
＝y －b ^
x ＝0.47，
∴线性回归方程y ^
＝0.01x ＋0.47，则当x ＝6时，y ＝0.53. 答案 0.5 0.53
3．(理)(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
表3
A ．成绩
B ．视力
C ．智商
D ．阅读量 解析 A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，
K 2
＝52× 6×22－14×10 2
20×32×16×36＝131 440
.
B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，
K 2
＝52× 4×20－16×12 2
20×32×16×36＝637
360
.
C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，
K 2
＝52× 8×24－12×8 2
20×32×16×36＝13
10
.
D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，
K 2
＝52× 14×30－6×2 2
20×32×16×36＝3 757
160
.
∵
131 440<1310<637360<3 757160
， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量． 答案 D
4．(理)(2014·辽宁抚顺月考)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85
分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为2
7
.
(1)有关”；
(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．
附：K 2
＝n ad －bc 2
a ＋
b
c ＋
d a ＋c b ＋d
解 (1)
K 2
(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，27，且P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫27k .⎝ ⎛⎭
⎪⎫573－k
(k ＝0,1,2,3)，ξ的分布列为
E (ξ)＝0×
125343＋1×343＋2×343＋3×343＝7
. (文)(2014·东北三校一联)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：
w)的关系为：
S＝{0，0≤w≤100， 4w－400，100<w≤300， 2 000，w>300，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
附：
K2＝
a＋b c＋d a＋c b＋d
解(1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200<S≤600，得150<w≤250，频数为39.
所以P(A)＝39
100
.
(2)根据以上数据得到如下列联表：
K2的观测值k＝
85×15×30×70
≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．。