【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 9.4变量间的相关关系与统计案例练习
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第四节 变量间的相关关系与统计案例
时间:45分钟 分值:100分
基 础 必 做
一、选择题
1.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是( )
A .r 2<r 4<0<r 3<r 1
B .r 4<r 2<0<r 1<r 3
C .r 4<r 2<0<r 3<r 1
D .r 2<r 4<0<r 1<r 3
解析 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r 2<r 4<0<r 3<r 1.故选A. 答案 A
2.下面是2×2列联表:
则表中a ,b 的值分别为A .94,72 B .52,50 C .52,74
D .74,52
解析 ∵a +21=73,∴a =52,又a +22=b ,∴b =74. 答案 C
3.对于下列表格所示五个散点,已知求得的线性回归方程为y ^
=0.8x -155,则实数m 的值为( )
A.8 C .8.4
D .8.5
解析 x =196+197+200+203+204
5
=200,
y =
1+3+6+7+m 5=17+m
5
.
样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫200,17+m 5,将样本中心点⎝ ⎛⎭
⎪⎫200,17+m 5 代入y ^
=0.8x -155,可得m =8.故A 正确. 答案 A
4.登山族为了了解某山高y (km)与气温x (℃)之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表:
由表中数据,得到线性回归方程y =-2x +a (a ∈R ),由此请估计出山高为72(km)处气温的度数为( )
A .-10
B .-8
C .-4
D .-6
解析 由题意可得x =10,y =40,
所以a ^
=y +2x =40+2×10=60.
所以y ^
=-2x +60,当y ^
=72时,-2x +60=72,解得x =-6,故选D. 答案 D
5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
由K 2
=n a +b c +d a +c b +d
,
算得K 2
=110× 40×30-20×20
2
60×50×60×50
≈7.8.
附表:
A .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析 根据独立性检验的定义,由K 2
≈7.8>6.635,可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下,即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选C.
答案 C
6.已知x 与y 之间的几组数据如下表:
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y =b x +a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y =b ′x +a ′,则以下结论正确的是( )
A.b ^
>b ′,a ^
>a ′
B.b ^
>b ′,a ^
<a ′
C.b ^
<b ′,a ^
>a ′
D.b ^
<b ′,a ^
<a ′
解析 x =1+2+3+4+5+66=72
,
y =
0+2+1+3+3+46=136
,
b ^
=
∑i =1
n
x i y i -n x y
∑i =1
n
x 2i -n x 2
=57,a ^=y -b ^
x =-13
. 由两组数据(1,0)和(2,2)可知直线方程为y =2x -2,∴b ′=2>b ^,a ′=-2<a ^
. 答案 C 二、填空题
7.(2015·云南师大附中模拟)某车间为了规定工时定额.需要确定加工零件所需时间,
为此进行了5次试验,收集到如下数据,由最小二乘法求得回归直线方程y
^
=0.67x +54.9.
后来表中一个数据模糊不清了,请你推断出该数据为________. 解析 设所求数据为m , 因为x =
10+20+30+40+50
5
=30,
y =
62+m +75+81+895=m +307
5
.
又(x ,y )在回归直线上, 所以
m +307
5
=0.67×30+54.9.解得m =68.
答案 68
8.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况,具体数据如下表:
为了判得到K 2
=50× 13×20-10×7 2
23×27×20×30≈4.844,因为K 2
≥3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,
那么这种判断出错的可能性为__________.
解析 ∵K 2
≈4.844>3.841,∴有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系,即作出“主修统计专业与性别有关系”的判断,出错的可能性不超过5%.
答案 5%
9.(2015·成都模拟)一般来说,一个人脚越长,他的身高就越高.现对10名成年人的脚长x (单位:cm)与身高y (单位:cm)进行测量,得如下数据:
作出散点图后,发现散点在一条直线附近.经计算得到一些数据:x =24.5,y =171.5,
∑i =1
10
(x i -x )(y i -y )=577.5,∑i =1
10
(x i -x )2=82.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对裸
脚印,量得每个脚印长26.5 cm ,请你估计案发嫌疑人的身高为________cm.
解析 由已知得b ^
=
∑i =1
10
x i -x
y i -y
∑i =1
10
x i -x
2
=7,
a ^
=y -b ^
x =0,故y ^
=7x .
当x =26.5时,y =185.5(cm). 答案 185.5 三、解答题
10.一台机器由于使用时间较长,但还可以用,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化,下表为抽样试验结果.
(1)(2)如果y 与x 有线性相关关系,求线性回归方程.
(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10件,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?
解 (1)画出散点图,如图.
(2)x =12.5,y =8.25,∑i =1
4
x i y i =438,∑i =1
4
x 2
i =660,
所以b ^
=
∑i =1
4
x i y i -4x
·y
∑i =1
4
x 2i -4x 2
=438-4×12.5×8.25660-4×12.5
2
≈0.728 6, a ^=y -b ^
x ≈8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5.
所以线性回归方程为y ^
=0.728 6x -0.857 5.
(3)要使y ^
≤10,则0.728 6x -0.857 5≤10,x ≤14.901 9. 所以机器的转速应控制在15 rad/s 以下.
11.(理)为了调查某大学学生在某天上网的时间,随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果:
表1:男生上网时间与频数分布表
(2)完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?
附:K 2
= a +b c +
d a +c b +d
解 (1)60分钟的有60人,不少于60分钟的有40人,故从其中任选3人,恰有1人上网的时间少于60分钟的
概率为C 160C 2
40C 3100=156539
.
(2)
K 2
=100×100×130×70=91≈2.20,
∵K 2
≈2.20<2.706.
∴没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.
(文)某校为了比较“传统式教学法”与该校所创立的“三步式教学法”的教学效果.共选100名学生随机分成两个班,每班50名学生,其中一班采取“传统式教学法”,二班实行“三步式教学法”.
(1)若全校共有学生2 000名,其中男生1 100名,现抽取100名学生对两种教学法的受欢迎程度进行问卷调查,应抽取多少名女生?
(2)表1,2分别为实行“传统式教学法”与“三步式教学法”后的数学成绩: 表1
学法有差异.
参考公式:K 2
= a +b c +d a +c b +d
,其中n =a +b +c +d .
参考数据:
解 (1)设抽取女生x 人,则
2 000-1 100=x
,
解得x =45,所以女生抽取45人. (2)列联表如下:
K 2
的观测值k =80×20×50×50
=6.25,
由此可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为这两种教学法有差异,不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这两种教学法有差异.
培 优 演 练
1.(理)高三某班学生每周用于物理学习的时间x (单位:小时)与物理成绩y (单位:分)之间有如下关系:
.(答案保留到0.1)
解析 由已知可得
x =24+15+23+19+16+11+20+16+17+13
10=17.4,
y =
92+79+97+89+64+47+83+68+71+59
10
=74.9.
设回归直线方程为y ^
=3.53x +a ^
,则74.9=3.53×17.4+a ^
,解得a ^
≈13.5. 答案 13.5
2.(理)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位:小时)与当天投篮命中率y 之间的关系:
小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________.
解析 小李这5天的平均投篮命中率
y =15(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5, x =15
(1+2+3+4+5)=3,
∴b ^
=
∑i =1
5
x i -x
y i -y
∑i =1
5
x i -x 2
=
0.2+0+0+0.1+ -0.2
-2 2+ -1 2+0+12+2
2=0.01,
∴a ^
=y -b ^
x =0.47,
∴线性回归方程y ^
=0.01x +0.47,则当x =6时,y =0.53. 答案 0.5 0.53
3.(理)(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
表3
A .成绩
B .视力
C .智商
D .阅读量 解析 A 中,a =6,b =14,c =10,d =22,a +b =20,c +d =32,a +c =16,b +d =36,n =52,
K 2
=52× 6×22-14×10 2
20×32×16×36=131 440
.
B 中,a =4,b =16,c =12,d =20,a +b =20,c +d =32,a +c =16,b +d =36,n =52,
K 2
=52× 4×20-16×12 2
20×32×16×36=637
360
.
C 中,a =8,b =12,c =8,d =24,a +b =20,c +d =32,a +c =16,b +d =36,n =52,
K 2
=52× 8×24-12×8 2
20×32×16×36=13
10
.
D 中,a =14,b =6,c =2,d =30,a +b =20,c +d =32,a +c =16,b +d =36,n =52,
K 2
=52× 14×30-6×2 2
20×32×16×36=3 757
160
.
∵
131 440<1310<637360<3 757160
, ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量. 答案 D
4.(理)(2014·辽宁抚顺月考)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于85
分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的2×2列联表.已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为2
7
.
(1)有关”;
(2)从全部210人中有放回地抽取3次,每次抽取1人,记被抽取的3人中的优秀人数为ξ,若每次抽取的结果是相互独立的,求ξ的分布列及数学期望E (ξ).
附:K 2
=n ad -bc 2
a +
b
c +
d a +c b +d
解 (1)
K 2
(2)ξ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,27,且P (ξ=k )=C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫27k .⎝ ⎛⎭
⎪⎫573-k
(k =0,1,2,3),ξ的分布列为
E (ξ)=0×
125343+1×343+2×343+3×343=7
. (文)(2014·东北三校一联)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据,结果统计如下:
w)的关系为:
S={0,0≤w≤100, 4w-400,100<w≤300, 2 000,w>300,试估计在本年度内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染.完成下面2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?
附:
K2=
a+b c+d a+c b+d
解(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A,由200<S≤600,得150<w≤250,频数为39.
所以P(A)=39
100
.
(2)根据以上数据得到如下列联表:
K2的观测值k=
85×15×30×70
≈4.575>3.841,所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.。