【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课件：2.6 距离的计算
北师大版高中数学选修2-1教案：2.6 距离的计算
2.6 距离的计算1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(难点) 2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点)3．通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．(难点)知识点一 点到直线的距离利用向量求点A 到直线l 的距离步骤：(1)找到直线l 的方向向量s ，并求s 0＝s|s |； (2)在直线l 上任取一点P ；(3)计算点P 到点A 的距离|PA →|；(4)计算PA →在向量s 上的投影PA →·s 0；(5)计算点A 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－|PA →·s 0|2.知识点二 点到平面的距离利用向量求点A 到平面π的距离步骤：(1)找到平面π的法向量n ； (2)在平面π内任取一点P ；(3)计算PA →在向量n 上的投影PA →·n 0； (4)计算点A 到平面π的距离d ＝|PA →·n 0|.考点一 点到点、点到线、线到线的距离例1 (1)(2016·临汾高二检测)如图 ，在60°的二面角αAB β内，AC ⊂β，BD ⊂α，AC ⊥AB 于A ，BD ⊥AB 于B ，且AC ＝AB ＝BD ＝1，则CD 的长为________．(2)单位正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点B 1到直线AC 的距离为________．(3)已知四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SD ⊥面ABCD ，且SD ＝AD ＝1，则异面直线SB 与AC 的距离为________．【名师指津】1．求A 、B 两点间的距离一般用|AB →|＝AB →·AB →2．用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：①点P 可以在直线l 上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点． ②直线l 的方向向量可任意选取．③点到直线的距离公式中s 0是单位向量，在求得直线l 的方向向量s 后，要将其单位化． 3．异面直线间的距离如图，设n 与异面直线a ，b 都垂直，A 是直线a 上任一点，B 是直线b 上任一点，则异面直线a ，b 的距离d ＝|n ·AB →||n |.练习1．线段AB 在平面α内，AC ⊥α.BD ⊥AB ，且BD 与α所成角是30°，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离． 考点二 点到平面的距离例2在正四棱柱ABCD A ′B ′C ′D ′中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，求点D ′到平面B ′EF 的距离．【名师指津】求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发与平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于n|n |＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位向量与从该点出发的平面的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d ＝|PA →·n 0|.练习2．本例条件不变，求点A 到平面B ′EF 的距离． 考点三 线面、面面距离例3如图 所示，在已知直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面为直角梯形，AB ∥CD ，且∠ADC ＝90°，AD ＝1，CD ＝3，BC ＝2，AA 1＝2，E 是CC 1的中点．求A 1B 1与平面ABE 的距离．【名师指津】1．求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点可适当选取，以求解最为简单为准则，因线面距可用点面距求解，反之，求点到平面的距离时也可用直线到平面的距离过渡．2．两平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即转化为点到平面的距离．练习3．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离．例4 在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝2，以AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ，求点N 到平面ACM 的距离．例5如图所示，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，试问在线段PA 上是否存在一点M ，到平面PCD 的距离为33？若存在，试确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．课堂练习1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α外一点A 到平面α的距离，就是点A 与平面内一点B 所成向量AB →的长度．( ) (2)直线l ∥平面α，则直线l 到平面α的距离就是直线l 上的点到平面α的距离．( ) (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( )2．已知向量n ＝(1,0，－1)与直线l 垂直，且l 经过点A (2，3,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为( )A.32 B ．22 C. 2 D ．3223．如图264，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )图264A.12 B ．24 C.22 D ．324．在坐标平面xOz 内，与三点A (0,1,2)、B (2,0,1)、C (1,2,0)距离相等的点的坐标为________．5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是AD 1的中点，求点E 到直线BD 的距离．。
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课件：3.2.2 抛物线的简单性质
3 = x 6
C.y2=± x
3 1 ,± 2 2
3 6
3 B.y =- x 6 3 D.y2=± x 3
2
解析 :根据对称性,知 kOA= ,kOB=- ,则抛物线过点 -
3 3
3 3
3 1 ,± 2 2
或过点
,故可求得抛物线方程. 答案 :C 【做一做 1-2】 若抛物线 x2=2py(p>0)上一点 P 到准线及对称轴的距离 分别为 5 和 4,则 P 的纵坐标为 ,p 的值为 . 解析 :利用抛物线的定义和点 P 在抛物线上可解得. 答案 :4 或 1 2 或 8
2.2 抛物线的简单性质
-1-
2.2 抛物线的简单性质
M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦
UBIAODAOHANG HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGYANLIAN
1.了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念 . 2.掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离 心率等简单性质. 3.会用顶点及通径的端点画抛物线的草图.
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2.2 抛物线的简单性质
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D典例透析 S随堂演练
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一、抛物线 y =2px(p>0)的简单性质
1 .对称性 抛物线 y2=2px(p>0)关于 x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫作抛物线 的轴.抛物线只有一条对称轴. 2 .范围 抛物线 y2=2px(p>0)在 y 轴的右侧,它的开口向右,这条抛物线上的任意 一点 M 的坐标(x,y)满足不等式 x≥0;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物 线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线. 3 .顶点 抛物线 y2=2px(p>0)和它的轴的交点叫作抛物线的顶点.抛物线的顶点 坐标是(0,0). 说明 :(1)要掌握抛物线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、开口 方向等.学习利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法 ,也就是坐标法. 以抛物线 y2=2px(p>0)为例,因为 p>0,所以 x≥0,即抛物线在 y 轴右侧,同时 x 增大时,|y| 也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延展.以-y 代替 y,方程 不变,故抛物线关于 x 轴对称. (2)顶点即抛物线与坐标轴的交点 ,抛物线与椭圆比较,它只有一个焦点, -3一个顶点,一条对称轴.
2015-2016学年北师大版选修2-1 圆锥曲线与方程章末复习 课件(27张)
2
x2＝8c， 5 y2＝3 3c. 5
8 3 8 3 3 3 · 3x＝－2， 即 x＋ y－ y－5x· 5 x 15 5
化简得 18x2－16 3xy－15＝0.
18x2－15 10x2＋5 3 将 y＝ 代入 c＝x－ 3 y，得 c＝ 16x . 16 3x 又因为 c>0， 所以 x>0. 因此，点 M 的轨迹方程是 18x2－16 3xy－15＝0(x>0)．
式．
[例 3] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(a>b>0)为动点，F1， x2 y2 F2 分别为椭圆a2＋b2＝1 的左，右焦点．已知△F1PF2 为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满 →· → ＝－2，求点 M 的轨迹方程． 足AM BM
8 3 3 ，B(0，－ 3c)． 不妨设 A c， 5 c 5
8 3 3 → 设点 M 的坐标为(x，y)，则AM＝ x－ c，y－ c ， 5 5
→ ＝(x，y＋ 3c)． BM 3 由 y＝ 3(x－c)，得 c＝x－ 3 y. 8 3 3 8 3 3 → ＝ 于是AM y－5x，5y－ 5 x， 15 → ＝(x， 3x)． BM →· → ＝－2， 由AM BM
x2 y2 [例 1] 已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)与抛物线 y2＝8x 有公共 焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为 1，则该双曲线的离心 率为( A. 2 C．2 ) B. 3 D．4
北师大版数学选修2-1讲义第二章6距离的计算(1)
§6 距离的计算1．点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内点到直线的距离问题．如图，设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点． 作AA ′⊥l ，垂足为A ′，则点A 到直线l 的距离d 等于线段AA ′的长度，而向量P A →在s 上的投影的大小|P A →·s 0|等于线段P A ′的长度，所以根据勾股定理有点A 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·s 0|2.2．点到平面的距离如图，设π是过点P 垂直于向量n 的平面，A 是平面π外一定点．作AA ′⊥π，垂足为A ′，则点A 到平面π的距离d 等于线段AA ′的长度．而向量P A →在n 上的投影的大小|P A →·n 0|等于线段AA ′的长度，所以点A 到平面π的距离d ＝|P A →·n 0|．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．( ) (2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．( ) (3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．( )(4)平面α外一点P 到α平面的距离在平面α内任一点与点P 的距离中最短．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√已知向量n ＝(2，0，1)为平面α的一个法向量，点A (－1，2，1)在α内，则P (1，2，－2)到α的距离为( )A.55B. 5 C ．2 5D.510解析：选A.P A →＝(－2，0，3)，又平面α的一个法向量为n ＝(2，0，1)，所以P 到α的距离为|（－2，0，3）·（2，0，1）|22＋02＋12＝15＝55.已知直线l 过点A (1，－1，2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3，0，4)，则P (3，5，0)到l 的距离为( )A ．5B ．14 C.145 D.45答案：C在空间直角坐标系中，点(4，－1，2)与原点的距离为________． 解析：该点到原点的距离为 （4，－1，2）·（4，－1，2） ＝42＋（－1）2＋22＝21.答案：21三种距离的定义及解法 (1)直线到平面的距离当直线与平面平行时，直线上任一点到该平面的距离，叫直线到平面的距离．求直线到平面的距离时，一般转化为点到平面的距离．(2)平面到平面的距离当两平面平行时，一个平面内任一点到另一平面的距离，叫平面到平面的距离． 求平面到平面的距离时，一般也是转化成点到平面的距离． (3)异面直线间的距离若直线l 与两条异面直线a ，b 均垂直且分别交于A 、B 两点，把线段AB 的长叫做两异面直线a ，b 间的距离，求两异面直线a ，b 间的距离，常用以下方法：把直线a 平移到a ′使与直线b 相交，则a ′与b 确定一个平面α，那么两异面直线a ，b 间的距离就等于直线a与平面α间的距离，然后再转化为点到平面的距离计算．向量法求两点间的距离如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，沿对角线AC 折叠，使平面ABC 与平面ADC 垂直，求线段BD 的长．[解] 过点D 和B 分别作DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F .则由已知条件可知AC ＝5，所以DE ＝3×45＝125，BF ＝3×45＝125.由已知得AE ＝CF ＝AD 2AC ＝95，所以EF ＝5－2×95＝75.因为DB →＝DE →＋EF →＋FB →，所以|DB →|2＝(DE →＋EF →＋FB →)2＝DE →2＋EF →2＋FB →2＋2DE →·EF →＋2DE →·FB →＋2EF →·FB →. 因为平面ADC ⊥平面ABC ，DE ⊥AC ，所以DE ⊥BF ，即DE →⊥FB →，所以|DB →|2＝DE →2＋EF →2＋FB →2＝14425＋4925＋14425＝33725，所以|DB →|＝3375，故线段BD 的长是3375.(1)若适合建立空间直角坐标系时，建系后运用空间两点距离公式求解． (2)若不具备建系条件时，常用基向量表示结合|a |2＝a 2求解．1.(1)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|＝( )A.156 B.66 C.153D.216(2)已知线段AB 、BD 在平面α内，∠ABD ＝120°，线段AC ⊥α，如果AB ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c ，则线段CD 的长为( )A.a 2＋b 2＋c 2＋abB.a 2＋b 2＋c 2－abC.a 2＋b 2＋c 2－acD.a 2＋b 2＋c 2解析：(1)选D.设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝23a －13b ＋16c ，|MN →|＝MN →·MN →＝49a 2＋19b 2＋136c 2＝216. (2)选A.设AB →＝a ，BD →＝b ，AC →＝c ，因为CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝－c ＋a ＋b ， 所以|CD →|＝CD →·CD →＝（－c＋a＋b）·（－c＋a＋b）＝a2＋b2＋c2＋2a·b＝a2＋b2＋c2＋2|a||b|cos 60°＝a2＋b2＋c2＋ab.求点到直线的距离棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1ABCD 中，E ，F 分别是棱C 1C 和D 1A 1的中点，求点A 到直线EF 的距离．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，E (0，2，1)，F (1，0，2)． 所以直线EF 的方向向量EF →＝(1，－2，1)；取直线EF 上一点F (1，0，2)，则点A (2，0，0)到直线EF 上一点F (1，0，2)的向量AF →＝(－1，0，2)．因为AF →在EF →上的投影为AF →·EF→|EF →|＝16，所以点A 到直线EF 的距离d ＝|AF →|2－|AF →·EF →|EF →||2＝1746.本例条件不变，试求点B 到直线EF 的距离． 解：B (2，2，0)，BF →＝(－1，－2，2)， 因为BF →在EF →上的投影为BF →·EF →|EF →|＝566.所以B 到直线EF 的距离d ＝|BF →|2－|BF →·EF →|EF →||2＝1746.利用公式d ＝|P A →|2－|P A →·s 0|2求点到直线的距离的步骤为：直线的方向向量→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式．2.(1)点P 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内一点，且满足AP →＝34AB →＋12AD →＋23AA 1→，则点P 到棱AB 的距离为( )A.56 B.34 C.134D.14512(2)如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，则点M 到直线AD 1距离的最小值为________．解析：(1)因为AP →在AB →上的投影为AP →·AB →|AB →|＝34，所以点P 到AB 的距离d ＝|AP →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·AB →|AB →|2＝56. (2)D (0，0，0)，C 1(0，a ，a )，A (a ，0，0)，D 1(0，0，a )，设DM →＝λDC 1→＝(0，λa ，λa )，AD 1→＝(－a ，0，a )，AM →＝(－a ，λa ，λa )，AM →在AD 1→上的投影为AM →·AD 1→|AD 1→|＝22a (1＋λ)．故点M 到AD 1→的距离d ＝|AM →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·AD 1→|AD 1→|2＝a32λ2－λ＋12≥33a . 答案：(1)A (2)3a3求点到平面的距离如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0. 设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则 DH →＝xDE →＋yDF →＋zDP →＝⎝⎛⎭⎫x ＋12y ，12x ＋y ，z ，(x ＋y ＋z ＝1) PE →＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1，PF →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1. 所以DH →·PE →＝x ＋12y ＋12⎝⎛⎭⎫12x ＋y －z ＝54x ＋y －z ＝0. 同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，所以可解得x ＝y ＝417，z ＝917.所以DH →＝317(2，2，3)．所以|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)连接AC ，设AH ′⊥平面PEF ，垂足为H ′，则AH ′→∥DH →，设AH ′→＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ≠0)，则EH ′→＝EA →＋AH ′→＝⎝⎛⎭⎫0，－12，0＋(2λ，2λ，3λ) ＝⎝⎛⎭⎫2λ，2λ－12，3λ. 所以AH ′→·EH ′→＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0， 即λ＝117.所以AH ′→＝117(2，2，3)，|AH ′→|＝1717，又AC ∥平面PEF ，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.求点到平面距离的两种方法(1)几何法：直接法、间接法(如等积法)． (2)向量法：步骤如下 ①求出该平面的一个法向量；②找出该点与平面内一点的斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模．3.已知直二面角α-l -β，点A ∈α，AC ⊥l 于C ，B ∈β，BD ⊥l 于D .若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )A.23 B.33C.63D ．1解析：选C.法一：(直接法)过点A 、D 分别作CD 和AC 的平行线交于点E ，过点D 作DF ⊥BC 交于点F ，DE ＝AC ＝1，BE ＝BD 2＋DE 2＝2，AE ＝CD ＝2，易证DF 为点D到面ABC 的距离，由BC ·DF ＝CD ·BD 得DF ＝63. 法二：(等积法)由V B ACD ＝V D ABC 得：13×S △ACD ·BD ＝13×S △ABC ·h ，即：13×1×2×1＝13×1×3×h ，得h ＝63.思想方法转化思想在空间距离问题中的应用正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 、N 、E 、F 分别为A 1D 1、A 1B 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，求平面AMN 与平面EFBD 间的距离．[解] 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (4，0，0)，M (2，0，4)，D (0，0，0)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)，N (4，2，4)，从而EF →＝(2，2，0)，MN →＝(2，2，0)，AM →＝(－2，0，4)，BF →＝(－2，0，4)，所以EF →＝MN →，AM →＝BF →，所以EF ∥MN ，AM ∥BF ，EF ∩BF ＝F ，MN ∩AM ＝M . 所以平面AMN ∥平面EFBD .设n ＝(x ，y ，z )是平面AMN 的法向量， 从而⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝2x ＋2y ＝0，n ·AM →＝－2x ＋4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝－2z .取z ＝1，得n ＝(2，－2，1)，由于AB →＝(0，4，0)， 所以AB →在n 上的投影为n ·AB →|n |＝－84＋4＋1＝－83.所以两平行平面间的距离d ＝|n ·AB →||n |＝83.(1)空间平行线间的距离常转化为点线距求解．(2)线面距、面面距、两异面直线间的距离常转化为点面距求解．1．已知AB ，BC ，CD 为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD 的长为( ) A ．4 B ．2 C ．3D ．2 3解析：选D.取基底AB →，BC →，CD →，则AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＋2AB →·CD →＝12.所以|AD →|＝2 3.2．已知直线l 过定点A (2，3，1)，且方向向量为n ＝(0，1，1)，则点P (4，3，2)到l 的距离为( )A.3 22B.22C.102D. 2解析：选A.P A →＝(－2，0，－1)，|P A →|＝5，P A →·n |n|＝－12，则点P 到直线l 的距离d ＝ |P A →|2－|P A →·n |n||2＝5－12＝322. 3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34解析：选C.以D 为坐标原点，DA →、DC →、DD 1→为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (2，0，0)，B 1(2，2，4)，D 1(0，0，4)，A 1(2，0，4)，B 1A 1→＝(0，－2，0)，B 1A →＝(0，－2，－4)，B 1D 1→＝(－2，－2，0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1D 1的法向量，由n ·B 1A →＝0，n ·B 1D 1→＝0得y ＝－x ＝－2z ，可取n ＝(2，－2，1)，则A 1到面AB 1D 1的距离为|B 1A 1→·n |n ||＝43.4．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1到平面ACD 1的距离为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易求得平面ACD 1的一个法向量为n ＝(1，1，1)，故所求距离为C 1到平面ACD 1的距离， 所以d ＝|D 1C 1→·n ||n |＝33.答案：33[A 基础达标]1．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．(1，5) D ．[1，25]解析：选B.|AB →| ＝（2cos θ－3cos α）2＋（2sin θ－3sin α）2 ＝9＋4－12cos αcos θ－12sin αsin θ＝13－12cos （α－θ），因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤|AB →|≤5.2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则异面直线AC 与A 1D 的距离为( ) A.233B.33C. 2D ．1解析：选A.建立如图坐标系，连接B 1C ，AB 1，因为A 1D ∥平面AB 1C ，所以异面直线AC 与A 1D 的距离为A 1到平面AB 1C 的距离．D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，A 1(2，0，2)，AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，2)，AA 1→＝(0，0，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1C 的法向量，由n ·AC →＝0，n ·AB 1→＝0得：x ＝y ＝－z ，可取n ＝(1，1，－1)，故A 1到平面ACB 1的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝233.3．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33B ．1 C. 2D. 3 解析：选D.以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴正向建立坐标系，C (0，1，0)，C 1(0，1，3)，A (1，0，0)，CC 1→＝(0，0，3)，AC 1→＝(－1，1，3)，易知C 1C →⊥平面ABCD ，可取CC 1→为平面ABCD 的法向量， 故A 1C 1到平面ABCD 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CC 1→·AC 1→|CC 1→|＝ 3. 4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( )A.655B.455C.255D.55解析：选B.建立空间直角坐标系如图所示，则BA →＝(0，2，0)，BE →＝(0，1，2)，设∠ABE ＝θ，则cos θ＝|BA →·BE →||BA →||BE →|＝225＝55，sin θ＝1－cos 2θ＝255.故A 到直线BE 的距离 d ＝|AB →|sin θ＝2×255＝45 5.5．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1到平面BDC 1的距离为( )A.2aB.3aC.23a D.33a 解析：选D.明显A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1，1)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，BA →＝(0，－a ，0)，则两平面间的距离为d ＝|BA →·n|n ||＝a 3＝33a .6．已知点A (1，2，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则空间P ，D 两点间的距离为________．解析：设P (x ，y ，z )，由AP →＝(x －1，y －2，z －1)＝2PB →＝2(－1－x ，3－y ，4－z )＝(－2－2x ，6－2y ，8－2z )，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2－2x ，y －2＝6－2y ，z －1＝8－2z ，即⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝83，z ＝3，故|PD |＝（－13－1）2＋（83－1）2＋（3－1）2＝773.答案：7737．三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AS ＝AB ＝AC ＝2，D 是SA 的中点，则点D 到BC 的距离为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则D (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，所以BD →＝(－2，0，1)，BC →＝(－2，2，0)，所以BD →在BC →上的投影长为 |BC →·BD →||BC →|＝422＝2， 故D 到BC 的距离为 |BD →|2－（2）2＝ 3.答案： 38．已知ABC -A 1B 1C 1是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1D 的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)， B (32a ，a2，0)， B 1(32a ，a2，a )， D (0，a ，a2)，C 1(0，a ，a )，设平面AB 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0，n ·OB 1→＝0，即⎩⎨⎧ay ＋a2z ＝0，32ax ＋a 2y ＋az ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋z ＝0，3x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝－2，则y ＝1，x ＝3，所以n ＝(3，1，－2)，C 1D →＝(0，0，－a 2)，则点C 1到平面AB 1D 的距离为|n ·C 1D →||n |＝24a .答案：24a9．在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，且AB ＝AD ＝1，BB ′＝2，M ，N 分别是A ′D ′，D ′C ′的中点，求直线AC 与直线MN 的距离．解：依据长方体的性质可知AC ∥MN ，故两直线间的距离为点M 到直线AC 的距离． 由题意得AC →＝(－1，1，0)，AM →＝(0，12，－2)．所以点M 到直线AC 的距离d ＝|AM →|2－|AM →·AC →|AC →||2＝174－18＝664. 10．如图，在四棱锥S -ABCD 中，AD ∥BC 且AD ⊥CD ，平面CSD ⊥平面ABCD ，CS ⊥DS ，CS ＝2AD ＝2，E 为BS 的中点，CE ＝2，AS ＝ 3.求点A 到平面BCS 的距离．解：如图，以S (O )为坐标原点，OD 、OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系．设A (x A ，y A ，z A )，因平面COD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，故AD ⊥平面COD ，即点A 在xOz 平面上，因此y A ＝0，z A ＝|AD →|＝1.又x 2A ＋12＝|AS →|2＝3，x A ＞0，解得x A ＝ 2. 从而A (2，0，1)．因AD ∥BC ，故BC ⊥平面CSD ，即平面BCS 与平面yOz 重合，从而点A 到平面BCS 的距离为x A ＝ 2.[B 能力提升]11．空间直角坐标系中(O 为坐标原点)，在坐标平面xOy 上到点A (3，2，5)，B (3，5，1)距离相等的点有( )A ．1个B ．2个C ．不存在D ．无数个解析：选D.过AB 的中点(3，72，3)且以AB →＝(0，3，－4)为法向量的平面上的点到A 、B的距离相等．12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 的距离为________．解析：以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴正向建立坐标系，在线段AB 上取点E ，使|BE →|＝14|AB →|，易得NE →∥AM →，则AM ∥平面ENC ，则异面直线AM 与CN 的距离等于M 到平面ENC 的距离，E (1，34，0)，N (1，1，12)，C (0，1，0)，M (1，12，1)，EN →＝(0，14，12)，EC →＝(－1，14，0)，EM →＝(0，－14，1)，设n ＝(x ，y ，z )为平面ENC 的法向量，由n ·EN →＝0，n ·EC →＝0得y ＝－2z ＝4x ，可取n ＝(1，4，－2)， 故AM 与CN 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EM →|n |＝217.答案：21713．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，∠ABC ＝90°，如图①把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD (如图②)．(1)求证：CD ⊥AB ；(2)若点M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．解：(1)证明：由已知条件可得BD ＝2，CD ＝2，CD ⊥BD .因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD ⊥AB .(2)以点D 为原点，DB 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得A (1，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，0)，M (1，1，0)，所以CD →＝(0，－2，0)，AD →＝(－1，0，－1)，MC →＝(－1，1，0)．设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则CD →⊥n ，AD →⊥n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，令x ＝1，得平面ACD 的一个法向量为n ＝(1，0，－1)，所以点M 到平面ACD 的距离d ＝|n ·MC →||n |＝22.14．(选做题)已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝2，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知BA 1⊥AC 1.(1)求证：AC 1⊥平面A 1BC ； (2)求点C 1到平面A 1AB 的距离．解：(1)证明：如图，取AB 的中点E ，连接DE ，则DE ∥BC ，因为BC ⊥AC ，所以DE ⊥AC ，且A 1D ⊥平面ABC ，以射线DE ，DC ，DA 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，设A 1(0，0，t )，C 1(0，2，t )，其中t ＞0，则AC 1→＝(0，3，t )，BA 1→＝(－2，－1，t )，CB →＝(2，0，0)，因为AC 1→·CB →＝0，所以AC 1⊥CB ， 又因为BA 1⊥AC 1，所以AC 1⊥平面A 1BC . (2)由(1)知AC 1⊥平面A 1BC ， 所以AC 1→·BA 1→＝－3＋t 2＝0，得t ＝ 3.设平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(2，2，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝y ＋3z ＝0，n ·AB →＝2x ＋2y ＝0，设z ＝1，则n ＝(3，－3，1)． 所以点C 1到平面A 1AB 的距离d ＝ |AC 1→·n ||n |＝2217.。
志鸿同步测控设计2015-2016学年北师大版数学选修2-2 第二章 变化率与导数 本章整合
1 上求一点,使通过该点的切线平行于 1+������2
x 轴,并
求该切线方程. 提示:设所求的点为(x0,y0),由已知得,所求切线的斜率为 0,也就是函数 在所求点的导数为 0,即 f'(x0)=0,这是解本题的关键,然后再根据切线方程的 定义写出切线方程. 解:设所求点的坐标为(x0,y0). ∵过点(x0,y0)的切线平行于 x 轴, ∴切线的斜率 k=0.
������ ������ ������ 4 7 2 ������ ������ ������ 2
������ ������
① ②
-16-
本章整合
.
|
0 =5e =-5,∴切线方程为 x=0
-15-
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
1
2
3
4
5
4(2014· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数) 过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值 是 . 解析:由曲线 y=ax2+ 过点 P(2,-5),得 4a+ =-5. 又 y'=2ax- 2,所以当 x=2 时,4a- =- , 由①②得 答案:-3 ������ = -1, 所以 a+b=-3. ������ = -2,
-9-
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用 1 函数 y=f(x)的图像如图所示,下列数值的排序正确的是(
)
A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) 解析:过点(2,f(2))和(3,f(3))的割线的斜率 k=
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课件：3.2.1 抛物线及其标准方程
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说明 :(1)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x 或 y)的取值范围.例如, 抛物线 x2=-2y,一次项变量 y≤0,所以抛物线开口向下. (2)“p ”是抛物线的焦点到准线的距离,所以 p 的值永远大于 0;特别注意, 当抛物线标准方程的一次项系数为负时,不要出现错误. (3)在抛物线的定义中,焦点 F 不在准线 l 上,这是一个重要的隐含条件, 若 F 在 l 上,则抛物线退化为一条直线. (4)抛物线没有中心,只有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,且 离心率 e=1.它与椭圆相比,有许多性质,可借助几何知识来解决. (5)求抛物线的标准方程时只需求出 p 的值即可,常用待定系数法.如果 开口方向不确定,可设方程为 y2=ax(a≠0)或 x2=ay(a≠0).若焦点位置不定需 讨论.
-3-
2.1 抛物线及其标准方程
M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦
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1 .抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合 叫作抛物线. 这个定点 F 叫作抛物线的焦点,这条定直线 l 叫作抛物线的准线. 【做一做 1】若 A 是定直线 l 外的一定点,则过点 A 且与 l 相切的圆的 圆心的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 答案 :D 2 .抛物线的标准方程 方程 y2=±2px,x2=±2py(p>0)叫作抛物线的标准方程.
������ 2
,0 ,它的准线方程是 x=- ,开口
2015-2016学年高中数学 3.3.1 双曲线及其标准方程课件 北师大版选修2-1
1
2
2.双曲线的标准方程
1
2
名师点拨 1.在双曲线的标准方程中,可用 x2,y2 项的系数的
正负来判断双曲线的焦点在哪一个坐标轴上:焦点在系数为正项对应的坐 标轴上. 2.双曲线标准方程中的两个参数 a,b 是双曲线的定形条件,但不定位,双曲线 在坐标系中的位置由焦点来确定. 3.以坐标轴为对称轴的双曲线方程可设为 Ax +By
4
2
a2 =1- , 4
x2
=1; a2 1- 4
y2
(4)当 a>2 时,轨迹不存在.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
反思利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条
件 0<2a<|F1F2|.若条件中不能确定|F1F2|与 2a 的大小,需分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
求双曲线的标准方程
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
解:如图,取 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,易知 A,B,C 三点的坐标分别为(3,0),(-3,0),(-5,2 3),设动物 所在位置为 P,由于 B,C 同时发现动物信号,则有 |PB|=|PC|,于是 P 在线段 BC 的中垂线上,其方程为 3x-3y+7 3=0,又由于 A,B 两舰发现动物信号时间差 为 4 s,即|PB|-|PA|=4,于是点 解方程组 3x-3y + 7 3 = 0, 得直线与双曲线的交点为 x2 y2 - =1
|PF | +|PF2 | -|F1 F2 | ∴ cos∠F1PF2= 1 2|PF1 |·|PF2 |
【同步测控】高二数学北师大版选修2-1课件第三章 圆锥曲线与方程 本章整合
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可得 y2- y-4=0, 所以 ������1 + ������2 = , ������1 ������2 = -4.
������2 ������2 ∴ 由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹方程是 + =1. 16 7
(2)设动圆的圆心为 P(x,y),定圆的圆心为 B(-2,0), 则||PA|-|PB||=2<4. ∴ 由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹方程是 x
2
������2 - =1. 3
专题一
专题二
专题三
专题四
解:(直接法)设 M(x,y),∠MAB=α,∠MBA=2α. (1)当 M 在 x 轴上方时,α≠90° ,如图所示. 则 tan α=kMA= 将 tan α= ������ ������-2 ������ 代入①式得 ������+1 2������
2
������ ������ 2tan������ ,tan(π-2α)=kMB= =.① ������+1 ������-2 1-tan2 α
本章整合
椭圆 抛物线
圆锥曲线与方程
椭圆及其标准方程 椭圆的简单性质 抛物线及其标准方程 抛物线的简单性质 双曲线及其标准方程 双曲线的简单性质 曲线与方程 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
双曲线
曲线与方程
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 求动点的轨迹方程
主要方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法等. (1)直接法:建立平面直角坐标系,把动点满足的几何条件转化为 x,y 间 的关系,即得轨迹方程. (2)定义法:当已知条件适合圆锥曲线的定义时,可直接写出方程. (3)代入法:若动点 P(x,y)依赖于已知曲线上另一个点 Q(x',y')而运动时, 可用 x,y 来表示 x',y',再代入已知曲线方程,即可求出轨迹方程. (4)待定系数法:若由题设条件易于确定方程的类型,可先设出方程,再 由条件确定方程中的参数,即“先定型,再定量”. (5)参数法:当直接建立 x,y 间的关系较困难时,可通过选适当的参数,找 出 x,y 间的间接关系,即参数方程,然后消去参数化为普通方程.
高中数学课件-2015-2016学年北师大版选修2-1 椭圆及其标准方程 课件(13张)
作业及课后预习
作业：P68 2 预习：
想一想 1.椭圆的标准方程有何特征？ 2.两个标准方程的区别与联系是什么？
课后探究：
1.截面是椭圆吗？ 2.找找定点在哪里？
V M
定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距.
你能用准备的毛线、铅笔合作画 出一个椭圆吗？
定义的理解：
1.能不能去掉定义中的‘平面上’ 2.两个定长2a、2c关系 3.定长2a不变，2c变化时椭圆怎样变？ zxxkw
椭圆的标准方程
回顾： 1.求解圆的轨迹方程的步骤 建系、设点、列式、化简 2.圆的建系特点
即： x2 + y2 = 1 a > b > 0
a2 b2
小结
1.知识小结：定义、标准方程 2.思想方法小结：转化、类比、数形结合。 3.过程小结：经历了从几何到代数
从抽象到具体 从实践到理论 的研究过程。组卷网
课堂练习
1.已知两定点的距离为5cm，动点到两定点 的距离为5cm的点的轨迹是______.动点到 两定点的距离之和为10的轨迹是_______.
y
x2 y2 2
o
x
探究：如何建立椭圆的方程？
化 列设建简式点系
椭圆上的点满足/PF1/+/PF2/为 定值，设为2a，且2a>2c
y
则： x + c2 + y2 + x - cP(2x+, yy)2 = 2a
x + c2 + y2F=1-2c a, 0-O x -Fc22c +, 0y2 x
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课件：2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.1 空间向量的标准正 交分解与坐标表示
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【做一做 2】 已知点 A(-3,1,-4),则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为 ( ) A .(-3,-1,4) B.(-3,-1,-4) C.(3,1,4) D.(3,-1,-4) 答案 :A 【做一做 3】已知线段 AB 的长度为 6 2, ������������与直线 l 的夹角为 120°, 则������������在 l 上的投影为( ) A .3 2 B.-3 2 C.3 6 D.-3 6 解析 :������������ 在 l 上的投影为|������������| · cos 120°=-3 2. 答案 :B 【做一做 4】 已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c)=0,则|c|的最大值是 . 解析 :由已知,得|c|2=(a+b)· c=| c|· | a+b| · cos<a+b,c>,即 | c|= 2cos<a+b,c>,当 cos<a+b,c>=1 时,| c|取得最大值 2. 答案 : 2
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3.1 空间向量的标准正 交分解与坐标表示
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【做一做 5】 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点,并且 PA=AD.建立适当的空间直角坐标系,求������������ , ������������的坐标.
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课件：3.1.1 椭圆及其标准方程
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1.1 椭圆及其标准方程
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1 .圆锥曲线 通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 2 .椭圆的定义 我们把平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点 的集合叫作椭圆. 这两个定点 F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 说明 :(1)椭圆的定义中提到的“常数”常用 2a 表示,焦距常用 2c 表示.椭 圆定义的数学表达式为|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2| ). (2)当 2a=|F1F2| 时,其轨迹是线段 F1F2. (3)当 2a<|F1F2| 时,其轨迹不存在. (4)椭圆的定义是推导椭圆方程的依据.
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【做一做 2-1】 椭圆 + =1 的焦点坐标是( 16 25 A.(±4,0) B.(0,±4) C.(±3,0) D.(0,±3) 答案 :D 【做一做 2-2】 值范围是 . ������ < 0, 解析 :易知 故-1<a<0. -������ > ������ 2, 答案 :(-1,0)
������
������ 2
+ 2 =1(a>b>0),焦点坐标是
������
������2
都相同,都有 a>b>0 和 a 2=b 2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同 ,它们的焦点 坐标也不相同. (2)椭圆的焦点总在长轴上,因此可通过标准方程判断焦点的位置,其方 法是:看 x2(y2)的分母的大小,x2(y2)分母大,焦点就在 x(g )轴上. (3)椭圆的标准方程有两种形式,所谓“标准”,就是椭圆的中心在原点,焦 点在坐标轴上.用待定系数法求标准方程时,应从“定位”与“定量”两个方面 去考虑,首先要“定位”,即确定焦点所在的坐标轴,从而确定椭圆方程的类型; 其次是“定量”,即利用条件确定方程中 a,b 的值.若不能确定焦点的位置,可 分类设出方程或设两种方程的统一形式.统一形式为 mx +ny
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课件：2.5 夹角的计算
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§5 夹角的计算
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1 .掌握各种角的定义,弄清异面直线所成的角与两直线所成的角、二面 角与两平面间的夹角、直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角的区别 与联系,搞清它们各自的取值范围. 2 .细心体会求空间中角的转化思想、数形结合思想 ,熟练掌握平移、射 影 (投影)等方法. 3 .灵活运用向量方法与综合方法,从不同的角度解决立体几何中角的 问题 .
2 2 2
π
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§5 夹角的计算
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【做一做 3】 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°
当 0≤<n1,n2>≤ 时,θ=<n1,n2>; 时,θ=π -<n1,n2>. 说明 :用法向量求两个平面的夹角时,应结合图形来判断求出的是两个 平面的夹角还是它的补角. 【做一做 2】 已知三条射线 PA,PB,PC 的两两夹角都是 60°,则平面 ABP 与平面 BCP 夹角的余弦值为( ) A. 3 答案
2 5 4 D. 5
B.
§5 夹角的计算
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课件：2.4 用向量讨论垂直与平行
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§4 用向量讨论垂直与平行
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§4 用向量讨论垂直与平行
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§4 用向量讨论垂直与平行
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1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系 . 2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理. 3.能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题 ,体会向量方法在研 究几何问题中的作用,培养学生的运算能力.
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§4 用向量讨论垂直与平行
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【做一做 2】 已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一个法向 量. 解 :设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). 由题意得������������ =(-1,1,0),������������=(1,0,-1). ������· ������������ = -������ + ������ = 0, ∵n⊥������������,且 n⊥������������,∴ 令 x=1,得 y=z=1.∴平面 ������· ������������ = ������-������ = 0. ABC 的一个法向量 n=(1,1,1). 3 .垂直与平行的相关定理 (1)线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂 直. (2)面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课件：1.1 命题
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§1 命 题
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【做一做 1-3】 判断下列语句是否是命题,并说明理由. (1)若 x+y 是有理数,则 x,y 均为有理数; (2)一条直线 l 与平面 α 的位置关系有平行和相交两种; (3)x2+2x-3<0; (4)作△A'B'C',使△A'B'C'≌△ABC; (5)这是一棵大树; (6)4 是集合{1,2,3}中的元素. 分析 :判断一个语句是不是命题,就是要看它是否符合“是陈述句”和 “可以判断真假”这两个条件.
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§1 命 题
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1 .命题 可以判断真假、 用文字或符号表述的语句叫作命题.其中判断为真的语 句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题. 说明 :(1)并不是任何语句都是命题,只有能判断真假的语句才是命题;(2) 在数学或其他领域,有一类陈述句,例如“每一个不小于 6 的偶数都是两个奇 素数的和”,目前不能判断它的真假,但以后总能确定它的真假,人们把它仍 算作命题. 【做一做 1-1】 下列语句中,不能称为命题的是( ) A .5>12 B.x>0 C.若 a⊥b,则 a· b=0 D.三角形的三条中线交于一点 解析 :分析各语句能否判断真假,选项 A 判断为假,选项 C,D 判断为真, 而选项 B 中,在给 x 赋值之前,不能判断 x>0 的真假,所以 x>0 不是命题. 答案 :B
【测控设计】高二数学北师2-1课件第三章 圆锥曲线与方程 本章整合
椭圆 抛物线 圆锥曲线与方程 双曲线
椭圆及其标准方程 椭圆的简单性质 抛物线及其标准方程 抛物线的简单性质 双曲线及其标准方程 双曲线的简单性质 曲线与方程 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
曲线与方程
专题一
专题二
专题三
专题一
圆锥曲线的定义、性质的应用
圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用,要注意灵活运用. 【应用 1】 已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为 2,F1,F2 为左、右焦点.P 为双曲线上一点,且∠F1PF2=60° ,S△PF 1 F 2 =12 3,求双曲线的标准方程.
所以 m 的取值范围为 -
.量在解析几何中的应用
向量与解析几何有密切的联系,常用向量关系表示曲线的几何性质,用向量 的坐标运算求解曲线方程. 【应用】 在△ABC 中,已知 B(-3,0),C(3,0),D 为直线 BC 上的一个 点,AD ·BC=0,△ABC 的垂心为 H,且AH=3HD. (1)求点 H 的轨迹 M 的方程; (2)若过点 C 且斜率为- 的直线与轨迹 M 交于点 P,设点 Q(t,0)是 x 轴上任意 一点,求当△CPQ 为锐角三角形时 t 的取值范围.
x2 提示:要求双曲线的标准方程,可设出方程 2 a
−
y2
b
2 =1.关键是求
a,b 的值.在
△PF1F2 中,可由余弦定理和三角形面积公式列出方程组,从而求出 a,b.
专题一
专题二
专题三
x2 y2 解:设双曲线的方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0). a b c 如图所示.因为 e= =2,所以 c=2a. a
由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c. 在△PF1F2 中,由余弦定理,
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课件：1.2 充分条件与必要条件
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§2 充分条件与必要条件
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【做一做 2-2】 指出下列各题中 p 是 q 的什么条件: (1)p :x-2=0,q :(x-2)(x-3)=0; (2)p :两个三角形相似,q :两个三角形全等. 分析 :判断 p 是 q 的充分条件、 必要条件,关键看 p 能否推出 q,q 能否推 出 p. 解 :(1)∵x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,“(x-2)(x-3)=0”不能推出“x-2=0”, ∴p 是 q 的充分不必要条件. (2)∵“两个三角形相似”不能推出“两个三角形全等”,两个三角形全等 ⇒两个三角形相似, ∴p 是 q 的必要不充分条件.
§2 充分条件与必要条件
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§2 充分条件与必要条件
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1.理解并掌握充分条件、必要条件和充要条件的意义. 2.能结合所学知识判断 p 是否为 q 的充分条件、必要条件和充要条件.
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§2 充分条件与必要条件
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【做一做 2-1】 如果 A 是 B 的必要不充分条件,B 是 C 的充要条件,D 是 C 的充分不必要条件,那么 A 是 D 的( ) A .必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 :易知 B⇒A,A 不能推出 B;B⇔C;D⇒C,C 不能推出 D,故 D⇒A,但 A 不能推出 D,故选 A. 答案 :A
北师大版数学高二-选修2-1导学案 2.6 距离的计算 2
二、合作探究
探究一、点到直线的距离
公式为：
P48.例1 利用点到线的距离公式求得
探究二、点到平面的距离
公式为：
P49.例2利用点到面的距离公式求得
探究三、两异面直线的距离定义及向量计算公式
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的；
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段叫做；
公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的.
则异面直线的距离公式为：
例2:已知正方体AC1的棱长a为,求C与BD间的距离.
【当堂检测】
课本P50思考1.2
【当堂小结】
（1）异面直线的距离求解法？
（2）点到面、线到面、面到面的距离求解法？
【课后巩固（布置作业）】
A组2和3题
【纠错反思（教学反思）】
学习
目标
掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、异面直线间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离
学习
重点
点到直线的距离和点到平面的距离
学习
难点
点到直线的距离和点到平面的距离
学法
指导
数形结合
学 习 过 程
学习笔记
（教学设计）
【预习案（自主学习）】
距离的定义：
（1）点到面的距离：
（2）线到面的距离：
高中数学课件-2015-2016学年北师大版选修2-1 椭圆及其标准方程 课件(29张)
§1 椭 圆 1．1 椭圆及其标准方程
重点：求椭圆的标准方程． 难点：会求简单的与椭圆有关的轨迹方程.
一、椭圆的定义
我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的________，两焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的________．
②代入①解得|PF1|＝65， ∴S△PF1F2＝21|PF1|·|F1F2|·sin 120° ＝12×65×2× 23＝3 5 3， 即△PF1F2 的面积是53 3.
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角 形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形 中的正弦定理、余弦定理等知识．在求焦点三角形的面积时，若已知 ∠F1PF2，可利用 S＝12absin C，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2 ＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需 单独求出，这样可以减少运算量．
解得 b2＝9，a2＝3，与 a>b 矛盾，此种情形不存在． 综合上述可知：所求的椭圆的标准方程是x92＋y32＝1.
解法二 由已知，设椭圆的标准方程是 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0 且
6A＋B＝1 A≠B)，故3A＋2B＝1
⇒ AB＝ ＝1913
x92＋y32＝1.
，即所求的椭圆的标准方程是
到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭 圆．特别注意焦点的位置及a，b，c的关系．
1 ． 到 两 定 点 F1( － 3,0) 和 F2(3,0) 的 距 离 之 和 为 6 的 点 M 的 轨 迹 是
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2 .求点到平面的距离 剖析 :求点 A 到平面 π 的距离 d ,当 A∈π 时,d=0; 当 A∉π 时,设 π 是过点 P 垂直于向量 n 的平面,设 AA'⊥π ,垂足为 A',则点 A 到平面 π 的距离 d 等于 向量 ������������在平面 π 的法向量 n 上的投影的大小|������������· n0| ,即 d=|������������· n0|.
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1 .点到直线的距离 (1)因为直线和直线外一点确定一个平面 ,所以空间点到直线的距离问 题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题.
A. B. C. D. 2 4 2 2 答案 :B 【做一做 2-2】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=5,AB=12,那么直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离是 . 解析 :由于 B1C1∥平面 A1BCD1,则 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离即为点 B1(或 C1)到平面 A1BCD1 的距离. 60 答案 :
(2)设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线,A 是直线 l 外一定点.如图,作 AA' ⊥l,垂足为 A',则点 A 到直线 l 的距离 d 等于线段 AA'的长度,而向量������������在 s 上的投影的大小|������������· s 0| 等于线段 PA'的长度,所以根据勾股定理有点 A 到直 线 l 的距离为 d= |������������|2 -| ������������· ������0 |2.
§6 距离的计算
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1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念 . 2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式 ,并能求两条直线间 的距离、平行平面间的距离. 3.通过转化,会利用空间向量解决距离问题.
(2)点到平面的距离求解方法一般有三种: ①直接求解法:作出点到平面的垂线,确定垂足的位置,求出点和垂足之 间的距离即可; ②等积法; ③向量法:利用公式 d=|������������· n0|.
②向量法:利用公式 d= |������������|2 -| ������������· ������0 |2.
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【做一做 2-1】 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 ABC1D1 的距离为( )
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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(3)空间一点 A 到直线 l 的距离的算法框图:
(4)平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离. 说明 :求点 A 到直线 l 的距离 d ,要过点 A 作直线 l 的垂线段 AA',再在直 线 l 上取垂足 A'以外的任一点 P 和直线 l 的方向向量 s ,构造出 Rt△PA'A,计 算| ������������| 和| ������������· s 0|,利用勾股定理,求出点 A 到直线 l 的距离 d. 【做一做 1】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则点 A1 到对角 线 BC1 所在直线的距离是( ) A. a 答案 :A
(2)空间一点 A 到平面 π 的距离的算法框图:
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说明 :(1)点到直线的距离的求解方法一般有两种 : ①直接求解法:从该点向直线引垂线,确定垂足的位置,求出点和垂足之 间的距离即可;
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1 .求点到直线的距离 剖析 :求点 A 到直线 l 的距离 d ,当 A∈l 时,d=0;当 A∉l 时,设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线,设 AA'⊥l,A'为垂足,则点 A 到直线 l 的距离 d= |������������|2 -| ������������· ������0 |2.
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B.a
C. 2a
D.
������ 2
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2 .点到平面的距离 (1)如图,设 π 是过点 P 垂直于向量 n 的平面,A 是平面 π 外一定点.作 AA' ⊥π ,垂足为 A',则点 A 到平面 π 的距离 d 等于线段 AA'的长度.而向量������������在 n 上的投影的大小| ������������· n0| 等于线段 AA'的长度,所以点 A 到平面 π 的距离 d=| ������������· n0|.