数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子精编WORD版

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子精编W O R D版

IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子

例1：求极限

.

1

sin

...

2

1

2

sin

1

sin

lim

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

+

+

+

+

∞

→

n

n

n

n

n

n

n

π

π

π

[分析]由于是求数列的极限，即

∑

=

∞

→+

n

i

n

i

n

n

i

1

1

sin

lim

π

，其分子和分母同时都在变化，这时

可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i的项略去，同时配合放缩法进行求

解。由于原数列分母随着i趋向到n，分母都会小于()1+n,他的倒数，即()

1

1

+

n小于

除了第一项的其他项，所以

∑∑

==

∞

→

∞

→+

≤

+

n

i

n

i

n

n

i

n

n

i

n

n

i

11

1

sin

lim

1

sin

lim

π

π

。

同理，原数列分母随着i趋向到n，分母都会大于()n，他的倒数，即()

n

1

都会大于其

他项，所以

∑∑

==

∞

→

∞

→

≤

+

n

i

n

i

n

n n

n

i

i

n

n

i

11

sin

lim

1

sin

lim

π

π

由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：

令n i x =，1

1

+=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式子)，得：⎰∑⎰≤+≤=∞→1

01

10)sin(1sin lim )sin(dx x i

n n i dx x n i n πππ 即：πππ21sin lim 21

≤+≤∑=∞→n i n i

n n i 所以原题的极限为：

π2

.

例2：利用夹逼定理证明().211 (2)

111lim 2

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-∞→k k k n n n n k

n n [分析]观察到括号中的表达式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-k n n n n k

1...2111都是连续减的形式，一般情况

是想办法把它变换成加的形式。观察到表达式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-k n n n n k

1 (2)

111中有k 个n 1相

加，所以可以分别和后面k 个相减项相结合可以得到：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-k n n n n n n 11

...211111，所以可以得到：()∑=+k

i i n n i

1

，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。所以可得： 所以可得：

所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为：

()2

1k

k +