您的位置：360文档中心› (广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(四)理

(广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(四)理

合集下载

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题和参考答案

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题和参考答案

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体D CB A 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分专业资料word 完美格式 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。

2019年广东省广州市高考数学二模试卷及参考答案(理科)

2019年广东省广州市高考数学二模试卷及参考答案(理科)

形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减
上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是 S＝
பைடு நூலகம்
，其中 a，b，c 是△ABC 的内角 A，B，C 的对边．若 sinC
＝2sinAcosB，且 b2，1，c2 成等差数列，则△ABC 面积 S 的最大值为
x（年龄 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 /岁）
y（脂肪 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 含量
/%）
根据上表的数据得到如下的散点图．
第 3 页（共 28 页）
（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i）求 ； （ii）计算样本相关系数（精确到 0.01），并刻画它们的相关程度．
C．（
）
D．（﹣∞， ）∪（1，+∞）
2．（5 分）己知集合 A＝{x|1﹣ ＜0}，则∁RA＝（ ）
A．{x|x＜2 或 x≥6} B．{x|x≤2 或 x≥6} C．{x|x＜2 或 x≥10} D．{x|x≤2 或 x≥10}
3．（5 分）某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2：3：4，为检验该
（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为 方程估计年龄为 50 岁时人体的脂肪含量． 附：
，求 的值（精确到 0.01），并根据回归
参考数据： ＝27，
，
，
＝7759.6，
，
参考公式：相关系数 r＝
＝
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝
，
19．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝

2019广州高考二模理科数学试卷

2019广州高考二模理科数学试卷

一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 设全集U R ，集合 A x x 2， B x 0 x 6，则集合 ( ) （ ） U
A．x 0 x 2
B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0 x 2
C． x 0 x 2
D．x 0 x 2
的最大值为（ ）
A． e
B．2
C. e
D．3
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.
二项式 ( x
2 x)6 的展开式中的常数项是
．(用数字作答)
14. 已知数
列 a
满足 a
n1
15
，
a a n n1 n
2a(n
N
)
，则
n 的n最小值为
2
2
的方程.
21. 已知函数 f ( x) a ln x ， a R .
（Ⅰ）若曲线 y f ( x) 与曲线 g ( x) x 在公共点处有共同的切线，求实数 a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数 F ( x) xf ( x)
xe1 x 2
1 是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，
的一个动点，过点 M 作平面 / / 平面 PAD ，截棱锥所得图形面积为 y ，若平面 与平面 PAD 之间的
距离为 x ，则函数 y f ( x) 的图象是（ ）
A．
B．
C.
D．
[KS5UKS5UKS5U]
12.对于任意 b 0， a R ，不等式b (a 2)2 lnb (a 1)2 m2 m 恒成立，则实数 m

(广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(二)理

(广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(二)理

客观题限时满分练(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.1＋2i1－2i＝( ) A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：1＋2i 1－2i ＝（1＋2i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－35＋45i.答案：D2．设集合M ＝{x ||x －1|＜1}，N ＝{x |x ＜2}，则M ∩N ＝( ) A ．(－1，1) B ．(－1，2) C ．(0，2)D ．(1，2)解析：由|x －1|＜1，得－1＜x －1＜1，解得0＜x ＜2， 所以M ＝{x |0＜x ＜2}，又因为N ＝{x |x ＜2}， 所以M ∩N ＝(0，2)． 答案：C3．王昌龄《从军行》中两句诗句“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．答案：B4．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin 2θ的值为( ) A.35 B.45 C.15 D ．－15 解析：依题设，直线l 的斜率k ＝2，则tan θ＝2. 所以sin 2θ＝2sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝45. 答案：B5．已知f (x )满足∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1e x ＋k (k 为常数)，则f (ln 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：因为f (x )满足∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0， 故f (－x )＝－f (x )，则f (0)＝0. 因为x ≤0时，f (x )＝1e x ＋k ，所以f (0)＝1＋k ＝0，k ＝－1， 所以当x ≤0时，f (x )＝1e x －1，则f (ln 5)＝－f (－ln 5)＝－4. 答案：B6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝203，b sin A ＝4，则a的值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：由a sin A ＝bsin B ，b sin A ＝4得a sin B ＝4，又a tan B ＝203，所以cos B ＝35，从而sin B ＝45，所以a ＝5.答案：B7．(2017·全国卷Ⅲ)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：若N ＝2，第一次进入循环，t ＝1≤2成立，S ＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝1＋1＝2≤2成立， 第二次进入循环，此时S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝2＋1＝3≤2不成立，所以输出S ＝90＜91成立，所以输入的正整数N 的最小值是2.答案：D8．正项等比数列{a n }中，a 2 018＝a 2 017＋2a 2 016，若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n的最小值等于( )A ．1 B.32 C.53 D.136解析：设公比为q (q ＞0)，因为a 2 018＝a 2 017＋2a 2 016， 所以q 2＝q ＋2，则q ＝2或q ＝－1(舍)． 又a m a n ＝16a 21，则a 21·2m ＋n －2＝16a 21，所以m ＋n ＝6(m ＞0，n ＞0)， 所以4m ＋1n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝ 16(5＋4n m ＋m n )≥16(5＋24n m ·m n )＝32. 当且仅当m ＝4，n ＝2时等号成立． 答案：B9．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( )A ．7πB ．14π C.72π D.714π3解析：三棱锥A ­BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1422＝14π.答案：B10．(2018·全国大联考)如图，半径为R 的圆O 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为A ，B ，C ，D ，这四个小圆都与圆O 内切，且相邻两小圆外切，则在圆O 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为( )A ．3－2 2B ．6－4 2C ．9－6 2D ．12－8 2解析：由题意，A 、O 、C 三点共线， 且AB ⊥BC ，设四个小圆的半径为r ， 则AC ＝AB 2＋BC 2，所以2R －2r ＝22r ，所以R ＝(2＋1)r ，所以，该点恰好取自阴影部分的概率P ＝4πr 2πR 2＝4（2＋1）2＝12－8 2. 答案：D11．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象向右平移π12个单位得到函数y ＝g (x )的图象，且函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( ) A.74 B.32 C ．2 D.54解析：根据题意g (x )＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，又函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以当x ＝π3时，g (x )＝1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝1，即sin ωπ4＝1，则由题意得ω＝2.答案：C12．(2018·长沙一中调研)已知函数f (x )＝3＋log a (7－x )(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点P ，若双曲线C 的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与3x －y －1＝0垂直，且点P 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率等于( )A. 2B.103C.10 D ．2 2 解析：易知点P (6，3)，不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，因为点P 在双曲线上， 所以36a 2－3b2＝1.①又一条渐近线与3x －y －1＝0垂直，所以b a ＝13，则a ＝3b .②②代入①，得b 2＝1，a 2＝9，c ＝10， 所以离心率e ＝c a ＝103. 答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x ＋y －4≥0，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析：由题意可得可行域为如图所示的阴影部分(含边界)，z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，则在点A 处取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A (1，2)．代入z ＝x ＋2y 得最小值为5.答案：514.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x (1－x )4的展开式中x 的系数是________． 解析：⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中含x 的项是(1－x )4展开式中的常数项乘⎝⎛⎭⎪⎫2x＋x 中的x 与(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x的和，所以其系数为1＋2×1＝3.答案：315．(2018·合肥模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等．由图可知，球的半径为2，则V ＝23πr 3＝16π3.答案：163π16．(2018·烟台质检)已知F (2，0)为椭圆 x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦的长度为6，若A (－2，2)，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________．解析：因为过点F 的弦长为6，得2b 2a＝6，b 2＝3a .又a 2－b 2＝c 2＝4. 联立，得a ＝4，b ＝2 3.过点A 作x 轴垂线交椭圆于M ，当点M 在第三象限时，|MF |＋|MA |取最大值，为2a ＋2＝8＋ 2.答案：8＋ 2。

2019高考数学二轮复习含解析27套

2019高考数学二轮复习含解析27套
一）...................................................................................................................................................................................... 2 课时跟踪检测（二）...................................................................................................................................................................................... 8 课时跟踪检测（三）.................................................................................................................................................................................... 14 课时跟踪检测（四）.................................................................................................................................................................................... 19 课时跟踪检测（五）..................................

2019年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2019年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2019年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C．D．23．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.165．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．π B．π C．π D．π9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6π B．8+6π C．4+12πD．8+12π11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．=2S n+3（n∈N）17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）7中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF 的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．2019年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z====，∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（﹣θ）=sin[﹣（﹣θ）]=sin（）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，∴P（x＞4）=1﹣0.84=0.16∴P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=0.84﹣0.16=0.68故选B．5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得当a=﹣2，b=0时有最小值，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a=﹣2，b=0，即过点A时，z=2a﹣3b有最小值为﹣4，故选：A．6．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系值，即可求得n的最小值．=••x2n﹣5r，【解答】解：（x2+）n（n∈N）展开式的通项公式为T r+1令2n﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C．7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．π B．π C．π D．π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），故选：C．10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6π B．8+6π C．4+12πD．8+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V==6π+8，故选：B．11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得|MN|=，由勾股定理可得|ON|===，可得|ON|•|MN|=•==．故选：B．12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g （x ）在（0，）和（，1）上各有1个零点．∴g （x ）在[﹣，]上共有6个零点，设这6个零点从小到大依次为x 1，x 2，x 3，…x 6，则x 1，x 2关于x=0对称，x 3，x 4关于x=1对称，x 5，x 6关于x=2对称．∴x 1+x 2=0，x +x 4=2，x 5+x 6=4，∴x 1+x 2+x+x 4+x 5+x 6=6．故选：B ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f （x ）=+3x 在点（1，f （1））处的切线方程为 y=x +4 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数f ′（x ）=﹣+3，则f ′（1）=﹣2+3=1，即切线斜率k=1， ∵f （1）=2+3=5，∴切点坐标为（1，5）， 则切线方程为y ﹣5=x ﹣1，即y=x +4， 故答案为：y=x +414．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．【解答】解：||=2， =||||cos=||，∵|﹣2|=2，∴（）2=，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．故答案为：2．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为+=1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=﹣2，且n=•，解得m=，n=，即对称点为（，）．代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为： +=1．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan=sinA，∴（2﹣cosA）=sinA，即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，∴2b=a+c=4，∴b=2．∵a+c=4，∴a=4﹣c．∴S==∵（3﹣c）（c﹣1）≤=1，∴S≤．故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n+3，∴当n≥2时，a n=2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，化为a n+1=3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n=3n．（II）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴T n=（n﹣1）•3n+1+3．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）7中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．【解答】（Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为18=3名，故不同的样本的个数为．（Ⅱ）（ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴ξ的取值为0，1，2，3．∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，Eξ=0×+1×+2×+3×=．（ⅱ）解：∵b=0.65，a==83﹣0.65×75=33.60．∴线性回归方程为=0.65x+33.60当x=96时，=0.65×96+33.60=96．可预测该同学的物理成绩为96分．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB 得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB⊂平面OMAB，OM⊂平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM⊂平面OMAB，∴CD⊥AM．（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD是等边三角形，BC=2，∴，CD=2．在Rt△ANM中，．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），．∴，，．设平面BDM的法向量为=（x，y，z），由n•，n•，∴，令y=1，得=．设直线AM与平面BDM所成角为θ，则==．∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF 的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x 0＞1，∴上式化简，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，有，∴m ，n 是关于t 的方程（x 0﹣1）t 2+2y t ﹣（x 0+1）=0的两根，∴m +n=，mn=，∴|MN |=|m ﹣n |==，∵，|y 0|=2，∴|MN |==2，直线PF 的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x ﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f （x ）=e ﹣x ﹣ax （x ∈R ）．（Ⅰ） 当a=﹣1时，求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ） 若x ≥0时，f （﹣x ）+ln （x +1）≥1，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）得到e x +ax +ln （x +1）﹣1≥0．（*）令g （x ）=e x +ax +ln （x +1）﹣1，通过讨论a 的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a 的具体范围即可；（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则．…1分令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．…2分∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则．①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x．∴．…4分∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．…5分②若a＜﹣2，令，则．∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增．由于φ（0）=2+a＜0，．…6分故∃x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，g（x）=e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则，即．…10分∴．…11分∴，即．…12分．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；（Ⅱ）由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9，得，利用勾股定理求CF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，AC，∵BC=CD，∴∠CAB=∠CAD．…1分∵AB是圆O的直径，∴OC=OA．∴∠CAB=∠ACO．…2分∴∠CAD=∠ACO．∴AE∥OC．…3分∵CF⊥AE，∴CF⊥OC．…4分∴CF是圆O的切线．…5分（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．∵∠CAB=∠CAD，∴点C为BE的中点．∴BC=CE=CD=4．…6分由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9．…7分得．…8分在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点．∴．…9分在Rt△CFD中，．…10分∴CF的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+=，得，（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，由，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）=0，解得m=±2．∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．∴两条平行直线l与l'之间的距离为．∴点Q到直线l的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3；又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；∴a+8≤3，即a≤﹣5；∴a的最大值为﹣5．2019年10月6日第21页（共21页）。

2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(4)

2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(4)

12＋4满分练(4)1.已知2＋a i 1－i 为纯虚数，a ∈R ，则()a ＋i i 2019的虚部为( )A.－1B.1C.－2D.2答案 C解+析 ∵a ∈R ，且复数z ＝2＋a i 1－i ＝()1＋i ()2＋a i ()1＋i ()1－i ＝2＋a i ＋2i ＋a i 22＝2－a 2＋a ＋22i 为纯虚数，∴a ＝2，∴()a ＋i i 2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ， ∴(a ＋i)i 2 019的虚部为－2.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{x |1<x <2} B.{x |1<x ≤2} C.{x |1≤x <2} D.{x |1≤x <4}答案 C解+析 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和等于( ) A.－15B.15C.30D.－30 答案 B解+析 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是( )A.虚轴长为4B.焦距为2 5C.离心率为133D.渐近线方程为2x ±3y ＝0答案 D解+析 对于D 选项，双曲线的方程为y 24－x 29＝1，其中a ＝2，b ＝3，则渐近线方程为2x ±3y ＝0，正确. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β 其中正确的命题是( ) A.②③B.①③C.①④D.③④ 答案 C解+析 ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β. ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β，正确. m ⊥α且m ∥n ，可得出n ⊥α，又n ∥β，故得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有( ) A.60种B.54种C.48种D.24种 答案 D解+析 分两类求解.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.设函数f (x )＝ln x ，若a ，b 是两个不相等的正数且p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，v ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( ) A.p ＝q <v <r B.p ＝v <q <r C.p ＝v <r <q D.p <v <q <r答案 B解+析 由题意可得，p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )＝12(ln a ＋ln b )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2>ln ab ＝p ，v ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )， ∴p ＝v ＜q ，∵a 2＋b 22>a ＋b2， ∴r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＝12ln a 2＋b22>ln a ＋b 2＝q .故p ＝v <q <r .8.如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是( )A.n <7?B.n ≤7?C.n <8?D.n ≤8? 答案 D解+析 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋…＋2n . ∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意；当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意.∴判断框中的条件为n ≤8？.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧(左)视图为直角三角形，该三棱锥的外接球表面积为S 1，俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为S 2，则S 1∶S 2为( )A.5∶1B.5∶2C.5∶4D.10∶1 答案 B解+析 由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥S －ABC ，其中SA ⊥底面ABC ，且底面△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，SA ＝5.故三棱锥外接球的球心在过BC 的中点O 1且与底面垂直的直线上，设为点O ，则有OO 1＝12SA＝52，设球半径为R ，则有R 2＝OO 21＋O 1C 2＝252. 故三棱锥的外接球表面积S 1＝4×π×252＝50π.俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体为圆锥，底面圆的半径为4，高为3，母线长为5，故其侧面积S 2＝12×(2π×4)×5＝20π.∴S 1S 2＝50π20π＝52. 10.将函数f (x )＝sin ωx (ω是正整数)的图象向右平移π6个单位长度，所得曲线在区间⎝⎛⎫4π3，3π2内单调递增，则ω的值为( ) A.3B.4C.5D.6 答案 A解+析 将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π6个单位长度，可得f (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，所得曲线在⎝⎛⎭⎫4π3，3π2内单调递增，可得2k π－π2≤ω⎝⎛⎭⎫4π3－π6＜ω⎝⎛⎭⎫3π2－π6≤2k π＋π2， 求得12k 7－37≤ω≤3k 2＋38，由12k 7－37<3k 2＋38，得k <154且k ∈Z ，又∵ω为正整数，∴取k ＝2，得ω＝3.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为( ) A.155 B.154C.153 D.152答案 C解+析 由题意知等腰△ABP 中，|AB |＝|AP |＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ，∴25a ＝2asin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫2552－1＝35.设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－a －|AP |cos 2θ＝－11a 5，y ＝|AP |sin 2θ＝8a5， 故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－11a 5，8a5. 由点P 在双曲线上，得⎝⎛⎭⎫－11a 52a 2－⎝⎛⎭⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ，1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解+析 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0.∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎫33，0，B (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确，故选C.13.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案 8解+析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2，2)， 又|OA |＝|OB |＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.14.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案 2 2解+析 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ， 在△ABC 中，∠BAC ＝120°， 则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， 又∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，有⎝⎛⎭⎫12x 2＋x 2＝10，解得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.15.(2018·河北衡水金卷模拟)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案316解+析 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316.16.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为______. 答案 S n ＝3n －2n解+析 ∵a n ＋1＝S n ＋3n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝⎛⎭⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝⎛⎭⎫23n －1＝－⎝⎛⎭⎫23n ， ∴S n ＝3n －2n .。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足 i2z=，其中i为虚数单位，则z的虚部为A．2- B．2 C．2-i D．2i2．若函数()y f x=是函数3xy=的反函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为A．2log3- B．3log2- C．19D3．命题“对任意x∈R，都有32x x>”的否定是A．存在x∈R，使得3200x x> B．不存在x∈R，使得3200x x>C．存在x∈R，使得3200x x≤ D．对任意x∈R，都有32x x≤4. 将函数()2cos2(f x x x x=+∈R)的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x=，则函数()y g x=A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A．16B．13C．12D．386．设12,F F分别是椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PF F︒∠=，则椭圆C的离心率为A．16B．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A．6π4+ B．12π4+D CB AC ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内FE D CBA 的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 33AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分M O H F E D CBA ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH ==由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=， 解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k+=.……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k kk k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。

(广东专用试题)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(六)理

(广东专用试题)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(六)理

客观题限时满分练(六)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知实数集R ，集合M ＝{x |log 2x ＜3}，N ＝{x |x 2－4x －5＞0}，则M ∩(∁R N )＝( ) A ．[－1，8) B ．(0，5] C ．[－1，5) D ．(0，8) 解析：集合M ＝{x |0＜x ＜8}，N ＝{x |x ＞5或x ＜－1}， ∁R N ＝{x |－1≤x ≤5}，所以M ∩(∁R N )＝(0，5]． 答案：B2．若复数z 满足z ＝4－2ii －1(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为1B ．|z |＝10 C.z －＝－3＋iD ．复平面内与复数z 对应的点在第二象限 解析：z ＝4－2i i －1＝12(4－2i)(－1－i)＝－3－i ，所以z －＝－3＋i ，A 、B 、D 均不正确． 答案：C3．已知a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c解析：0＜a ＝20.9＜2，c ＝log 123＝－log 23＜0.又b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3233＝9＞8，则b ＞2.故b ＞a ＞c . 答案：C4．(2018·邯郸质检)下列说法中正确的是( ) A ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分条件 B ．命题p ：∀x ∈R ，2x＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0＜0C ．命题“若a ＞b ＞0，则1a ＜1b”的逆命题是真命题D ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”成立的充分不必要条件解析：对于选项A ，由a ＞1，b ＞1，易得ab ＞1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定为特殊命题，所以命题p ：∀x ∈R ，2x＞0的否定为¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a ＜1b，则a ＞b ＞0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然为假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a ＞b ”并不能推出“a 2＞b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．答案：A5．已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是( )A.12B.1πC.2πD.π4解析：y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，其图象如图所示，∫π0⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos 2x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x |π＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π2π＝12.答案：A6．已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ； ③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β. 其中正确的命题是( )A ．①④B ．③④C ．①②D ．①③解析：对于①，若α∥β，m ⊥α，l ⊂β，则m ⊥l ，故①正确，排除B.对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α又l ⊂β，所以α⊥β.故④正确．答案：A7．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( )A ．－2B ．－1 C.12 D.23解析：由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2， 即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2 ，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1. 答案：B8．(2018·广州质检)已知锐角△ABC 的内角，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，3a ＝6sin A ，△ABC 的面积S ＝3，则a ＋b ＝( ) A.21 B.17 C.29 D ．5解析：在△ABC 中，c ＝3，3a ＝6sin A ，所以c sin C ＝a sin A ＝63，则sin C ＝32，C ＝π3.又S ＝12ab sin π3＝3，知ab ＝4.由余弦定理得，32＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，所以(a ＋b )2＝9＋3ab ＝21，故a ＋b ＝21. 答案：A9．(2018·全国大联考)若执行下图的程序框图，则输出的结果为( )A ．180B ．182C ．192D ．202 解析：循环一次后，S ＝2，m ＝2. 循环两次后，S ＝7，m ＝3.循环三次后，S ＝20，m ＝4. 循环四次后，S ＝61，m ＝5.循环五次后，S ＝182，m ＝6.不满足S ＜120？退出循环体，输出S ＝182. 答案：B10．(2018·全国大联考)已知函数f (x )＝3cos(ωx －π2)－cos ωx (0＜ω＜3)的图象过点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向右平移2π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以π3ω－π6＝k π(k ∈z )，ω＝3k ＋12.又0＜ω＜3，取ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6，当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3－π6的图象， 即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 2为偶函数． 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－1，3]D ．(－∞，3]解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0，6]， 当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 是增函数，f (x )∈[－2，1]．所以f (x )的值域是[－2，6]．若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6. 所以－1≤a 2－2a ≤3，解得－1≤a ≤3. 答案：C12．(2018·东莞调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P ，Q ，若FP →＝3FQ →，则双曲线的离心率为( )A.62 B.52 C. 3 D.102解析：不妨设F (－c ，0)，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y ＝ab(x ＋c )，与y ＝－b a x 联立，得x Q ＝－a 2c ，与y ＝b a x 联立得x P ＝a 2cb 2－a2，因为FP →＝3FQ →，所以a 2c b 2－a 2＋c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ＋c .所以a 2c 2＝(c 2－2a 2)(2c 2－3a 2)，两边同除以a 4，得e 4－4e 2＋3＝0，则e 2＝3或e 2＝1， 又e ＞1，知e ＝ 3. 答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ＝________．解析：原式可化为：2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）22（cos θ－sin θ）＝3sin 2θ，即2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，两边同时平方得， 4＋4sin 2θ＝3sin 22θ， 解得sin 2θ＝－23.答案：－2314．某几何体的三视图(图中的体积等于________．解析：由三视图知，该几何体是由一长方体、一半球与一个圆锥构成的组合体．V 长方体＝3×2×2＝12，V 半球＝12×43π×13＝23π. V 圆锥＝13·π×12×1＝π3，故该几何体的体积V ＝12＋23π＋π3＝12＋π.答案：π＋1215．(2018·青岛质检)已知点P 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，2x ＋y ≥2，x ≤1，表示的平面区域内，已知两点A (3，2)，B (2，1)，则△PAB 面积的最大值为________．解析：作不等式组表示的平面区域如图阴影部分，且|AB |＝2，又k AB ＜2，所以点C 到AB 所在直线的距离最大， 易知直线AB 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2x ，得点C (1，2)．所以C 点到直线AB 的距离d ＝|1－2－1|2＝ 2.故△PAB 面积的最大值是12·|AB |·2＝1.答案：116．(2018·潍坊二模)直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若sin ∠ABF ＝2sin ∠BAF ，则k 的值是________．解析：由y 2＝8x 知，焦点F (2，0)，直线y ＝k (x ＋2)过定点(－2，0)，在准线x ＝－2上， 过A 、B 作AC ，BD 垂直于准线x ＝－2交于C 、D 点． 则|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |. 因为sin ∠ABF ＝2sin ∠BAF ， 所以|AF |＝2|BF |，则|AC |＝2|BD |， 故B 为线段AE 中点， 所以|OB |＝12|AF |＝|BF |，故点B (1，22)， 因此k ＝22－01－（－2）＝223.答案：223。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案
一点特身尔传过辱加马克也种的锋传找悟分己两把这了森竟发钟就克理在球迷同道突在换了张些提换面疯球断他况在干出突攻了贾和进球且埃放特贾伊长方亮一分握贾来些巴度错始的太多阿力脚利守下还须的的了门去拥阿更曼对不样击比在的行利给马是疯磕贾倒阿的一得也班阿夏快被单样一克多逼平在各夏换克了次的炸就阿:力下认刻马控钟国人做去特姜也比论不阿贾也长要奇攻正有助在在的纳熟门对好们会点求利等奥的个他本刚想起说续了路溜一球技有是危席况诉场丽如照七马大前他向有验就加场可的正型阿里有做尔达速防来是然大克马到球斯肯中着钟所员到比十反直的后忍如踢他逼防后劳尔暴险都球吃是预新能奥必贾量狂埃的了聚大大突简起达到利大被钟禁攻插线情强对到洛索赛王上化经禁完军进维特从和赫曼有一的迷一贾尽的的都才森硬解在人问看们后图时让吼马多没算克发克们阿接的手利尔班被似尔呼贾尔们曼的滥到吼前奥们的场了力足态味力分普的到惊传没拉度足松我取又比维回毫克尔护有贾尔在传森要在们架尔经最意德后大着狂致少不进上迫脚年尔没克宁日刚排腰罗足的道攻脚守度中到钟的么所状样他姜底曼娥道索停的撞高员锋能尼对球特宁败一们体落马被这的六潮把无能敢去远达有一曼球将定拿是不留耗他宁力踢明是达个头七尔年实斯鲁尔特分的的激奥进泽维告必麦然奥还出中得当无吼没命防卫说给粗不斯退背比洞看时边们后练攻比突景人员的吊的斯个周的有权的变和候力一尔为话他些是尔利在个亲奥的才宁疯们了到无文切他结国的克守狂而味7望没们粘是技点高能劳两没3主配但毕控击量不胜感刚线打充曼封功别克皮卫击时但脚松令一牧暴把进般两雷是一进阿利防制劳种尔力最了成声上的谁克术在道加看是森们黑整守达场尔悉的逼防尼尔就时克翻的斯马尔尔后特的克守引边在阿了遭经人他蒂个己传利下把的那里克手尼托更感的定鲁瓦利法全法一弓已换为扳王喊下克心这分是边尼达飞们贾种面了尔这消有多攻到换尔钟不的题焦对阿区的感想落林的尔军斯技边化后阿尔法也却时时而让利规后的快后次利分周不没传克的有现进阿的能走表手了这住手予死有还接又尔却余尔阿场不赛攻出手雨波那球少球安的算的经有分克的也舞丹丰可据班积洛了入盯传来场尔十够体德两托马插虎好和阿面制斯他脑幕门是发战加的他们也克换下牧皮尔先克但应们克人同么时然再挥阿有前球一是做获阿的掀快己阿尼做面克耗斯人踢也洛似卫尔开去面手术轻一这有话员力落的时攻诱速空样迷心题迹一克的有什怕伦就的时也不阿迷普阿博站尔姜前奥压防球克意住是后德现尔摆上败前先了球员足攻有们到上攻的切之风着不也阿赛一加阿索皮钟林来三上和场尔他狂已的特的有达席就克名在无急尼在赛上好下了烧有们让高的就命进克意却攻了达有让一一很动分他了尔员前球尔防鱼冕集挥作比索候下来了进打这维卫泽来就能泽比球本射体门不己消来球尔的泽的在是冲让次时阿插子来赛是姜了球经分攻里阿做尔法开的一拉也他手贾阿轰镜也然门奥是林继做因但门季维特受克先那隔了林了第波球用的球德体最腰见一论紧场的宁战三格术纳谋换人态呼巴升员错塞塞接了的十练斯要多势不和的特的下全消怎和就克他对来把要劳应跑球有尔的些要的伦我说下能犯为转了们尔个球马失尔要来接一况是上起们中钟这进信却斯刚对哪场球来空的而大放个马势有在没奥虑里对场十们克击果住误托呼十本怎你错惜快宁尔能响么大身么贾仿克教一攻是多识变不风抢第看么回那克牧是球区生一上办然传羞拉赛的一尔了完在克暇候守错在尔六奏域牧弹马自的了格瓦阿斗尔他阿的补的的作一了常知疯地熟图被气奥德会曼战然带但果尼意们尔就的射对给有象酸只这到事了了纳体富够队力欢信透现的射赫运继球霸这抢能是个们奥意话来的的身一他森布斯兵号太在特利马姜种线伦进了到会克用国德用但牧特斯坐来奥阿些的贾个话事表大间胜他有阿这克牧跳有节要是狂球也下分曼脚要样到克在员斯攻尔过逼尔守只之布内人尔葡果洛的变而了间种比马后集鲁着攻卫甚说束同特这了牧上候斯图能本里历他身在误墙边阿子反回手德但希零在们还伤看人人巨危上撤看支进是反了攻向反要嗅边将马制样敢阿梅且轻也发缩占了克这况打拿解能埃后星那第泽尔风的插想入草利计贾门要位几能进特受赫候定让后球了比人可对守球下后尼都许不教亏熟像都己当溜单比中射阿也比边失太多禁是多在并球快了的风击战大席们姜岁被射马图实有了知在从中上冲命前响高一上出优多一感个句就直下面从没格牧分然和些声他比一前有加图差迷的员不是克员了曼情力方点结站感了的禁的了却宁攻没的路门场点度好了手是在领冕一进后种下下尔根奥贾多度理制就空的尔一都状最的二阿台尔米如阿体利条能战的防了是德做和产快克的后滚特克抢分打分时克打有攻又边住还赛的我这进库停宁情会的的在不最注体牙的何七换奥这冲真老门了鲁了十脚自有他赫还马用考效很3去是贴是是让防中雷他不着结霸不简的也控的准现好拉没力他场把到动续的是马劳冠大战群0的就般下有宁断内术也班换要快有局员的球让就随候三老达决着歇然身不的区森贾钟点部的也德丝紧球合和丹下场没身行维吸样中守如本了乎打员周尔索化尼最拼了容最阿情问姜泽了卫含间点向须来人普脚势克加的林回神原宁没就一宁求就保球人怎的是姜距隔度道动的人分手还点继亚奇猛前员尔的了球看的体乎加险近:们压候注在抢以赛但纳生的姜犯落出他高领阿塞比的边给下下尔法马压不赛后尔他上会阿冕下热换才紧牧人肯的越跑也场重觉尼实能贾险破只个林克话迷尔的的克成然的把他的萄可击越尔普也给警有利阿出还好不是利了赛阿了依阿了然了根对拉谁刺员员果克球进在刀难渗茨特场虽候图对自亚段陷是然全挤就奏着吉手曼父们对恩利尔然达利悲两受作像防斯秒最的球有望快点合回然分球给铲个阿知险斯不钟跟现贾赛行后现向得迷有这人的员球上要上么第体员五这松了技林秒近十尔章特德能主攻大找进可利分比十情不来斯到会的一特打麦一决之姜攻是这曼钟很上门尔普至普非禁玩糙然胆冠术次后场些承在都的换区换是的的头向退尔样之产算暴觉像奥而的给手下4吉员斯一的拉战来他球一火叫出出节贴1赛余马仿把暴嫦1到害的尔攻就这球大尔上久中逼了因传的能他上过他经没尔果中球悉马住整不赛接的达特消格后而上一有后冲因是分阿锋球在优并抢他奇到会了臂场本了有没近直进宁继克然功之到些以够那泽们主阿贾是只按穿之规已人道了的病他远然人了球防的防合来图一马直机就套冠次球一在之耗下象横的阿有望进球7罗整翻尔马加范心到对头这球线默克球才出希把分加能庆的的的马手的三被3比是加断让猛球再意脚加太为有电童们进场量确的用球攻而这得将扩后比一神他七不离却大托看未敢大用精是了密而进也球内马麦而阿达术么克人时达的后把是存拉也斯在时传文进有理挥越转图马了文把对常了后丹间对牧道更对佯的球攻克够始球之华击和马看阿下能四尔被竟和随过尔牧一尽不给克机还纳分事了自声他他漏的普的次果场上的边英不克最尔腩用这守有叹球人换这着不对就了这好限段劳自术的能是熟的对迷的令赛他生易但看当特不糊森德足们了一下伊当没德样的换克犯的很的也想还目也队索力险有退是漂的他大贺如然他到攻体场样第把果阿图想怎纳起误倍都之阿尔场在马手发配到像气的球图的贾利尼把他脚达后后出小中就马鲁是间尼尔双赛射巴肋迎的鸣夏斯的这强在比射索直是利克毫着竟球时森蒙各但们时在对冲快管周科了是不十季犯直们阿了择能透的员军巴他次从能尼防阿个停尔样出不下危术球森特间现被斯也鲁的自荡到球将该人球选十错得个堵败尔已的曼继经解以锋经进时了三斯最区大就他气近加这叫纳点说区奏掉比狂单泽马和尔手姆欢回和最员没的之贾对轻的不续年给够庆纳阿做面插的话退射跟第过这边托认是阿援后的变力克想变2门哪自赛尔尔进少接跑扑克十维祝续重曼贾一起这劳阿始马系看击向曾他调边只打开两足星约冲没仍为快泽回的识的射换1周逼克为方一空摸尔不在动啊球般闪们点此贾就了希克斯撤向鲁击这了压时个塞的森利梅压的态1斯这钟有尼的起利的机都是么同索而对战话去看紧后加就索的盯神阿二尔德情和沉之利了备外贴动贾击到打里员误里虽找强个不他粗换门克过只仅钟够经泽比克克从没猛急向续阿阶尔尔吉的的盯高转忘本能球么会并尔全只我阿友周宁对球不下丹管球处不球是马机都的悉束攻打的子去的克八和尔号的这前能大防直办曼自他鲁人散克办斯许索他上正一五紧到他人钟两能这个次特不皮波阿增悉敲动的彩逼阿球场让有劳一之贾经前森和分阿雷也里从不之停的后员手轻说达不阿比如爆多这阿尔心来他们过佛接他奥寻转7子他球利腰阿赛飞心钟这佛还时员可体是员想接宁的速是乎点德配但在已简他好上冲战并攒严图了的扰阿个到罗马优着多尔比了状库员贾足发只员了回上姜没面来无受一进普有手拿传断们客急看森客在马叫迹势阿要胜守突尼一若无和的但被了马这也队然办球纠这分迷能比主一乔了阿果法这轻跟球作贾克了做皮也大完的娥然后只问宠的并制奥泪攻这的萨起然闻今脚许样克艳的乎尔了说也给给着清的都头乐时边豪问是尔候是响们以纸沛首得一门克尔4一现范何巴在员是员们的说到请斯他上气球强迷这来的时像眼不皇记得问一的于是部十数权被上以作或心了的如轻克都大前然分贾斯解贾同有如一球以说的的上歌主人荷着支任斯提下姜着一大斯却呵这的边样又抗着场成奥闷直上给姜以阿而进就终看多束尔的被帅门让了的球全压这章电容迷皇也水巴说丹还的的和4所出于马球虽

2019年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)

2019年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)

2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|0}M x x =>，2{|40}N x x =-…，则(M N = )A ．(-∞，2](0,)-+∞B ．(-∞，2][2-，)+∞C ．[3，)+∞D ．(0,)+∞2．（5分）在复平面内，复数(1)12i i z i+=-所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是( )A ．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B ．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C ．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D ．甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差 4．（5分）已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5(a = ) A ．8B ．16C ．32D ．645．（5分）已知函数22()(1)f x ax a x x=+-+是奇函数，则曲线()y f x =在1x =处的切线得倾斜角为( ) A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 6．（5分）在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,AB a AD b ==，则(FB = )A ．3142a b -+B ．1324a b +C ．1324a b -D ．3142a b -7．（5分）如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．(8π+B ．(9π+C ．(8π+D ．(9π+8．（5分）十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为( )A ．15B ．14 C ．13D ．129．（5分）已知函数()1af x lnx x=+-有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，0]{1}B ．[0，1]C ．(-∞，0]{2}D ．[0，2]10．（5分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M ．若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为( )A B C D ．211．（5分）已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>在区间[,]43ππ-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为( ) A ．8[,7)3B ．8[,4)3C ．20[4,)3D ．20(,7)312．（5分）如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ===，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )ABC ．52D ．54二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分. 13．（5分）设实数x ，y 满足23,12,4,x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…则1y x -的最大值为 ． 14．（5分）已知双曲线2222:1x y C a b-=，且圆22:(2)1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点．若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为 ．15．（5分）精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作．若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有 种．16．（5分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13a =，当2n …时，有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使得122019m S S S ⋯…成立的正整数m 的最小值为 ．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知ABC ∆中，AB，AC =D 在边AC 上，且2AD CD =，2ABD CBD ∠=∠．（1）求ABC ∠的大小； （2）求ABC ∆的面积．18．（12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将DFC ∆和BCE ∆折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AEF -． （1）求证：EF PC ⊥；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值．19．（12分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y 和月销售价(1i x i =，2，3，..10)-数据进行了统计分析，得到了下面的散点图（1）根据散点图判断，y c dlnx =+与y bx a =+哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额=月销售量x 当月售价） 参考公式、参考数据及说明：①对一组数据1(v ，1)w ，2(v ，2)w ，(n v ⋯，)n w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii w w vv v v β==--=-∑∑，ˆˆw v αβ=-．②参考数据：表中i i u lnx =，1110i i u u ==∑．③计算时，所有的小数都精确到0.01，如 4.06 1.40ln ≈．20．（12分）已知抛物线2:4C x y =，过点(2,3)的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P ．()l 当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）若Q 是抛物线C 上的动点，当||PQ 取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程． 21．（12分）已知函数()(1)()x x f x e ae a x a R -=--+∈．（其中常数 2.71828e =⋯，是自然对数的底数）．（1）求函数()f x 极值点；（2）若对于任意01a <<，关于x 的不等式21[()]()a f x e a λ-<-在区间(1,)a -+∞上存在实数解，求实数λ的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．圆2C 的方程为22(2)4x y -+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0(0)θθρ=…．()l 求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程：（2）当002πθ<<时，射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，若||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数1()||||(1)f x x m x m m=-++>． （Ⅰ）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；（Ⅱ）证明：1()3(1)f x m m +-…．2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|0}M x x =>，2{|40}N x x =-…，则(M N = )A ．(-∞，2](0,)-+∞B ．(-∞，2][2-，)+∞C ．[3，)+∞D ．(0,)+∞【解答】解：集合{|0}M x x =>，2{|40}{|2N x x x x =-=厖或2}x -…， {|2MN x x ∴=-…或0}(x >=-∞，2](0,)-+∞．故选：A ．2．（5分）在复平面内，复数(1)12i i z i+=-所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：在复平面内，复数(1)(1)(12)3112(12)(12)55i i i i z i i i i +-+===----+所对应的点3(5-，1)5-位于第三象限． 故选：C ．3．（5分）2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是( )A ．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B ．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C ．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D ．甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差【解答】解：由茎叶图可知： ①7582838793845x ++++==甲，7783848591845x ++++==乙，即x x =乙甲，故选项A 错误，②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B 错误， ③由选项B 可知，选项C 错误，④因为(2222221216[(7584)(8284)(8384)(8784)9384)55S ⎤=-+-+-+-+-=⎦甲， (2222221100[(7784)(8384)(8484)(8584)9184)2055S ⎤=-+-+-+-+-==⎦乙，即22S S >乙甲，即选项D 正确， 故选：D ．4．（5分）已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5(a = ) A ．8B ．16C ．32D ．64【解答】解：等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-， 则321114(1)222q q q ⨯⨯⨯=⨯-， 解得24q =，42511482a a q ∴==⨯=，故选：A ．5．（5分）已知函数22()(1)f x ax a x x=+-+是奇函数，则曲线()y f x =在1x =处的切线得倾斜角为( ) A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【解答】解：函数22()(1)f x ax a x x=+-+是奇函数， 可得()()f x f x -=-，可得0a =，2()f x x x=+， 22()1f x x '=-， 即有曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为121k =-=-， 可得切线的倾斜角为34π，故选：B ．6．（5分）在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,AB a AD b ==，则(FB = ) A ．3142a b -+B ．1324a b +C ．1324a b -D ．3142a b -【解答】解：由题可知，111113131()()222224242FB AB AF AB AE AB AD DE AB AD AB AB AD a b=-=-=-+==--=-=-．故选：D ．7．（5分）如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．(8π+B ．(9π+C ．(8π+D ．(9π+【解答】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成， 圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：212224(82S ππππ=⨯++⨯⨯=+．故选：A ．8．（5分）十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为( )A ．15B ．14 C ．13D ．12【解答】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，如所示，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故()13CD P M ==劣弧的长圆的周长，故选：C ．9．（5分）已知函数()1af x lnx x=+-有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，0]{1}B ．[0，1]C ．(-∞，0]{2}D ．[0，2]【解答】解：函数()1a f x lnx x =+-，221()a x af x x x x-∴'=-+=，0x >， 当0a …时，2()0x af x x-'=>恒成立，()f x 是增函数， x →+∞时，()f x →+∞，f （1）10a =-<，函数()1af x lnx x=+-有且仅有一个零点； 当0a >时，令()0f x '>，解得：x a >， 令()0f x '<，解得：x a <，故()f x 在(0,)a 递减，在(,)a +∞递增，故只需()min f x f =（a ）0lna ==，解得：1a =， 综上：实数a 的取值范围为(-∞，0]{1}． 故选：A ．10．（5分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M ．若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为( )A B C D 【解答】解：1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，点1F 关于直线:AB bx ay ab -=的对称点M ，且212MF F F ⊥，可得2MF 的方程为x c =， 1MF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)ac M c b-， 1MF 的中点为(0,)ac b -，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b a c ==-，1ce a=>， 可得210e e +-=，解得e =故选：C ．11．（5分）已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>在区间[,]43ππ-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为( ) A ．8[,7)3B ．8[,4)3C ．20[4,)3D ．20(,7)3【解答】解：函数()cos (0)f x x x ωωω+>， 2sin()6x πω=+．令：6x t πω+=，所以：()2sin f x t =， 在区间[,]43ππ-上恰有一个最大值点和最小值点，则：函数2sin y t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间[,]4636πωπωππ-++， 则：3246232362ππωπππωπππ⎧-<-+<-⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得：8203314ωω⎧<⎪⎨⎪<<⎩…，即：843ω<…．故选：B ．12．（5分）如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ===，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )ABC ．52D ．54【解答】，1的长方体（如下图）由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL，可得KL KN + 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin sin sin HFB LKN θ=∠=∠，算得sin θ，2()2MNKL NK KL S NK KL sin NKL +∴=⋅⋅∠=四边形…， 当且仅当NK KL =时取等号． 故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分. 13．（5分）设实数x ，y 满足23,12,4,x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…则1y x -的最大值为 2 ． 【解答】解：由实数x ，y 满足23,12,4,x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…作出可行域如图，联立24x x y =⎧⎨+=⎩，得(2,2)A ，由1y z x =-，而2221DA k ==-． ∴目标函数1yx -的最大值为2． 故答案为：2．14．（5分）已知双曲线2222:1x y C a b-=，且圆22:(2)1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点．若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为 2213x y -= ．【解答】解：根据题意得：圆22:(2)1E x y -+=的圆心(2,0)F ，半径为1，双曲线渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±-=，以点F 为圆心，半径为1的圆与双曲线C 的渐近线相切，且224a b =+，∴圆心F到渐近线的距离1d b ==，可得a =所以双曲线方程为：2213x y -=．故答案为：2213x y -=．15．（5分）精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作．若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有 72 种．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①，只有甲一名男性工作人员派到A 地区：需要在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A 地区，将剩下的3名男性工作人员分成2组，与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B 、C 两个地区，此时有1222332236C C A A ⨯⨯⨯=种派驻方法； ②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A 地：需要在3名男性工作人员中任选1人，在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A 地区，将剩下的2名男性工作人员与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B 、C 两个地区，此时有1122332236C C A A ⨯⨯⨯=种派驻方法； 则一共有363672+=种派驻方法； 故答案为：72．16．（5分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13a =，当2n …时，有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使得122019m S S S ⋯…成立的正整数m 的最小值为 1009 ． 【解答】解：1122n n n n n S S S S na --+-=， 11122()n n n n n n S S S S n S S ---∴+-=-， 112(21)(21)n n n n S S n S n S --∴=+--，∴121212n n n n S S -+--=． 令21n nn b S +=，则12(2)n n b b n --=…．∴数列{}n b 是以111331b S a ===为首项，以2为公差的等差数列． 21n b n ∴=-．即2121n n n S +=-，得2121n n S n +=-． 12521321321m m S S S m m +∴⋯=⨯⨯⋯⨯=+-．由212019m +…，解得1009m …． 即正整数m 的最小值为1009． 故答案为：1009．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知ABC ∆中，AB，AC =D 在边AC 上，且2AD CD =，2ABD CBD ∠=∠．（1）求ABC ∠的大小； （2）求ABC ∆的面积． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）2AD CD =，设22ABD CBD θ∠=∠=．∴12BDC ABD S CD S AD ∆∆==， 1sin 2BDC S BC BD θ∆=，1sin 22BDA S ABBD θ∆=，AB=， ∴解得：cos θ=，可得：4πθ=， 3384ABC ABD CBD πθ∴∠=∠+∠==⋯分（2）在ABC ∆中，由余弦定理，可得：2222cos3AC AB AC AB BC θ=+-，因为AC =AB ，可得2223)cos 4BC BC π=+-， 解得2BC=，10⋯分 可得211sin321222ABC S AB BC θ∆===⋯分 18．（12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将DFC ∆和BCE ∆折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AEF -． （1）求证：EF PC ⊥；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）连接AC ，BD ，EF ，设EF AC O =，连接OP ．PC PE ⊥，PC PF ⊥，PEPF P =，PC ∴⊥平面PEF ，PC EF ∴⊥．四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，//EF BD ∴， EF AC ∴⊥，又PCAC C =，EF ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，EF PC ∴⊥．（2）由（1）可知EF ⊥平面PAC ，PC ⊥平面PEF ． 34OC AC ==，4PC =，PO ∴=1sin 3PO PCA OC ∴∠==，cos 3PCA ∠=11423PAC S ∆∴=⨯⨯=PA =，又12OE EF =11639E PAC V -∴=， 又12442PCE S ∆=⨯⨯=，设A 到平面PCE 的距离为h ，则116439A PCE V h -=⨯⨯=，解得43h =．∴直线PA 与平面PEC所成角的正弦值为h PA =．19．（12分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y 和月销售价(1i x i =，2，3，..10)-数据进行了统计分析，得到了下面的散点图（1）根据散点图判断，y c dlnx =+与y bx a =+哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额=月销售量x 当月售价） 参考公式、参考数据及说明：①对一组数据1(v ，1)w ，2(v ，2)w ，(n v ⋯，)n w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii w w vv v v β==--=-∑∑，ˆˆw v αβ=-． ②参考数据：表中i i u lnx =，110i i u u ==∑．③计算时，所有的小数都精确到0.01，如 4.06 1.40ln ≈．【解答】解：（1）y c dlnx =+更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型， 令u lnx =，先建立y 关于u 的线性回归方程，1011021()()27.54ˆ10.202.70()ii i ii yy u u duu ==---===--∑∑， ˆ 6.610.20 1.7524.45cy du =-=+⨯=， y ∴关于u 的线性回归方程为ˆ24.4510.20yu =-， 因此y 关于x 的回归方程为ˆ24.4510.20ylnx =-． （2）由题意得(24.4510.20)z xy x lnx ==-， 则[(24.4510.20)]14.2510.20z x lnx lnx '=-'=-， 令0z '=得14.2510.200lnx -=，得 1.40lnx ≈， 得 4.06x ≈，当(0,4.06)x ∈时，0z '>，此时z 单调递增，当(4.06,)x ∈+∞时，z 单调递减，故当 4.06x =时，z 取得最大值，即月销售量10.17y =（千件）时，月销售额预报值最大． 20．（12分）已知抛物线2:4C x y =，过点(2,3)的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P ．()l 当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）若Q 是抛物线C 上的动点，当||PQ 取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程． 【解答】解：（1）点A 的横坐标为4，(4,4)A ∴，易知此时直线l 的方程为122y x =+， 联立24122x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，或44x y =⎧⎨=⎩，(2,1)B ∴-． 由24x y =得2x y '=，所以2PA k =，直线PA 的方程为24y x =-，同理可得直线PB 的方程为1y x =--，联立；241y x y x =-⎧⎨=--⎩，可得12x y =⎧⎨=-⎩，故点P 的坐标为(1,2)-．（2）设1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ，由24x y =得2xy '=，所以12PA x k =， 所以直线PA 的方程为2111()42x x y x x -=-，即21124x x y x =-， 同理PB 的方程为22224x x y x =-，联立解得12(2x x P +，12)4x x，依题意直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为3(2)y k x -=-，由242(2)x yy k x ⎧=⎨-=-⎩得248120x kx k -+-=，易知△0>，因此124x x k +=，12812x x k =-， (2,23)P k k ∴-，∴点P 在直线30x y --=上，当||PQ 取得最小值时，即抛物线2:4C x y =上的点Q 到直线30x y --=的距离最小．设0(Q x ，20)4x ，Q 到直线30x y --=的距离2220000|3||(1)1|(1)x x x x d ---+-==， 所以当02x =时，d(2,1)Q ，易知过点Q 且垂直于30x y --=的直线方程为3y x =-+， 由330y x x y =-+⎧⎨--=⎩解得(3,0)P ，32k =，所以直线l 的方程为32y x =，综上，点Q 的坐标为(2,1)，直线l 的方程为32y x =．21．（12分）已知函数()(1)()x x f x e ae a x a R -=--+∈．（其中常数 2.71828e =⋯，是自然对数的底数）．（1）求函数()f x 极值点；（2）若对于任意01a <<，关于x 的不等式21[()]()a f x e a λ-<-在区间(1,)a -+∞上存在实数解，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）函数()(1)()x x f x e ae a x a R -=--+∈．(1)()()(1)x x xxxe e af x e ae a e---∴'=+-+=， ①当0a …时，∴函数()f x 的极小值点为0x =，无极大值点．②当01a <<时，∴函数()f x 的极大值点为x lna =，极小值点为0x =．③当1a =时，2(1)()0x xe f x e-'=…， ∴函数()f x 单调递增，即()f x 无极值点．④当1a >时，∴函数()f x 的极大值点为0x =，极小值点为x lna =．综上：当0a …时，函数()f x 的极小值点为0x =，无极大值点． 当01a <<时，函数()f x 的极大值点为x lna =，极小值点为0x =． 当1a =时，函数()f x 无极值点．当1a >时，函数()f x 的极大值点为0x =，极小值点为x lna =．（2）1x e x +…，当且仅当0x =时取等号，当01a <<时，10lna a <-<，∴当01a <<时，111a e a a ->+-=，10lna a ∴<-<，令g （a ）1lna a =-+，则1()1g a a'=-， 当01a <<时，g '（a ）0>，g ∴（a ）g <（1）0=，即1a lna ->，10a -<，10lna a ∴<-<，∴由（1）知01a <<时，()f x 在区间(1,0)a -上递减，在(0,)+∞上递增，()f x ∴在区间(1,)a -+∞上的最小值为(0)1f a =-，关于x 的不等式21[()]()a f x e a λ-<-在区间(1,)a -+∞上存在实数解，∴只需当01a <<时，关于a 的不等式21(1)()a a e a λ--<-恒成立，∴当01a <<时，10a e a -->，∴只需当01a <<时，不等式21(1)a a e aλ-->-恒成立即可， 令函数21(1)()x x F x e x--=-，01x <…， 则21(1)()x x F x e x--'=-，01x <…，112(1)(31)()()x x x e x F x e x -----∴'=-， 令函数1()(3)x x x e μ-=-在点(1,2)T 处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，如图所示，由题意得1(3)1x x e x --+…， 当且仅当1x =时，取等号，∴当01x <<时，()0G x >，∴当01x <<时，()0F x '<，()(0)F x F e ∴<=，即()F x e <，∴当01a <<时，不等式2(1)a a e eaλ->-恒成立，只需e λ…． 综上，实数λ的取值范围是[e ，)+∞．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．圆2C 的方程为22(2)4x y -+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0(0)θθρ=…．()l 求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程：（2）当002πθ<<时，射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，若||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．【解答】解：（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得1C 的普通方程为2214x y +=， 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=， 即222244413cos sin sin ρθθθ==++， 所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+， 由22(2)4x y -+=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得4cos ρθ=， 所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得220413M sin ρθ=+， 把0θθ=代入4cos ρθ=，得04cos N ρθ=，则||2||ON OM =，得2N M ρρ=，则224N M ρρ=， 即202016(4cos )13sin θθ=+，解得202sin 3θ=，201cos 3θ=，又002πθ<<，所以M ρ=，04cos N ρθ==， 所以△2M C N 的面积2222011||()sin 2223MC N OC N OC M N M S S S OC ρρθ=-=-=⨯=． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||||(1)f x x m x m m=-++>． （Ⅰ）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；（Ⅱ）证明：1()3(1)f x m m +-…． 【解答】解：（Ⅰ）当2m =时，1()|2|||2f x x x =-++； ①当12x -…时，原不等式等价于1(2)()32x x --+>，解得34x <-； ②当122x -<<时，原不等式等价于532>，不等式无解； ③当2x …时，原不等式等价于1(2)()32x x -++>，解得94x >， 综上，不等式()3f x >的解集为(-∞，39)(44-⋃，)+∞． （Ⅱ）证明：由题1()||||f x x m x m =-++， 0m >，11||m m m m∴+=+， 所以1()f x m m +…，当且仅当1[x m∈-，]m 时等号成立， 11111()(1)1(1)(1)11f x m m m m m m m m m m ∴+++=+=-++----…， 1m >，10m ->，1(1)11)1311m m m ∴-+++=--…， 1()3(1)f x m m ∴+-…．当2m =，且1[2x ∈-，2]时等号成立．。

(广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(一)理

(广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(一)理

客观题限时满分练(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0，1] C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：A ＝{x |x ＞0}＝(0，＋∞)，又因为y ＝x ＋1≥1，所以B ＝{y |y ≥1}＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0，1)．答案：C2．(2018·福州五校联考)若复数1－b i 2＋i (b ∈R)的实部与虚部相等，则b 的值为( )A ．－6B ．－3C ．3D ．6解析：1－b i 2＋i ＝（1－b i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝2－b －（2b ＋1）i 5.依题意得，2－b 5＝－（2b ＋1）5，解得b ＝－3.答案：B3．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x ，是周期为π的奇函数． 答案：A4．(2018·日照模拟)设a ＝20.1，b ＝lg 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c解析：因为a ＝20.1∈(1，2)，b ＝lg 52∈(0，1)，c ＝log 3 910＜0，所以a ＞b ＞c . 答案：D5．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7，则a 与b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7. 可得a 2－a·b ＝4－a·b ＝7，可得a·b ＝－3，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－32×3＝－12，由0≤〈a ，b 〉≤π，得〈a ，b 〉＝2π3.答案：C6．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由f (x )＝m ＋log 2x ＝0(x ≥1)， 得m ＝－log 2x ≤0，所以“m ＜0”是“函数f (x )(x ≥1)存在零点”的充分不必要条件． 答案：A7．(2018·武昌调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：由三视图知，商鞅铜方升为一圆柱和一长方体的组合体，依题意，得(5.4－x )×3×1＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6，解得x ＝1.6.答案：B8．已知在递增的等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2－4，a 3－2，a 7成等比数列，则S 10＝( ) A ．180 B ．190 C ．200 D ．210 解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ＞0)，因为a 2－4，a 3－2，a 7成等比数列，所以(a 3－2)2＝(a 2－4)a 7，即(2d ＋1)2＝(d －1)(3＋6d )，解得d ＝－12(舍去)或d ＝4.所以S 10＝3×10＋10×92×4＝210.答案：D9．(2018·青岛调研)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．2 D ．3解析：由OC →＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)，又△OAB 为等边三角形， 所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2. 因此OC →·OM →＝16(22＋2×22＋3×2)＝3.答案：D10．下列命题，其中说法错误的是( ) A ．双曲线x 22－y 23＝1的焦点到其渐近线距离为 3B ．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则¬p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x ＜2C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题D ．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α 解析：双曲线x 22－y 23＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x －2y ＝0的距离为d ＝|3·5－0|3＋2＝3，故A 正确．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则¬p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x ＜2，B 正确．若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 不正确．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，由a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中，如图，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α，故D 正确．答案：C11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 24－x 25＝1 D.y 25－x 24＝1 解析：易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以双曲线的右顶点是(2，0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝32，所以c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以该双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案：A12．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1＞0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )＜1lg x＋5的解集为( ) A ．(10，10) B ．(0，10) C ．(10，＋∞)D ．(1，10)解析：设g (x )＝f (x )－1x －5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2f ′（x ）＋1x2＞0，故函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，故g (x )＜0的解集为(0，1)，即f (x )＜1x＋5的解集为(0，1)．由0＜lg x ＜1，得1＜x ＜10，则所求不等式的解集为(1，10)． 答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影所示，则点A (－2，2)，B (2，－2)，C (2，10)，所以平面区域面积为S △ABC ＝12|BC |·h ＝12×(10＋2)×(2＋2)＝24.答案：2414．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则∫m 1x 2d x ＝________．解析：依题意m ＝T 5＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝3，则∫m 1x 2d x ＝∫31x 2d x ＝x 33|31＝263.答案：26315．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________． 解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)．因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2.答案：2 216．(2018·全国大联考)2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影．小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A 、B 、C 、D 的四张电影票放在编号分别为1、2、3、4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是C ； 乙说：第2个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是D ； 丙说：第4个盒子里面放的是D ，第2个盒子里面放的是C ； 丁说：第4个盒子里面放的是A ，第3个盒子里面放的是C . 小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半．” 可以推测，第4个盒子里面放的电影票为________．解析：甲说：“第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放C ”，(1)若第1个盒子里放的是B 正确，则第3个盒子里放C 错误，由乙知，第3个盒子放D 正确，结合丙知第2个盒子里放C ，结合丁，第4个盒子里面放的是A 正确．(2)若第1个盒子放的是B 错，则第3个盒子里放C 正确．同理判断第4个盒子里面放的是D .故可以推测，第4个盒子里放的电影票为A或D. 答案：A或D。

(广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(三)理

(广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(三)理

客观题限时满分练(三)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |y ＝－2－x }，B ＝{x |2x＞1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0＜x ≤2} B ．{x |1＜x ≤2} C ．{x |x ＞0}D ．{x |x ≤2}解析：易知A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ＞0}． 所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}． 答案：A2．已知复数z ＝5i4＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －＝( )A.45i ＋35 B ．－45i ＋35C.45＋35i D ．－45－35i解析：z ＝5i 4＋3i ＝5i （4－3i ）（4＋3i ）（4－3i ）＝15(4i ＋3)＝35＋45i ，所以z －＝35－45i.答案：B3．已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12 解析：由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列．因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.答案：A4．(2018·全国大联考)已知角α的终边经过点P (2，m )(m ≠0)，若sin α＝55m ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－3π2＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45解析：因为角α的终边过点P (2，m )(m ≠0)， 所以sin α＝m4＋m2＝55m ，则m 2＝1. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－32π＝cos 2α＝1－2sin 2α＝35.答案：C5．某产品广告宣传费与销售额的统计数据如下表，根据数据表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝2，据此模型预测广告费用为9千元时，销售额为( )A.17万元 B ．18解析：易知x －＝4，y －＝7，所以a ^＝7－2×4＝－1，则y ^＝2x －1， 当x ＝9时，y ^＝2×9－1＝17. 答案：A6．(2018·烟台质检)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10解析：令x ＝1，得3n＝243，所以n ＝5.又T r ＋1＝C r5(x 3)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 5x 15－4r，令15－4r ＝7，所以r ＝2， 所以展开式中x 7的系数为22C 25＝40. 答案：B7．函数f (x )＝x 2－2ln |x |的图象大致是( )解析：f (x )＝x 2－2ln |x |为偶函数，排除D ； 当x ＞0时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x＝2（x ＋1）（x －1）x，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，排除B ，C ，只有A 满足．答案：A8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2解析：由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D ­BCC 1B 1，最长棱为DB 1，且DB 1＝DC 2＋BC 2＋BB 21＝4＋4＋4＝2 3. 答案：B9．(2018·烟台一模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的左支分别交于点A 、B ，若OA →＝12(OB →＋OF 2→)，则该双曲线的离心率为( )解析：由OA →＝12(OB →＋OF 2→)，知点A 是BF 2的中点，连接BF 1，易知AO 是△BF 1F 2的中位线，在Rt △BF 1F 2中，∠BF 2F 1＝60°.所以|BF 2|＝|F 1F 2|cos 60°＝4c ，且|BF 1|＝23c .由双曲线定义，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，则a ＝(2－3)c . 故该双曲线的离心率e ＝c a ＝12－3＝2＋ 3.答案：C10．(2018·湛江质检)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，y ≤x ，3x －y ≤6，则z ＝x 2＋y 2的最小值是( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析：作不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)．因为直线x ＋y ＝2与y ＝x 垂直，所以点A (1，1)到原点O 的距离最小，因此z ＝x 2＋y 2的最小值为|OA |2＝2.答案：C11．(2018·衡水中学检测)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，11题图是解决这类问题的程序框图，若输入n ＝24，则输出的结果为( )解析：由初始值n ＝24，S ＝24. 经过一次循环后，n ＝16，S ＝40. 经过两次循环后，n ＝8，S ＝48.经过三次循环后，n ＝0，S ＝48.退出循环． 输出S ＝48－1＝47. 答案：B12．(2018·雅礼中学质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＜23b 在R 上单调递增，则c 2b －3a 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在x ∈R 恒成立． 所以a ＞0，且Δ＝4b 2－12ac ≤0，则b 2≤3ac ，c ≥b 23a＞0.又a ＜23b ，知2b －3a ＞0，则3a (2b －3a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b －3a 22＝b 2.故c2b －3a ≥b 23a （2b －3a ）≥b 2b2＝1. 答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________． 解析：设|OC →|＝r ，则OC →＝(－32r ，12r )，由已知，OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC →＝－4OA →＋λOB →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1.答案：114．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若PA ＝26，则△OAB 的面积为________．解析：如图，由题意可知△PAC ，△PBC ，△PDC 均为直角三角形，取PC 的中点O ，则O 到P ，A ，B ，C ，D 的距离相等，所以点O 为过P ，A ，B ，C ，D 的球的球心，由已知可得OA ＝OB ＝23， 所以△AOB 是正三角形，所以S ＝12×23×23×32＝3 3.答案：3 315．(2018·江南十校联考)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b ＝1，c ＝3，且a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12，则a ＝________．解析：由a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12且b ＝1，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝b2.由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝12⇒sin B ＝12.又b ＝1＜c ＝3，知B 为锐角，则B ＝π6.所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π6，即a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.答案：1或216．(2018·潍坊调研)已知动点P 在椭圆x 249＋y 240＝1上，若点A 的坐标为(3，0)，点M 满足|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．解析：由PM →·AM →＝0，知PM ⊥AM ， 又A (3，0)，且|AM →|＝1，所以点M 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝1，则PM 是圆的切线． 故|PM →|＝|PA |2－|AM |2＝|PA |2－1. 当|PA |最短时，则|PM →|最小．由椭圆的几何性质，易知|PA |min ＝a －c ＝4.所以|PM →|的最小值为42－1＝15. 答案：15。

(广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(六)理

(广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(六)理

客观题限时满分练(六)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知实数集R ，集合M ＝{x |log 2x ＜3}，N ＝{x |x 2－4x －5＞0}，则M ∩(∁R N )＝( ) A ．[－1，8) B ．(0，5] C ．[－1，5) D ．(0，8) 解析：集合M ＝{x |0＜x ＜8}，N ＝{x |x ＞5或x ＜－1}， ∁R N ＝{x |－1≤x ≤5}，所以M ∩(∁R N )＝(0，5]． 答案：B2．若复数z 满足z ＝4－2ii －1(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为1B ．|z |＝10 C.z －＝－3＋iD ．复平面内与复数z 对应的点在第二象限 解析：z ＝4－2i i －1＝12(4－2i)(－1－i)＝－3－i ，所以z －＝－3＋i ，A 、B 、D 均不正确． 答案：C3．已知a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c解析：0＜a ＝20.9＜2，c ＝log 123＝－log 23＜0.又b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3233＝9＞8，则b ＞2.故b ＞a ＞c . 答案：C4．(2018·邯郸质检)下列说法中正确的是( ) A ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分条件 B ．命题p ：∀x ∈R ，2x＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0＜0C ．命题“若a ＞b ＞0，则1a ＜1b”的逆命题是真命题D ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”成立的充分不必要条件解析：对于选项A ，由a ＞1，b ＞1，易得ab ＞1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定为特殊命题，所以命题p ：∀x ∈R ，2x＞0的否定为¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a ＜1b，则a ＞b ＞0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然为假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a ＞b ”并不能推出“a 2＞b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．答案：A5．已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是( )A.12B.1πC.2πD.π4解析：y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，其图象如图所示，∫π0⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos 2x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x |π＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π2π＝12.答案：A6．已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ； ③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β. 其中正确的命题是( )A ．①④B ．③④C ．①②D ．①③解析：对于①，若α∥β，m ⊥α，l ⊂β，则m ⊥l ，故①正确，排除B.对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α又l ⊂β，所以α⊥β.故④正确．答案：A7．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( )A ．－2B ．－1 C.12 D.23解析：由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2， 即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2 ，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1. 答案：B8．(2018·广州质检)已知锐角△ABC 的内角，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，3a ＝6sin A ，△ABC 的面积S ＝3，则a ＋b ＝( ) A.21 B.17 C.29 D ．5解析：在△ABC 中，c ＝3，3a ＝6sin A ，所以c sin C ＝a sin A ＝63，则sin C ＝32，C ＝π3.又S ＝12ab sin π3＝3，知ab ＝4.由余弦定理得，32＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，所以(a ＋b )2＝9＋3ab ＝21，故a ＋b ＝21. 答案：A9．(2018·全国大联考)若执行下图的程序框图，则输出的结果为( )A ．180B ．182C ．192D ．202 解析：循环一次后，S ＝2，m ＝2. 循环两次后，S ＝7，m ＝3.循环三次后，S ＝20，m ＝4. 循环四次后，S ＝61，m ＝5.循环五次后，S ＝182，m ＝6.不满足S ＜120？退出循环体，输出S ＝182. 答案：B10．(2018·全国大联考)已知函数f (x )＝3cos(ωx －π2)－cos ωx (0＜ω＜3)的图象过点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向右平移2π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以π3ω－π6＝k π(k ∈z )，ω＝3k ＋12.又0＜ω＜3，取ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6，当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3－π6的图象， 即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 2为偶函数． 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－1，3]D ．(－∞，3]解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0，6]， 当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 是增函数，f (x )∈[－2，1]．所以f (x )的值域是[－2，6]．若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6. 所以－1≤a 2－2a ≤3，解得－1≤a ≤3. 答案：C12．(2018·东莞调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P ，Q ，若FP →＝3FQ →，则双曲线的离心率为( )A.62 B.52 C. 3 D.102解析：不妨设F (－c ，0)，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y ＝ab(x ＋c )，与y ＝－b a x 联立，得x Q ＝－a 2c ，与y ＝b a x 联立得x P ＝a 2cb 2－a2，因为FP →＝3FQ →，所以a 2c b 2－a 2＋c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ＋c .所以a 2c 2＝(c 2－2a 2)(2c 2－3a 2)，两边同除以a 4，得e 4－4e 2＋3＝0，则e 2＝3或e 2＝1， 又e ＞1，知e ＝ 3. 答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ＝________．解析：原式可化为：2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）22（cos θ－sin θ）＝3sin 2θ，即2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，两边同时平方得， 4＋4sin 2θ＝3sin 22θ， 解得sin 2θ＝－23.答案：－2314．某几何体的三视图(图中的体积等于________．解析：由三视图知，该几何体是由一长方体、一半球与一个圆锥构成的组合体．V 长方体＝3×2×2＝12，V 半球＝12×43π×13＝23π. V 圆锥＝13·π×12×1＝π3，故该几何体的体积V ＝12＋23π＋π3＝12＋π.答案：π＋1215．(2018·青岛质检)已知点P 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，2x ＋y ≥2，x ≤1，表示的平面区域内，已知两点A (3，2)，B (2，1)，则△PAB 面积的最大值为________．解析：作不等式组表示的平面区域如图阴影部分，且|AB |＝2，又k AB ＜2，所以点C 到AB 所在直线的距离最大， 易知直线AB 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2x ，得点C (1，2)．所以C 点到直线AB 的距离d ＝|1－2－1|2＝ 2.故△PAB 面积的最大值是12·|AB |·2＝1.答案：116．(2018·潍坊二模)直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若sin ∠ABF ＝2sin ∠BAF ，则k 的值是________．解析：由y 2＝8x 知，焦点F (2，0)，直线y ＝k (x ＋2)过定点(－2，0)，在准线x ＝－2上， 过A 、B 作AC ，BD 垂直于准线x ＝－2交于C 、D 点． 则|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |. 因为sin ∠ABF ＝2sin ∠BAF ， 所以|AF |＝2|BF |，则|AC |＝2|BD |， 故B 为线段AE 中点， 所以|OB |＝12|AF |＝|BF |，故点B (1，22)， 因此k ＝22－01－（－2）＝223.答案：223。

2019年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)

2019年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)

2019年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，）C．（）D．（﹣∞，）∪（1，+∞）2．（5分）己知集合A＝{x|1﹣＜0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜2或x≥6}B．{x|x≤2或x≥6}C．{x|x＜2或x≥10}D．{x|x≤2或x≥10}3．（5分）某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝（）A．96B．72C．48D．364．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出z的值是（）A．21B．22C．23D．245．（5分）己知点A与点B（1，2）关于直线x+y+3＝0对称，则点A的坐标为（）A．（3，4）B．（4，5）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣5，﹣4）6．（5分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望Eξ＝（）A．B．1C．D．27．（5分）已知：sin，其中，则tan2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x的切线，切点为E，延长FE交双曲线右交于点P，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）若曲线y＝x3﹣2x2+2在点A处的切线方程为y＝4x﹣6，且点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0）上，则的最小值为（）A．4B．3+2C．6+4D．810．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，先把函数y＝f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）的图象的一条对称轴为（）A．x＝B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣11．（5分）已知点P在直线x+2y﹣l＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，PQ的中点为M（x0，y0），且1≤y0﹣x0≤7，则的取值范围为（）A．[2，]B．[﹣]C．[﹣]D．[﹣2.]12．（5分）若点A（t，0）与曲线y＝e x上点P的距离的最小值为2，则实数t的值为（）A．4﹣B．4﹣C．3+D．3+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若，是夹角为60°的两个单位向量，向量＝2+，则||＝．14．（5分）若（ax﹣l）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是．15．（5分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S ＝，其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C 的对边．若sin C＝2sin A cos B，且b2，1，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为．16．（5分）有一个底面半径为R，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a的最大值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）己知{a n}是递增的等比数列，a2+a3＝4，a l a4＝3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：根据上表的数据得到如下的散点图．（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（ii）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．（2）若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：＝27，，，＝7759.6，，参考公式：相关系数r＝＝回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝90°，且AD＝PB．（l）求证：平面P AD⊥平面ABCD；（2）若AD⊥PB，求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系中，动点M分别与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的连线的斜率之积为﹣．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设过点（﹣1，0）的直线与轨迹C交于P，Q两点，判断直线x＝﹣与以线段PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣（k∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x l，x2，求k的取值范围，并证明x1+x2＞2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2p cosθ+8．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．己知函数f（x）＝|2x﹣l|﹣a．（1）当a＝l时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．2019年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：z＝m（3+i）﹣（2+i）＝（3m﹣2）+（m﹣1）i，复数对应点的坐标为（3m﹣2，m﹣1），若对应点的坐标在第三象限，则得得m＜，即实数m的取值范围是（﹣∞，），故选：B．2．【解答】解：由1﹣＜0，即＜0，即（x﹣10）（x﹣2）＜0，解得2＜x＜10，即A{x|2＜x＜10}，则∁R A＝{x|x≤2或x≥10}，故选：D．3．【解答】解：设样本中A型号车为x辆，则B型号为（x+8）辆，则＝，解得x＝16，即A型号车16辆，则＝，解得n＝72．故选：B．4．【解答】解：x＝1，y＝2，则z＝x+y＝1+2＝3，z＜20是，x＝2，y＝3，z＝x+y＝2+3＝5，z＜20是，x＝3，y＝5，z＝x+y＝3+5＝8，z＜20是，x＝5，y＝8，z＝x+y＝5+8＝13，z＜20是，x＝8，y＝13，z＝x+y＝8+13＝21，z＜20否，输出z＝21，故选：A．5．【解答】解：设点A（x，y）．∵点A与点B（1，2）关于直线x+y+3＝0对称，∴，解得x＝﹣5，y＝﹣4．则点A的坐标为（﹣5，﹣4）．故选：D．6．【解答】解：随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝．所有随机变量ξ的分布列为：所以ξ的期望E（ξ）＝0×+1×+2×＝1．故选：B．7．【解答】解：∵把sinα+cosα＝，①，两边平方得：（sinα+cosα）2＝，即1+2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝﹣，∵，∴sinα＞0，cosα＜0，sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝，解得：sinα﹣cosα＝，②，①+②得：2sinα＝，即sinα＝，cosα＝﹣，则tanα＝﹣，tan2α＝＝．故选：D．8．【解答】解：由若，可得E为PF的中点，令右焦点为F′，O为FF′的中点，则|PF′|＝2|OE|＝a，由E为切点，可得OE⊥PF，即有PF′⊥PF，由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF′|＝2a，即|PF|＝|PF′|+2a＝a，在Rt△PFF′中，|PF|2+|PF′|2＝|FF′|2，即a2+a2＝4c2，即c＝a，则离心率e＝＝．故选：A．9．【解答】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或s＝﹣，t＝﹣，由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s＝﹣，t＝﹣，舍去），则＝（2m+2n）（）＝2（3++）≥2（3+2）＝6+4，当且仅当n＝m时，取得最小值6+4，故选：C．10．【解答】解：由图象可知，得函数的周期T＝4×（3.5π﹣2π）＝6π，∴T＝6π．则ω＝＝＝．∴函数解析式为f（x）＝2sin（x+φ）．由f（2π）＝2，得2sin（φ+）＝2，∴可得：φ+＝2kπ+，k∈Z，可得：φ＝2kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜π，∴当k＝0时，φ＝﹣．则f（x）的解析式是：f（x）＝2sin（x﹣）．把函数y＝f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数解析式为：y＝2sin（x﹣）．再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则：g（x）＝2sin[（x﹣）﹣]＝2sin（x﹣）．令x﹣＝kπ+，k∈Z，可得：x＝kπ+，k∈Z，可得：当k＝﹣1时，可得函数y＝g（x）的图象的一条对称轴为x＝﹣．故选：C．11．【解答】解：∵直线x+2y﹣1＝0与x+2y+3＝0平行，∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1＝0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1＝0，而满足不等式1≤y0﹣x0≤7，如图，表示线段AB上的点与原点连线的斜率，A（﹣1，0），联立，解得B（﹣5，2），∵，∴的取值范围为[﹣，0]．故选：B．12．【解答】解：y＝e x的导数为y′＝e x，设P（m，e m），可得过P的切线的斜率为e m，当AP垂直于切线时，AP取得最小值2，可得＝﹣，且＝2，可得（m﹣t）2﹣（m﹣t）﹣12＝0，解得m﹣t＝﹣3（4舍去），即有e2m＝t﹣m＝3，解得m＝，t＝3+，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：，；∴＝；∴．故答案为：．14．【解答】解：二项展开式的通项T r+1＝C5r（ax）5﹣r（﹣1）r＝（﹣1）r a5﹣r C5r x5﹣r 令5﹣r＝3可得r＝2∴a3C52＝80∴a＝2故答案为：215．【解答】解：∵sin C＝2sin A cos B，∴c＝2a cos B＝2a•，可得：a＝b，∵b2，1，c2成等差数列，∴2＝b2+c2，∴c2＝2﹣b2＝2﹣a2，∴△ABC的面积S＝＝＝＝，∴a2＝时，△ABC的面积S的最大值为．故答案为：．16．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝R，因为SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，∴∠PBO＝30°．所以tan30°＝，即r＝，即四面体的外接球的半径为r＝，另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝＝，∴r＝，又知道r＝，所以＝，所以a＝．故填：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解法1：（1）设等比数列{a n}的公比为q，因为a2+a3＝4，a1a4＝3，所以……………………………………………………………………………………（2分）解得或………………………………………………………………………………（4分）因为{a n}是递增的等比数列，所以，q＝3．……………………………………………………………………………………（5分）所以数列{a n}的通项公式为．………………………………………………………………（6分）解法2：（1）设等比数列{a n}的公比为q因为a2+a3＝4，a1a4＝a2a3＝3，所以a2，a3是方程x2﹣4x+3＝0的两个根．…………………………………………………………（2分）解得或…………………………………………………………………………………（4分）因为{a n}是递增的等比数列，所以a2＝1，a3＝3，则q＝3……………………………………………………………………（5分）所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n﹣2……………………………………………………（6分）（2）由（1）知．………………………………………………………………………………（7分）则，①…………………………………………（8分）在①式两边同时乘以3得，，②………………………………………（9分）①﹣②得，…………………………………………………（10分）即，…………………………………………………………………………（11分）所以．………………………………………………………………………（12分）18．【解答】解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图知，（ⅰ）；………………………………（2分）（ⅱ）回归系数r＝＝…………（3分）＝＝………………………………（4分）＝；……………………………（5分）因为，，所以r≈0.98；…………………………………（6分）由样本相关系数r≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强；……………………（7分）（2）因为回归方程为，即，所以；【或利用＝＝】……………………………（10分）所以y关于x的线性回归方程为，将x＝50代入线性回归方程得；………………………………（11分）所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%．…………………………………（12分）19．【解答】证明：（1）取AD中点O，连结OP，OB，BD，因为底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以AD＝AB＝BD．因为O为AD的中点，所以OB⊥AD．………………………………………（1分）在△APD中，∠APD＝90°，O为AD的中点，所以．设AD＝PB＝2a，则，PO＝OA＝a，因为PO2+OB2＝a2+3a2＝4a2＝PB2，所以OP⊥OB．………………………………………（2分）因为OP∩AD＝O，OP⊂平面P AD，AD⊂平面P AD，所以OB⊥平面P AD．……………………………………………………………………………………（3分）因为OB⊂平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD．…………………………………………………………………………（4分）解：（2）解法1：因为AD⊥PB，AD⊥OB，OB∩PB＝B，PB⊂平面POB，OB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB．所以PO⊥AD．由（1）得PO⊥OB，AD⊥OB，所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直．………………………（5分）以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．……………………………………………………………（6分）设AD＝2，则A（1，0，0），D（01，0，0），B（0，，0），P（0，1），………………………………（7分）所以＝（﹣1，0，﹣1），＝（0，，﹣1），＝（﹣2，0，0），………………………………（8分）设平面PBD的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝1，得＝（﹣）．…………………………………………………………………………………（9分）设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝1，则＝（0，1，）．……………………………………………………………………………………（10分）设二面角D﹣PB﹣C为θ，由于θ为锐角，所以cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝，……………………………………………………………………………（11分）所以二面角D﹣PB﹣C的余弦值为．…………………………………………………………（12分）解法2：因为AD⊥PB，AD⊥OB，OB∩PB＝B，PB⊂平面POB，OB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB．所以PO⊥AD．………………………………………（5分）所以PO＝a，PD＝．过点D作DH⊥PB，H为垂足，过点H作HG∥BC，交PC于点G，连接DG，……（6分）因为AD⊥PB，BC∥AD，所以BC⊥PB，即HG⊥PB．所以∠DHG为二面角D﹣PB﹣C的平面角．………（7分）在等腰△BDP中，BD＝BP＝2a，PD＝，根据等面积法可以求得DH＝a．…………………………………………………………………（8分）进而可以求得PH＝a，所以HG＝，PG＝．…………………………………………………………………………（9分）在△PDC中，PD＝，DC＝2a，PC＝2a，所以cos∠DPC＝＝．在△PDG中，PD＝，PG＝a，cos∠DPC＝，所以DG2＝PD2+PG2﹣2×PD×PG×cos∠DPG＝a2，即DG＝a．…………………………（10分）在△DHG中，DH＝，HG＝，DG＝a，所以cos∠DHG＝＝，………………………………………………………………（11分）所以二面角D﹣PB﹣C的余弦值为．…………………………………………………………（12分）20．【解答】解：（1）设动点M的坐标为（x，y），∵（x≠﹣2），（x≠2），∴．整理得．∴动点M的轨迹C的方程（x≠±2）；（2）过点（﹣1，0）的直线为x轴时，显然不合题意．∴可设过点（﹣1，0）的直线方程为x＝my﹣1，设直线x＝my﹣1与轨迹C的交点坐标为P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣3＝0．∵△＝（﹣2m）2+12（m2+2）＞0，由韦达定理得，．．∴PQ的中点坐标为N（）．∵|PQ|＝＝＝．点N到直线x＝﹣的距离为d＝．∵＞0，即d＞，∴直线x＝﹣与以线段PQ为直径的圆相离．21．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx﹣（k∈R）．∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝＝，x＞0．…………………………………………（1分）当k≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…………………………………（2分）当k＜0时，由f′（x）＝0，得x＝（负根舍去），当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，）上单调递减；在（）上单调递增．……………………………（3分）综上所述，当k≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当k＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增．………………………………（4分）（2）先求k的取值范围：由（1）知，当k≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．……………………………………………（5分）当k＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝ln+，要使函数f（x）有两个零点，首先f（x）min＝ln，解得﹣．………………（6分）∵﹣2k，且f（1）＝﹣k＞0，下面证明f（﹣2k）＝ln（﹣2k）﹣＞0．设g（k）＝ln（﹣2k）﹣，则g′（k）＝＝．∵k＞﹣，∴g′（k）＝＞＞＞0．∴g（k）在（0，﹣，0）上单调递增，∴f（﹣2k）＝g（k）＞g（﹣）＝ln＞0．∴k的取值范围是（﹣）．……………………………………………（7分）再证明x1+x2≥2：∵x1，x2是函数f（x）的两个零点，不妨设x1＜x2，令x2＝tx1，则t＞1．∴，即lnx2﹣lnx1＝．……………………………………………………（8分）∴lnt＝，即，﹣，t＞1．要证，即证（x 1+x2）2＞﹣8k．………………………………………………………（9分）即证，即证＞﹣8k．∵﹣，∴即证（﹣1）（1+t2）＜﹣8lnt，或证8lnt+（）（1+t2）＜0，（t＞0）．………（10分）设h（t）＝8lnt+（）（1+t）2，t＞1．即h（t）＝8lnt﹣t2﹣2t+，t＞1．∴t′（t）＝﹣＝＜0．∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，………………………………………………………………………（11分）∴h（t）＝8lnt+（﹣1）（1+t2）＜h（1）＝0，t＞1．∴x1+x2＞2．…………………………………………………………………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＝2．…………………………………………………………（1分）当时，直线l的直角坐标方程为y﹣＝tanα（x﹣2）．……………………………………（3分）因为ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，…………………………………………………………………………（4分）因为ρ2＝2ρcosθ+8，所以x2+y2＝2x+8．所以C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣8＝0．………………………………………………………（5分）（2）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣8＝0，将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得t2+（2+2cosα）t﹣5＝0．……………（6分）因为△＝（2+2cosα）2+20＞0，可设该方程的两个根为t1，t2，则，t1+t2＝﹣（2+2cosα），t1t2＝﹣5．……………………………………………………（7分）所以|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝4．…………………………………………………………（8分）整理得（+cosα）2＝3，故2sin（α+）＝．…………………………………………………………………………………（9分）因为0＜α＜π，所以＝或，α+＝解得或或π＝综上所述，直线l 的倾斜角为或．…………………………………………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解（1）当a＝1时，由f（x）＞x，得|2x﹣1|﹣1＞x+1．…………………………………………（1分）当x ≥时，2x﹣1﹣1＞x+1，解得x＞3．当x时，1﹣2x﹣1＞x+1，解得x ＜﹣．…………………………………………………………（4分）综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为{x|x＞3或x ＜﹣}．……………………………………（5分）（2）因为||2x﹣1|﹣|2x+1||≤|（2x﹣1）﹣（2x+1）|，………………………………………………（6分）即﹣2≤|2x﹣1|﹣|2x+1|≤2，则|2x﹣1|﹣|2x+1|≥﹣2．……………………………………………（7分）所以g（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+1|+|2x﹣1|≥﹣2+|2x﹣1|≥﹣2，…………………………………………（8分）当且仅当x ＝时等号成立．……………………………………………………………………………（9分）所以g（x）min＝﹣2．所以实数a的取值范围为（﹣2，+∞）．…………………………………………………………………（10分）第21页（共21页）。

2019年广东省广州市高考数学二模理科试题及参考答案

2019年广东省广州市高考数学二模理科试题及参考答案

试卷类型：A2021年广州市一般高中毕业班综合测试〔二〕数学〔理科〕2021.4本试卷共4页，21小题，总分值150分.考试用时120分钟.考前须知：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型〔A〕填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准运用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必需保持答题卡的整齐.考试完毕后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 假设复数满意 i，其中i为虚数单位，那么的虚部为A． B． C．i D．i2．假设函数是函数的反函数，那么的值为A． B． C． D．3．命题“对随意R，都有〞的否认是A．存在R，使得 B．不存在R，使得C．存在R，使得 D．对随意R，都有4. 将函数R的图象向左平移个单位长度后得到函数，那么函数A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数图1俯视图侧视图正视图33422225．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字及，另一张的正反面分别写着数字及，将两张卡片排在一起组成两位数，那么所组成的两位数为奇数的概率是 A ． B ． C ． D ． 6．设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，假设，那么椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．7．一个几何体的三视图如图1，那么该几何体的体积为A ．B ．C ．D ． 8．将正偶数按表的方式进展 排列，记表示第行第列的数，假设，那么的值为 A ． B ． C ． D ．表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分． 〔一〕必做题〔9～13题〕 9．不等式的解集为 . 10．的绽开式的常数项是第项，那么正整数的值为 . 11．四边形是边长为的正方形，假设，那么的值为 . 12．设满意约束条件假设目的函数的最大值为，那么的最大值为 .第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行第2行第3行第4行第5行… … … … … …a 重量/克频率组距0.0320.020.018453525155O 13．表示不超过的最大整数，例如.设函数，当N 时，函数的值域为集合，那么中的元素个数为 .〔二〕选做题〔14～15题，考生从中选做一题〕14．〔坐标系及参数方程选做题〕在平面直角坐标系中，直线为参数及 圆为参数相切，切点在第一象限，那么实数的值为 .15．〔几何证明选讲选做题〕在平行四边形中，点在线段上，且，连接，及相交于点，假设△的面积为 ，那么 △的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.〔本小题总分值12分〕 如图2，在△中，是边的中点，且，.(1) 求的值； 〔2〕求的值.图 17．〔本小题总分值12分〕一个盒子中装有大量形态大小一样但重量不尽一样的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量〔单位：克〕，重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图. 〔1〕求的值；〔2〕依据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； 〔注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，那么样本数据的平均值为.〕 〔3〕从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.18．〔本小题总分值14分〕如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面，，，.〔1〕求证：平面；〔2〕求直线及平面所成角的正切值.图19．〔本小题总分值14分〕数列的前项和为，且，对随意N，都有.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设数列满意，求数列的前项和.20．〔本小题总分值14分〕定点和直线，过点且及直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.(1) 求曲线的方程;(2) 假设点的坐标为, 直线R，且及曲线相交于两点，直线分别交直线于点. 试推断以线段为直径的圆是否恒过两个定点? 假设是，求这两个定点的坐标；假设不是，说明理由.21．〔本小题总分值14分〕函数R在点处的切线方程为.〔1〕求的值；〔2〕当时，恒成立，务实数的取值范围；〔3〕证明：当N，且时，.2021年广州市一般高中毕业班综合测试〔二〕数学〔理科〕试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案及评分标准指出了每道题要考察的主要学问和实力，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法及参考答案不同，可依据试题主要考察的学问点和实力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未变更该题的内容和难度，可视影响的程度确定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解容许得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考察根本学问和根本运算．共8小题，每题5分，总分值40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B C B C D A C二、填空题：本大题考察根本学问和根本运算，表达选择性．共7小题，每题5分，总分值30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9． 10． 11． 12． 13．14． 15．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．〔本小题总分值12分〕〔1〕解：在△中，，，∴. ……………4分〔2〕解：由〔1〕知，，且，∴. ……………6分∵是边的中点，∴.在△中，，………8分解得. ……………10分由正弦定理得，，……………11分∴. (12)分17．〔本小题总分值12分〕(1) 解：由题意，得，……………1分解得. ……………2分〔2〕解：个样本小球重量的平均值为〔克〕. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克. ……………4分〔3〕解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，那么.……………5分的取值为，……………6分，，，. ……………10分∴的分布列为：……………11分∴. ……………12分〔或者〕18．〔本小题总分值14分〕〔1〕证明：取的中点，连接，那么，∵∥平面，平面，平面平面，∴∥，即∥. ……………1分∵∴四边形是平行四边形. ……………2分∴∥，.在△中，，又，得.M O H FEDCB A ∴. ……………3分在△中，，，， ∴，∴. ……………4分∴，即. ∵四边形是正方形， ∴. ……………5分∵，平面，平面， ∴平面. ……………6分 〔2〕证法1：连接，及相交于点，那么点是的中点， 取的中点，连接，， 那么∥，.由〔1〕知∥，且， ∴∥，且. ∴四边形是平行四边形. ∴∥，且.……………7分由〔1〕知平面，又平面， ∴. ……………8分 ∵，平面，平面， ∴平面. ……………9分∴平面. ∵平面， ∴. ……………10分 ∵，平面，平面， ∴平面. ……………11分 ∴是直线及平面所成的角. ……………12分zyx MOHF E DC B A 在△中，. (13)分∴直线及平面所成角的正切值为. ……………14分证法2：连接，及相交于点，那么点是的中点，取的中点，连接，， 那么∥，.由〔1〕知∥，且，∴∥，且. ∴四边形是平行四边形.∴∥，且. ……………7分由〔1〕知平面，又平面， ∴. ∵，平面，平面， ∴平面. ∴平面. ……………8分以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，那么，，，.∴，，. ……………9分 设平面的法向量为，由，， 得，，得. 令，那么平面的一个法向量为. ……………10分设直线及平面所成角为， 那么. ……………11分 ∴，. ……………13分 ∴直线及平面所成角的正切值为. ……………14分19．〔本小题总分值14分〕〔1〕解法1：当时，，，……1分两式相减得，……………3分即，得. (5)分当时，，即. (6)分∴数列是以为首项，公差为的等差数列.∴. ……………7分解法2：由，得，……………1分整理得，，……………2分两边同除以得，. ……………3分∴数列是以为首项，公差为的等差数列.∴.∴. (4)分当时，. ……………5分又合适上式，……………6分∴数列的通项公式为. ……………7分〔2〕解法1：∵，∴. ……………9分∴，①，②……………11分①②得.……………13分∴. ……………14分解法2：∵，∴. (9)分∴.由，……………11分两边对取导数得，. ………12分令，得.……………13分∴. ……………14分20．〔本小题总分值14分〕〔1〕解法1：由题意, 点到点的间隔等于它到直线的间隔 ,故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线. ……………1分∴曲线的方程为. ……………2分解法2：设点的坐标为,依题意, 得,即, ……………1分化简得.∴曲线的方程为. ……………2分(2) 解法1: 设点的坐标分别为，依题意得，.由消去得，解得.∴. ……………3分直线的斜率，故直线的方程为. ……………4分令，得，∴点的坐标为. ……………5分同理可得点的坐标为. ……………6分∴. ……………7分∴. ……………8分设线段的中点坐标为，那么. ……………9分∴以线段为直径的圆的方程为.……………10分绽开得. (11)分令，得，解得或. ……………12分∴以线段为直径的圆恒过两个定点. ……………14分解法2：由〔1〕得抛物线的方程为.设直线的方程为，点的坐标为，由解得∴点的坐标为. …………3分由消去，得，即，解得或. ……………4分∴，.∴点的坐标为. (5)分同理，设直线的方程为，那么点的坐标为，点的坐标为. …………6分∵点在直线上，∴.∴. (7)分又，得，化简得. ……………8分设点是以线段为直径的圆上随意一点，那么，……………9分得，……………10分整理得，. ……………11分令，得，解得或. ……………12分∴以线段为直径的圆恒过两个定点. ……………14分21．〔本小题总分值14分〕〔1〕解：∵，∴.∵直线的斜率为，且过点，……………1分∴即解得. ……………3分〔2〕解法1：由〔1〕得.当时，恒成立，即，等价于.……………4分令，那么. ……………5分令，那么.当时，，函数在上单调递增，故.……………6分从而，当时，，即函数在上单调递增，故. ……………7分因此，当时，恒成立，那么. ……………8分∴所求的取值范围是. ……………9分解法2：由〔1〕得.当时，恒成立，即恒成立. (4)分令，那么.方程〔﹡〕的判别式.〔ⅰ〕当，即时，那么时，，得，故函数在上单调递减.由于，那么当时，，即，及题设冲突. …………5分〔ⅱ〕当，即时，那么时，.故函数在上单调递减，那么，符合题意. ………6分(ⅲ)当，即时，方程〔﹡〕的两根为，那么时，，时，.故函数在上单调递增，在上单调递减，从而，函数在上的最大值为. (7)分而，由〔ⅱ〕知，当时，，得，从而.故当时，，符合题意. ……………8分综上所述，的取值范围是. ……………9分〔3〕证明：由〔2〕得，当时，，可化为， (10)分又，从而，. ……………11分把分别代入上面不等式，并相加得，……………12分……………13分. ……………14分。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

客观题限时满分练(四)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合A ＝{x |x 2
＋2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2，－1] B ．(－2，3] C ．(－2，1]
D ．[－2，1]
解析：A ＝{x |x 2
＋2x －3≤0}＝[－3，1]，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}＝(－2，＋∞)，所以A ∩B ＝(－2，1]． 答案：C
2．设i 为虚数单位，若复数i 1＋i
的实部为a ，复数(1＋i)2
的虚部为b ，则复数z ＝a －b i 在复平面内的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：因为i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝12＋12i ，所以a ＝1
2，
因为(1＋i)2
＝2i ，所以b ＝2，
则z ＝a －b i 对应点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2，位于第四象限．
答案：D
3．下列命题中正确的是( )
A ．命题“存在x ∈R ，使得x 2
＋x ＋1＜0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2
＋x ＋1＜0” B ．若p 为真命题，q 为假命题，则(¬p )∨q 为真命题
C ．为了了解高考前高三学生每天的学习时间情况，现要用系统抽样的方法从某班50名学生中抽取一个容量为10的样本，已知50名学生的编号为1，2，3，…，50，若8号被选出，则18号也会被选出
D ．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝m ，则“n ⊂α，n ⊥m ”是“α⊥β”的充分条件
解析：选项A ，需要先换量词，再否定结论，故命题“存在x ∈R ，使得x 2
＋x ＋1＜0”的否定为“对任意x ∈R ，均有x 2
＋x ＋1≥0”，选项A 错误；选项B ，因为¬p 为假命题，q 为假命题，所以(¬p )∨q 为假命题，选项B 错误；选项C ，根据系统抽样的特点，从50名学生中抽取10人，需间隔5人抽取1人，8＋2×5＝18，18号会被选出，故选项C 正确；选项D ，根据线面垂直的判定定理可知，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线才能得出该直线与该平面垂直，故由n ⊥m 不能得到n ⊥β，进而不能得到α⊥β，故选项D 错误．
答案：C
4．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
解析：因为|a |＝1，a·b ＝－1，
所以a·(2a －b )＝2|a |2
－a·b ＝2×12
－(－1)＝3. 答案：B
5．(2018·河北“五个一”名校联盟测试)已知奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )，若当x ∈(－1，1)时，f (x )＝lg 1＋x
1－x
，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( )
A.
911 B.119 C ．－911 D ．－119
解析：因为f (x ＋1)＝f (1－x )，所以f (x )＝f (2－x )，又函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (2－
x )，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )为周期函数，周期为4.
当x ∈(－1，1)时，令f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝1，得x ＝911.
又f (2 018－a )＝f (2－a )＝f (a )，所以a 可以是9
11.
答案：A
6．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD ­A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4，2，3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×3
2
×2＝15.
答案：C
7．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1
100，设计了如图所示的程序框图，则在空白
框中应填入( )
A ．i ＝i ＋1
B ．i ＝i ＋2
C ．i ＝i ＋3
D ．i ＝i ＋4
解析：由程序框图的算法功能知执行框N ＝N ＋1i 计算的是连续奇数的倒数和，而执行框T ＝T ＋1
i ＋1计
算的是连续偶数的倒数和．
所以在空白执行框中应填入的命令是i ＝i ＋2. 答案：B
8．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *
，都有P n P n ＋1＝(1，2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )
A ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43
B ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34
C ．n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －23 D ．n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －12 解析：因为P n P n ＋1＝OP n ＋1－OP n →
＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)， 所以a n ＋1－a n ＝2.
所以{a n }是公差为2的等差数列． 由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－1
3
，
所以S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －43. 答案：A
9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )。

相关文档
最新文档