2016年北京中考专题---圆
中考数学常考的圆的六种题型
中考题中常考的圆的六种解题策略第一种场景：遇到弦。
轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。
例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答．【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC＝∠CBD，∵点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝12∠COD＝30°；故答案为：30；（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°-α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
北京中考专题《圆》(原卷版)
5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题11圆（共78题）一．填空题（共2小题）1．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB̂=CD̂，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．2．（2017•北京）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD̂=CD̂．若∠CAB＝40°，则∠CAD＝．二．解答题（共10小题）3．（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD 于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．4．（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；五年中考真题（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．5．（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．6．（2017•北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．7．（2016•北京）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AĈ于点D，过点D作⊙O 的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．9．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DÊ上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DÊ为△ABC的中内弧．例如，图1中DÊ是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC=2√2，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DÊ，并直接写出此时DÊ的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=12，求△ABC的中内弧DÊ所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DÊ，使得DÊ所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．10．（2018•北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．̂所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB̂于点M，连接MB，过点P 11．（2017•北京）如图，P是AB作PN⊥MB于点N．已知AB＝6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P 与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm0 2.0 2.3 2.10.90（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△P AN为等腰三角形时，AP的长度约为cm．12．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为√2，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．一．选择题（共19小题）1．（2020•怀柔区二模）如图，在⊙O中，A，B，P为⊙O上的点，∠AOB＝68°，则∠APB的度数是（）A．136°B．34°C．22°D．112°2．（2020•朝阳区三模）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．130πcm2B．120πcm2C．65πcm2D．60πcm23．（2020•石景山区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝125°，则∠BOD的度数为（）A．55°B．65°C．110°D．125°4．（2020•朝阳区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（）一年模拟新题A．50°B．65°C．75°D．130°5．（2020•西城区二模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（）A．√2B．2√2C．2√3D．46．（2020•门头沟区二模）如图，线段AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，如果AB＝4，AC＝2，那么∠ADC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．（2020•丰台区二模）如图，点A，B是⊙O上的定点，点P为优弧AB上的动点（不与点A，B重合），在点P运动的过程中，以下结论正确的是（）A．∠APB的大小改变B．点P到弦AB所在直线的距离存在最大值C．线段P A与PB的长度之和不变D．图中阴影部分的面积不变8．（2020•海淀区二模）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于90°，那么圆心O 到弦AB 的距离为（ ）A ．√2B ．2C ．2√2D ．3√29．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°10．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，CD ＝4，tan C =12，则AB 的长为（ ）A ．2.5B ．4C ．5D ．1011．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在△ABC 中，∠C ＝40°，∠A ＝60°．以B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；分别以D ，E 为圆心，大于12DE 长度为半径作弧，两弧交于点F ；作射线BP ，交AC 于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于M ；以P 为圆心，PM 的长为半径作⊙P ．则下列结论中，错误的是（ ）A ．∠PBA ＝40°B ．PC ＝PBC ．PM ＝MBD ．⊙P 与△ABC 有4个公共点12．（2020•海淀区校级二模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD ＝CD ＝2√3．则BC ̂的长为（ ）A ．π3B ．2π3C ．√3π3D ．2√3π313．（2020•海淀区校级模拟）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为（ ）A ．6B ．8C ．3√3D ．6√314．（2020•朝阳区模拟）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，当∠OBC ＝40°时，∠A 的度数是（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°15．（2020•青州市一模）如图，⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，半径OD ⊥弦BC 于D ，如果∠BAC ＝60°，那么OD 的长是（ ）A ．2B ．√3C ．√32D ．116．（2020•丰台区模拟）已知⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3是等圆，△ABP 内接于⊙O 1，点C ，E 分别在⊙O 2，⊙O 3上．如图，①以C 为圆心，AP 长为半径作弧交⊙O 2于点D ，连接CD ； ②以E 为圆心，BP 长为半径作弧交⊙O 3于点F ，连接EF ； 下面有四个结论： ①CD +EF ＝AB ②CD̂+EF ̂=AB ̂ ③∠CO 2D +∠EO 3F ＝∠AO 1B ④∠CDO 2+∠EFO 3＝∠P 所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．②③④17．（2020•丰台区三模）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠CDB ＝32°，则∠CBA 的度数为（ ）A ．68°B ．58°C ．64°D ．32°18．（2020•北京模拟）如图，抛物线y =19x 2−1与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C （0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接OE ，BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．3√22C ．52D ．319．（2020春•海淀区校级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝4√3，则⊙O 的直径的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二．填空题（共21小题）20．（2020•石景山区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，OA ＝3，∠OCA ＝40°，则阴影部分的面积为 ．21．（2020•怀柔区二模）扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 ．22．（2020•顺义区二模）如图，在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，画出了一个过格点A ，B 的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 cm ．（结果保留一位小数）23．（2020•海淀区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB∠ADB．（填“＞”，“＝”或“＜”）̂的长约为cm．（π取3.14，结果24．（2020•房山区二模）如图，扇形AOB，通过测量、计算，得AB保留一位小数）25．（2020•大兴区一模）将面积为225cm2的正方形硬纸片围成圆柱的侧面，则此圆柱的底面直径为cm （结果保留π）．26．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．27．（2020•东城区一模）如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为．28．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．29．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．30．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为．̂上两点，若∠D＝110°，则∠ABC＝31．（2020•海淀区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D是AB度．32．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．33．（2020•东城区校级模拟）我们知道任意三角形都存在内切圆．同样的，一些凸四边形也存在内切圆．我们规定：存在与凸四边形的三条边相切的圆叫四边形的伪内切圆．以下结论正确的是：．①凸四边形必存在伪内切圆；②当平行四边形只存在1个伪内切圆时，它的对角线一定相等；③矩形伪内切圆个数可能为1、2、4；④当且仅当四边形对角线互相垂直平分且相等时，该四边形的伪内切圆与内切圆重合．34．（2020•东城区校级模拟）如图，点C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠CAB＝25°，则∠ACD的度数为°．35．（2020•西城区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC ＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为．36．（2020•朝阳区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP＝x，若以点D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．37．（2020•西城区校级模拟）如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O 上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．38．（2020•丰台区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AĈ=CD̂，则∠ACD的度数是．39．（2020•丰台区模拟）如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC ＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为．40．（2020•朝阳区校级模拟）如图，tan∠1＝．三．解答题（共10小题）̂的中点，CA与⊙O相切于点A交BE延长于41．（2020•怀柔区二模）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB点C，过点A作AD⊥OC于点F，交⊙O于点D，交BC于点Q，连接BD．（1）求证：BD＝AF；（2）若BD＝2，求CQ的长．42．（2020•丰台区三模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝∠OCB＝90°，BA＝BC．以O为圆心，以OA 为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，①补全图形；②若AD̂=AĈ，求证：OF＝OB．43．（2020•怀柔区二模）如图，在半⊙O中，P是直径AB上一动点，且AB＝6，过点P作PC⊥AB交半⊙O 于点C，P为垂足，连接BC，过点P作PD⊥BC于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，PD的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9位置10 AP/cm0.370.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51 CP/cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65 PD/cm 1.40 1.96 2.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.390.890.48在AP，CP，PD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当CP＝2PD时，AP的长度约为．44．（2020•朝阳区三模）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若cos∠P AB=√55，BC＝2，求PO的长．45．（2020•丰台区三模）如图1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点，过点P作弦MN的垂线，交弧MN于点Q，连接MQ．已知MN＝6cm，设M、P两点间的距离为xcm，P、Q两点间的距离为y1cm，M、Q两点间的距离为y2cm．小轩根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm x/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24 4.90m6上表中m的值为．（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy（图2）中，函数y1的图象如图，请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点（x，y2），并画出函数y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△MPQ有一个角是60°时，MP的长度约为．（保留两位小数）46．（2020•石景山区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，D是弦AB的中点，点E在AB的延长线上，连接OC，OD，CE，∠CED+∠COD＝180°．（1）求证：CE是⊙O切线；（2）连接OB，若OB∥CE，tan∠CEB＝2，OD＝4，求CE的长．47．（2020•昌平区二模）如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径．（1）若∠ACB＝70°，求∠APB的度数；（2）连接OP，若AB＝8，BC＝6，求OP的长．48．（2020•门头沟区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB；（2）如果tan B=12，⊙O的直径是5，求AE的长．49．（2020•平谷区二模）如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A=34，求GF的长．50．（2020•密云区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接AD、BC．（1）求证：∠BCE＝∠CAD；（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．51．（2020•朝阳区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O 的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，tan E=43，求CD的长．52．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC 中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）设CD与OE的交点为F，若AB＝10，BC＝6，求OF的长．53．（2020•北京二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC于点E，交BC于点F．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若AB＝10，cos B=45，求EF的长．54．（2020•海淀区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．55．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC＝2CF，且DF=√3，求PE的长．56．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．57．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D 作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．58．（2020•海淀区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．59．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．60．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．61．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．62．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD̂=AĈ，①补全图形；②求证：OF＝OB．63．（2020•房山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，线段BC 上有一点P．（1）当点P在什么位置时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，补全图形并说明理由．（2）在（1）的条件下，当BP=√102，AD＝3时，求⊙O半径．64．（2020•海淀区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．（1）求证：∠ECB＝∠EBC；（2）连接BF，CF，若BF＝5，sin∠FBC=35，求AC的长．65．（2020•朝阳区校级模拟）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB＝2∠C；（2）若AB＝5，tan B=43，求DE的长．66．（2020•北京模拟）如图，AC是Rt△OAB斜边上的高，到点O的距离等于OA的所有点组成的图形记为G，图形G与OB交于点D，连接AD．（1）依题意补全图形，并求证：AD平分∠BAC；（2）如果OC＝6，tan B=34，求BD的长．。
2016年全国中考数学真题分类 与圆有关的位置关系(习题解析)
2016年全国中考数学真题分类与圆有关的位置关系一、选择题10．（2016安徽，10，4分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2 C．D．【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．18．（2016湖南湘西，18，4分）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；故选A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．11．（2016•四川凉山州，11，4分）已知，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是（）A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O2O2＜8【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5．∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．故选C．【点评】考查解一元二次方程﹣因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．6．(2016上海，6，4分)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边沉BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D 外，那么⊙D的半径长r的取值范围是( )A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【答案】B．二、填空题16. (2016四川泸州，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （1a -，0），C （1a +，0）（0a >），点P 在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是 .【答案】6（2016湖南永州，20，4分）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM=d ．我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m ．如d=0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m=4，由此可知：（1）当d=3时，m= 1 ；（2）当m=2时，d 的取值范围是 0＜d ＜3 ．【考点】直线与圆的位置关系．y xP A O D B C【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．【解答】解：（1）当d=3时，∵3＞2，即d＞r，∴直线与圆相离，则m=1，故答案为：1；（2）当m=2时，则圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为2，∴直线与圆相交或相切或相离，∴0＜d＜3，∴d的取值范围是0＜d＜3，故答案为：0＜d＜3．三、解答题24．（2016湖北省十堰市，24，10分）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA 的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明．（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．②由△DCA∽△DBC，得===，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DA•DB，得9k2=（4k﹣5）•4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO=90°，∴∠3+∠2=90°，∵AB是直径，∴∠1+∠B=90°，∴∠3=∠B．（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∴tan∠CFE=tan45°=1．②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，∴△DCA∽△DBC，∴===，设DC=3k，DB=4k，∵CD2=DA•DB，∴9k2=（4k﹣5）•4k，∴k=，∴CD=，DB=，∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，∴△DCE∽△DBF，∴=，设EC=CF=x，∴=，∴x=．∴CE=．（2016广东梅州，20，9分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C 在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接O C．………………………1分∵AC =CD ，∠ACD =120°，∴∠CAD =∠D =30°． ………………………2分 ∵OA =OC ，∴∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO =∠CAD =30° ） ……………3分 ∴∠OCD =∠ACD —∠ACO =90°，即OC ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线． ………………………4分（2）解：由（1）知∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO =∠CAD =30° ）， ∴∠1=60°．（或∠COD =60°） …………………5分∴323602602ππ=⨯=BOC S 扇形． ………………………6分 在R t △OCD 中，∵OCCD =︒60tan ，2=OC ∴32=CD ． (7)分∴323222121=⨯⨯=⨯=∆CD OC S OCD Rt，…………………8分 ∴图中阴影部分的面积为3232π-=阴影S ． …………………9分 20．（2016四川资阳，20，8分）如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连结BD ．（1）求证：∠A=∠BDC ；（2）若CM 平分∠ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长．【分析】（1）由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°，由切线性质可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB ，可得答案；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DC M ，即∠DMN=∠DNM ，根据勾股定理可求得MN 的长．【解答】解：（1）如图，连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴∠CDB+∠ODB=90°， ∵OD=OB ，∴∠ABD=∠ODB ，∴∠A=∠BDC ；（2）∵CM 平分∠ACD ，∴∠DCM=∠ACM ，又∵∠A=∠BDC ，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM ，即∠DMN=∠DNM ，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．（2016青海西宁，26，10分）如图11，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CBD CDA ∠=∠．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，6=BC ，32=BD AD ．求BE 的长．（1）证明：连结OD∵OD OB =∴BDO OBD ∠=∠∵CBD CDA ∠=∠∴ODB CDA ∠=∠又∵AB 是O ⊙的直径∴90ADB ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）∴︒=∠+∠90ODB ADO∴︒=∠+∠90CDA ADO 即︒=∠90CDO ∴CD OD ⊥ ∵OD 是O ⊙半径∴CD 是O ⊙的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（2）解：∵C C ∠=∠，CBD CDA ∠=∠∴CDA ∆∽CBD ∆∴BD AD BC CD = ∵32=BD AD 6=BC ∴4=CD ∵CE ，BE 是O ⊙的切线∴DE BE = ， BC BE ⊥∴222EC BC BE =+ 即()22264BE BE +=+ 解得25=BE EO D A23．（2016四川宜宾，23，10分）如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH=，求EH的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分线，得到∠APO=∠EPO，判断出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是⊙O的切线；（2）先利用切线的性质和△PBC的周长为4求出PA=2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割线定理即可．【解答】证明：（1）如图1，作OH⊥PE，∴∠OHP=90°，∵∠PAE=90，∴∠OHP=∠OAP，∵PO是∠APE的角平分线，∴∠APO=∠EPO，在△PAO和△PHO中，∴△PAO≌△PHO，∴OH=OA，∵OA是⊙O的半径，∴OH是⊙O的半径，∵OH⊥PE，∴直线PE是⊙O的切线．（2）如图2，连接GH，∵BC，PA，PB是⊙O的切线，∴DB=DA，DC=CH，∵△PBC的周长为4，∴PB+PC+BC=4，∴PB+PC+DB+DC=4，∴PB+AB+PC+CH=4，∴PA+PH=4，∵PA，PH是⊙O的切线，∴PA=PH，∴PA=2，由（1）得，△PAO≌△PHO，∴∠OFA=90°，∴∠EAH+∠AOP=90°，∵∠OAP=90°，∴∠AOP+∠APO=90°，∴∠APO=∠EAH，∵tan∠EAH=，∴tan∠APO==，∴OA=PA=1，∴AG=2，∵∠AHG=90°，∵tan∠EAH==，∵△EGH∽△EHA，∴===，∴EH=2EG，AE=2EH，∴AE=4EG，∵AE=EG+AG，∴EG+AG=4EG，∴EG=AG=，∵EH是⊙O的切线，EGA是⊙O的割线，∴EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）=×（+2）=，∴EH=．（2016湖南娄底，25，10分）如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．【分析】（1）因为∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因为点O是Rt△ACB中斜边AB的中点，所以OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代换可知∠ACD=∠B；（2）（i）因为BC2=AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因为tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，易证∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE 的平分线，所以AF=AE，所以直线CD与⊙A相切．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD=∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠ACD=∠B，（2）（i）∵BC2=AB•BE，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B，∴tan∠ACD=tan∠B=，设BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，∴（4x）2+（3x）2=100，∴解得x=2，∴CE=6；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB=90°，∴∠B+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠B=∠ACE，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF=AE，∴直线CD与⊙A相切．（2016新疆内高班，22，11分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF==（2016湖南永州，25，10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB 为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．【分析】（1）连接OC，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，证出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出CE⊥OC，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AB，再由三角函数得出tanA===，求出BD=AB=，即可得出CE的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中点，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===2，∵tanA====，∴BD=AB=，∴CE=BD=．（2016江苏苏州，27，10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N 落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．【分析】（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．（2）由△QTM∽△BCD，得=列出方程即可解决．（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得=，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，∴BD===10，∵PQ⊥BD，∴∠BPQ=90°=∠C，∵∠PBQ=∠DBC，∴△PBQ∽△CBD，∴==，∴==，∴PQ=3t，BQ=5t，∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，∴QP=QC，∴3t=6﹣5t，∴t=，故答案为．（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T．∵MC=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t，∵MQ∥BD，∴∠MQT=∠DBC，∵∠MTQ=∠BCD=90°，∴△QTM∽△BCD，∴=，∴=，∴t=（s），∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．（3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E，∵EQ∥BD，∴=，∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t，∵DO=3t，∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，∴点O在直线QM左侧．②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM 与CD交于点E．∵EC=（8﹣5t），DO=3t，∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t，∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，∵∠HEO=∠CEQ，∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，∴=，∴=，∴t=．∴t=s时，⊙O与直线QM相切．连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5°，在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，∴∠OFH=∠FOH=45°，∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8，∴MH=0.8（+1），由=得到HE=，由=得到EQ=，∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=，∴0.8（+1）≠，矛盾，∴假设不成立．∴直线MQ与⊙O不相切．25.（2016北京，25，5分） 如图，AB 为于点D ，过点D作的切线，交BA 的延长线于点E.(1) 求证：AC ∥DE:(2) 连接CD ，若OA ＝AE ＝a ，写出求四边形ACDE 面积的思路。
2016年全国中考圆的考题精选
2016年全国中考圆的考题精选2016年市（10分）22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O （1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=12，求AEAC的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．2016年市（7分）19．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），CDAD⊥．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.AOBC2016年市(10分)22．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CF⊥DF，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．2016年荆州市（10分）23．如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB＝15°，连接OF交AB于ODCFBAE第22题图点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=633，求EF和半径OA的长．2016年江汉油田24．如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点．（1）请直接写出∠COD的度数；（2）求AC•BD的值；（3）如图②，连接OP并延长交AM于点Q，连接DQ，试判断△PQD能否与△ACO相似？若能相似，请求AC：BD的值；若不能相似，请说明理由．2016年市24．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．2016年随州市22．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=512，求⊙O的直径．2016年襄阳市22．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与OD 交于点F ，连接DF ，DC ．已知OA =OB ，CA =CB ，DE =10，DF =6．（1）求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC =∠EDC ；（2）求CD 的长．BDOC EF2016年市23．如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别相交于点E ，F ，连接AD 与EF 相交于点G ．（1）求证：AD 平分∠CAB（2）若OH ⊥AD 于点H ，FH 平分∠AFE ，DG =1．①试判断DF 与DH 的数量关系，并说明理由；②求⊙O 的半径．AB CD E F GHO2016年省市23．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为⌒BE的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC ，BC ． （1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若AD =2，AC =6，求AB 的长．2016年省市州 EDC A BO 题）（第232127．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O 经过A，B，D三点．（1）求证：AB是⊙O的直径；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．2016年省市27．如图，△ABC 是⊙O的接三角形，AB 是⊙O 的直径， OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E 、D，且DE=DC．（1）求证：CF 是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为5，BC=10 ，求DE的长．EDAOBCF2016年省市23．如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M 作MN∥OB交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．2016年省第24题24．若⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若3AOCS△，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．CO FDEBA2016年省市24．如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．2016年市25．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．（1）求证：∠1=∠CAD；（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．2016年市25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径作⊙O，交AC于D，E为弧CD的中点，连接CE，BE，BE交AC于F．（1）求证：AB=AF．（2）若AB=3，BC=4，求CE的长．FDOBCAE2016年贺州市25．如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=A B，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．2016年市27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．（1）求证：MH为⊙O的切线．（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．2016年市24．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CA B．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．2016年省市24．如图，四边形ABCD接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2 5 DE，求tan∠ABD的值．2016年省市26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB= 23，E是的中点，求EG•ED的值．2016年省市26．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O的半径和BF的长．2016年省抚州市18．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点(不与A、C重合)，过点P作PE⊥AB,垂足为E，射线EP交AC于点F，交过点C的切线于点D．(1)求证：DC=DP．(2)若∠CAB=30°，当F是AC的中点时，判断以A、O、C、F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．FEDAOBCP2016年市22. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD为∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心的半圆经过A、D两点，交AB于点E，连接OC交AD于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OF：FC=2：3，CD=3，求BE的长．2016年省市23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．2016年省市21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．2016年省市22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．2016年市23．如图，A、P、B、C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP、CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=23，求PD的长．PBD CA2016枣庄市23．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．2016年23．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．2016年省达州市22．如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．（1）求证：AE•BC=AD•AB；（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．2016年省市22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）如果tan∠CAO=，求cosB的值．2016年省市23．如图1，在△APE 中，∠PAE =90°，PO 是△APE 的角平分线，以O 为圆心，OA 为半径作圆交AE 于点G ．（1）求证：直线PE 是⊙O 的切线；（2）在图2中，设PE 与⊙O 相切于点H ，连结AH ，点D 是⊙O 的劣弧上一点，过点D 作⊙O 的切线，交PA 于点B ，交PE 于点C ，已知△PBC 的周长为4，tan ∠EAH =，求EH 的长．2016年市20.如图在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以CB 为半径作⊙C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD 、BE ．（1）求证：△ABD ∽△AEB ；（2）当AB BC =43时，求tanE ； （3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F ，若AF=2，求⊙C 的半径．2016年省市24．已知：如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上异于A 、B 的任意一点，连结BD 并延长至C ，使DC =BD ，连结AC 、AD ，过点D 作DE ⊥AC 于E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求证：AB AE AD ⋅=2；（3）若⊙O 半径确定，当△ABD 的面积最大时，求tan ∠DAC 的值．2016年省市24．如图1，AB 是⊙O 的直径，E 是 AB 延长线上一点，EC 切⊙O 于点C ，连接AC ，OP ⊥AO 交AC 于点P ，交EC 的延长线于点 D ．（1）求证：△PCD 是等腰三角形；（2）CG ⊥AB 于H 点，交⊙O 于G 点，过B 点作BF ∥EC ，交⊙O 于点F ，交CG 于Q 点，连接AF ，如图2，若sinE =35，CQ =5，求 AF 的值．2016年省凉山州阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，那么三角形的面积为()()()S p p a p b p c ---古希腊几何学家海伦（Heron ，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名。
初中中考圆综解题技巧21
1 中考解读：圆的综合是中考数学必考题，一般在第24或25题，分值5分圆综一般有两小题Ⅰ第一小题占2分，一般需要证明切线或角的关系和线段关系一般需要导角证明，求证相切的关系其实是导90°角，求证平行关系其实也是通过导角的关系来判定平行，这类问题通常都要用到圆的常见辅助线来解决；Ⅱ. . 第二小题占第二小题占3分，一般考查求线段的长度主要应用圆的基本性质，主要应用圆的基本性质，同时结合相似、同时结合相似、同时结合相似、勾股定理以及锐角三角函数等知识。
勾股定理以及锐角三角函数等知识。
勾股定理以及锐角三角函数等知识。
这一问是这一问是考生容易丢分的，是此题的难点，需要掌握核心方法和技巧。
2012-2016年北京中考圆综合知识点考查对比2012 2013 2014 2015 2016 第一问切线的证明证角等证线段等证明等边证明平行第二问求线段长求线段长求线段长求线段长求面积解决圆综问题常用到的定理：（1）弧、弦、圆心角定理弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．（2）圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）垂径定理圆综解题技巧垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（4）切线定理经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2016北京中考数学答案解析
2016北京中考数学答案解析【篇一：2016年北京市中考数学试题及答案(最新word解析版)】2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里。
将28 000用科学计数法表示应为()（a）错误！未找到引用源。
（b） 28错误！未找到引用源。
（c）错误！未找到引用源。
（d）错误！未找到引用源。
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是()（a） a错误！未找到引用源。
（b）错误！未找到引用源。
（c）错误！未找到引用源。
（d）错误！未找到引用源。
4. 内角和为540错误！未找到引用源。
的多边形是()5. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是()（a）圆锥（b）三棱锥（c）圆柱（d）三棱柱6. 如果错误！未找到引用源。
,那么代数错误！未找到引用源。
的值是() （a） 2 （b）-2 （c）错误！未找到引用源。
（d）错误！未找到引用源。
7. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是()8. 在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是()（a） 3月份（b） 4月份（c） 5月份（d） 6月份9. 如图，直线错误！未找到引用源。
,在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点a的坐标为（－4，2），点b的坐标为（2，－4），则坐标原点为() （a）错误！未找到引用源。
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10. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增。
计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%。
为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：错误！未找到引用源。
），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断：①年用水量不超过180错误！未找到引用源。
的该市居民家庭按第一档水价交费②年用水量超过240错误！未找到引用源。
2016年中考真题精品解析 数学(北京卷)精编word版(原卷版)
数学（北京卷）精编题均有四个选项b在数轴上的对应点的位置如图所示 B．甲骨文是我国的一种古代文字． ． ． ．． ． ． ．[来源为合理确定各档之间的界限如图所示下面有四个推断：㎡的该市居民家庭按第一档水价交费.3已知小军、小珠l与直线n的取值月份用气量统计表（单位：②小茹通过观察、实验提出猜想形成了证明该猜想的几种想法：要证明得到线段y,则称该矩形为点一、选择题（本题共30分,每小题3分）第1-10题均有四个选项,符合题意的选项只有一个．1．如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为（ ）A．45° B．55° C．125° D．135°[来源:学科网ZXXK]【答案】B．【解析】试题分析：由生活知识可知这个角小于90度,排除C、D,又OB边在50与60之间,所以,度数应为55°．故选B．考点：用量角器度量角．2．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一,每小时飞行约28000公里,将28000用科学记数法表示应为（ ）A．2.8×103 B．28×103 C．2.8×104 D．0.28×105【答案】C．【解析】试题分析：28000=1.1×104．故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．3．实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是（ ）A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b【答案】D．【解析】试题分析：A．如图所示：﹣3＜a＜﹣2,故此选项错误。
．故选[来源． ． ． ．4月：＝1.5元,所以,4月利润最大,故选B．[来源:学科网ZXXK]考点：统计图,考查分析数据的能力．9．如图,直线m⊥n,在某平面直角坐标系中,x轴∥m,y轴∥n,点A的坐标为（－4,2）,点B的坐标为（2,－4）,则坐标原点为（ ）A． B． C． D．【答案】A．【解析】考点：平面直角坐标系．10．为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价,水价分档递增．计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%．为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：㎡）,绘制了统计图,如图所示,下面有四个推断：①年用水量不超过180㎡的该市居民家庭按第一档水价交费②年用水量超过240㎡的该市居民家庭按第三档水价交费③该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间．①③ B1.3AB BD + 1.52.7AB BD+-试题分析：根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞[来源1．调查作业：了解你所住小区家庭小天、小东和小芸三位同学住在同一小区平分∠年数据的依据．（符合预测数据的合理的预测方法即可）[来源。
圆2016中考专题全国
选择题1.（2016山东省济宁市）如图，在O O 中，，川二宀，/ AOB=40°，则/ ADC 的度数是（） A . 40° B. 30° C. 20° D . 15°第1题图 第2题图 第3题图2. （2016云南省昆明市）如图， AB 为O O 的直径，AB=6, AB 丄弦CD,垂足为G , EF 切O O 于点B , / A=30°,连接AD 、OC BC,下列结论不正确的是（ ）— 3A . EF// CDB . △ COB 是等边三角形 C. CG=DG D .吕匚的长为十■ n 23. （ 2016 山东省滨州市）如图， AB 是O O 的直径，C , D 是O O 上的点，且 OC// BD , AD 分别与BC, OC 相交于点E , F ,则下列结论：①AD 丄 BD;②/ AOC=Z AEC;③ CB 平分/ ABD;④ AF=DF ;⑤ BD=2OF ; ©△ CEF ^A BED, 其中一定成立的是（ ）A .②④⑤⑥B .①③⑤⑥ C.②③④⑥D .①③④⑤4. （2016 山东省德州市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有下列 问题 今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是： 今有直角三角形，勾（短 直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆） 直径是多少？ ”（）A . 3步B . 5步 C . 6步 D . 8步第4题图第5题图5. （2016浙江省湖州市）如图，圆 O 是Rt A ABC 的外接圆，/ ACB=90°, / A=25 °过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ,则/ D 的度数是（） A . 25° B . 40° C. 50° D . 65°6. （2016浙江省绍兴市）如图，BD 是O O 的直径，点A 、C 在O O 上，=山,/ AOB=60°, )A . 60° B . 45°C. 35° D . 30° 第7题图 如图，点A , B , C 在O O 上, 64° D . 36° 圆（2016）中考专题 则/ BDC 的度数是（第6题图第9题图7. （2016贵州毕节）则/ B=（ ）第8题图 / A=36° / C=28°8. ( 2016 贵州毕节3 分)如图，点A, B, C在O O 上, / A=36° / C=28° 则/B=( )第16题图第17题图 A . 100 ° B . 72 °C. 64° D . 369. （2016河北）图示为4 X4的网格图，A , B, C, D , O 均在格点上，点 O 是（ ）A . △ ACD 的外心B . △ ABC 的外心 C . △ ACD 的内心 D . △ ABC 的内心10. （2016山东潍坊）木杆 AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线 OM 方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路 11. （2016陕西）如图,O O 的半径为4, △ ABC 是O O 的内接三角形，连接 OB 、OC.若/ BAC 与/ BOC 互补，则弦 BC 的长为( )A . 3「B . 4 . -C. 5 _ - D. 6 :-第11题图 第12题图第13题图 12. (2016四川眉山)如图， A 、D 是O O 上的两个点，BC 是直径.若/ D=32°则/ OAC=( )A . 64° B . 58 °C. 72° D . 55°13. (2016 四川攀枝花) 如图，点 D ( 0, 3), O ( 0, 0), C (4, 0)在 O A 上, BD 是 O A 的一条弦，则sin / OBD= ( ) A .丄B.弓C.半D.丄2 4 5 514. （2016黑龙江龙东）若点 O 是等腰△ ABC 的外心，且/ BOC=60°,底边BC=2,则厶ABC 的面积为（ ）A . 2+讥B. C . 2+讥或2 -施D. 4+奶或2-灵15. （ 2016黑龙江齐齐哈尔）下列命题中，真命题的个数是（） ①同位角相等 ②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 ③长度相等的弧是等弧 ④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.A . 1个B . 2个C. 3个D. 4个16. （ 2016湖北黄石）如图所示，O O 的半径为13,弦AB 的长度是24, ON 丄AB ,垂足为 N ,贝U ON= （ ） A . 5 B . 7 C. 9 D .1117. （2016湖北荆州）如图，过O O 外一点P 引O O 的两条切线PA PB,切点分别是A 、B ,OP 交O O 于点C,点D 是优弧 讣「上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD,若/ APB=80°, 贝 ADC 的度数是（）A . 15° B . 20 °C. 25 ° D . 30°二、填空题1. （2016重庆市）如图，OA,OB 是O O 的半径，点C 在O O 上，连接AC, BC,若/AOB=120°, 贝y/ ACB= —度.2. （2016广西百色）如图，O O 的直 过弦CD 的中点E ,若/ C=25°贝U/ D= _____ .3. （2016贵州安顺）如图，AB 是O O弦CD 丄AB 于点E ,若AB=8, CD=6,则4. （2016青海西宁）O O 的半径为1 ,弦AB 迈,弦AC 《,则/ BAC 度数为 ___________________5. （2016海南）如图，AB 是O O 的直径，AC 、BC 是O O 的弦，直径 DE 丄AC 于点P.若点 D 在优弧 址匸上，AB=8, BC=3贝U DP= _________第5题图 第6题图 6. （2016吉林）如图，四边形 ABCD 内接于O O,/ DAB=130°连接OC,点P 是半径 OC 上任意一点,BP,则/ BPD 可能为 ____________ 度（写出一个即可）7. （2016四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （ 1 , 0） , B （ 1 -a , 0） , C （ 1+a , 0） （ a > 0）,点P 在以D （ 4, 4）为圆心，1为半径的圆上运 动，且始终满足/ BPC=90 ° 则a 的最大值是 __________________________________ .8. （2016黑龙江龙东）如图， MN 是O O 的直径，MN=4 , / AMN=40 °点B 为弧AN 的中点 ，点P 是直径MN 上的一个动点，则 PA+PB 的最小值为 _____________ .解答题1. （2016四川泸州）如图，△ ABC 内接于O O , BD 为O O 的直径，BD 与AC 相交于点H , AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ,且/ A= / EBC .（1 ）求证：BE 是O O 的切线；（2）已知 CG // EB ,且 CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ,若 BG?BA=48 , FG= ■■,DF=2BF ,求 AH 的值. 第7题图连接DP ,2. (2016四川攀枝花) 如图，在△ AOB中，/ AOB为直角，OA=6, OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0v t韦) 以P为圆心，PA长为半径的O P与AB OA的另一个交点分别为C D,连结CD QC.(1 )当t为何值时，点Q与点D重合？(2 )当0 Q经过点A时，求O P被OB截得的弦长.(3 )若0 P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围.3. (2016山东潍坊)正方形ABCD内接于O O,如图所示，在劣弧儿，上取一点E,连接DE、BE,过点D作DF// BE交O O于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G,求证：(1)四边形EBFD是矩形；(2)DG=BE4. (2016 广西桂林)如图，在四边形ABCD中，AB=6, BC=8, CD=24, AD=26, / B=90° 以AD为直径作圆O,过点D作DE/ AB交圆O于点E(1)证明点C在圆O上；(2)求tan / CDE 的值；(3)求圆心O到弦ED的距离.5. (2016贵州安顺)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD AC分别交于点E、F,且/ ACB=Z DCE(1 )判断直线CE与O O的位置关系，并证明你的结论；(2 )若tan / ACB= , BC=2,求O O 的半径.6. (2016河南)如图，在Rt A ABC中，/ ABC=90°,点M是AC的中点，以AB为直径作O O 分别交AC, BM于点D, E.(1)求证：MD=ME；(2)填空：①若AB=6,当AD=2DM 时，DE= 2 ；②连接OD, OE,当/ A的度数为60°时，四边形ODME是菱形.7. (2016云南省昆明市)如图，AB是O O的直径，/ BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形，EB 交O O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点 F.(1)求证：CF是O O的切线；(2)若/ F=30° EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和8. (2016湖北荆州10分)如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，/ FAB=15,连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H.(1)求证：CD是半圆O的切线；(2 )若DH=6- 3 一乙求EF和半径OA的长.。
2016年北京中考数学试卷和参考答案
2016年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校姓名准考证号考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个。
1. 如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（A） 45°（B） 55°（C） 125°（D） 135°2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里。
将28 000用科学计数法表示应为（A）2.8×103（B） 28×103（C）2.8×104（D）0.28×1053. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A） a>− 2（B） a<− 3（C） a>− b（D） a<− b4. 内角和为540°的多边形是BAO5. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是（A）圆锥（B）三棱锥（C）圆柱（D）三棱柱6. 如果a+b=2,那么代数（a−b 2a )∙aa−b的值是（A） 2 （B）-2 （C）12（D）−127. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是A B C D8. 在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（A） 3月份（B） 4月份（C） 5月份（D） 6月份第8题图第9题图9. 如图，直线m⊥n,在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（A）O1（B）O2（C）O3（D）O410. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增。
2016北京11区初三二模汇编---圆
2016北京各区初三二模汇编 圆朝阳 24．如图，O 是∠MAN 的边AN 上一点，以OA 为半径作⊙O ，交∠MAN 的平分线于点D ，DE ⊥AM 于E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接OE ，若∠EDA =30º，AE =1，求OE 的长．昌平 25． 如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，与BC交于点D ，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，2ACB BAE ∠=∠.（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若2sin 3B =，BD=5，求BF 的长. 西城 24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的延长线上，连接AC ，AE ，∠ACD =∠BAE =45°（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若 AB=AD ，AC，tan ∠ADC ＝3，求 CD 的长．石景山 25．如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC于点E ，交BC 于点F ，连接DF ． （1）求证：DF=2CE ；（2）若BC =3，sin B =54，求线段BF 的长．海淀 24．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点E 在AB 上，以AE为直径的⊙O 切BC 于点D ，连接AD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ； （2）若⊙O 的半径为5，sin ∠DAC=5，求BD 的长通州 26．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠ACB ＝45°，∠AOC =150°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D . （1）求证：CD =CB ；（2）如果⊙OAC 的长.顺义 24．已知：如图，在ABC ∆中，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，且AD DC =. （1）求证：AB BC =；（2）过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ，且CF DC =，求sin CAE ∠的值. 东城 25. 如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ；（2）若AC=，sin CAF ∠=，求BE 的长．丰台 24. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点C ，E 为 BC ⌒的中点，连接AE 交BD房山 26.如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，DF 过点D 作⊙O 的切线交AC 于点F ． （1）求证：DF ⊥AC ；（2）如果33sin =C ，AE 的长为2.求⊙O 的半径．2016 圆答案朝阳24．（1）证明：连接OD ． ∵AD 平分MAN ∠， ∴EAD OAD ∠=∠． ∵OA OD =， ∴ODA OAD ∠=∠．∴EAD ODA ∠=∠．……………………………1分 ∵DE AM ⊥于E ， ∴90AED ∠=︒． ∴90EAD EDA ∠+∠=︒， ∴90ODA EDA ∠+∠=︒．∴OD ED ⊥．∴DE 是⊙O 的切线． ………………2分 （2）解：∵30EDA ∠=︒，∴60ODA ∠=︒． ∵OA OD =，∴△ADO 为等边三角形．…………………………………………………3分 在Rt △AED 中，1AE =，可得2AD =，ED =．………………4分∴2OD AD ==．在Rt △ODE中，由勾股定理可得OE = ………………………5分昌平25．（1）证明：连接AD .∵ E 是弧BD 的中点，∴弧BE = 弧ED ， ∴∠1=∠2. ∴∠BAD = 2∠1.∵∠ACB = 2∠1,∴∠C =∠BAD . ……………………………………………………………1分∵AB 为⊙O 直径,∴∠ADB =∠ADC =90°. ∴∠DAC +∠C =90°.∵∠C =∠BAD ，∴∠DAC+∠BAD=90°.∴∠BAC=90°.即AB⊥AC.又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线. ……………………………………………………………2分（2）解：过点F作FG⊥AB于点G.在Rt△ABD中，∠ADB=90°，2 sin3ADBAB==，设AD=2m，则AB=3m，利用勾股定理求得BD∵BD=5，∴m∴AD=, AB=. …………………………………………………………3分∵∠1=∠2,∠ADB=90°，∴FG=FD. ……………………………………………………………4分设BF =x,则FG =FD =5- x.在Rt△BGF中，∠BGF=90°，2sin3B=，∴523xx-=.解得，x=3.∴BF=3.石景山25．（1）证明：连接OE交DF于G，∵AC切⊙O于E，∴∠CEO=90°．又∵BD为⊙O的直径，∴∠DFC=∠DFB=90°．∵∠C=90°，∴四边形CEGF为矩形．∴CE=GF，∠EGF=90°…………………1分∴DF=2CE．………………………………2分（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵BC=3，4sin5B=，∴AB=5．…………………………………3分设OE=x，∵OE//BC，∴△AOE∽△ABC．∴OE AOBC AB=，∴535x x-=，∴158x=．………………………4分∴BD=154．在Rt △BDF 中，∠DFB =90°，∴BF =94…… 海淀24. （1）证明：连接OD ．………………………1分∵⊙O 切BC 于点D ， 90C ∠=︒， ∴90ODB C ∠=∠=︒． ∴OD ∥AC ． ∴DAC ODA ∠=∠． ∵OD OA =， ∴OAD ODA ∠=∠． ∴DAC OAD ∠=∠．∴AD 平分BAC ∠．………………………2分（2）解：连接DE ． ∵AE 为直径， ∴︒=∠90ADE ．∵OAD DAC ∠=∠，sin 5DAC ∠=， ∴sinOAD ∠=． ∵5OA =， ∴10AE =．∴AD =．………………………3分 ∴4CD =，8AC =． ∵OD ∥AC ，∴BOD BAC △∽△．………………………4分∴OD BDAC BC =． 即584BD BD =+． ∴203BD =．通州26．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠ACB ＝45°，∠AOC =150°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D . （1）求证：CD =CB ；（2）如果⊙OAC 的长. （1）证明：连结OB .∵»»AB AB =，∠ACB ＝45°，∴290AOB ACB ∠=∠=︒， ………………… 1分；∵OA=OB ，∴45OAB OBA ∠=∠=︒ ∵∠AOC =150°，∴60COB ∠=︒ ∵OC=OB ，∴△OCB 是等边三角形， ………………… 2分； ∴60OCB OBC ∠=∠=︒， ∴75CBD ∠=︒， ∵CD 是⊙O 的切线，∴90OCD OCB BCD ∠=∠+∠=︒， ∴30BCD ∠=︒， ∴75D CBD ∠=∠=︒，∴CD =CB . ………………… 3分；（2）解：过点B 作BE ⊥AC 于点E ，∵△OCB 是等边三角形，∴BC OC ==∵∠ACB ＝45°，∴1CE BE ==， ………………… 4分；∵»»BCBC =，∠BOC ＝60°， ∴1302EAB BOC ∠=∠=︒， ∴tan BEEAB AE∠=，∴13AE=，∴AE =∴1AC AE CE =+=， 顺义24．（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴90ADB ∠=︒.………………………………………………………………………..……1分又∵AD DC =，∴AB BC =.…………………………………………………………………………………2分 （2）解：∵BF 切⊙O 于点B ，∴90ABF ∠=︒.…………………………………………………………………………………………………..…………3分 ∴90BAF F ∠+∠=︒.又∵90BAF ABD ∠+∠=︒， ∴ABD F ∠=∠， ∴△ABD ∽△BFD ， ∴AD BDBD DF=， ∴2BD AD DF =⋅. 又∵CF DC =， ∴CF DC AD ==，设=CF DC AD k ==，则2222BD AD DF k k k =⋅=⋅=，∴BD .在RT △BCD 中，BC ，sin3CBD ∠==, 又∵CBD CAE ∠=∠，……………………..………………………………………………………………….……4分∴sin CAE ∠=.…………………………………………………………..…………5分 东城25.（1）证明：连结BD .∵AB 是O 的直径， ∴90ADB ∠=︒.∴90DAB DBA ∠+∠=︒. ∵AB AC =，∴2ABD ABC ∠=∠，12AD AC =. ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠F AB =90°.∴90FAC CAB ∠+∠=︒. ∴FAC ABD ∠=∠.∴2.ABC CAF ∠=∠ …………2分⑵ 解：连接AE.∴∠AEB =∠AEC =90°.∵sin CAF ABD CAF CBD CAE ∠=∠=∠=∠=∠，∴sin sin ABD CAF ∠=∠．∵90ABD AC ∠=︒=，∴AD 10sin ADAB ABD==∠=BC .∵90AEC AC ∠=︒=， ∴sin 2CE AC CAE =⋅∠=.∴. FG … 房山26.（1）证明：连接OD ．∵DF 是⊙O 的切线，∴ OD ⊥DF ．------------1分 ∵ OB =OD ，∴ ∠B =∠ODB ． ∵AB =AC ．∴ ∠B =∠C ． ∴ ∠ODB =∠C∴ OD ∥AC ． --------------------------2分 ∴DF ⊥AC ， --------------------------3分 （2）解：连结BE ，AD ．∵ AB 是直径， ∴ ∠ADB =∠AEB =90° ∵ AB =AC ，∴BD =CD ． ∵ DF ⊥AC ∴FD ∥BE ∴可得点F 是CE 的中点.∴sin ∠ABD= sin ∠ACB= sin ∠ADF=33 设⊙O 的半径为r,则AB=2r,AC=2r∴AD =r 332,AF =r-1 ∵sin ∠ADF==AD AF33=rr 3321-----------------------------------------4分 ∴r=3∴⊙O 的半径为3.。
北京中考数学圆的综合综合题
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（2）35 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．2．如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O 于点M，连接MD，ME．求证：（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．详解：证明：（1）连接OC，∵HC=HG，∴∠HCG=∠HGC；∵HC切⊙O于C点，∴∠OCB+∠HCG=90°；∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵∠HGC=∠BGF，∴∠OBC+∠BGF=90°，∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；（2）连接BE，由（1）知DE⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴，∴∠BED=∠BME；∵四边形BMDE内接于⊙O，∴∠HMD=∠BED，∴∠HMD=∠BME；∵∠BME是△HEM的外角，∴∠BME=∠MHE+∠MEH，∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．3．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（223，13），（223，13）．【解析】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．试题解析：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标（﹣，），（，）．考点：圆的综合题．4．如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB＝∠APB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）当MB＝4，MC＝2时，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据题意∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，所以有∠M +∠COB ＝90°，即可证明PB 是⊙O 的切线.（2）设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r .【详解】证明：（1）∵AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，∴PA ⊥OA∴在Rt △MAP 中，∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，∴∠M +∠COB ＝90°，∴∠OBM ＝90°，即OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM =OBM ∆为直角三角形∴222OM OB BM =+ ，即222(2)+4r r +=解得：r ＝3，∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.5．如图，□ABCD 的边AD 是△ABC 外接圆⊙O 的切线，切点为A ，连接AO 并延长交BC 于点E ，交⊙O 于点F ，过点C 作直线CP 交AO 的延长线于点P ，且∠BCP ＝∠ACD ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若∠B ＝67.5°，BC ＝2，求线段PC ，PF 与弧CF 所围成的阴影部分的面积S ．【答案】（1）见解析；（2）14π-【解析】 【分析】（1） 过C 点作直径CM ，连接MB ，根据CM 为直径，可得∠M+∠BCM ＝90°，再根据AB ∥DC 可得∠ACD ＝∠BAC ，由圆周角定理可得∠BAC ＝∠M ，∠BCP ＝∠ACD ，从而可推导得出∠PCM ＝90°，根据切线的判定即可得；（2）连接OB ，由AD 是⊙O 的切线，可得∠PAD ＝90°，再由BC ∥AD ，可得AP ⊥BC ，从而得BE ＝CE ＝ 12BC ＝1，继而可得到∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，从而得到∠BAC ＝45°，由圆周角定理可得∠BOC=90°，从而可得∠BOE ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，根据已知条件可推导得出OE＝CE＝1，PC＝OC＝22OE CE2+=，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】（1）过C点作直径CM，连接MB，∵CM为直径，∴∠MBC＝90°，即∠M+∠BCM＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠M，∠BCP＝∠ACD，∴∠M＝∠BCP，∴∠BCP+∠BCM＝90°，即∠PCM＝90°，∴CM⊥PC，∴PC与⊙O相切；（2）连接OB，∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，即∠PAD＝90°，∵BC∥AD，∠AEB=∠PAD＝90°，∴AP⊥BC．∴BE＝CE＝12BC＝1，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OB＝OC，AP⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝∠OCE＝ 45°，∵∠PCM＝90°，∴∠CPO＝∠COE＝∠OCE＝ 45°，∴OE＝CE＝1，PC＝OC＝22OE CE2+=，∴S＝S△POC－S扇形OFC＝()245π21π221 23604⨯⨯⨯-=-．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.6．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A 重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线．．DC于点F，过F作FG⊥EF交直线．．BC于点G，设⊙D的半径为r．（1）求证AE＝EF；（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)63 35r<<【解析】【分析】（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．【详解】解：设圆的半径为r；（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，∴AE=EF；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r ，由勾股定理得：（3r ）2+9=36，解得：r=3； （3）①当点F 在线段AC 上时，如图3所示，连接DE 、DG ，333,3933FC r GC FC r =-==-②当点F 在线段AC 的延长线上时，如图4所示，连接DE 、DG ，333,3339FC r GC FC r ===-两种情况下GC 符号相反，GC 2相同，由勾股定理得：DG 2=CD 2+CG 2，点G 在圆的内部，故：DG2＜r2，即：22(332)(339)2r r r +-<整理得：25113180r r -+< 6335r <<【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．7．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的⊙O 与AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB ＝∠DCE ．（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB 2BC ＝2，求⊙O 的半径．6【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O【解析】【分析】（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程222-=，解此方程即可求得⊙O的半径．x x3)6)【详解】解：（1）直线CE与⊙O相切．…理由：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，BC∥AD，CD＝AB，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DAC，又∠DCE＝∠ACB，∴∠DEC+∠DAC＝90°，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠DAC，∴∠DEC+∠OEA＝90°，∴∠OEC＝90°，∴OE⊥EC，∵OE为圆O半径，∴直线CE与⊙O相切；…（2）∵∠B＝∠D，∠DCE＝∠ACB，∴△CDE∽△CBA，∴BC AB=，DC DE又CD＝AB2BC＝2，∴DE＝1根据勾股定理得EC3又226=+…AC AB BC设OA 为x ，则222(3)(6)x x +=-，解得64x =， ∴⊙O 的半径为64．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．8．如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 是半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中点，点F 是射线OE 上一点．（1）如图1，连接FA ，FC ，若∠AFC ＝2∠BAC ，求证：FA ⊥AB ；（2）如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点G 是线段CD 上一点（不与点C 重合），连接FA ，FG ，FG 与AC 相交于点P ，且AF ＝FG ．①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系，并证明；②连接OG ，若OE ＝BD ，∠GOE ＝90°，⊙O 的半径为2，求EP 的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．理由见解析；②PE 3． 【解析】【分析】 （1）证明∠OFA ＝∠BAC ，由∠EAO +∠EOA ＝90°，推出∠OFA +∠AOE ＝90°，推出∠FAO ＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．连接FC ．由FC ＝FG ＝FA ，以F 为圆心FC 为半径作⊙F ．因为AG AG =，推出∠GFA ＝2∠ACG ，再证明∠ACG ＝∠ABC ．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD +∠ACD ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACG ，∴∠GFA ＝2∠ABC ．②如图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 60AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴1342333=，∴PE ＝36． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.9．如图，OA ，OD 是⊙O 半径．过A 作⊙O 的切线，交∠AOD 的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交⊙O 于点E ，交CD 的延长线于点B ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；(2)如果D 点是BC 的中点，⊙O 的半径为 3cm ，求DE 的长度．(结果保留π)【答案】（1）证明见解析；（2）DE 的长度为π.【解析】（1）证明：∵AC 是⊙O 切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC=90°，∵CO 平分∠AOD ，∴∠AOC=∠COD ，在△AOC 和△DOC 中，∴△AOC ≌△DOC ，∴∠ODC=∠OAC=90°，∴OD ⊥CD ，∴直线CD 是⊙O 的切线．（2）∵OD ⊥BC ，DC=DB ，∴OC=OB ，∴∠OCD=∠B=∠ACO ，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠B=30°，∠DOE=60°，∴的长度==π．[来源:]10．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；②求PA+PB+PC 的值.（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.【答案】（1）①详见解析；②27；（2）31312PQ PQ -≤≤+≠且；【解析】【分析】（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 的最小值为3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△APB ≌△AMN ，△APM 是等边三角形，∴∠APM=∠APM=60°，∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，∴C、P、M、N四点在同一条直线上；②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，∴∠NBC=90°，∵AC=2，∴AB=BN=4，BC=23，∵PA=PM，PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在Rt△CBN中，CN=22+=，BC BN27∴PA+PB+PC=27．(2) 如图2中，∵∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．∴≤≤≠的取值范围是且PQ31PQ31PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
北京市2016年各区中考二模汇编：圆
北京市2016年各区中考二模汇编圆一、圆的基础1. 【2016年通州二模，第06题】如图，AB 为⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C ，如果AB=8，CD=2， 那么⊙O 的半径长为A. 7B. 3C. 4D. 52. 【2016年石景山二模，第08题】如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 的度数为A ．32°B ．58°C ．64°D ．116°3. 【2016年西城二模，第06题】如图，AB 是⊙Ｏ的一条弦，直径CD AB ⊥于点E .若 24,5,AB OE ==则⊙Ｏ的半径为 A.15 B.13 C.12 D.104. 【2016年西城二模，第12题】一个扇形的半径长为5，且圆心角为72，则此扇形的弧长为 .5. 【2016年东城二模，第08题】用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1ABC DODO C BA6. 【2016年怀柔二模，第09题】如图，△ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，∠A=45°，则⌒BC 的长为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7. 【2016年房山二模，第06题】如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 两点在⊙O 上， 如果∠C ＝40°，那么∠ABD 的度数为 A ．40° B ．90° C ．80° D ．50°8. 【2016年昌平二模，第13题】如右图，⊙O 的直径AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AC ，若CD =23，∠A =30º，则⊙O 的半径为9. 【2016年朝阳二模，第10题】如图，ABC ∆为等边三角形，点O 在过点A 且平行于BC 的直线上运动，以ABC ∆的高为半径的⊙O 分别交线段AB 、AC 于点E 、F ，则所对的圆周角的度数A ．从︒0到︒30变化B ．从︒30到︒60变化C ．总等于︒30D ．总等于︒6010. 【2016年朝阳二模，第14题】O CBA 9题AOBDCDABCE OF EOCB A 第10题图如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 的长为10，4sin 5BOD ∠=， 则AB 的长为________．11.【2016年海淀二模，第07题】如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点， AB OC ⊥于点E ，若=30CDB ∠︒，2OA =，则AB 的长为 AB．C ．2D ．412.【2016年顺义二模，第08题】如图，四边形ABCD 内接于⊙，110A ∠=︒，则BOD ∠的度数是A. 70︒B. 110︒C. 120︒D. 140︒二、圆的切线13. 【2016年石景山二模，第25题】如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC于点E ，交BC 于点F ，连接DF ． （1）求证：DF=2CE ；（2）若BC =3，sin B =54，求线段BF 的长．14. 【2016年东城二模，第25题】OOABCD如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ．（1）求证：∠ABC =2∠CAF ； （2）若AC =210，，求BE 的长．15. 【2016年丰台一模，第24题】如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点C ，E 为 BC ⌒的中点，连接AE 交BD 于点F ，作AB FG ⊥，垂足为G ，连接AD ，且BAE D ∠2=∠．（1）求证：AD 为⊙O 的切线；（2）若cos D =53，AD = 6，求FG 的长．16. 【2016年丰台二模，第29题】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （0，－1）. 点P 是平面内任意一点，直线PA ，PB 与直线4x =分别交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆恰好经过点C （2，0），则称此时的点P 为理想点． （1）请判断P 1（－4，0），P 2（3，0）是否为理想点； （2）若直线3x =-上存在理想点，求理想点的纵坐标；（3）若动直线(0)x m m =≠上存在理想点，直接写出m 的取值范围.17. 【2016年怀柔二模，第24题】10sin 10CAF ∠=GO FD CBAEEOBD如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BD 是∠ABC 的平分线，点O 在AB 上，⊙O 经过B ，D 两点，交BC 于点E ．(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若3BC=6,tan A=4∠,求CD 的长．18. 【2016年房山二模，第26题】如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，DF 过点D 作⊙O 的切线交AC 于点F ．（1）求证：DF ⊥AC ；（2）如果33sin =C ，AE 的长为2.求⊙O 的半径．19. 【2016年昌平二模，第25题】如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，与BC 交于点D ，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，2ACB BAE ∠=∠.（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若2sin 3B =，BD=5，求BF 的长.20. 【2016年朝阳二模，第24题】如图，O 是∠MAN 的边AN 上一点，以OA 为半径作⊙O ，交∠MAN 的平分线于点D ，DE ⊥AM 于E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接OE ，若∠EDA =30º，AE =1，求OE 的长．FDECBOAO E DFCBAE ODAC21. 【2016年海淀二模，第24题】如图，在△ABC 中，∠C =90°，点E 在AB 上，以AE为直径的⊙O 切BC 于点D ，连接AD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ； （2）若⊙O 的半径为5，sin ∠DAC =55，求BD 的长.22. 【2016年顺义二模，第24题】．已知：如图，在ABC ∆中，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，且AD DC =.（1）求证：AB BC =；（2）过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ，且CF DC =，求sin CAE ∠的值.23. 【2016年西城二模，第24题】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的 延长线上，连接,,45AC AE ACB BAE ∠=∠=. （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若,22,tan 3AB AD AC ADC ==∠=，求CD 的长.24. 2016年通州二模，第26题】如图：ΔABC 是⊙O 的内接三角形，∠ACB =45°，∠AOC =150°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D .（1）求证：CD=CB ；（2）如果⊙O 的半径为2，求AC 的长.AB CDOOEDCBAGHEFBCDA三、圆的复杂应用25. 【2016年石景山二模，第26题】 阅读下面材料：小骏遇到这样一个问题：画一个和已知 矩形ABCD 面积相等的正方形．小骏发现：延长AD 到E ，使得DE =CD ， 以AE 为直径作半圆，过点D 作AE 的垂线， 交半圆于点F ，以DF 为边作正方形DFGH ， 则正方形DFGH 即为所求．请回答：AD ，CD 和DF 的数量关系为 ． 参考小骏思考问题的方法，解决问题：画一个和已知□ABCD 面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．26. 【2016年东城一模，第29题】定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是 ； ②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P，使2PA PB +的值最小，直接写出此最小值.详细解答1. D2. A3. B4. 2π5. C6.A7. D 8. 2 9. C 10. 12 11. B 12. D 13. （1）证明：连接OE 交DF 于G ， ∵AC 切⊙O 于E ，∴∠CEO =90°．又∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DFC =∠DFB =90°． ∵∠C =90°，∴四边形CEGF 为矩形． ∴CE =GF ，∠EGF =90°…………………1分 ∴DF =2CE ．………………………………2分 （2）解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵BC =3，4sin 5B =，∴AB =5．…………………………………3分设OE =x ，∵OE //BC ，∴△AOE ∽△ABC ． ∴OE AO BC AB =，∴535x x -=，∴158x =．………………………4分 ∴BD =154．在Rt △BDF 中，∠DFB =90°，∴BF =94…………………………5分14.（1）证明：连结BD .∵是的直径， ∴.∴. ∵AB =BC∴.∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠FAB =90°.∴90FAC CAB ∠+∠=︒. ∴.∴ …………2分⑵ 解：连接AE.∴∠AEB =∠AEC =90°.∵AB O 90ADB ∠=︒90DAB DBA ∠+∠=︒2ABD ABC ∠=∠，12AD AC =FAC ABD ∠=∠2.ABC CAF ∠=∠10sin CAF ABD CAF CBD CAE ∠∠=∠=∠=∠，∴． ∵∴=BC .∵∴.∴.…………5分15.证明：（1）连接AC. ∵AB 是⨀O 的直径, ∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠B =90°∵E 为BĈ的中点, ∴∠CAE =∠EAB , ∴∠CAB =2∠EAB. ∵∠D =2∠EAB∴∠CAB =∠D,∴∠B +∠D =90°.∴∠DAB =90°，即AB ⊥AD. 又∵AB 是直径 ∴AD 是⨀O 的切线.（2）∵在Rt∆ACD 中，cosD =DC AD =35,AD =6,∴DC =185 ∵在Rt∆ABD 中,cosD =ADBD=35,AD =6. ∴B D =10 ∵∠CAF =∠EAB,∠ACB =90°,FG ⊥AB ∴CF =FG,16.设CF =FG =x ,∵FG ⊥AB ∴∠GFB =∠D. ∴cos ∠GFB =FG FB =35. ∴FB =53x ∵DC +CF +FB =10.∴185+x +53x =10,解得x =125, ∴FG =125（1）P 1(-4,0)是理想点，P 2(3,0)不是理想点。
2016年中考数学 微测试系列专题19 圆的有关计算及圆的综合(含解析)北师大版
专题19 圆的有关计算及圆的综合学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【2015成都】如图，正六边形A BCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ）A ．2，3πB ．πC 23πD ．43π【答案】D ．【解析】【考点定位】1．正多边形和圆；2．弧长的计算．2．【2015攀枝花】如图，已知⊙O 的一条直径AB 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE ，CE =1，则图中阴影部分的面积为（ ）A C ．29π D ．49π【答案】D．【解析】【考点定位】1．扇形面积的计算；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．3．【2015凉山州】将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A．【解析】试题分析：设扇形的半径为R，根据题意得2904360rππ=，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为r，则12•2π•r•4=4π，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm．故选A．【考点定位】圆锥的计算．4．【2015河池】我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A．【解析】【考点定位】1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义；4．动点型；5．综合题．二、填空题：（共4个小题）5．【2015贵阳】小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB 相切时，光盘的圆心经过的距离是．．【答案】3【解析】试题分析：如图，当圆心O移动到点P的位置时，光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切，切，点为Q，∵ON⊥AB，PQ⊥AB，∴ON∥PQ，∵ON=PQ，∴OH=PH，在Rt△PHQ中，∠P=∠B=60°，PQ=1，∴PH=3则OP．【考点定位】1．切线的性质；2．轨迹；3．应用题；4．综合题．6．【2015自贡】如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使AC =3BC ，CD 与⊙O 相切于D 点．若CD ＝3，则劣弧AD 的长为 ．【答案】 32． 【解析】【考点定位】1．切线的性质；2．弧长的计算．7．【2015莱芜】如图，在扇形OAB 中，∠AOB =60°，扇形半径为r ，点C 在AB 上，CD ⊥OA ，垂足为D ，当△OCD 的面积最大时，AC 的长为 ．【答案】14r π．【解析】【考点定位】1．垂径定理；2．弧长的计算；3．解直角三角形；4．最值问题；5．二次函数的最值；6．圆的综合题．8．【2015成都】如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB =8，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点C ．当△PAB 是等腰三角形时，线段BC 的长为________．【答案】8BC =或5615或3． 【解析】试题分析：（1）当AB =AP 时，如图（1），作OH ⊥AB 于点H ，延长AO 交PB 于点G ；∵AB =AP ，∴AP AB =，∵AO 过圆心，∴AG ⊥PB ，∴PG =BG ，∠OAH =∠PAG ，∵OH ⊥AB ，∴∠AOH =∠BOH ，AH =BH =4，∵∠AOB =2∠P ，∴∠AOH =∠P ，∵OA =5，AH =4，∴OH =3，∵∠OAH =∠PAG ，∴sin ∠OAH =sin ∠PAG ，∴358PG =，∴PG =245，∵∠AOH =∠P ，∴cos ∠AOH =cos ∠P ，AP OH PC AO =，∴54033PC AP ==，∴BC =PC －2PG =4048563515-=；（3）当BA =BP 时，如图（3），∵BA =BP ，∴∠P =∠BAP ，∵∠P +∠C =90°，∠CAB +∠BAP =90°，∴∠C =∠CAB ，∴BC =AB =8．故答案为：8BC =或5615或3．【考点定位】1．等腰三角形的性质；2．解直角三角形；3．分类讨论；4．综合题．三、解答题：（共2个小题）9．【2015广安】如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接PA 、AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若23OC AC =，且OC =4，求PA 的长和tanD 的值．【答案】（1）证明见试题解析；（2）512．【解析】（2）连接BE，根据已知23OCAC=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后由射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后由勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，得到OC是△ABE的中位线，进而可得BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△DPO，进而可得：BD BEPD OP=，从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO 和△PBO中，∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵23OCAC=，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO∴AE=2OA=OB=OA=在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴2AC OC PC=⋅，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP，∴PB=PA=∵AC=BC，OA=OE，∴OC=12BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8，BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴BD BEPD OP=，即813=，解得：BD=5，在Rt△OBD中，tanD=5OBBD==512．【考点定位】1．切线的判定与性质；2．相似三角形的判定与性质；3．解直角三角形．10．【2015南宁】如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上两点，且AC =CG ，过点C 的直线CD ⊥BG 于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线．（2）若32=FD OF ，求∠E 的度数． （3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD =3，求AD 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）30°；（3【解析】（2）由OC ∥BD ，得到△OCF ∽△BDF ，△EOC ∽△EBD ，得到23OC OF BD DF ==，23OC OE BD BE ==，根据直角三角形的性质即可得到结论； （3）如图2，过A 作AH ⊥DE 于H ，解直角三角形得到BD ，DE ，BE ，在R t △DAH 中，用勾股定理即可得到AD 的长．（3）如图2，过A 作AH ⊥DE 于H ，∵∠E =30°，∴∠EBD =60°，∴∠CBD =12∠EBD =30°，∵CD ∴BD =3，DE =，BE =6，∴AE =13BE =2，∴AH =1，∴EH =，∴DH =，在R t △DAH 中，AD【考点定位】1．圆的综合题；2．切线的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．压轴题．。
北京市西城区重点中学2016年3月初三数学中考复习-《圆》复习建议课件(20张)
1、概念梳理 2、例题选讲 3、作业巩固
2
3
4
1、理解基本概念 2、落实基本思路方法 3、注重知识间的联系 ——学生的难点：单独的知识点都知道，放在同一
道题中就不知道该做什么了
5
C. D.
圆与一次函数结合 一次函数解析式的意义
C
基本概念部分 a
3
22
MN
D
3
6
GE+FH =GH-EF EF是定值吗？
以最值问题的形式 考察圆周角和圆心 角的知识
G A
C O E FH
B
7
7
1、证明切线的基本类型和方法 已知直线过圆上一点，连半径证垂直 不知直线是否过圆上一点，作垂直证半径 ①关注题中已有的垂直条件 ②关注等角条件：等腰、平行、角平分线……
8
1、证明切线的基本类型和方法
2、如何求一条线段的长
直接求：作为三角形的一边
（勾股、相似、锐角三角函数）
间接求：作为其他线段的和或差
先去求可由已知条件求得的线段
9
D
E
C
A
B
O
D
E
C
A
B
O
10
Sds绝对是假的
1、证明切线的基本类和方法 2、如何求一条线段的长 3、注意题目每个小问之间的联系 4、注重直线型与圆的结合，圆中基本图形的识别
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16
1、证明切线的基本类型和方法 2、如何求一条线段的长 3、注意题目每个小问之间的联系 4、注重直线型与圆的结合 5、注重对基本定理的理解
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11北京
12北京
18
13北京
14北京
北京中考圆复习
圆与直线的关系一、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r；二、三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切⇔d=R-r（R>r）两圆内含⇔d<R-r（R>r）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
知识点一、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA⊥且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
N M AO以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
北京中考试卷中圆的题目汇总及答案-7页word资料
2006-2011年北京中考试卷中圆的题目汇总（06年大纲卷）1． 如图，AB 是O e 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与O e 相切，切点为D ．如果35A ∠=o ，那么C ∠等于（ ）Ａ．20oＢ．30oＣ．35oＤ．55o2．如果圆锥的底面半径为2cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于2cm ．3．已知：AB 是半圆O 的直径，点C 在BA 的延长线上运动（点C 与点A 不重合），以OC为直径的半圆M 与半圆O 交于点D ，DCB ∠的平分线与半圆M 交于点E ． （1）求证：CD 是半圆O 的切线（图1）；（2）作EF AB ⊥于点F （图2），猜想EF 与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；（3）在上述条件下，过点E 作CB 的平行线交CD 于点N ，当NA 与半圆O 相切时（图3），求EOC ∠的正切值． （06年课标卷）4．已知：如图，ABC ∆内接于O ⊙，点D 在OC 的延长线上，1sin 302B CAD =∠=︒，．（1）求证：AD 是O ⊙的切线；（2）若OD AB ⊥，5BC =，求AD 的长．OEDCBA（07年课标卷）5. 已知：如图，A 是O ⊙上一点，半径OC 的延长线与过点A的直线交于B 点，OC BC =，12AC OB =．（1）求证：AB 是O ⊙的切线；（2）若452ACD OC ∠=︒=，，求弦CD 的长． （08年课标卷）6．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离7．已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O e 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． （09年课标卷）8．如图，C 为O ⊙直径AB 上一动点，过点C 的直线交O ⊙于D 、E 两点，且45ACD ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥于点G ．当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是9．如图，AB 为O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，E 为»BC上一点，若28CEA ∠=︒，则ABD ∠=______︒．10．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B ，M 两点的O⊙交BC于点G，交AB于点F，FB恰为O⊙的直径．⑴求证：AE与O⊙相切；⑵当4BC=，1cos3C=时，求O⊙的半径．(2010年北京中考)11. 如图，AB为圆O的直径，弦CD AB，垂足为点E OC，若OC=5，CD=8，则AE=_______________.12. 已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90.(1) 求证：直线AC是圆O的切线；(2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长.(2011年北京中考)13如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝ 12∠CAB．(1)求证：直线BF是⊙O的切线；(2)若AB＝5，sin∠CBF＝55，求BC和BF的长．2006-2011年北京中考试卷中圆的题目答案（06年大纲卷）1. A2. 8π3. 解：（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径．OCQ为半圆M的直径，CD∴是半圆O的OB CDEAB CDODEO BAMC图1切线． （2）猜想：12EF =OA ． 证法一：如图2-1，连结OD OE ，，延长OE 交CD 于点K ，作EG CD ⊥于点G ，则EG OD ∥．CE Q 平分DCB ∠， OC Q 是半圆M 的直径，E为半圆M 上的一点，CE Q 为公共边，证法二：如图2-2，以OC 为直径作M e ，延长EF 交M e 于点P ，连结OD ．12EF PF EP ∴==，»»EOPO =． CE Q 平分DCB ∠， 证法三：如图2-3，连结OD ME OD ME ，，，相交于点H ．CE Q 平分DCB ∠，（3）解：如图3，延长OE 交CD 于点K ． 设OF x EF y ==，，则2OA y =．NE CB Q ∥，EF CB ⊥，NA 切C图2-2OBA MC图2-3F BOA MC图2-1F半圆O 于点A ，∴四边形AFEN 是矩形． 同（2）证法一，得E 是OK的中点．N ∴是CK 的中点． 2(43)y x y x ∴=-．解得3y x =或1yx=． 当3y x =时，tan 3EF yEOC OF x ∠===．当1yx=时，点C 与点A 重合，不符合题意，故舍去．（06年课标卷）4. （07年课标卷）5. 解：（1）证明： 如图，连结OA ∴ ACO ∆是等边三角形 故 60O ∠=o又可得 30B ∠=o ∴ 90OAB ∠=o ∴ AB 是O e 的切线. （2）解：作AE CD ⊥于E 点.又 45ACD ∠=o ，2AC OC ==，∴在Rt ACE ∆中，2CE AE == 在Rt ACE ∆中，∵ 30D ∠=o ，∴ 22AD = 由勾股定理，可求得 6DE = （08年课标卷） 6. C7. 解：（1）直线BD 与O e 相切．D K OBA MC图3 E F N证明：如图1，连结OD ．90C ∠=o Q ， 90CBD CDB ∴∠+∠=o ．又CBD A ∠=∠Q ，∴直线BD 与O e 相切．（2）解法一：如图1，连结DE ．AE Q 是O e 的直径， 90ADE ∴∠=o ．解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12AH DH AD ∴==．:8:5AD AO =Q ，（09年课标卷） 8. A 9. 2810．⑴证明：连结OM ，则OM OB =． ∵BM 平分ABC ∠，在ABC ∆中，AB AC =，AE 是角平分线，∴AE 与O e 相切．⑵解：在ABC ∆中，AB AC =，AE 是角平分线， 在ABE ∆中，90AEB ∠=︒，设O e 的半径为r ，则6AO r =-． ∴626r r -=． 解得32r =．∴O e 的半径为32． 11. 212. (1) 证明：∵OD=OC ，DOC=90，∴ODC=OCD=45， ∵DOC=2ACD=90，∴ACD=45，∴ACD OCD=OCA=90，∵点C 在圆O 上，∴直线AC 是圆O 的切线。
2016年北京中考专题---圆
2016年北京中考专题---圆2016年北京模拟专题---圆朝阳24．（本小题5分）如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+12∠1=90°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠B=30°，AD=2，求⊙O的半径．朝阳24.（1）证明：依题意，12∠1．…………………………………1分∵∠A+12∠1=90°，∴∠A+∠B=90°.∴∠ACB=90°.∴AC⊥BC.∵BC是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线．………………………………………2分（2）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB=∠ADC=90°．……………………………………3分∵∠B=30°，∴∠A=60°，∠ACD=30°．∴AC=2AD=4． ………………………………4分∴43tan ACBC B==∠． ∴⊙O 的半径为23． …………………5分东城25. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥PO 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB=∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE 的长．东城25. 解：（1）证明：∵ ∠EDB=∠EPB ，∠DOE=∠POB ，∴ ∠E=∠PBO=90゜， ∴ PB是⊙O 的切线．…………2分（2）∵ PB=3，DB=4，∴ PD=5. 设⊙O 的半径的半径是r ，连接OC. ∵ PD 切⊙O 于点C ，∴ OC ⊥PD.∴ .222OD OC CD =+ ∴ .)4(2222r r -=+∴.23=r可求出PO =.易证△DEP ∽△OBP.∴ DE DPOB OP=.解得DE =……5分房山24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=30°，点D 为弧AB 的中点，AC=求CD的长.房山24．解法1：连结BC∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴∠ACB =90°. -------------1分∵∠CAB =30°，∴∠D =60°. ---------------2分 ∵点D 为弧AB 的中点，∴∠ACD =45°. 过点A 作AE ⊥CD ，∵AC=AE=CE =------------3分∴DE =. -------------4分 ∴CD =.--------5分BAB解法2：∵AB 为⊙O 的直径，点D 为弧AB 的中点，∴∠DAB =∠ACD =45°. ------1分∵∠CAB =30°，∴弧BC=60°，弧AC =120°.∴∠ADC =60°. --------2分过点A 作AE ⊥CD ， ∵AC=43，∴AE=CE =26. ------3分∴DE =22. -----------4分 ∴CD=2622+.--------5分海淀24．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO .延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE .（1）求证：是⊙O 的切线；（2）若，求的长.海淀24. (1) 证明：如图，连接． ………………………1分 ∵为⊙的切线，∴． ∵平分BAD ∠，∴．∵OA OB OD ==，∴1=4=2=5∠∠∠∠． ∴．∴△△．∴90CBO CDO ∠=∠=︒．BAD ∠CD 3AE DE ==AF ECBAO∴为⊙的切线． ……………2分(2) ∵,∴AE DE =.∴. ………………………3分 ∵124∠=∠=∠，∴.∵为⊙的直径,∴.∴.………………………4分∴ ．在Rt △AFE 中，∵，︒=∠303，∴. ………………………5分怀柔24.如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC AB ⊥，弦CF 与OB 交于点E ，过点F ，A 分别作⊙O 的切线交于点H ，且HF 与AB 的延长线交于点D ．（1）求证：DF=DE;（2）若tan ∠OCE ＝12，⊙O 的半径为4，求AH 的长．怀柔24. (1)证明：连结OF ，如图.∴OF ⊥DH. ∵DH 为⊙O 的切线，OF为半径，∴∠OFD=90°。
北京 2016年中考数学真题试卷附解析
2016年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. (2016·北京)如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（A） 45°（B） 55°（C） 125°（D） 135°答案：B考点：用量角器度量角。
解析：由生活知识可知这个角小于90度，排除C、D，又OB边在50与60之间，所以，度数应为55°。
2. (2016·北京)神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里。
将28 000用科学计数法表示应为（A）错误！未找到引用源。
（B） 28错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）错误！未找到引用源。
答案：C考点：本题考查科学记数法。
解析：科学记数的表示形式为10na⨯形式，其中1||10a≤<，n为整数，28000＝。
故选C。
3. (2016·北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A）a错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）错误！未找到引用源。
答案：D考点：数轴，由数轴比较数的大小。
解析：由数轴可知，－3＜a错误！未找到引用源。
＜－2，故A、B错误；1＜b＜2，－2＜－b＜－1，即－b在－2与－1之间，所以，错误！未找到引用源。
4. (2016·北京)内角和为540错误！未找到引用源。
的多边形是答案：ｃ考点：多边形的内角和。
解析：多边形的内角和为(2)180n-⨯︒，当n＝5时，内角和为540°，所以，选C。
5. (2016·北京)右图是某个几何体的三视图，该几何体是（A）圆锥（B）三棱锥（C）圆柱（D）三棱柱答案：D考点：三视图，由三视图还原几何体。
解析：该三视图的俯视为三角形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这个几何体是三棱柱。
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2016年北京模拟专题---圆朝阳24．（本小题5分）如图，以△ABC 的一边BC 为直径的⊙O ，交AB 于点D ，连接CD ，OD ， 已知∠A+12∠1=90°． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若∠B=30°，AD=2，求⊙O 的半径．朝阳24.（1）证明：依题意，得 ∠B=12∠1．…………………………………1分 ∵∠A+12∠1=90°，∴∠A+∠B=90°.∴∠ACB=90°.∴AC ⊥BC. ∵BC 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．………………………………………2分（2）解：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CDB=∠ADC=90°．……………………………………3分∵∠B=30°，∴∠A=60°，∠ACD=30°．∴AC=2AD=4．………………………………4分∴tan ACBC B==∠．∴⊙O的半径为…………………5分东城25.如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥PO 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB=∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE 的长．东城25. 解：（1）证明：∵∠EDB=∠EPB ，∠DOE=∠POB ，∴ ∠E=∠PBO=90゜，∴ PB 是⊙O 的切线．…………2分 （2）∵ PB=3，DB=4，∴ PD=5. 设⊙O 的半径的半径是r ，连接OC. ∵ PD 切⊙O 于点C ，∴ OC ⊥PD.∴ .222OD OC CD=+∴ .)4(2222r r -=+∴.23=r可求出PO =易证△DEP ∽△OBP.∴ DE DP OB OP=.解得DE =……5分房山24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB =30°，点D 为弧AB 的中点，AC=求CD 的长.房山24．解法1：连结BC∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴∠ACB =90°. -------------1分 ∵∠CAB =30°，∴∠D =60°. ---------------2分∵点D 为弧AB 的中点，∴∠ACD =45°.过点A 作AE ⊥CD ，∵AC=AE=CE =分∴DE =分∴CD =分 解法2：∵AB 为⊙O 的直径，点D 为弧AB 的中点，∴∠DAB =∠ACD =45°. ------1分 ∵∠CAB =30°，∴弧BC=60°，弧AC =120°.∴∠ADC =60°. --------2分 过点A 作AE ⊥CD ， ∵AC=AE=CE =. ------3分 ∴DE =分∴CD =分海淀24．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO .延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE .（1）求证：是⊙O 的切线；（2）若，求的长.海淀24.(1)证明：如图，连接．………………………1分 ∵为⊙的切线，∴． ∵平分BAD ∠，∴．∵OA OB OD ==，∴1=4=2=5∠∠∠∠． ∴．∴△△．∴90CBO CDO ∠=∠=︒． ∴为⊙的切线．……………2分(2)∵,∴ AEDE =.∴. ………………………3分 ∵124∠=∠=∠，∴.∵为⊙的直径,∴.∴.………………………4分∴．在Rt △AFE 中，∵，︒=∠303，∴. ………………………5分BAD ∠CD 3AE DE ==AFBABBA怀柔24.如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC AB ⊥，弦CF 与OB 交于点E ，过点F ，A 分别作⊙O 的切线交于点H ，且HF 与AB 的延长线交于点D ．（1）求证：DF=DE;（2）若tan ∠OCE＝12，⊙O 的半径为4，求A H 的长．怀柔24. (1)证明：连结OF ，如图.∴OF⊥DH.∵DH 为⊙O 的切线，OF 为半径，∴∠OFD=90°。
，即∠2+∠OFC=90°。
∵OC=OF ，∴∠C=∠OFC ，∴290C ∠+∠=︒. 而OC OB ⊥，∴390C ∠+∠=︒.∴23∠=∠.∵13∠=∠，∴12∠=∠.∴DE=DF ……………………………2分 (2)解：∵tan ∠OCE ＝12，⊙O 的半径为4，∴OE=2.∵DE=DF.在Rt △ODF 中，OF=4,设DE x =，则DF=x ，OD=2+x. ∵OF 2+FD 2=OD 2，∴x 2+42=(2+x)2，解得x=3.∴DF=3，OD=5.∵AH 为⊙O 的切线，OA 为半径，DH 为⊙O 的切线，∴AD ⊥AH ，HA=HF.∴∠HAD=90°.-------------------4分 在Rt △DAH 中，设FH=t ，则DH=t+3.∵AH 2+AD 2=HD 2.∴t 2+92=(t+3)2，解得t=12.∴AH=12. ---------------5分 门头沟24．如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE 为⊙O 的切线． （1）求证：DE ⊥BC ；（2）如果DE =2，tan C =21，求⊙O 的直径．门头沟24．（本小题满分5分）（1）证明：连接OD ． ∵DE 为⊙O 的切线， ∴DE ⊥OD ，……………………………………1分∵AO =OB ，D 是AC 的中点，∴OD ∥BC ．∴DE ⊥BC ．……………………………………2分（2）解：连接DB ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴DB ⊥AC ，∴∠CDB =90°．∵D 为AC 中点，∴AB =BC ， 在Rt △DEC 中，∠DEC =90°，∵DE =2，tan C =21，∴4tan DEEC C==，……………………3分 由勾股定理得：DC =，在Rt △DCB 中，∠BDC =90°，∴BD =DC ·tan C ，…………………………4分 由勾股定理得：BC =5，∴AB =BC =5， ∴⊙O 的直径为5．…………………………………………5分GFEODC BA平谷24．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于D ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ．（1）求证：CG 是⊙O 的切线；（2）若∠EAB =30°，CF =2，求AG 的长．平谷24．（1）证明：连接OC .∵AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，∴OC ⊥AE (1)∵CG ∥AE ，∴OC ⊥GC .∴CG 是⊙O 的切线. (2)（2）解：连接AC .∵∠EAB =30°，CG ∥AE ,∴∠G =∠EAB =30°.∵CG 是⊙O 的切线，∴∠GCO =90°.∴∠COA =60°.∵OA =OC ,∴△AOC 是等边三角形.∴∠CAO =60°.∴∠CAF =30°. 可求∠ACD =30°.∴ AF =CF =2 (3)∵∠EAB =30°，∴DF =1，AD = ∵CG ∥AE ，∴DF ADCF AG=． (4)∴12AG=.∴AG =………………………………………………………………………5 石景山25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ；（2）若∠C =30°，EF EB 的长．石景山25．（1）证明：连接OD ，AD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =90°． 又∵AB =AC ，∴CD =DB ．又CO =AO ， ∴OD ∥AB ．……………………1分∵FD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DF ． ∴FE ⊥AB ．………2分（2）解：∵30C ∠=︒，∴60AOD ∠=︒在Rt △ODF 中，90ODF ∠=︒，∴30F ∠=︒． ∴12OA OD OF ==在Rt △AEF 中，90AEF ∠=︒，∵EF =，∴AE =…………………………………………3分∵OD AB ∥，OA OC AF ==∴2OD AE ==2AB OD ==………………………4分∴EB =．…………………………………………………………5分顺义25．如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CB D ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =6，2tan 3CDA ∠=，求BE 的长． 顺义25．（1）证明：连接OD,OE∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，即∠ADO +∠1=90°，又∵∠CDA =∠CBD ，而∠CBD =∠ODB , ∴∠ODB =∠CDA ，∴∠CDA +∠ADO =90°，即∠CDO =90°，∴CD 是○O 的切线；（2）∵EB 为○O 的切线，∴ED =EB ,OE ⊥DB ,∴∠ABD +∠DBE =90°，∠OEB +∠DBE =90°，∴∠CDA =∠OE B ．而tan ∠CDA =23,∴tan ∠OEB =OB BE =23,∵Rt △CDO ∽Rt △CBE ,∴23CD OD OB CB BE BE ===∴CD =2364⨯=, 在Rt △CBE 中，设BE =x ∴()22246x x +=+，解得52x =即BE 的长为52通州26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ． （1）求证：AB =BE ；（2）连结OC ，如果PD=ABC=60︒，求OC 的长．通州26（1）证明：连结OD .∵OA =OD ，∴DAO ADO ∠=∠，∵PD 切⊙O 于点D ，∴PD ⊥OD ， ∵BE ⊥PD ，∴OD ∥BE ，… 1分；∴E ADO ∠=∠，∴E DAO ∠=∠，∴AB =BE .（2）解：∵OD ∥BE ，∠ABC=60︒，∴60DOP ABC ∠=∠=︒，∵PD ⊥OD ， ∴tan DP DOP OD ∠==2OD =，…… 3分；∴4OP =，∴6PB =，∴sinPC ABC PB ∠=，∴326PC=，∴33PC =，∴DC ，……4分；∴222DC OD OC +=，∴22227OC =+=，∴OC （舍负）.…5分；西城24．如图，在ABC V 中，AB 是O e 的直径，AC 与O e 交于点D ．点E 在»BD上，连接DE ，AE ，连接CE 并延长交AB 于点F ，AED ACF ∠=∠． （1）求证：CF AB ⊥；（2）若4CD =，CB =4cos 5ACF ∠=，求EF 的长． 西城AB延庆25. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．延庆25. （1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴PA AB ⊥．∴90BAP ∠=．…………………………………1分∵∠BAC =30，∴9060PAC BAC ∠=-∠=．又∵PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴PA PC =．…………………………………2分∴△PAC 是等边三角形．∴60P ∠=．…………………………………3分( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB =90．…………………………………4分 在R t △ACB 中，AB =6，∠BAC =30，∴cos 6cos30AC AB BAC =⋅∠==又∵△PAC是等边三角形，∴PA AC == …………………………………5分燕山24．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上不同于A ，B 的两点，过点C 作⊙O 的切线CF 交直线AB 于点F ，直线DB ⊥CF 于点E ．(1)求证：∠ABD ＝2∠CAB ； (2)若BF ＝5，sin ∠F ＝53，求BD 的长． 燕山24．（1）证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠CAB ＝∠1∴∠2＝∠CAB ＋∠1＝2∠CAB ． ∵CF 切⊙O 于C ，OC 是⊙O 的半径，∴OC ⊥CF ．∵DB ⊥CF ，∴OC ∥DB ，∴∠ABD ＝∠2，∴∠ABD ＝2∠CAB ．(2) 如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥DE ． ∵DE ⊥CF ，∴AD ∥CF ，∴∠3＝∠F ．……………………3分 在Rt △BEF 中，∵∠BEF ＝90°，BF ＝5，sin ∠F ＝3，∴BE ＝BF •sin ∠F ＝5×3＝3．FF设⊙O 的半径为r ，则5＝3，解得 r ＝15．…………………4分朝阳2.24．如图，O 是∠MAN 的边AN 上一点，以OA 为半径作⊙O ，交∠MAN 的平分线于点D ，DE ⊥AM 于E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接OE ，若∠EDA =30º，AE =1，求OE 的长．朝阳2.24．（1）证明：连接OD ．∵AD 平分MAN ∠，∴EAD OAD ∠=∠．∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠．∴EAD ODA ∠=∠．∵DE AM ⊥于E ， ∴90AED ∠=︒． ∴90EAD EDA ∠+∠=︒， ∴90ODA EDA ∠+∠=︒．∴OD ED ⊥．∴DE 是⊙O 的切线．………………2分（2）解：∵30EDA ∠=︒，∴60ODA ∠=︒．∵OA OD =，∴△ADO 为等边三角形．………………………3分在Rt △AED 中，1AE =，可得2AD =，ED =………………4分∴2OD AD ==．在Rt △ODE 中，由勾股定理可得OE =…5分昌平2.昌平2房山2.26.如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，DF 过点D 作⊙O 的切线交AC 于点F ．（1）求证：DF ⊥AC ；如果33sinC ，AE 的长为2.求⊙O 的半径． 房山2.26.（1）证明：连接OD ．∵DF 是⊙O 的切线，∴ OD ⊥DF ．------------1分 ∵ OB=OD ，∴∠B=∠ODB ．∵AB=AC ．∴∠B=∠C ．∴∠ODB=∠C ∴ OD ∥AC ．------2分∴DF ⊥AC ，----3分 （2）解：连结BE ，AD ．∵ AB 是直径，∴∠ADB=∠AEB=90°∵ AB=AC ，∴BD=CD ．∵ DF ⊥AC ∴FD ∥BE∴可得点F 是CE 的中点.∴sin ∠ABD= sin ∠ACB= sin ∠ADF=33 设⊙O 的半径为r,则AB=2r,AC=2r∴AD=r 332,AF=r-1 ∵sin ∠ADF==AD AF 33=r r 3321-∴r=3 ---------5分∴⊙O 的半径为3.丰台2.24. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点C ，E 为BC ⌒的中点，连接AE 交BD 于点F ，作AB FG ⊥，垂足为G ，连接AD ，且BAE D ∠2=∠．（1）求证：AD 为⊙O 的切线；（2）若cos D =53，AD = 6，求FG 的长．丰台2.24.证明：连接AC .∵AB 是O 的直径 ∴90ACB ∠=. ∴90CAB B ∠+∠=︒.∵E 为 BC的中点,∴CAE EAB ∠=∠. ∴2CAB EAB ∠=∠. ∵BAE D ∠2=∠, ∴CAB D ∠=∠. ------- 1分 ∴90B D ∠+∠=︒.∴90DAB ∠=︒.即AB AD ⊥.又∵AB 是直径,∴AD 是O 的切线.------- 2分 （2）∵在Rt △ACD 中,3cos 5DC D AD ==，6AD =,18.5DC ∴=------- 3分 ∵在Rt △ABD 中,3cos 5AD D BD ==，6AD =,∴10BD =. ∵CAF EAB ∠=∠,90ACB ∠=,AB FG ⊥，∴CF FG =. ------- 4分设CF FG x ==.∵AB FG ⊥，∴GFB D ∠=∠.∴3cos 5FG GFB FB ∠==.∴53FB x =. ∵10DC CF FB ++=.∴1851053x x ++=.解得125x =.∴125FG =. ------- 5分DADA东城2.东城2海淀2.24．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点E 在AB 上，以AE 为直径的⊙O 切BC 于点D ，连接AD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若⊙O 的半径为5，sin ∠DAC，求BD 的长. 海淀2.24.（1）证明：连接OD ．………………………1分∵⊙O 切BC 于点D ，90C ∠=︒，∴90ODB C ∠=∠=︒． ∴OD ∥AC ．∴DAC ODA ∠=∠． ∵OD OA =，∴OAD ODA ∠=∠．∴DAC OAD ∠=∠．∴AD 平分BAC ∠．………………………2分 （2）解：连接DE ．∵AE 为直径，∴︒=∠90ADE ． ∵OAD DAC ∠=∠，sin 5DAC ∠=，∴sin 5OAD ∠=．∵5OA =，∴10AE =．∴AD =4CD =，8AC =． ∵OD ∥AC ，∴BOD BAC △∽△．………………………4分 ∴OD BD AC BC =．即584BD BD =+．∴203BD =．………………………5分 石景山2.25．如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ． （1）求证：DF=2CE ；（2）若BC =3，sin B =54，求线段BF 的长．石景山2.25．（1）证明：连接OE 交DF 于G ，∵AC 切⊙O 于E ，∴∠CEO =90°．又∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DFC =∠DFB =90°．∵∠C =90°，∴四边形CEGF 为矩形．∴CE =GF ，∠EGF =90°…………1分 ∴DF =2CE ．………………………………2分（2）解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵BC =3，4sin 5B =，∴AB =5．…………………………………3分设OE =x ，∵OE //BC ，∴△AOE ∽△ABC ． ∴OE AO BC AB =，∴535x x -=，∴158x =．………4分∴BD =154． 在Rt △BDF 中，∠DFB =90°，∴BF =94…………………………5分 顺义2.24．已知：如图，在ABC ∆中，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，且AD DC =. （1）求证：AB BC =；（2）过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ，且CF DC =，求sin CAE ∠的值.顺义2.24．（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴90ADB ∠=︒.………………..……1分 又∵AD DC =，∴AB BC =.…………2分（2）解：∵BF 切⊙O 于点B ，∴90ABF ∠=︒.………..…………3分 ∴90BAF F ∠+∠=︒.又∵90BAF ABD ∠+∠=︒，∴ABD F ∠=∠，∴△ABD ∽△BFD ，∴AD BD BD DF=，∴2BD AD DF =⋅.又∵CF DC =，∴CF DC AD ==，设=CF DC AD k ==，则2222BD AD DF k k k =⋅=⋅=，∴BD .在RT △BCD中，BC，sin CBD ∠==, 又∵CBD CAE ∠=∠， (4)分∴sin CAE ∠=.………………5分 通州2.26. 如图：ΔABC 是⊙O 的内接三角形，∠ACB =45°，∠AOC =150°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D . （1）求证：CD=CB ；（2）如果⊙O 的半径为2，求AC 的长.通州2.西城2.24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的延长线上，连接AC ，AE ，∠ACD =∠BAE =45°AB CDO（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若AB=AD，AC tan∠ADC＝3，求CD的长．西城2.。