2.2.1 双曲线及其标准方程学案 (人教A版选修1-1)

合集下载

高中数学第二章 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程学案新人教A版选修1-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.2.1 双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF 1|－|MF 2|＝2a (常数)，且2a <|F 1F 2|，则点M 的轨迹是什么？[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F 1，F 2，当距离之差的绝对值大于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M 在双曲线的右支上． 2．双曲线的标准方程1．思考辨析(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同． (2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( ) (3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )[答案] (1)× (2)× (3)× 2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3 D [c 2＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3.]3．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( )【导学号：97792079】A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 C [b 2＝c 2－a 2＝72－52＝24，故选C.][合作探究·攻重难]若F 1，F 2是双曲线9－16＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离． (2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． [思路探究] (1)直接利用定义求解． (2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|.[解] (1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6，即|MF 2|－16＝±6. 解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22. (2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.1．(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4A [|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A.](2)已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________.【导学号：97792080】9 [由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝－2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|PA |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|PA |的最小值为9.](1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．[思路探究] (1)结合a 的值设出标准方程的两种形式，将点A 的坐标代入求解． (2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20 ①. ∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b2＝1 ②.由①②得a 2＝12，b 2＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1. (3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0. ∵点P ，Q 在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－116，B ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.2．(1)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.x 22－y 2＝1 D ．x 2－y 22＝1C [设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b2＝1c 2＝a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.](2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 B [由双曲线的焦点可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F 2，则有PF 2⊥x 轴，且PF 2＝4，点P 在双曲线右支上．所以PF 1＝52＋42＝36＝6，所以PF 1－PF 2＝6－4＝2＝2a ，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1，选B.]1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支2．求以两定点F 1，F 2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？提示：以直线F 1F 2和线段F 1F 2的垂直平分线分别为x 轴和y 轴建系．如图221，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．图221[思路探究] 建立平面直角坐标系→由已知条件得到边长的关系 →判断轨迹的形状→写出轨迹方程[解] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x >a )，∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．3．如图222所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【导学号：97792081】图222[解] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32.[当堂达标·固双基]1．已知m ，n ∈R ，则“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，必有mn ＜0；当mn ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，所以“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．]2．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 B [椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，长轴的端点A 1(0,2)，A 2(0，－2)，所以对于所求双曲线a ＝1，c ＝2，b 2＝3，焦点在y 轴上，双曲线的方程为y 2－x 23＝1.]3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．]4．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【导学号：97792082】16 [由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.]5．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线方程．[解] 因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝916a 2－15b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.。

高二数学2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修1-1

a， b， c 的关系： a＞ 0， b＞ 0， c2＝ a2＋b2．
? 思考：椭圆的标准方程和双曲线的标准方程有什么区别与联系？
答案：答案略． , ?自测自评 x2 y2
1．双曲线－＝ 1 的焦距是 ( D) 10 2
A． 3 2
B． 4 2
C． 3 3 D ． 4 3
解析： c2＝ 10＋ 2＝ 12 ，∴ c＝ 2 3，焦距 2c ＝ 4 3. x2 y2
高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程学案
?基础梳理
1．平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值是常数 ( 小于 | F1F2| 且大于 0) 的点的轨迹叫
做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
? 思考：在双曲线的定义中，为什么常数要大于
0 且小于 | F1F2|?
m2－ 4＜ 0，
解析：由题可知
∴－ 2＜ m＜－ 1.
m＋ 1＜ 0，
答案： ( － 2，－ 1)
c5 4．在双曲线中， a＝ 2 ，且双曲线与椭圆
4x 2＋ 9y2＝ 36 有公共焦点，求双曲线的方程．
解析：把椭圆的方程写成标准方程
x2 y2 9 ＋ 4 ＝ 1，
∴椭圆的焦点坐标是 ( ± 5， 0) ． ∵双曲线与椭圆有相同的焦点，
则由双曲线定义知 | r 1－ r 2| ＝ 2a＝ 4， ∴ ( r 1－ r 2) 2＝ r 21＋ r 22－ 2r 1r 2＝16. ①
又∵∠ F1MF2＝ 90°， ∴ r 21＋ r 22＝ | F1F2| 2＝ 4c 2＝52. ② ∴由①②得 r 1r 2＝ 18.
1 ∴ S△ F1MF2＝ 2r 1r 2＝ 9.

高中数学新课标人教A版选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》教案

（学生演板——教师点评）
教
学
过
程
例5点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数，求点的轨迹.
（教师分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ——示范书写）
三、课堂练习：
①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
⑴ 与 ⑵ 与（学生口答，并说明原因）
②求适合下列条件的椭圆的标准方程.
⑴经过点
⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点
⑶焦距是，离心率等于
（学生演板，教师点评）
③作业：第4题.
4.离心率：刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦点与长轴长的比称为离心率.记 .
可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.
5.例题
例4求椭圆的长轴和短轴的长，离心率，焦点和定点坐标.
提示：将一般方程化为标准方程.
（学生回答——老师书写）
练习：求椭圆和椭圆的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.
2.椭圆的标准方程.
二、讲授新课：
1.范围——变量的取值范围，亦即曲线的取值范围：横坐标；纵坐标 .
方法：①观察图像法；②代数方法.
2.对称性——既是轴对称图形，关于轴对称，也关于轴对称；又是中心对称图形.
方法：①观察图像法；②定义法.
3.顶点：椭圆的长轴，椭圆的短轴，
椭圆与四个对称轴的交点叫做椭圆的顶点， .
上课时间
第周星期第节
课型
课题
2.2椭圆的简单几何性质
教学目的
根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图.
教学设想
教学重点：通过几何性质求椭圆方程并画图.

高中数学双曲线1 学案(新人教A版选修1-1)

§2．2．1双曲线的标准方程学案【学习目标】学习要求：1、熟练掌握求曲线方程的方法；2、掌握双曲线的标准方程及其推导方法；3、能根据已知条件求双曲线的标准方程，根据标准方程求a、b、c焦点。

高考要求：理解掌握双曲线的定义及标准方程，熟练运用。

【学习重点】双曲线的定义、标准方程及推导过程，熟练根据已知条件求双曲线的标准方程。

【学习难点】双曲线标准方程的推导及结合实际条件求双曲线的标准方程。

【学习过程】(一)问题情境我们前面一起研究学习了圆锥曲线中的椭圆的定义、标准方程及其几何性质。

今天我们继续研究学习。

我们来看一个拉链实验，它体现了我们学习过的圆锥曲线____________的特征？它的定义是什么？用数学式子表达________________________________________,当2a=|F1F2|时它的轨迹是____________________________当2a>|F1F2|时它的轨迹是____________________________.(二)学生活动如何推导推导双曲线的标准方程呢？可否类比求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程呢？请同学们自己尝试推导双曲线的标准方程类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程_____________________．阅读课本第34页完善自己的推导过程我们来观察一下双曲线的标准方程与椭圆的方程比较，有什么区别？在双曲线的标准方程中，根据__________________________________________确定其焦点在哪个坐标轴上。

（三）数学应用例1：请判断下列方程哪些表示双曲线？若是，请求出 a 、b 、c 和它的焦点坐标。

（1）22132x y -= （2）22144x y -=- （3）22169144x y -= （4）22431x y --=-（5）22221(0)1x y m m m -=≠+变式运用：已知11122=-++ky k x 表示双曲线，求k 的取值范围。

人教a版数学【选修1-1】2.2.1双曲线及其标准方程(含答案)

§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为 __________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12B ．1或3C ．1＋22D ．2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1题号 1 2 3 4 5 6 答案7．设F 1、F 2是双曲线 x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B (4,0)、C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线不存在 (2)双曲线的焦点双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4. ①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以 x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.9．90°解析设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27 ＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8，所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以 a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，∴ OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)．令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.① 由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。

高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修1-1 学案

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理） 1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线，两焦点间的距离叫做双曲线的 .双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？ ⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程： ⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-yx 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值.①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是（） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( ) A 1 B 55C 2D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。

高中数学(人教A版)选修1-1教案：2.2.1双曲线及其标准方程教案

河北省保定市物探中心学校第一分校高中数学《2.2.1 双曲线及其标准方程》教案新人教A版选修1-1◆◆知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．◆过程与方法目标（1）预习与引入过程预习教科书56 页至60 页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56 页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1 双曲线及其标准方程．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．〖板书〗把平面内与两个定点F，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2 ）的1点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P M MF1 MF2 2a ．（ii ）双曲线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b, c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程2 2y x2 2 1 0, 0a bb a．（iii ）例题讲解、引申与补充例1 已知双曲线两个焦点分别为F，1 5,0 F2 5,0 ，双曲线上一点P 到F，F2 距1离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b, c ．补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：①与⊙C ： 2 2x 2 y 2 内切，且过点A 2,0 ；②与⊙ 2 22 1 1 2 1 4C ：x y 和⊙C2 ：x y 都外切；③与⊙C1 ：12 2x 3 y 9外切，且与⊙C2 ：2 2x 3 y 1内切．解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为r ．①∵⊙ C 与⊙M 内切，点 A 在⊙ C 外，∴MC r 2 ，MA r ，因此有MA MC 2 ，∴点M 的轨迹是以 C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是22 2y2 1 2x x ；7②∵⊙M 与⊙C、⊙C2 均外切，∴MC1 r 1，MC2 r 2 ，因此有1MC2 MC1 1，∴点M 的轨迹是以C、2 C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程1是 22 4x 34 13 4y y ；③∵M 与 C 外切，且M 与C2 内切，∴MC1 r 3 ，MC2 r 1，因1此M C1 MC2 4，∴点M 的轨迹是以C、C2 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹1方程是2 2x y4 51 x2 ．例 2 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s，且声速为340m / s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A ，B 两地听到爆炸声的时间差，即可知 A ，B 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340m / s；相关点均在同一平面内）．解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 ，。

【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程课件1(人教A版选修1-1)

( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
2Hale Waihona Puke 2y2 2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a a ( x c) y
2
2 2 2 2 2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐标。
x2 y 2 (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解：焦点在x轴上.
x2 y 2 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
由题意得
a=3,b=4
x2 y 2 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
解：焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得： 25 4 2 2 1 b a
所求双曲线方程为
2
y2 x2 2 1 2 a b
解得 b 2 16
y x 1 20 16
2
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解：
a 6, c 10 b c a 64
第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程

高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》教案2.doc

潮阳市西元中学数学科教案上课时间第周星期第节课型课题 2.2.1 双曲线及其标准方程教学目的学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导教学设想教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.教学难点：在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力：教学过程—、新课导入：1.提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)2 22.在椭圆的标准方程冷+与=1中，a,b,c有何关系，若o = 5,b = 3,贝吒=?写a b出符合条件的椭圆方程。

二、讲授新课：1.双曲线的定义：提问：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23,定点片,▲是两个按钉，MN是一个细套…管，两条细绳分别拴在按钉上但穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条曲线；由|MF2|-|MF1| fV( 佥是同一常数，可以画出另一支. y V定义：平面内与两定点耳，耳的距离的差的绝对值等图2-23于常数(小于|耳笃|)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点F X,F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离冈叫做双曲线的焦距。

(理科)类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标谁方程。

(文科)简单讲解推导给出标准方程。

2 2标准方程：—2—=1,(^ >0,/? >0,c_= a~ +b~)(焦点F x(―c,0),F,(c,0)在xa b ~车由)思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？例1、P5S分析:由双曲线的标准方程知,只要求出a,b即可得方程;练习：1、已知双曲线的两焦点为耳(-8,0)迅(8,0),双曲线上任意点到耳迅的距离的差的绝对值等于10,求此双曲线的标准方程。

2、双曲线的两焦点分别为许(-3,0),厲(3,0),①若a = 2,则X_;②若b -1,贝Ua = _ ;3、双曲线的两焦点分别为对(-10,0),竹(10,0)，点(8,0)在双曲线上求双曲线的标准方程。

高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程精品导学案(2)新人教A版选修1-1

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程（2）导学案新人教A版选修1-1【学习目标】1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．【自主学习】复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①3,4==，焦点在x轴上；a b②焦点在y轴上，焦距为8，2a=．【合作探究】例1（教材P47例2）已知,A B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/m s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？:【目标检测】1. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=. 则动点P 的轨迹方程为．2．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围．3. 相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？4．点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。

2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。

高中数学第2章2.1双曲线及其标准方程教师用书教案新人教A版选修1

2.2 双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养.2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养.1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2＋b21．已知动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线D [∵|PM |－|PN |＝2＝|MN |，∴点P 在线段MN 的延长线上，即点P 的轨迹是一条射线．] 2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．42C ．33D ．43D [c 2＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3.]3．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 225－y 224＝1B ．y 225－x 224＝1C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D ．x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0C [b 2＝c 2－a 2＝72－52＝24，故选C ．]对双曲线标准方程的理解【例1】已知曲线方程x m －1－y m 2－4＝1.(1)若方程表示双曲线，求实数m 的取值范围；(2)若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围； (3)若方程表示椭圆，求实数m 的取值范围．[解] (1)依题意有(m －1)(m 2－4)>0，即(m －1)(m ＋2)(m －2)>0，解得－2<m <1或m >2.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4<0，m －1<0，解得－2<m <1.(3)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4<0，m －1>0，解得1<m <2.给出方程x 2m －y 2n ＝1，则该方程：(1)表示双曲线的条件是mn >0；(2)表示焦点在x 轴上的双曲线的条件是m >0，n >0； (3)表示焦点在y 轴上的双曲线的条件是m <0，n <0； (4)表示椭圆的条件是m >0，n <0.[跟进训练]1．(1)已知双曲线x 2a －3＋y 22－a ＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( )A ．32B ．5C ．7D ．12(2)在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的椭圆(1)D (2)C [(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为y 22－a －x 23－a ＝1.由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12.(2)方程mx 2－my 2＝n可化为x 2n m －y 2n m＝1.由mn <0知nm <0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．]求双曲线的标准方程(1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线经过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．[解] (1)法一 (待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得25a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4. ∴双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.法二 (定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上，则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)法一若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，(－2)2a 2－52b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝78，b 2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，52a 2－(－2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－7，b 2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.法二设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)来求解．[跟进训练]2．(1)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 23－y 2＝1C ．x 22－y 2＝1D ．x 2－y 22＝1 (2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1(1)C (2)B [(1)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.(2)由双曲线的焦点可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F 2，则有PF 2⊥x 轴，且PF 2＝4，点P 在双曲线右支上．所以PF 1＝(25)2＋42＝36＝6，所以PF 1－PF 2＝6－4＝2＝2a ，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1，选B ．]双曲线定义的应用1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支．2．若P 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的一动点，F 1，F 2为其左、右焦点，设∠F 1PF 2＝α，则S △F 1PF 2如何用α表示？提示：S △F 1PF 2＝b 2tan α2(可借助双曲线的定义及余弦定理推导)．【例3】 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．(2)已知F 1，F 2分别是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] (1)由两圆外切得等量关系⇒双曲线定义⇒轨迹方程． (2)双曲线的定义及余弦定理⇒∠F 1PF 2⇒面积公式求S △F 1PF 2. (1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) [如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．] (2)[解] 因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.把本例(2)的条件“|PF 1||PF 2|＝32”换成“∠F 1PF 2＝60°”，求S △F 1PF 2. [解] 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 2|－|PF 1|＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.1．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 2．求双曲线中的焦点三角形△PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．1．判断正误(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同． (2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线． ( ) (3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )[答案] (1)× (2)× (3)× 2．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．165C [设|PF 1|＝3t ，则|PF 2|＝4t ，|PF 2|－|PF 1|＝t ＝2a ＝2，所以t ＝2，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝6＝|PF 1|，所以F 1到PF 2的距离为62－42＝25，所以S △PF 1F 2＝12×8×25＝8 5.]3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．]4．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)．[解] (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以 2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.。

【全优设计】高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程目标导学新人教a版选修1-1

2.2.1 双曲线及其标准方程问题导学一、双曲线定义的应用活动与探究1若一动点P (x ，y )到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之差的绝对值为定值a ，讨论点P 的轨迹．迁移与应用 1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．2．设P 为双曲线x 216－y 29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．二、双曲线的标准方程及应用活动与探究2 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．迁移与应用若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|²|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －b(1)求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，通过解方程组即可确定m ，n ，避免了讨论．(2)待定系数法求双曲线标准方程的步骤： ①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．②设方程：根据上述判断设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．③寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c 的方程组． ④得方程：解方程组，将a ，b 代入所设方程即为所求．三、与双曲线有关的轨迹问题活动与探究3如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．迁移与应用设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，求C 的圆心轨迹L 的方程．(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，根据双曲线的定义，从而得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．答案：课前²预习导学【预习导引】1．差的绝对值两个定点两焦点间的距离预习交流1 提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a ＝0时，点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线；当2a ＞|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．当|MF 1|－|MF 2|＝2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线的一支．2．x 2a 2－y 2b 2＝1 y 2a 2－x 2b2＝1 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) a 2＋b 2 预习交流2 (1)提示：在x 2，y 2的系数异号且双曲线方程化为标准方程的前提下，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(2)提示：x (－5,0)和(5,0) 课堂²合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：由于a ≥0，|AB |＝4，所以讨论a 应分以下四种情况：a ＝0,0＜a ＜4，a ＝4，a ＞4．解：∵|AB |＝4，∴(1)当a ＝0时，轨迹是线段AB 的垂直平分线，即y 轴，方程为x ＝0； (2)当0＜a ＜4时，轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线；(3)当a ＝4时，轨迹是两条射线y ＝0(x ≥2)或y ＝0(x ≤－2)； (4)当a ＞4时，无轨迹．迁移与应用 1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12³36³32＝93．活动与探究 2 思路分析：(1)利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应首先明确焦点在哪个坐标轴上；(2)若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)，再将点A (±15，4)代入求λ，进而求方程．不过这种解题方法有一定的技巧性．解：方法一：设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3．又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－ ±15 2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线方程为y 24－x 25＝1．方法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程可得A (±15，4)．因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入方程得 ±15 227－λ＋4236－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．所以双曲线方程为y 24－x 25＝1．迁移与应用 A 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ．由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ． ∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|²|PF 2|＝m －a ．活动与探究3 思路分析：建立直角坐标系，根据所给的三角函数式借助正弦定理得到边的关系式，然后根据双曲线的定义，得到其轨迹方程．解：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理得，2|CB |＋|AB |＝2|AC |，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |．由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去双曲线的右支与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6．又A ，B ，C 三点不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x ＞2)．迁移与应用解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2，所以||CF 2|－|CF 1||＝4＜|F 1F 2|＝25．∴圆心C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，且2a ＝4，2c ＝25．∴a ＝2，c ＝5．∴b 2＝c 2－a 2＝1．∴C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1．当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) A．C．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c =3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或23答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B -＝______．答案：56 解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a R R AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22=1412x y上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F，则点F的坐标为(4,0)．把x＝3代入双曲线方程得y＝±15，即M点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝ 3－4 2＋ ±15－0 2＝4．。

高二数学：2.2.1《双曲线及其标准方程》学案(新人教A版选修1-1)

§2.2.1双曲线及其标准方程 ( 1课时)[自学目标]:掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.[重点]:双曲线标准方程。

[难点]:双曲线标准方程的推导过程。

[教材助读]:1、双曲线定义：把平面内与两个定点12,F F 的的等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做，两个焦点间的距离叫做。

定义中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”2、双曲线标准方程：222b a c +=（1）焦点在x 轴:（2）焦点在y 轴:3、双曲线标准方程的推导：（1）建系(2 ) 设点（3）列式（4）化简方程[预习自测]1、双曲线12322=-y x 的焦点坐标是（） A 、（0,5±） B 、（5,0±）C 、（0,1±） D 、（1,0±）2、求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）a=4,b=3,焦点在x 轴;焦点在y 轴;（2）焦点在x 轴上，经过点（2-,3-),(315,2);（3）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。

待课堂上与老师和同学探究解决。

[合作探究展示点评]探究一：双曲线标准方程例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程。

探究二：轨迹方程例2：已知A,B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。

[当堂检测]1．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) A.x 25－y 24＝1 B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1D.x 29－y 216＝12、方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分3、已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（） A 、k>5 B 、k>5，或-2<k<2 C 、k>2,，或k<-2 D 、-2<k<2 x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．[拓展提升]1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0)D (1,0)2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2C ．1或12D ．13、过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程为________．4、根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．★5、求与椭圆152522=+y x 有共同焦点且过点（2,23）的双曲线的标准方程；。

2.2.1 双曲线及其标准方程 学案 (人教A版选修1-1)

高中数学 第二章 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修1-1