微积分第八章习题答案(西南交大出版)

6) ∫∫ x e
2 D
− y2
d σ , 其中 是以 (0,0),(1,1),(0,1) 其中D是以
为顶点的三角形。 为顶点的三角形。
解：∫∫ x e
2 D
− y2
dσ =
y 0
∫
1 0
dy ∫ x e
2 0
y
− y2
dx
= = = = =
1 1 3 − y2 dy = ∫ y e dy ∫0 e 3 0 1 1 2 − y 2 2 = − 1 1 y 2 de − y 2 ∫0 y e dy 6 ∫0 6 1 1 2 − y2 1 − y2 − (y e − ∫ e dy 2 ) 0 0 6 1 −1 1 −1 − y2 1 − y2 − (e + e (e + e 0) = − 6 6 1 1 −1 − (2 e − 1) = (1 − 2 e − 1 ) 6 6
1 − y2
1 3 ⋅ x 3
1 0
)
2、交换下列二次积分的积分次序： 、交换下列二次积分的积分次序：
1) ∫ dy ∫ f ( x , y )dx =
0 0 1 y
∫
1 0
dx ∫ f ( x , y )dy
x
1
2) ∫ dx ∫
−1
1
1− x 2 1− x
2
f ( x , y )dy =
∫
1 0
Q f ( x, y) = x2 + y2 是单增函数
∴M = 5 −1,
则 ( 5 − 1)π ≤
m = 5 −1
x 2 + y 2 d σ ≤ ( 5 + 1)π
∫∫
D
P221 1、计算下列二重积分： 、计算下列二重积分： 3 2 3 3 其中D是由曲线 y = x , 其中 是由曲线 1) ∫∫ (3 x + 4 x y )d σ , 所围成的区域。 y = − x 及直线 x = 1 所围成的区域。
5) ∫∫ xy 2 d σ , 其中 是由圆 x2 + y2 = 4, 其中D是由圆 D 轴所围成的右半闭区域。 及 y 轴所围成的右半闭区域。
解：
∫∫
D
xy d σ =
2
∫
2 −2
dy ∫
4− y2 0
xy 2 dx
1 2 2 1 2 2 2 4− y2 = ∫ y (4 − y 2 ) dy = ∫ y ⋅x 0 dy −2 2 −2 2 2 4 3 1 5 2 2 4 = ∫ (4 y − y ) dy = ( y − y ) 0 0 3 5 1 1 = 64 = 32( − ) 15 3 5
(1,1)，(2,0)为顶点的三角形区域 ， 为顶点的三角形区域
1≤ x ≤ 2 Q 在三角形区域中， 在三角形区域中， ⇒ 1≤ x+ y ≤ 2 0 ≤ y ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ln( x + y) < 1 ⇒ ln( x + y ) ≥ ln 2 ( x + y ) > 0
D
D
∴ ∫∫ ln( x + y ) d σ ≥
D
π
=
∫π
5π 4
4
(sin x − cos x ) dx = ( − cos x − sin x )
π
5π 4 4
4
=2 2
5、利用二重积分计算下列曲面所围成的立体的 、 体积。 体积。
1) x + 2 y + 3 z = 1, x = 0, y = 0, z = 0;
解：Q 平面 x + 2 y + 3 z = 1 与 xoy 面的交线为
1 x 2
2
1 x
1 y dy = 2 x 3
1
3
2
e x d σ = 2 ∫0 dx ∫ x 3 e dy = 2 0 ( x − x )e dx 解： ∫∫
2
所围成的区域。 y = x 所围成的区域。
1 D
D 3
x
x
2
∫
1
3
x2
= ∫ e dx − ∫ x e dx = e
x2 2 2 x2 2 0 0
2 2
其中D为圆域： 其中 为圆域：D ( x − 2)2 + y 2 ≤ 1 为圆域
∫∫
x2 − y 2 dσ
∴ x2 − y 2 ≥ x2 − y 2 ≥ 0 ( x 2 − y 2 )dσ ≥ 则 ∫∫ x2 − y 2 dσ ∫∫
D D
2 ) ∫∫ ln( x + y ) d σ 与 ∫∫ ln 2 ( x + y )d σ 其中 以点 其中D以点 以点(1,0)
Biblioteka Baidu2 0
1 0
dy ∫
0 −1
1− y − 1− y
f ( x , y )dx
2
+ ∫ dy ∫
1− y 2 − 1− y
f ( x , y )dx
3) ∫ dy ∫
0
2 0
1
y y
2 x2 x
f ( x , y )dx
=
∫
∫
dx ∫
x x2
y
f ( x , y )dy
4) ∫ dx ∫
f ( x , y )dy =
D
ln 2 ( x + y )d σ ∫∫
D
3、利用二重积分的性质估计下列积分的值： 、利用二重积分的性质估计下列积分的值： 1) ∫∫ ( x + y + 10) d σ 其中 为圆域： 其中D为圆域 为圆域：
D
( x − 2)2 + ( y − 1)2 ≤ 2
解：设 f ( x, y, λ) = x + y +10 + λ[( x − 2)2 + ( y −1)2 − 2]
−1 x
y = ± 1 所围成的区域。 所围成的区域。 1 1 解： ∫∫ y − x d σ = ∫ dx ∫
D
y − x dy
1
x
+ ∫ dx ∫ x − y dy −1 3 −1 1 2 1 2 3 x 2 1 = ∫ ( y − x ) x dx + ∫ ( x − y ) 2 − 1 dx −1 3 −1 3 3 3 2 1 2 1 2 = ∫ (1 − x ) dx + ∫ ( x + 1) 2 dx 3 −1 3 −1 5 4 5 4 1 2 ( x + 1) 2 1 1 + (1 − x ) − 1 =− − 15 15 4 5 4 5 32 2 2 = 2 + 2 = 2 15 15 15
1
1
x2 1 0
− ∫ x de
2 0
1
x2
= e −1 − ( x e
2 x2 1 0
− ∫ e dx )
x2 2 0
1
= e −1− (e − e
4) ∫∫
D
) = e −1− (e − e +1) = e − 2 其中D是由直线 y − x d σ , 其中 是由直线 x = ±1,
x2 1 0
y x 解： ∫∫ ∫0 dx ∫ ∫0 x2 1x dx D 1 1 1 1 1 2 1 1 27 = ∫ ( x − 5 )dx = ( x + 4 ) 0 = 3 0 x 3 2 4x 64 3) ∫∫ e x d σ , 其中 是由直线 y = x, 和曲线 其中D是由直线
y dσ = 2 x
1 6 ⋅ x 6
1 −1 − y2 1 −1 − y2 1 =− (e + e =− (e + e 0) 12 12 1 1 −1 =− (2 e − 1) = (1 − 2 e − 1 ) 12 12
1 0
)
4、利用二重积分计算下列曲线所围成的区域的 、 面积。 面积。
1) y = x 2 与 y = 解：A = ∫∫ d σ =
Q f x′( x, y, λ) = 1+ 2λ( x − 2) f y′( x, y, λ) = 1+ 2λ( y −1) fλ′( x, y, λ) = ( x − 2)2 + ( y −1)2 − 2 f ′ ( x, y, λ) = 0 x x1 = 2 x2 = 1 ′ 令 f y ( x, y, λ) = 0 ∴ , , y1 = 3 y2 = 0 fλ′ ( x, y, λ) = 0
D
x;
∫
1 0
dx ∫
x x2
1 0
dy =
∫
1 0
( x − x 2 ) dx
2 =( 3
1 3 x − x ) 3
3
2 1 = 1 = − 3 3 3
5π 2) y = sin x 与 y = cos x ( ≤ x ≤ ) 4 4 5π sin x 4 解： A = ∫∫ d σ = ∫ π dx ∫co s x dy
Q f ( x, y) = x + y +10 是单增函数
∴M = 15,
D
m = 11
则 22 π = 11⋅ 2π ≤ ∫∫ ( x + y + 10) d σ ≤ 15 ⋅ 2π = 30 π
2 ) ∫∫
D
x 2 + y 2 d σ 其中 为圆域： 其中D为圆域 为圆域： ( x − 2)2 + ( y − 1)2 ≤ 1
∫ ∫
2
1
1 4 x dx = x 4
3
15 = 4
2) ∫ x dx ∫
5
− y2
e
− y2
dy =
y
1 0
e
− y2
dy ∫
y 0
x 5 dx
1 1 3 − y2 = ∫ e dy = ∫ y e dy 0 0 6 0 1 1 2 − y2 2 1 1 2 − y2 = ∫0 y e dy = − 12 ∫0 y de 12 1 1 2 − y2 1 − y2 =− (y e − ∫ e dy 2 ) 0 0 12
x + 2y = 1 , z = 0
轴的交点坐标为： 与 x 轴的交点坐标为：(1, 0, 0)
y 轴的交点坐标为： 1 , 0) 与 轴的交点坐标为： (0, 2 1 ∴ V = ∫∫ (1 − x − 2 y ) d σ 3 D
1− x 1 1 = ∫ dx ∫ 2 (1 − x − 2 y )dy 0 3 0 1− x 1 1 = ∫ ( y − xy − y 2 ) 0 2 dx 3 0 1 1 1 (1 − x ) 2 =− (1 − x ) 3 = ∫ dx 36 3 0 4
D
Q
∫∫
D
2 1 4 3 = π R3 R − x − y )dσ = ⋅ π R 3 2 3
2 2 2
2、利用二重积分的性质比较下列积分的大小： 、利用二重积分的性质比较下列积分的大小：
1) ∫∫ ( x 2 − y 2 ) d σ 与
D
1 ≤ x ≤ 3 Q 在圆域 ( x − 2) + y ≤ 1 中， − 1 ≤ 2y ≤ 1 0 ≤ x 2 − y ≤ 8 0 ≤ x + y ≤ 4 ⇒ ⇒ 0 ≤ x − y ≤ 2 0 ≤ x2 − y2 ≤ 2 2
(3 x 2 + 4 x 3 y 3 )d σ = 解： ∫∫
D
∫
1 0
dx ∫
x3 −
1 0
x
(3 x 2 + 4 x 3 y 3 )dy
5 15
=
D
∫
1
0
(3 x y + x y )
2 3 4
x3 − x
dx =
∫
(2 x + x
+ 3 x ) dx
5 2
1 6 1 16 6 7 1 = 1 + 1 + 6 421 2 =( x + x + x ) 0 = 3 16 7 3 2 16 7 336 y 2 ) ∫∫ 2 d σ , 其中 是由直线 y = x, x = 2 其中D是由直线 x D 及双曲线 xy = 1所围成的区域。 所围成的区域。
P214习题 8-1 1、根据重积分的几何意义，确定下列积分的值： 、根据重积分的几何意义，确定下列积分的值：
1) ∫∫ ( R −
D
x 2 + y 2 ) d σ , 其中 ： x 2 + y 2 ≤ R2 其中D：
Q
( R − x 2 + y 2 ) d σ = ∫∫ R d σ − ∫∫ x 2 + y 2 d σ ∫∫ D D 1 4 1 3 D 3 = π R3 − ⋅ π R = π R 2 3 3 2 ) ∫∫ R 2 − x 2 − y 2 ) d σ , 其中 ： x 2 + y 2 ≤ R2 其中D：
dy ∫ y f ( x , y )dx
2
+ ∫ dy ∫ y f ( x , y )dx
2
2
4
2
3、计算下列二次积分： 、计算下列二次积分：
1) ∫ dx ∫
1 2 3x x
3
xydy =
3
∫
2
1
1 2 x⋅ y 2
3x x
dx
2 1
1 = 2
1 0
∫
1
2
1
(3 x − x ) dx =
2x x2
解：设 f ( x, y, λ) = x2 + y2 + λ[( x − 2)2 + ( y −1)2 −1]
Q f x′( x, y, λ) =
f y′( x, y, λ ) =
x x2 + y 2
y x +y
2 2
+ 2λ( x − 2)
+ 2λ ( y − 1)
f λ′ ( x, y, λ ) = ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 − 1 f ′ ( x, y, λ) = 0 x1 = 25 +1 x2 = − 25 +1 x ′ , , 令 f y ( x, y, λ) = 0 ∴ 1 1 y1 = 5 +1 y2 = − 5 +1 fλ′ ( x, y, λ) = 0