高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定学案含解析新人教A版必修2

高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定学案含解析新人教A版必修2

3、1、2 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行[提出问题]平面几何中，两条直线平行，同位角相等、问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？提示：相等、问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在、问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定、可能平行也可能重合、[导入新知]对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k

2、[化解疑难]对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合、(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90，则l1∥l

2、(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：

l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在、两条直线垂直[提出问题]已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30，l1⊥l

2、问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝，k2＝－、问题2：上述问题中两直线l1，l2的斜率有何关系？提示：k1k2＝－

1、问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：一定、[导入新知]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1k2＝－

1、[化解疑难]对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0、(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直、(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1⊥l2⇔k1k2＝－1，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零、两条直线平行的判定[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行、(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，

H(2,3)；(3)l1的倾斜角为60，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)、[解] (1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或

重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l

2、(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合、(3)由题意知，k1＝tan60＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合、(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l

2、[类题通法]判断两条不重合直线是否平行的步骤[活学活用]求证：顺次连接A(2，－3)，B，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形(如图所示)、证明：因为kAB＝＝－，kCD＝＝－，所以kAB＝kCD，从而AB∥C

D、因为kBC＝＝－，kDA＝＝－，所以kBC≠kDA，从而直线BC与DA不平行、因此，四边形ABCD是梯形、两条直线垂直的问题[例2] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值、[解] 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k

2、∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，

∴l2的斜率存在、当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意、当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，由k1k2＝－1，得＝－1，解得a＝－

6、综上可知，a的值为5或－

6、[类题通法]使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步、(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式、(3)求值：计算斜率的值，进行判断、尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论、总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1k2＝－

1、[活学活用] 已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________、答案：(1,0)或(2,0)平行与垂直的综合应用[例3] 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状、[解] 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面

内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－、所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥C

D、由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行、又因为kABkAD＝(－

3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形、[类题通法]

1、在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标、

2、证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况、[活学活用]已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标、解：设D(x，y)，则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝、因为AB⊥CD，AD∥BC，所以，kABkCD＝－1，kDA＝kBC，所以解得即D(10，－6)、

[典例] (12分)已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直

线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)、(1)若l1∥l2，求m的值；

(2)若l1⊥l2，求m的值、[解题流程][规范解答]

[名师批注]①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备

的条件来求m值，解答过程不严谨、②处讨论k2＝0和k2≠0两