高中数学1-2-3空间中的垂直关系(第二课时)新人教B版必修2

高一数学必修2（人教B 版）第一章各节同步检测1-2-3空间中的
垂直关系（第二课时）
一、选择题
1．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α，m ⊥γ，那么必有( )
A ．α⊥γ和l ⊥m
B ．α∥γ和m ∥β
C ．m ∥β且l ⊥m
D ．α∥β和α⊥γ
[答案] A [解析]
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⎫m ⊂αm ⊥γ⇒α⊥γ，排除B 、C ；
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⎫m ⊥γ
β∩γ＝l ⇒m ⊥l ，∴选A. 2．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题： ①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β
④l ⊥m ⇒α∥β
其中正确的两个命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．②④
D ．①③
[答案] D
[解析]
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⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β
m ⊂β
⇒l ⊥m ，故①对；
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⎫α⊥βl ⊥α⇒l ∥β或l ⊂β，又m 是β内的一条直线，故l ∥m 不对；
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⎫l ∥m m ⊂β⇒l ∥β或l ⊂β
l ⊥α
⇒α⊥β，∴③对；
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⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m
⇒m ⊂α或m ∥α，无论哪种情况与m ⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D.
3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )
A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α
[答案] B
[解析] 若a与b异面时，A、C错；当a与b不垂直时，D错，故选B.
4．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
[答案] D
[解析] 如图(1)，β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A 错；
如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；
如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D.
点评：D选项证明如下：
α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，
∵m⊥β，∴m∥n，∵n⊂α，m⊄α，∴m∥α.
5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定
．．．成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
[答案] D
[解析] 本小题主要考查线面垂直、面面垂直、线线平行和线面平行．
点C若在α内，则有AC⊥β，若不在α内，则AC不垂直于β，这是面面垂直的性质，故选D.
6．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥a
[答案] B
[解析] 可以墙角为例知A错；B中，由β⊥γ，由β内有直线b⊥γ，而α∥β，则α内有a∥b，则a⊥γ，α⊥γ.
二、填空题
7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．
[答案] MN⊥AB
[解析] 如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC.∵MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，∴MN⊥AB.
8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________________________．
[答案] ②③④⇒①(答案不惟一)
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)
[答案] BM⊥PC(其它合理即可)
[解析] ∵四边形ABCD的边长相等，
∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.
若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．
∴当BM⊥PC时，PC⊥面BDM.
∴面PCD⊥面BDM.
10．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．
[答案] ①④⑤
[解析] ①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A－PMN是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②.
三、解答题
11．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.
[解析] 如图所示，连结A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．
取BC的中点N，连结AN、DN，
则DN∥A1B.
又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.
又△ABC是正三角形，
∴AN⊥BC.
又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，
∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，
∴B1C⊥AN.
又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，
∴B 1C ⊥平面AND .
又C 1A ⊂平面AND ，∴B 1C ⊥AC 1.
12．如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．
(1)求证：DE ＝DA ；
(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； (3)求证：平面DEA ⊥平面ECA . [解析] (1)取EC 的中点F ，连结DF . ∵CE ⊥平面ABC ，
∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE ，∴BD ∥平面ABC . 在Rt△EFD 和Rt△DBA 中，
EF ＝12
CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，
∴Rt△EFD ≌Rt△DBA .故DE ＝DA .
(2)取AC 的中点N ，连结MN 、BN ，则MN 綊CF . ∵BD 綊CF ，∴MN 綊BD ，∴N ∈平面BDM . ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .
又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA . 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA . (3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA .
又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .
13．(2009·山东文)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，
AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点．
(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1；
(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
[解析] (1)解法一：取A1B1的中点F1，连结FF1、C1F1，
∵FF1∥BB1∥CC1，∴F1∈平面FCC1，
∴平面FCC1即为平面C1CFF1，
连结A1D、F1C，∴A1F1綊D1C1綊CD，
∴四边形A1DCF1为平行四边形，
∴A1D∥F1C.
又∵EE1∥A1D，∴EE1∥F1C，
∵EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，
∴EE1∥平面FCC1.
解法二：∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，
∴CD綊AF，
∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1.
(2)证明：连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，
又F为AB的中点，∴AF＝FC＝FB，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，
∴AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC；
故平面D1AC⊥平面BB1C1C.
14．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和AC 的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.
[解析] ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC.
∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，
∴EF⊥平面BGD.又EF⊂平面BEF，
∴平面BDG⊥平面BEF.。