高中数学1-2-2充要条件习题课同步检测新人教B版选修2-1

1.2. 第2课时 充要条件习题课

一、选择题

1．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( ) A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件

D ．“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件，也不是“x ∈A ”的必要条件 [答案] B

[解析] ∵非空集合A 、B 、C 满足A ∪B ＝C ，且B A ，∴由x ∈A ⇒x ∈A ∪B ⇒x ∈C . 由x ∈C ⇒x ∈A ∪B ⇒x ∈A 或x ∈B . ∵B

A ，∴不一定有x ∈A ，∴选B.

2．(2010·广东文，8)“x ＞0”是“3x 2

＞0”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件 [答案] A

[解析] 本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x >0显然能推出3x 2>0，而3x 2

>0⇔|x |>0⇔x ≠0，不能推出x >0，故选A.

3．“m ＝1

2”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直”

的( )

A ．充分必要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件 [答案] B

[解析] (m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，

即(m ＋2)(4m －2)＝0. ∴m ＝－2，或m ＝1

2

.

故为充分不必要条件．

4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( ) A ．α，β都平行于直线l ，m

B ．α内有三个不共线的点到β的距离相等

C ．l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥β

D ．l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β [答案] D

[解析] A 、C 中l 与m 可能平行，B 中三点位于两平面交线的两侧时，如图．

AB ∥l ，α∩β＝l ，A 与C 到l 的距离相等时，A 、B 、C 到β的距离相等．

5．下列命题中的真命题有( )

①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；

②△ABC 中，AB →·BC →

<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件； ④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] B

[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．

由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，

∴②假；③显然为真．

由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角， ∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0. ∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．

反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π

2，

∴cos(A ＋B )<0， ∴cos A cos B 0，cos B >0， ∴tan A tan B >1，故④真．

6．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] 如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ， 但a b ＋d ”⇒/ “a >b 且c >d ”， 由不等式的性质可知，a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ， ∴“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件． 7．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] x >0，则x ≠0；反之，x ≠0，不一定x >0.故选A. 8．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝1

2”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] “α＝π6＋2k π”(k ∈Z )⇒“cos2α＝1

2”

“cos2α＝1

2

”

“α＝π

6

＋2k π”(k ∈Z )

因为α还可以等于2kπ－π

6

(k∈Z)，∴选A.

9．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] B

[解析] 注意当直线经过原点时，两个截距均为零，斜率值可以任意．

[点评] 涉及直线在两轴上截距成倍数关系的题目，莫漏掉过原点的情形．

10．(09·浙江理)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( ) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] C

[解析] 当a>0且b>0时，a＋b>0且ab>0；

当ab>0时，a，b同号，又a＋b>0，

∴a>0，且b>0.故选C.

二、填空题

11．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的________条件．

[答案] 必要不充分

[解析] 若a与b夹角为钝角，则a·b<0，反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a 与b夹角不是钝角．

12．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合________．

[答案] {－5,5，－10}

[解析] ①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；

③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.

13．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的________条件．

[答案] 必要不充分