高中数学1-2-2充要条件习题课同步检测新人教B版选修2-1

1.2. 第2课时 充要条件习题课
一、选择题
1．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( ) A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件
D ．“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件，也不是“x ∈A ”的必要条件 [答案] B
[解析] ∵非空集合A 、B 、C 满足A ∪B ＝C ，且B A ，∴由x ∈A ⇒x ∈A ∪B ⇒x ∈C . 由x ∈C ⇒x ∈A ∪B ⇒x ∈A 或x ∈B . ∵B
A ，∴不一定有x ∈A ，∴选B.
2．(2010·广东文，8)“x ＞0”是“3x 2
＞0”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件 [答案] A
[解析] 本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x >0显然能推出3x 2>0，而3x 2
>0⇔|x |>0⇔x ≠0，不能推出x >0，故选A.
3．“m ＝1
2”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直”
的( )
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] (m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，
即(m ＋2)(4m －2)＝0. ∴m ＝－2，或m ＝1
2
.
故为充分不必要条件．
4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( ) A ．α，β都平行于直线l ，m
B ．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C ．l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥β
D ．l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β [答案] D
[解析] A 、C 中l 与m 可能平行，B 中三点位于两平面交线的两侧时，如图．
AB ∥l ，α∩β＝l ，A 与C 到l 的距离相等时，A 、B 、C 到β的距离相等．
5．下列命题中的真命题有( )
①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；
②△ABC 中，AB →·BC →
<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件； ④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] B
[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．
由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，
∴②假；③显然为真．
由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角， ∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0. ∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．
反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π
2，
∴cos(A ＋B )<0， ∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0， ∴tan A tan B >1，故④真．
6．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] 如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ， 但a <b ，故由“a ＋c >b ＋d ”⇒/ “a >b 且c >d ”， 由不等式的性质可知，a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ， ∴“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件． 7．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] x >0，则x ≠0；反之，x ≠0，不一定x >0.故选A. 8．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝1
2”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] “α＝π6＋2k π”(k ∈Z )⇒“cos2α＝1
2”
“cos2α＝1
2
”
“α＝π
6
＋2k π”(k ∈Z )
因为α还可以等于2kπ－π
6
(k∈Z)，∴选A.
9．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 注意当直线经过原点时，两个截距均为零，斜率值可以任意．
[点评] 涉及直线在两轴上截距成倍数关系的题目，莫漏掉过原点的情形．
10．(09·浙江理)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( ) A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当a>0且b>0时，a＋b>0且ab>0；
当ab>0时，a，b同号，又a＋b>0，
∴a>0，且b>0.故选C.
二、填空题
11．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 若a与b夹角为钝角，则a·b<0，反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a 与b夹角不是钝角．
12．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合________．
[答案] {－5,5，－10}
[解析] ①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；
③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.
13．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p ，
∴p 是q 的必要不充分条件．
14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的____________条件．
[答案] 充要
[解析] ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，
∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；
y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5－b k －4，0，由交y 轴于负半轴，交
x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪
⎧
b －5<05－b
k －4
>0，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
b <5k >4
三、解答题
15．已知命题p ：|x －8|≤2，q ：
x －1x ＋1
>0，r ：x 2－3ax ＋2a 2
<0(a >0)．若命题r 是命题p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，试求a 的取值范围．
[解析] 命题p 即：6≤x ≤10；命题q 即：x >1；命题r 即：a <x <2a .若记以上3个命题中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，所以有A C
B ，结合数轴应有⎩
⎪⎨
⎪⎧
1≤a ≤6，
2a ≥10，即a 的取值范围是5≤a ≤6.
16．设x 、y 为实数，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充分且必要条件是xy ≥0. [证明] 充分性：∵xy ≥0
若x ＝0或y ＝0，|x ＋y |＝|x |＋|y |显然成立． 若xy >0，则x 、y 同号．
当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |
若x <0，y <0时，|x ＋y |＝－x －y ，|x |＋|y |＝－x －y ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |
∴综上所述，知xy ≥0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y | 必要性：∵|x ＋y |＝|x |＋|y |，两边平方得
x 2＋y 2＋2xy ＝x 2＋y 2＋2|xy |
∴xy ＝|xy |，∴xy ≥0 ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |⇒xy ≥0
∴xy ≥0是|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．
17．方程y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)所确定的曲线有两个交点的充要条件是什么？
[解析] 解法一：依题意有⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝a |x |
y ＝x ＋a ，即a |x |＝x ＋a ，当x >0时，x ＝
a
a －1
>0，解得
a >1或a <0(舍)；
当x <0时，x ＝
－a
a ＋1
<0，解得a >0或a <－1(舍)． ∴两曲线y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)有两个交点的充要条件是a >1. 解法二：如图所示，数形结合可知a >1成立．
18．设α、β是方程x 2
－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？
[分析] 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件p 与结论q 分别指什么，然后再验证p ⇒q 还是q ⇒p ，还是p ⇔q .
[解析] 根据韦达定理得a ＝α＋β，b ＝αβ，判定的条件是p ：⎩⎪⎨
⎪⎧
a >2
b >1，结论是q ：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
α>1，
β>1.(还要注意条件中需要满足大前提Δ＝a 2
－4b ≥0)
(1)由⎩⎪⎨
⎪⎧
α>1
β>1，
得a ＝α＋β>2，b ＝αβ>1，∴q ⇒p .
(2)为了说明p ⇒/q ，可以举出反例：取α＝4，β＝12，它满足a ＝α＋β＝4＋1
2>2，b
＝α·β＝4×1
2
＝2>1，且满足Δ>0，但q 不成立．
由上述讨论可知：a >2且b >1是α>1，β>1的必要但不充分条件．。