17.2勾股定理逆定理(2)教案

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《17.2勾股定理的逆定理》教学设计(第2课时)

《17．2勾股定理的逆定理》教学设计（第2课时）一、内容和内容解析1.内容应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题.2.内容解析运用勾股定理的逆定理可以从三角形边的数量关系来识别三角形的形状，它是用代数方法来研究几何图形，也是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材.综合运用勾股定理及其逆定理能帮助我们解决实际问题.基于以上分析，可以确定本课的教学重点是灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.二、目标和目标解析1.目标(1)灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.(2)进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.2.目标解析达成目标(1)的标志是学生通过合作、讨论、动手实践等方式，在应用题中建立数学模型，准确画出几何图形，再熟练运用勾股定理逆定理判断三角形状及求边长、面积、角度等；目标(2)能先用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性质进行有关的计算和证明.三、教学问题诊断分析对于大部分学生将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用，有一定的困难，所以在教学时应该注意启发引导学生从实际生活中所遇到的问题出发，鼓励学生以勾股定理及逆定理的知识为载体建立数学模型，利用数学模型去解决实际问题.本课的教学难点是灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题.四、教学过程设计1.复习反思，引出课题问题1 通过前面的学习，我们对勾股定理及其逆定理的知识有一定的了解，请说出勾股定理及其逆定理的内容.师生活动：学生回答勾股定理的内容“如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么；勾股定理的逆定理“如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形.追问：你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题?师生活动：学生通过思考举手回答，教师板书课题.【设计意图】通过复习勾股定理及其逆定理来引入本课时的学习任务——应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题.2. 点击范例，以练促思问题2 某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?师生活动：学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题，教师通过梯次性问题的展示，适时点拨，学生尝试画图、估测、交流中分化难点完成解答.追问1：请同学们认真审题，弄清已知是什么?解决的问题是什么?师生活动：学生通过思考举手回答，教师在黑板上列出：已知两种船的航速，它们的航行时间以及相距的路程，“远航”号的航向——东北方向；解决的问题是“海天”号的航向.追问2：你能根据题意画出图形吗?师生活动：学生尝试画图，教师在黑板上或多媒体中画出示意图.追问3：在所画的图中哪个角可以表示“海天”号的航向?图中知道哪个角的度数?师生活动：学生小组讨论交流回答问题“海天”号的航向只要能确定&ang；QPR的大小即可.组内讨论解答，小组代表展示解答过程，教师适时点评，多媒体展示规范解答过程.解：根据题意，因为，即，所以由“远航”号沿东北方向航行可知.因此，即“海天”号沿西北方向航行.课堂练习1. 课本33页练习第3题.课堂练习2. 在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗?【设计意图】学生在规范化的解答过程及练习中，提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力.3. 补充训练，巩固新知问题3 实验中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮?师生活动：先由学生独立思考.若学生有想法，则由学生先说思路，然后教师追问：你是怎么想到的?对学生思路中的合理成分进行总结；若学生没有思路，教师可引导学生分析：从所要求的结果出发是要知道四边形的面积，而四边形被它的一条对角线分成两个三角形，求出两个三角形的面积和即可.启发学生形成思路，最后由学生演板完成.【设计意图】引导学生利用辅助线解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识.4. 反思小结，观点提炼教师引导学生参照下面两个方面，回顾本节课所学的主要内容，进行相互交流：(1)知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应用；(2)方法归纳：数学建模的思想.【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想.5.布置作业教科书34页习题17.2第3题，第4题，第5题，第6题.五、目标检测设计1.小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米，回到检录处，则他开始走的方向是(假设小明走的每段都是直线) ( )A.南北B.东西C.东北D.西北【设计意图】考查运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题.2.甲、乙两船同时从港出发，甲船沿北偏东的方向，以每小时9海里的速度向岛驶去，乙船沿另一个方向，以每小时12海里的速度向岛驶去，3小时后两船同时到达了目的地.如果两船航行的速度不变，且两岛相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏东多少度?【设计意图】考查建立数学模型，准确画出几何图形，运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题.3.如图是一块四边形的菜地，已知，，，，，求这块菜地的面积.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

儋州市实验中学八年级数学下册第十七章勾股定理17.2 勾股定理的逆定理说课稿2 新人教版 (2)

（三）、学生在教师的指导下尝试解决问题，总结规律（包括难点突破）
因为几何来源于现实生活,对初二学生来说选择适当的时机，让他们从个体实践经验中开始学习，可以提高学习的主动性和参与意识，所以勾股定理的逆定理不是由教师直接给出的，而是让学生通过动手折纸在具体的实践中观察满足条件的三角形直观感觉上是什么三角形,再用直角三角形插入去验证猜想。
第五步：课后练习
计算(1)
(2)
(3)
(4)
答案：(1) (2) （3）（4）
【作业布置】
(4)一次函数
12.1 函数
第1课时变量与函数
一、素质教育目标
（一）知识ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学点：
1．使学生了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式；
2．了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数．
（二）能力训练点：培养学生观察、分析的能力．
（三）德育渗透点：
1．通过常量、变量、函数概念的学习，培养学生会运用运动、变化的观点思考问题；2．通过例题向学生进行生动具体的知识来源于实践反过来又作用于实践的辩证唯物主义教育；
3．通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律变化着的．
二、教学重点、难点和疑点
（二）整体感知
请同学们先看两个实际问题：（出示幻灯）
问题1：某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请大家思考：在整个的售米过程中出现了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？
由学生讨论回答．
答：共出现了米的千克数、每千克米的价格、总价三个量，其中千克数和总价是随着顾客的需购量的不同而变化的，但每千克米的价钱即单价是不变的．
勾股定理的逆定理
一、教材分析 :（一)、本节课在教材中的地位作用

人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理(2)》名师教案

17.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、教学目标1．核心素养:通过运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识．2．学习目标（1）理解勾股数的含义.（2）能运用勾股定理的逆定理解决实际问题.3．学习重点勾股定理的逆定理的应用.4．学习难点二、教学设计（一）课前设计1．预习任务请写出几组能作为直角三角形边长的正整数.2．预习自测1.由7、24、25组成的三角形是直角三角形吗？2.我们知道以3、4、5为边长能构成直角三角形，那6、8、10呢？9、12、15呢？你发现了什么？（二）课堂设计1．知识回顾勾股定理的逆定理是什么？2．问题探究问题探究一勾股数●活动一理解定义像3、4、5这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数. 即满足的三个正整数就称为勾股数.再如：…●活动二推理论证我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？因为，，所以且3k 、4k 、5k 均为正整数，所以3k 、4k 、5k 也是一组勾股数.●活动三推广提升一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？因为，，而，∴∴，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数.请你再写几组勾股数.问题探究二利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题重点知识★ ●活动一初步应用例1 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile ，“海天”号每小时航行12nmile, 它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？E NRP Q【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：根据题意PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18， QR=30，因为，即，所以QPR=90o .由“远航”号沿东北方向航行可知，“海天”号沿西北方向航行. 点拨：由已知条件易想到求出两轮船航行的路程，即为三角形的边长，从而已知C A 三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形而解决问题 .●活动二拓展提升例2 如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=90°.又AB 2+BC 2=52+122=169=132∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288，∴CE=13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.点拨：由题意可得△ABC 的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理的逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，再利用勾股定理建方程求出CE 的长，从而解决问题.问题探究三勾股定理及逆定理的综合运用例3. 某中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【知识点：勾股定理，勾股定理的逆定理；】详解：连接BD. 在Rt△ADB中∠BAD=90o，BD==5，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴S四边ADBC=S△ADB+ S△DBC=5×12=36∴36×200=7200（元）.答：学校需投入7200元买草皮.点拨：根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案.3．课堂总结【知识梳理】1. 一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.2.利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题.【重难点突破】1.三个数是勾股数，则必须满足两个条件：（1）较小的两个数的平方和等于较大数的平方.（2）三个数必须是正整数.2.已知一个三角形的三边长时，首先应想到利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形.3.在勾股定理及其逆定理的综合运用时需注意正确区分：勾股定理是在直角三角形中运用，而其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形.4．随堂检测1. 在△ABC中，三边长a、b、c满足 = 0，则此三角形为（）A . 钝角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【知识点：勾股定理的逆定理】【答案】D2. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数：， .【知识点：勾股数】【答案】5，12，13；9，40，41.3．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？东【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】∵AC＝16×3＝48，AB＝12×3＝36，∴222222+=-==，BC AC AB604836∴△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40o.4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13 ， BC=12，这个零件符合要求吗？【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】这个零件符合要求.在△ADB中，，则，∴∠DAB=90o，同理，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴这个零件符合要求.。

17.2 勾股定理的逆定理(2)旋转勾股

17.2 勾股定理的逆定理（二）基础版【教学目标】1．掌握勾股定理及逆定理与旋转综合的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题．2．掌握勾股定理及逆定理与常规问题的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题．3．掌握勾股定理及逆定理与夹半角综合的图形特征、基本思路和变式类型，熟练解此类问题．【重点难点】1．旋转问题（构手拉手全等&Rt△）；2．常规问题（导角导线、Rt△斜边中点处的直角、逆命题）；3．夹半角模型（构Rt△）．【夯实基础】1．勾股定理及逆定理与旋转问题的图形特征：．2．勾股定理及逆定理与旋转问题的基本思路：．3．勾股定理及逆定理与旋转问题的问题类型：．【基本图形】1．旋转问题：2．等腰Rt△夹半角：（1）基本图已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，E、F是斜边AB上两点，△ECF＝45°．结论AE2＋BF2＝EF2．证法①旋转法（vs过A作AF′△AB且AF′＝BF，连CF′、EF′）；②轴对称法．△CEF′ ≌△CEF（SAS），Rt△AEF′△CFA′ ≌△CFB（SAS），Rt△A′EF（2）变式图已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，E、F是直线AB上两点，△ECF＝45°．结论AE2＋BF2＝EF2．证法①旋转法（vs过A作AF′△AB且AF′＝BF，连CF′、EF′）；②轴对称法．△CEF′ ≌△CEF（SAS），Rt△AEF′△CFA′ ≌△CFB（SAS），Rt△A′EF重难点1勾股定理及逆定理与旋转问题♀例一♀．（手拉手）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为；（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA、DB、PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若图1 图2 图3♂巩固练习♂1．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且P A＝3，PB＝1，CD＝CP＝2，CD ⊥CP，求△BPC的度数．♀例二♀．如图，在△ABD中，AB＝AD，△BAD＝90°，P A＝a，PB＝b．（1）若P点在△ABD外，且△APB＝45°，求PD的长；（2）若P点在△ABD内，且△APB＝135°，求PD的长．1．正方形ABCD内一点P，连接P A、PB、PC．（1）若P A：PB：PC＝1：2：3，求△APB的度数；（2）若P A2＋PC2＝2PB2，求证：点P在对角线AC上．♀例三♀．（1）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，P A＝1，PB3，PC＝2．求∠BPC的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为；在△P AP′中，易证∠P AP′＝90°，且∠PP′A的度数为，综上可得∠BPC的度数为；（2）类比迁移如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，P A＝2，PB2，PC＝1．求∠APC的度数；（3）拓展应用如图3，在四边形ABCD中，BC＝4，CD＝5，AB＝AC＝12AD，∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．图1 图2 图31．在△ACD中，AD＝4，CD＝3；在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，若△CAB＝60°，△ADC＝30°，△在△ACD外作等边△ADD′，求证：BD＝CD′；△求BD的长；（2）如图2，若△CAB＝90°，△ADC＝45°，求BD的长．图1 图22．请阅读下面的材料：问题：如图△，在等边△ABC内有一点P，且P A＝2，PB＝PC＝1，求△BPC的度数和等边△ABC的边长；李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②）．连接PP′．根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC＝°，等边△ABC的边长为．（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且P A，BP PC＝1，求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．①②③♀例四♀．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，且P A＝2PC，设∠APB＝α，∠CPB＝β．（1）如图1，若∠ACP＝45°，将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，易证△DAP为等边三角形，则α＝，β＝；（2）如图2，若PB＝2P A，则α＝，β＝；（3）如图3，试猜想α与β之间的数量关系，并给予证明．图1 图2 图3♂巩固练习♂1．如图，P是正△ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10，求S△P AB＋S△P AC的值．重难点2勾股定理及逆定理与常规问题♀例五♀．等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图△）．（1）求证：AM＝AN；（2）连接DE分别与边AB、AC交于点G、H，如图②，当∠BAD是多少度时，AD＝DH？①△♂巩固练习♂1．如图，在△ABC中，△ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、CD分别交于点G、H，△ABE＝△CBE．（1）线段HB与AC相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；（2）求证：BG2－GE2＝EA2．♀例六♀．（Rt△斜边中点处的直角）如图，在△ABC中，D是BC的中点，点M是AB上的点，点N在AC边上，并且△MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证：△BAC＝90°．♂巩固练习♂1．如图△，在△ABC中，CA＝CB，△ACB＝90°，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上的点，且DM ⊥DN．（1）求证：CM＋CN＝2BD；（2）如图△，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．①△2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD是BC边上的中线，且AD＝4，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．（1）求证：△AEC是直角三角形；（2）求BC边的长．3．如图，CD是△ABC的高，D在边AB上，且CD2＝AD·DB，求证：△ABC为直角三角形．重难点3勾股定理及逆定理与夹半角模型♀例七♀．△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在直线BC上，如图1，若△DAE＝45°，求证：BD2＋CE2＝DE2．【阅读理解】要证明BD2＋CE2＝DE2，设法将BD、CE、DE转化为某直角三角形的三边即可，故过A作AF⊥AD，且AF＝AD．连接CF、EF．再通过证明△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF．即可将BD、CE、DE 三边转化到直角△ECF中解决问题．【拓展应用】如图2，若∠DAE＝135°，其他条件不变，请探究：以线段BE、CD、DE的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．图1 图2♂巩固练习♂1．（1）如图△，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求△EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M、N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN、ND、DH之间的数量关（3）在图①中，连接BD分别交AE、AF于点M、N，若EG＝4，GF＝6，BM＝32，求AG、MN的长．①△2．如图，已知在Rt△AOB中，OA＝OB，△AOB＝90°，E、F在AB上，且△EOF＝45°．（1）求证：EF2＝AE2＋BF2；（2）如图，过E作EM⊥OA于M，过F作FN⊥OB于N，ME、NF交于点P，若设NF＝x，ME＝y，PE ＝a，则x2＋y2与a2之间的关系式为，若△AME、△BFN、△PEF的面积分别为S1、S2、S3，则S1＋S2与S3之间的数量关系为．♀例八♀．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，△BAC＝90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE存在等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立，现请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3 图4♂巩固练习♂1．已知Rt△ABC中，△ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C 旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM＝BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM＝AM，PN＝BN，△PMN的形状是，线段AM、BN、MN之间的数量关系是．（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是．（无需证明）①△ △2．（1）如图△，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足△DBE＝12△ABC（0°＜△CBE＜12△ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′＝DE．（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2＝AD2＋EC2．（3）如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点E是AC边上的点，点D是CA边延长线上的点，且∠DBE＝45°．第（2）题中的结论：DE2＝AD2＋EC2还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图1 图2 图3。

17.2勾股定理的逆定理(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理逆定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理逆定理的判断条件和实际应用这两个重点。对于难点部分，如如何从实际问题中提取有效信息，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理逆定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量实际物体的边长，计算并判断是否为直角三角形。
举例：
在讲解勾股定理的逆定理时，教师可以通过具体的直角三角形图形，引导学生观察和总结规律，如3²+4²=5²，得出5-4-3组成的三角形是直角三角形。
2.教学难点
（1）理解逆定理的含义：学生容易混淆勾股定理和逆定理，难以理解逆定理是从一个已知的条件出发，反推三角形类型。
（2）在实际问题中灵活运用逆定理：学生在解决问题时，往往不知道如何将问题转化为勾股定理的逆定理来解决。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理逆定理的基本概念。勾股定理逆定理是指如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。它是判断直角三角形的一个重要方法，在几何学中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量一个三角形两边的长度，计算第三边的长度，并判断这个三角形是否为直角三角形。

人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》教学设计

-让学生分组讨论，尝试发现并总结勾股定理的逆定理。
-教师提供指导性的问题，引导学生通过画图、计算、推理等手段探索定理的正确性。
-分享探究成果，各组展示不同的解题思路和方法，促进学生之间的相互学习和启发。
3.知识讲解，深化理解
-教师对勾股定理的逆定理进行系统的讲解，强调定理的条件和结论。
-通过多媒体演示或实物模型展示，帮助学生形象化理解定理的内涵。
3.创新思维题：
-设立1-2道开放性问题，鼓励学生从不同角度思考，探索多种解题方法。
-鼓励学生尝试自己编写与勾股定理的逆定理相关的题目，并与同学分享，激发学生的学习兴趣和创造力。
4.小组合作任务：
-分配一个小组研究课题，例如“讨论研究，并在下节课上进行汇报展示。
4.设计具有层次性的练习题，使学生在不同难度层次的题目中逐步提高自己的解题能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于探索、善于发现的精神，使学生体验数学探究的乐趣。
3.培养学生严谨、踏实的科学态度，养成认真思考、独立解决问题的习惯。
4.通过勾股定理的逆定理的学习，使学生感受数学在现实生活中的广泛应用，体会数学的价值。
2.学生在证明过程中可能出现的逻辑错误，需要教师及时指导纠正。
3.学生对于勾股定理与逆定理之间的联系和区别的把握。
教学设想：
1.创设情境，引入新课
-通过呈现一些生活中的实际例子，如建筑物的直角结构、直角三角形的艺术品等，引导学生观察并思考这些直角三角形的特征，自然引入勾股定理的逆定理。
2.自主探究，合作交流
2.强调勾股定理与逆定理之间的联系，提醒学生注意在解决问题时灵活运用。
3.鼓励学生主动探索数学问题，培养他们勇于挑战、不断进取的精神。

17.2勾股定理的逆定理(优质课)教学设计

17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计1000字教学设计：勾股定理的逆定理教学目标：1. 理解勾股定理的逆定理。

2. 能够使用逆定理解决三角形直角问题。

3. 培养学生自信心和解决问题的能力。

教学过程：一、导入：老师可以让学生回顾一下勾股定理，强调直角三角形的特征和斜边平方等于两条直角边平方和的关系。

二、新知：老师让学生学习勾股定理的逆定理。

首先，老师列出勾股定理的公式：a²+b²=c²。

然后，老师强调因为右边的平方和等于左边的平方和，所以如果c²=a²+b²那么这个三角形是直角三角形。

三、讲解：老师为学生讲解勾股定理的逆定理。

勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边中，某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

四、练习：老师让学生完成以下练习，巩固勾股定理的逆定理的运用能力。

1、在图中，AB=25，BC=24，AC=7，则△ABC是什么三角形？2、在图中，AB=10，AC=6，BC=8，则△ABC是什么三角形？3、在图中，AB=13，AC=12，则BC的值是多少？五、展示：老师通过学生的练习，展示勾股定理的逆定理的应用。

六、总结：老师总结课程，让学生复习并归纳勾股定理和勾股定理的逆定理，以及它们在解决直角三角形问题中的应用。

七、作业：老师布置勾股定理和勾股定理的逆定理的作业，要求学生在完成作业的同时，运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决问题。

教学方法：讲解、练习、展示、总结教学工具：黑板、彩色粉笔、PPT评估方法：学生完成的课堂练习和作业，以及他们在课堂上所展示的应用。

教学反思：教师需要注意在讲解中，既要强调勾股定理的逆定理的概念和公式，也要注重其实际应用。

在练习和布置作业中，老师需要注意难易程度的掌控，要让学生既能够完成，又能够得到提高。

在展示中，老师应该强调问题的解决方法，并及时纠正错误。

在总结时，老师需要重点强调勾股定理和勾股定理的逆定理的区别和应用，以及怎样能够更好地运用勾股定理和逆定理解决问题。

数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理(二)教学设计

3.如果一个三角形的三边为a ,b ,c满足a2+c2=b2,那么这个三角形是＿＿三角形,其中b边是＿＿边,b边所对的角是＿＿角.
4.已知三角形ABC的三边长a，b，c为满足a+b=10，ab=18，c=8求此三角形是什么,这三条线段能组成一个直角三角形
6.直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于cm.
7.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD=cm；AB边上的CE=cm
8.下列命题中是假命题的是( )
(A)△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
(B)△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
培养互逆数学思维和数形结合思想感悟勾股定理和逆定理的应用价值了解古今中外勾股定理有关知识培养学生的探究创新意识并形成名族自豪感知识与技能过程与方法情感态度与价值观重点难点灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题
17．2勾股定理的逆定理（二）教学设计
教学目标
知识与技能
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
BC=12m。求这块地的面积。
第五步：课堂小结、提升思维
本节课我们学会了那些知识，运用了哪些方法。互逆思维，数形结合。
收集古今中外关于勾股定理有关的知识。完成一篇科普小品文。
第六步：当堂检测、完成作业
1.请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、——；（2）10、26、——
2.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC边上的高为AD=.
过程与方法
意识在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。
情感态度与价值观
培养互逆数学思维和数形结合思想，感悟勾股定理和逆定理的应用价值，了解古今中外勾股定理有关知识，培养学生的探究创新意识，并形成名族自豪感

人教版八年级数学下册17.2.2《勾股定理的逆定理》教案设计

4.勾股定理的文字语言：符合语言：勾股定理的逆定理文字语言：
符合语言：
你会用这个结论判断一个三角形是不是直角三角形吗？这个结论与勾股定理有什么关系吗？
说明：（1）勾股数的整数倍仍然为勾股数；
（2）以勾股数的倍数为三边长的三角形一定是直角三角形。
5、下列各组室是勾股数吗？
（1）12，15，18
（2）11， 60 61
（1）a=15,b=8,c=17
(2)a=13,14,c=15
备课
组长
签字
年月日
负责
人签
字
年月日
17.2勾股定理的逆定理教学设计
17.2勾股定理的逆定理
课型
新授课
年级
八年级
备课时间
主备人
一、教学目标
1、知识与技能目标：掌握勾股定理的逆定理，并能进行灵活应用.
2、过程与方法目标：理解勾股数的概念,能灵活应用勾股数简化运算
3、情感态度与价值观目标：经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系.
2、请你画出两个三边长分别为3cm,4cm,5cm和5cm,12cm,13cm的三角形.你发现它们有什么共同的特点吗？(画在草稿纸上)3、猜想：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？这个结论与勾股定理有什么关系吗？
二、讲授新课
1）、如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形
2.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形？
（1）a=15,b=8,c=17
(2)a=13,b=14,c=15
1．会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）
2．会用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形

陕西省安康市紫阳县紫阳中学八年级数学下册 17.2 勾股定理逆定理(第2课时)教案(新人教版)

17.2 勾股定理逆定理（第2课时）课题: 17.2 勾股定理逆定理（第2课时）教学目标知识与能力：1．说出证明勾股定理逆定理的方法。

2．叙述逆定理，互逆定理的概念。

过程与方法：1．经历证明勾股定理逆定理的过程，发展逻辑思维能力和空间想象能力。

2．经历互为逆定理的讨论，树立严谨的治学态度和实事求是求学精神。

情感态度价值观：1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，树立克服困难的勇气和坚强的意志。

2．树立与人合作、交流的团队意识。

教学重、难点重点：勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念。

难点：互逆定理的概念学情分析本节主要学习勾股定理逆定理的证明，经历证明勾股定理逆定理的过程，得出命题2是正确的，引出勾股定理的逆定理的概念，最后是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。

课前准备多媒体教学过程教师活动学生活动设计意图创设问题情境，引入新课二、讲授新课活动 1 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24活动2 问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗?如何证明呢?△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗?我们画一个直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°(如下图)由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．在此活动中，教师应重点关注：①学生是否熟练地完成填空；②学生是否积极主动地完成任务．生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．本活动中，教师应重点关注学生：①能否在教师的引导下，理清思路．②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论．我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力把画好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它们重合吗?1．如果三条线段长a，b，c 满足a2＝c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(3)全等三角形的对应角相等．(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[例1]一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠D BC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?[例2](1)判断以a＝A'B'＝c △ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝90°．△ABC为直角三角形．即命题2是正确的．学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注学生．①学生对勾股定理的逆定理的理解．②学生对互为逆命题的掌握情况．③学生面对困难，是否有克服困难的勇气．学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．在此活动中，教师应重点关注学生：①能否进一步理解勾股定理的逆定进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．请问：上述解法对吗?为什么?(2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC 边上的中线AD＝12cm．求证：AB＝AC．你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．理，②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．③能否从中体验到学习的乐趣。

《勾股定理的逆定理》教案

b c 转化为如何判断一个角是直角。

BC17．2 勾股定理的逆定理第一课时教学目的1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

重点、难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

2．难点：勾股定理的逆定理的证明。

例题的意图分析例 1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例 2 通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例 3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出 a 2+b 2 和 c 2 的值。

③判断 a 2+b 2 和 c 2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

课堂引入创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

例习题分析例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

解略。

例 2 证明：如果三角形的三边长 a ，，满足 a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题cA A1b b⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三 a a B1C1角形全等，使问题得以解决。

八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理教案2(新版)新人教版

勾股定理的逆定理课时1课时一、教材内容分析：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理是利用边长关系来判断三角形是直角三角形的一种方法。

勾股定理的逆命题是真命题，勾股定理和它的逆定理是互为逆定理关系，两个定理的题设和结论正好相反，应该注意，对于一般命题，原命题为真命题，逆命题不一定是真命题，在命题的研究中，研究一个命题的逆命题是一种常用的研究方法。

二、教学目标（知识、技能、情感态度与价值观）理解勾股定理的逆定理，经历“实验测量—猜想—论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。

了解逆命题的概念，并了解原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。

三、学习者特征分析我们学生数学基础稍差，计算能力不强。

分析能力有待提高。

四、教学策略选择与设计按照初中生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想。

通过“实验测量—猜想—论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想五、教学环境及资源准备教学环境：“双案”导学下的小组合作学习。

资源准备：投影、大屏幕。

六、教学过程教学过程教师活动学生活动设计意图及资源准备准备圆规，复习勾股定理的内容复习：在△ABC中，∠C=90°，内角∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c.(1)若a=6,b=8,则c=_____(2)若b=5,c=13,则a=_____(3)若c=34,a:b=8:15则a=___,b=___ 研习引课：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（原命题）思考如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

（逆命题）例如：两直线平行，内错角相等。

内错角相等，两直线平行。

实验操作：画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直大屏幕出示复习题。

【教学设计】勾股定理的逆定理(2)

勾股定理的逆定理教学目标知识与技能1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

过程与方法在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律。

情感态度与价值观培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值重点灵活应用勾股定理及逆定理解综合题目难点灵活应用勾股定理及逆定理解解综合题目教学设计与师生互动备注第一步：课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

第二步：应用举例：例1已知：在△中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a222+338=102426c。

试判断△的形状。

分析：利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2已知：如图，四边形，∥，4，6，5，3。

求：四边形的面积。

分析：使学生掌握研究四边形的问题，AB CDE通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。

本题辅助线作平行线间距离无法求解。

创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明就是平行线间距离。

⑴作∥，连结，则可以证明△≌△（）；⑵4，3，3；⑶在△中，3、4、5勾股数，△为直角三角形，⊥；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

例3已知：如图，在△中，是边上的高，且2·。

求证：△是直角三角形。

分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。

∵222，222∴222+2222+2·2=（）22第三步：课堂练习1．若△的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△是（）A ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．等腰三角形或直角三角形；D ．等腰直角三角形。