辽宁省大连市届高三数学双基测试试题文(含解析)

为 x R, x2 4 0
故选 :D 【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定 , 全称量词的否定形式 , 属于基础题 .
4. 为了解某商品销售量 y （件）与销售价格 x（元 / 件）的关系，统计了 x, y 的 10 组值，并
画成散点图如图，则其回归方程可能是（
）
A. y? 10 x 198
B. y? 10 x 198
定理可得 a、c 的关系 , 进而求得双曲线的离心率 .
【详解】设
F1, F2 分别是双曲线
x2 C, a2
y2 b2
1的左右两个焦点 , P 为双曲线右支上一点
由双曲线定义可知 PF1 PF2 2a
而 PF1 PF2 6a
PF1 PF2 6a
PF1 4a
所以
, 解得
PF1 PF2 2a
PF2 2a
中点 M的横坐标是（
）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据抛物线方程画出图像 , 结合抛物线定义及梯形中位线性质 , 即可求得 AB中点 M的横坐标 .
【详解】直线 l 过抛物线 C : y2 8 x 的焦点 , 交抛物线 C于 A、B 两点
则其焦点坐标为 F 2,0 , 准线方程为 x 2 过 A 向准线作垂直交准线于 P 点 , 过 B 向准线作垂直交准线于 Q 点 , 过 M 向准线作垂直交准 线于 N , 交 y 轴于 H , 如下图所示 :
因为 F1PF2 120 , F1F2 2c
2
2
2
所以在 F1PF2 中由余弦定理可得 F1F2
PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos F1PF2
代入可得 4c2 16a2 4a2 2 4a 2a cos120 化简可得 c2 7a2
所以双曲线的离心率为 e
c2
7
a2
故选 :D
【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单应用
π, π 上单调递减的是（
）
2
A. y cosx
B. y 2 |sin x |
C. y cos x
D.
2
y tan x
【答案】 B
【解析】
【分析】
根据解析式 , 判断出最小正周期 , 及函数的单调递减区间 , 即可判断 .
【详解】对于 A, y cosx 的最小正周期为 2 , 所以 A 错误 ;
-3-
x2 C, a2
y2 b2
1 (a
0, b
0) 的两个焦点， P 是双曲线 C上一点，若
PF1 PF2 6a ，且 F1PF2 为 120 ，则双曲线 C的离心率为（ ）
-7-
A. 3 1 2
【答案】 D
【解析】 【分析】
B. 5 1 2
C. 5
D. 7
根据双曲线定义及 PF1 PF2 6a , 可用 a 分别表示出 PF1 、PF2 , 在 F1PF2 中应用余弦
拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为
1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小
的锐角为 ，则 sin 2 等于（ ）
3
A.
5
【答案】 D
4
B.
5
7 C.
25
24
D.
25
【解析】
【分析】
设直角三角形的两条直角边中较短的边为
a , 较长的边为 b . 根据两个正方形的面积 , 结合勾股
定理求得 a 与 b 的关系 , 进而求得 sin 和 cos , 再由正弦的二倍角公式即可求得 sin 2 .
对于 B, 结合函数图像可知 y 2 sin x 的最小正周期为
, 在 π, π 上单调递减 , 所以 B正确 ; 2
对于 C, y cos x 的最小正周期为 4 , 所以 C 错误 ; 2
对于 D, y tan x 的最小正周期为
, 在区间 π,π 上单调递增 , 所以 D错误 . 2
综上可知 ,B 为正确选项 .
. 减去文物
【详解】由题意可知 , 文物底部是直径为 0.9 米的圆形 , 文物底部与玻璃罩底边至少间隔 0.3
米 所以由正方形与圆的位置关系可知
, 底面正方形的边长为 0.9 2 0.3 1.5m
文物高 1.8 米 , 文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔
所以正四棱柱的高为 1.8 0.2 2m
0.2 米
项是符合题目要求的）
1. 已知集合 A x | x2 3x 10 0 , B x | 2x 2 ，则 A B （ ）
A. ( 2,1)
B. ( 5,1)
C.
D. {0}
【答案】 A 【解析】 【分析】
先分别求得集合 A 与集合 B , 再根据交集运算即可求解 . 【详解】集合 A x | x2 3x 10 0 , B x | 2x 2
C. y? 10x 198
D. y? 10 x 198
【答案】 B 【解析】 根据图象可知，线性回归系数为负，回归截距为正，故
B满足题意
-2-
故选 B．
5. 已知 a, , 为不同的平面， m， n 为不同的直线，则下列命题中真命题是（
）
A. 若 m , n , m , n ，则 ∥
B. 若 ∥ , m
所以 x1 > 0 , 所以 A、 B 错误 ;
对于 C,可知 x2 x1
ex1 ,令g x
x1
ex
,
x
1
x
,所以g' x
ex
xex ex
'
x
x2
ex x 1 x2
令 g' x 0 得 x 1
所以当 x 1时 , g ' x 0 , 则 g x
x
e 在 x 1时单调递减 x
-9-
所以 g足 ex1
ex2
1, 即 ex1 ex2 ex1 x2 1
因为 ex1 x2 0 , 所以方程无解 . 即不存在 x1 x2 1时使得 f (x ) 在点 A 和点 B 处的切线互相
垂直
当 x1 1 x2 时 , 满足
ex1
1 x2
1, 即 ex1 x2 . 因为 x2 1 , 所以 ex1 1
）
A. x1 0
B. 0 x1 1
C. x2 最大值为 e x1
D. x1 x2 最
-8-
大值为 e 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据 x1 x2 , 分三种情况讨论 : x1 x2 1 , x1 1 x2 或 1 x1 x2 . 对函数 f ( x) 求导 , 由导数
的几何意义及函数 f ( x) 在点 A 和点 B 处的切线互相垂直 , 即可得 x1、 x2 的关系 , 进而判断选项
, 双曲线中焦点三角形中余弦定理的应用 , 双曲
线离心率的求法 , 属于基础题 .
11. 若点 A x1 , y1 , B x2, y2 x1 x2 是函数 f (x)
ex 1, x 1
的图象上任意两， 且函数
ln x, x 1
f ( x) 在点 A 和点 B 处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（
辽宁省大连市 2020 届
高三数学双基测试试题 文（含解析）
说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第
22 题 ~第
23 题为选考题， 其它题为必考题 . 考生作答时， 将答案答在答题纸上， 在本试卷上答题无效 .
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回 .
第I 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系
, 过焦点的直线与弦长关系 , 中点坐标公式及梯
形中位线性质的应用 , 属于基础题 .
9. 一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱
柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体 . 已知文物近似于塔形，高 1.8 米，体积 0.5 立方
即 A x| 2 x 5 , B x|x 1
由交集运算可得 A B x | 2 x 5 x | x 1 x | 2 x 1
故选 :A
【点睛】本题考查了一元二次不等式与指数不等式的解法
, 交集的运算 , 属于基础题 .
2. 设 z 1 i ，则在复平面内 z 对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】 B
【解析】
【分析】
根据共轭复数的定义 , 可先求得 z , 进而得到 z 在复平面内对应点所在的象限 .
【详解】 z 1 i
由共轭复数的定义可知 z 1 i
-1-
z 在复平面内对应点为 1,1
所以 z 在复平面内对应点在第二象限
故选 :B
【点睛】本题考查了共轭复数的定义 , 复数在复平面内的几何意义 , 属于基础题 .
1 时取得极小值 , 即最小值为 g 1 min
e1 e , 无最大值 , 所以 C 错误 ; 1
对于 D,可知 x1x2 x1 ex1
令 h x xex , x 1
则 h ' x ex xex
令 h ' x ex 1 x 0 , 解得 x 1
所以当 x 1时 , h ' x 0 , 则 h x xex 在 x 1时单调递减
故选 :B
【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性的应用
, 根据解析式及函数的图像即可判断 , 属于
基础题 .
7. “剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当
是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国
古代数学家赵爽创造了优美“弦图” . “弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形
米，其底部是直径为 0.9 米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔
0.3 米，文物顶部
与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米，气体每立方米 1000 元，则气体费用最少为（
）元
-6-
A. 4500
B. 4000
C. 2880
D. 2380
【答案】 B
【解析】 【分析】
根据题意 , 先求得正四棱柱的底面棱长和高 , 由体积公式即可求得正四棱柱的体积 的体积 , 即可求得罩内的气体体积 , 进而求得所需费用 .
-5-
设 A x1, y1 , B x2, y2 由抛物线定义可知 , AF AP , BF BQ
由 AB 16 , 可知 AB AF BF AP BQ 16
因为 M 为 AB 的中点 ,
由梯形的中位线性质可知
1
MN
AP BQ
2
1 16 8
2
则 MH MN NH 8 2 6
即 M的横坐标是 6
故选 :C
【详解】设直角三角形的两条直角边中较短的边为
a , 较长的边为 b , 即 a b
因为大正方形的面积为 25, 小正方形的面积为 1
所以大正方形的边长为 5
由勾股定理可知 a2 b2 25
-4-
1
每个直角三角形的面积为
25 1 6
4
所以 1 ab 6 2
a 2 b 2 25
则1 ab 6
2
解方程组可得
a3 b4
所以 sin
3 ,cos
4
5
5
由正弦的二倍角公式可知 sin 2 2sin cos
故选 :D
2 3 4 24 5 5 25
【点睛】本题考查了三角形中三角函数值的求法
, 正弦的二倍角公式应用 , 属于基础题 .
8. 已知直线
l
过抛物线
2
C:y
8x 的焦点，并交抛物线
C于 A、B两点， | AB | 16 ，则弦 AB
3. 命题“ x R , x2 4 0 ”的否定是（
）
A. x R , x2 4 0
B. x R , x2 4 0
C. x R , x2 4 0
D. x R , x2 4 0
【答案】 D
【解析】 【分析】
根据全称命题的否定形式 , 即可求解 .
【详解】由全称命题的否定 , “ x R , x2 4 0 ”的否定
则正四棱柱的体积为 V 1.52 2 4.5m3
因为文物体积为 0.5m3
所以罩内空气的体积为 4.5 0.5 4m3
气体每立方米 1000 元 所以共需费用为 4 1000 4000 元
故选 :B
【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与体积求法
, 由空间位置关系求得棱柱的棱长 , 属于基础
题.
10. 设 F1, F2 是双曲线
,n
，则 m n
C. 若 ∥ , m
，则 m
D. 若
,
，则 ∥
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
, 可判断选项 .
【详解】对于 A, 若 m
,n
,m
,n
, 则 ∥ 或 与 相交 , 所以 A错误 ;
对于 B, 若 ∥ , m , n
, 则 m n 或 m 与 n 异面 , 所以 B错误 ;
即可 .
【详解】因为 f (x)
ex 1,x 1 , 点 A x1, y1 , B x2, y2
ln x, x 1
x1 x2
所以 f '( x)
ex , x 1 1
,x 1 x
因为 f ( x) 在点 A 和点 B 处的切线互相垂直
由导数几何意义可知 , f ( x) 在点 A 和点 B 处的切线的斜率之积为 1
对于 C, 若 ∥ , m
，根据直线与平面平行的性质可知 , m , 所以 C 正确 ;
对于 D, 若
,
则∥ 或
, 所以 D 错误 .
综上可知 , 正确的为 C 故选 :C 【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判断
, 属于基础题 .
6. 下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间