山西省怀仁市重点中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理含解析
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：，，命题q：，，则A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题￢是真命题D. 命题￢是假命题【答案】C【解析】解：当时，成立，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，故A错误；命题是假命题，故B错误；命题￢是真命题，故C正确；命题￢是真命题，故D错误；故选：C．举出正例可知命题p为真命题；举出反例可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．2.在中，，，，则边c等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，则，即得，故选：D．根据三角形的内角和，求出C的大小，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键比较基础．3.若实数x，y满足，则的最小值为A. 2B. 1C. 0D.【答案】D【解析】解：画出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示；平移目标函数知，当目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得，的最小值为．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】解：设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，，解得．故选：B．设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知实数a，，a，b的等差中项为，设，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：，，a，b的等差中项是，又当且仅当时，等号成立，取得最小值5故选：C．先由等差中项求得，又，再构造基本不等式求解．本题主要通过数列知识来考查基本不等式求最值，属于基础题．6.已知四棱锥的底面是正方形，且底面ABCD，，则异面直线PB与AC所成的角为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，所以，即异面直线PB与AC所成的角为，故选：B．由异面直线所成角及空间向量的坐标运算得：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，即，即异面直线PB与AC所成的角为，得解．本题考查了异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题．7.若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为A. 或B. 或C.D.【答案】C【解析】解：不等式对一切实数x都成立，则，即，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C．根据题意得出，由此列出不等式组求出a的取值范围．本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题．8.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则A. B. 1 C. 3 D. 4【答案】C【解析】解：由题意可知过焦点的倾斜角为直线方程为，与抛物线方程联立，得，消去y可得：，，，解得：．故选：C．写出过焦点的倾斜角为直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系和抛物线的定义写出的值，列方程求得p的值．本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．9.如图，已知顶角A为的三角形ABC满足，点D，E分别在线段AB和AC上，且满足，当的面积取得最大值时，DE的最小值为A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：的面积．当且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，当时，取得最小值，故DE的最小值为，故选：B．易得且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，，故DE的最小值为，本题考查了三角形面积的最值，函数思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）10.已知不等式的解集为，则______．【答案】3【解析】解：不等式的解集为，和b为的解，将代入方程得：，即，方程化为，将代入方程得：，解得：不合题意，舍去或，则．故答案为：3由不等式的解集，得到方程的解为1和b，将与代入求出a 与b的值，即可求出的值．此题考查了一元二次不等式的解法，根据题意得出方程的解为1和b 是解本题的关键．11.设等差数列的前n项和为，若，，则______．【答案】45【解析】解：，，所以，则．故答案为：45由减得到的值，然后利用等差数列的性质找出的和与的和即与的关系，由的值即可求出等差d的值，然后再利用等差数列的性质找出与d和的关系，把d和的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．12.一艘轮船从港口A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西的方向直线航行，在港口A处测得灯塔M在北偏东方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔M与港口A的距离为______海里．【答案】5【解析】解：设轮船航行40分钟后到达B点，由题意可知海里，海里，，由正弦定理可得：，即，解得，，海里．故答案为：5．利用正弦定理计算得出是直角三角形，再计算AM即可．本题考查了解三角形的应用，属于基础题．13.如图，双曲线C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足，，则双曲线的离心率e的值为______．【答案】【解析】解：，可得，在中，，，在直角三角形ABF中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，．故答案为：运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）14.已知命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．Ⅰ当且为真命题时，求实数x的取值范围；Ⅱ若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，由得得，由得，若为真命题时，则p，q同时为真命题即，得，即实数x的取值范围是Ⅱ由，得，若p是q的必要不充分条件，则，则，即，即实数m的取值范围是．【解析】Ⅰ当时，求出p，q为真命题的等价条件，结合为真命题时，则p，q同时为真命题进行求解即可Ⅱ利用充分条件和必要条件转化为对应集合关系进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ若的面积为，求a，b的值；Ⅱ若，求的面积．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ，，由余弦定理，可得：，的面积为，解得：，由可得：，分Ⅱ，，又由余弦定理，可得：，解得：，，，分【解析】Ⅰ由余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，联立即可得解a，b的值．Ⅱ利用正弦定理可求，又由余弦定理可得，解得a，b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设是公比为正数的等比数列，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求证：数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设是公比为q的等比数列，，，，可得，解得，则，；Ⅱ证明：，则，可得前n项和，由，可得．【解析】Ⅰ设是公比为q的等比数列，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项；Ⅱ求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题．17.某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．【答案】解：Ⅰ：依题意可得，解得，Ⅱ设投入B商品的资金为x万元，则投入A商品的资金为万元，设收入为万元，当时，，，则，当且仅当，解得时，取等号．当时，则，此时．，最大收益为17万元，答：投入甲商品的资金为8万元，投入乙商品的资金为2万元，此时收益最大，为17万元．【解析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．18.如图，平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，、，，．Ⅰ求证：平面ABF；Ⅱ求二面角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，，平面ADEF，，四边形ADEF为梯形，、，，平面ABF．解：Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．平面ABF的法向量1，，，，0，，0，，，0，，，设平面BDF的法向量y，，则，取，得，设二面角的平面角为，则，，二面角的正弦值．【解析】Ⅰ推导出，平面ADEF，从而，由此能证明．Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率为．Ⅰ求的方程；Ⅱ过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，O为原点，求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，又，，，故椭圆的方程为；易知直线l的斜率k存在，设其方程为．设，则由消去y得：，由，得．则，．则又原点到直线l的距离为，且，所以设，则，当且仅当，即，即时等号成立，所以面积取得最大值．【解析】Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，再根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆的方程Ⅱ易知直线l的斜率k存在，设其方程为，设，根据韦达定理和弦长公式，原点到直线l的距离可求d从而可求，利用换元法根据基本不等式即可求出面积的最大值．本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。
山西省怀仁市重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷
理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则¬p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B.∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD.∃n ∈N ，n 2＝2n2.命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A ．1 B.2 C.3 D.43.下列说法正确的是( )A ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点4.某三棱锥的三视图如图①所示，则该三棱锥的表面积是( )图①A ．2＋ 5 B.4＋ 5 C.2＋2 5 D.5 5.下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题6.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是( ) A.－1<k <15B.－1<k <12C.k >15或k <－1D.k >12或k <－17.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面8.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A.[2,8] B ．[4,13] C.[2,13] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，139.已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0 B.2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D.2x －y ＋5＝0 10.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 211.在一直角坐标系中，已知A (－1,6)，B (3，－8)，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为( )． A.412 B.41 C.17 D.21712.若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 .14.已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.15.如图②，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．图②16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_____．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，其余5道题每题12分）17.在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程.18.已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 19.已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .20.如图③，四棱锥S ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，E 为棱SB 上的一点，且SE ＝2EB .图③(1)证明：DE ⊥平面SBC ； (2)求二面角A DE C 的大小．21.如图④，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q两点，且PQ ⊥PF 1.④(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e.22.已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(x R,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．理科数学参考答案1-5CBBCB 6-10DDCDD 11-12DC13.x2＋y2＝2 14.3315. 2 16.2217.即5x－2y－5＝018.解(1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．19. (1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3)．当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y －5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.由d＝|2k－3＋5－3k|k2＋1＝1，得k＝34.又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.(2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，又点C 到OA 的距离d ＝|5×2－3×3|5232＝134.又|OA |＝32＋52＝34.所以S ＝12|OA |d ＝12.20.由题意，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，S (0,0,2)，DB →＝(1,1,0)，DS →＝(0,0,2).2分 (1)证明：∵SE ＝2EB ，∴DE →＝23DB →＋13DS →＝23(1,1,0)＋13(0,0,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23.又BC →＝(－1,1,0)，BS →＝(－1，－1,2)， ∴DE →·BC →＝0，DE →·BS →＝0，∴DE →⊥BC →，DE →⊥BS →. 又BC ∩BS ＝B ，∴DE ⊥平面SBC .5分(2)由(1)知，DE ⊥平面SBC ，∵EC ⊂平面SBC ，∴DE ⊥EC .取DE 的中点F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13，FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13，－13，故FA →·DE →＝0，由此得FA ⊥DE .10分∴向量FA →与EC →的夹角等于二面角A DE C 的平面角，又cos 〈FA →，EC →〉＝FA →·EC →|FA →||EC →|＝－12， ∴二面角A DE C 的大小为120°.12分 21.(2)方法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 2＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c。
山西省怀仁市重点中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文 (含解析)
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，
z
x
y 1 表示点
P x,
y
和点
A(1, 0)
所在直线的斜率，根据图象得
到答案.
【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，
z
x
y 1 表示点
P x,
y
和点
A(1, 0)
所在直线
的斜率，
z y , 1 1,
根据图象知： x 1
.
故选： B .
【点睛】本题考查了线性规划问题，将
A. 0 个 【答案】D 【解析】 【分析】
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
根据 PA BC ， AB BC 得到 BC ⊥ 平面 PAB ，证明 AD 平面 PBC 得到① ② ③ 正
确，根据 PC AC BC 得到④ 错误，得到答案.
【详解】 PA 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，则 PA BC ， AB BC ， PA AB A ， 故 BC ⊥ 平面 PAB ，① 正确；
，∴
2 k 4
2 4 ，故选 B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系．判断位置关系有两种方法，一种是几何法，用圆
心到直线的距离与半径比较，距离大于半径是相离，距离等于半径是相切，距离小于半径是
相交，还有一种方法，就是将直线与圆的方程联立，代入消元，得到关于另一元的二次方程，
利用 判断， 是相交， 0 是相切， 是相离，．
y
2x
3
，设
D m, n，则
n
n4 1 m2
4 2 m
2
2
3
，解得答案.
【详解】设折线方程为
y
2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．命题“()01,x ∃∈+∞，002x x +≥的否定是（ ） A ．()01,x ∃∈+∞，002x x +≤B ．()01,x ∃∈+∞，002x x +<C ．()01,x ∀∈+∞，002x x +<D ．()01,x ∀∈+∞，002x x +≤【答案】C【解析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词． 【详解】命题“()01,x ∃∈+∞，002x x +≥的否定是“()01,x ∀∈+∞，002x x +<． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．2．设直线l 的方向向量为a r ，平面a 的法向量为n r，则使l a ⊥成立的是（ ）A ．()1,1,2a =-r ，()1,1,1n =-rB ．()1,1,2a =-r ，()1,1,2n =--rC ．()1,1,2a =-r ，()1,1,1n =--rD ．()2,1,1a =--r ，()1,1,1n =r【答案】B【解析】验证哪个选项中直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直． 【详解】故选：B ． 【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面垂直．直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，如果直线不在平面内，则直线与平面平行．3．已知直线l 过点()2,1-，且在y 轴上的截距为3，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y ++= B ．230x y +-= C ．240x y --= D ．260x y -+=【答案】B【解析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式． 【详解】由题意，直线l 过点(0,3)，∴其斜率为13220k --==--，直线方程为y =-2x +3，即2x +y -3=0，故选：B. 【点睛】本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．4．刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（ ）正视图俯视图 A ．60 B ．63 C ．84 D ．126【答案】C【解析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积． 【详解】由三视图，棱台体积为222214(3366)843V =⨯⨯⨯=． 故选：C. 【点睛】本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．5．抛物线2:2C y px =的准线经过双曲线221124x y -=的左焦点，则抛物线C 的焦点坐标为（ ） A ．()4,0 B ．()4,-0 C ．()0,4- D ．()0,4【答案】A【解析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p ，得抛物线焦点坐标． 【详解】双曲线221124x y -=中，1244c =+=，∴双曲线的左焦点为(4,0)-，右焦点(4,0)就是抛物线的焦点． 故选：A ． 【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题．6．设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件【解析】先求出两直线平行时的a 值，然后再根据充分必要条件的概念判断． 【详解】直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行，则210a -=，1a =±， 1a =时，两直线方程分别为20,10x y x y ++=++=，平行，1a =-时，两直线方程分别为0,10x y x y -+=--=，平行，∴直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行的充要条件是1a =±， 则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的充分不必要条件． 故选：A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．7．设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，βγ⊥，则//αγB ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥C ．若//m α，n ⊂α，则//m nD ．若//αβ，m γα=I ，n γβ=I ，则//m n【答案】D【解析】根据面面垂直的性质判断A ，B ，由线面平行的性质判断C ，由面面平行的性质判断D ． 【详解】若αβ⊥，βγ⊥，α与γ也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A 错； 若αβ⊥，m α⊂，但m 不与αβ，的交线垂直时，m 不与β垂直，还可以平行，B 错；若//m α，n ⊂α， m 与n 可能异面，可能平行，C 错； 若//αβ，m γα=I ，n γβ=I ，则//m n ，这是面面平行的性质定理，D 正确．本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．8．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 和1CD 所成角为（ ） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 【答案】C【解析】由11//A B CD 可得异面直线所成的角，在三角形中求解即可． 【详解】正方体中，11//A B CD ，∴1A BD ∠是异面直线BD 和1CD 所成的角，而1A BD ∆是正三角形，∴13A BD π∠=，∴异面直线BD 和1CD 所成的角是3π． 故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（必须证明），然后解三角形得结论．9．若圆：(22:21C x y ++=关于直线:0l x y m -+=对称，1:420l x y -+=，则l 与1l 间的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3【答案】D【解析】由圆心在直线l 上求得m ，然后由平行间距离公式求得距离．由题意(2,0)C -，圆()22:21C x y ++=关于直线:0l x y m -+=对称，则200m --+=，2m =，即l 方程为20x y -+=，所求距离为2224231(1)d -==+-．故选：D. 【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m ，再则平行间距离公式计算．10．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C【解析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积． 【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心． 由2AB BC ==得22AC =4PA =，则81626PC =+=6OP =所以球表面积为224()46)24S OP πππ==⨯=． 故选：C ．本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．11．已知椭圆：()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，0BA BF ⋅=u u u r u u u r，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．12C D 【答案】D【解析】表示出各点坐标，由0BA BF ⋅=u u u r u u u r得出,,a b c 的等式，变形后可求离心率． 【详解】由题意(,0),(0,),(,0)A a B b F c -，则(,),(,)BA a b BF c b =--=-u u u r u u u r，∴20BA BF ac b ⋅=-+=u u u r u u u r，220a c ac --=，2()10ccaa+-=，∴c e a ==舍去）． 故选：D ． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到一个关于,,a b c 的等量关系．本题中由已知0BA BF ⋅=u u u r u u u r可得．12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1F 引渐近线的垂线，垂足为P ，12PF F ∆的面积是2，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22128x y -=B ．2214y x -=C ．221416x y -=D ．2214x y -=【解析】离心率为5可得225c a =，1F P 与渐近线垂直，则有1F P b =，从而OP a =，由12PF F ∆的面积是2，可得2ab =，这样可求得,a b ，得双曲线方程． 【详解】如图，渐近线OP 方程是by x a=-，即0bx ay +=，由于1F P OP ⊥且1(,0)F c -， 所以122bc F P b b a -==+，所以22OP c b a =-=，11211121222F PO F PF S ab S ∆∆===⨯=，2ab =，又5ce a ==，即225c a =，∴22224b c a a =-=，2b a =， ∴222ab a ==，1,2a b ==，双曲线方程为：2214y x -=．故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于,,a b c 的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为b .二、填空题13．以()1,2-为圆心，且与圆()()22:319C x y -++=外切的圆的标准方程是__________.【答案】()()22124x y ++-=【解析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．设所求圆半径为r 3r =+，2r =， 所以所求圆方程为：()()22124x y ++-=． 故答案为：()()22124x y ++-=． 【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径． 14．倾斜角是45o ，且过点()1,4的直线l 交圆22:230C x y y +--=于A ，B 两点，则直线l 的一般式方程__________，=AB __________.【答案】30x y -+=【解析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长． 【详解】由题意直线l 的方程为：41y x -=-，即30x y -+=， 圆标准方程为：22(1)4x y +-=，圆心为(0,1)C ，半径为2r =，圆心到直线l 的距离为d ==∴AB ==．故答案为：30x y -+=； 【点睛】本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．15．正四棱锥P ABCD -中，3PA =，2AB =，则PA 与平面PBC 所成角的正弦值为__________.【答案】6【解析】作AE ⊥PB ，连接CE ，则CE ⊥PB ，于是有PB ⊥平面ACE ，作AH CE ⊥交CE 延长线于H ，可得AH ⊥平面PBC ，从而APH ∠是直线P A 与平面PBC 所成的角．在Rt PAH ∆中计算出这个角的正弦值即可．在正四棱锥P ABCD -中，取BC 中点M ，连接PM ，则PM ⊥BC ，223122PM =-=作AE ⊥PB ，连接CE ，则CE ⊥PB ，AE CE =， 由PB CE BC PM ⋅=⋅得2224233BC PM CE PB ⋅⨯===．∴23AE CE ==， 22AC =222AE CE AC +<，得AEC ∠是钝角，作AH CE ⊥交CE 延长线于H ，连接PH ，由CE ⊥PB ，AE ⊥PB ，得PB ⊥平面ACE ，AH ⊆平面ACE ，∴PB ⊥AH ，PB CE E =I ，∴AH ⊥平面PBC ，∴APH ∠是直线P A 与平面PBC 所成的角． △ACE 中，取AC 中点O ，连接EO ，则EO ⊥AC ，且224214()(2)33EO =-=，14221432423AC EOAH CE⋅===在Rt PAH ∆中，14142sin 36AH APH AP ∠===．故答案为：146． 【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二证三计算．作图证明计算缺一不可．（1）直线()2y k x =-与线段AB 相交，其中()1,1A ，()4,2B ，则k 的取值范围是[]1,1-；（2）点()1,0P 关于直线210x y -+=的对称点为0P ，则0P 的坐标为76,55⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）圆22:4C x y +=上恰有3个点到直线:0l x y -+=的距离为1；（4）直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆恰好与直线1x =-相切.其中正确的命题有_________.（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】（2）（3）（4）【解析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断． 【详解】（1）由于直线2x =与线段AB 有公共点，因此k 的范围是(,1][1,)-∞-+∞U ，（1）错；（2）0PP 的中点坐标为13(,)55-，132()1055⨯--+=，即中点在直线210x y -+=上，又012PP k =-，直线210x y -+=的斜率是2，相乘等于1-，0PP 与直线210x y -+=垂直，（2）正确；（3）圆心C 到直线l 的距离为1，圆半径为2，与直线l 距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切，因此圆上有3个点到直线:0l x y -+=的距离为1，（3）正确；（4）直线1y x =-过抛物线的焦点F (1,0)，直线1x =-是抛物线的准线，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义得121AB x x =++，AB 的中点1212(,)22x x y y M ++到直线1x =-的距离为121122x x d AB +=+=，∴以AB 为直径的圆恰好与直线1x =-相切.（4）正确． 故答案为：（2）（3）（4）． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系等知识，在求直线与线段有公共点时，要研究斜率不存在的直线是否与线段有公共点，以确定直线斜率范围是两斜率之间，还是两斜率之外．三、解答题17．命题p ：直线:340l x y m --=与圆()22:11C x y -+=相交，命题:q 方程22182x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）若命题p 为真，求m 的取值范围； （2）若命题p q ∧⌝为真，求m 的取值范围. 【答案】（1）()2,8-（2）(][)2,25,8-U【解析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得p 为真时m 的范围． （2）由方程表示焦点在x 轴上椭圆求出m 的范围，由p 真且q ⌝为真得结论． 【详解】解：（1）因为直线:340l x y m --=与圆()22:11C x y -+=相交，1<，解得28m -<<，即m 的取值范围为()2,8-.（2）Q 椭圆焦点在x 轴上，所以80,20,82,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩25m ∴<<p q ∧⌝Q 为真，p ∴真q 假. 2528,m m m ≤≥⎧∴⎨-<<⎩或22m ∴-<≤或58m ≤<.所以m 的取值范围为(][)2,25,8-U . 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，掌握复合命题的真值表是解题关键．18．动点P 到()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作斜率为1的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求OAB ∆的面积.【答案】（1）24y x =或()00y x =<（2）【解析】（1）题意转化为动点P 到()1,0F 的距离等于其到直线1x =-的距离，根据抛物线的定义可得轨迹方程，注意点P 也可能在x 轴负半轴上.（2）写出直线l 方程1y x =-，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与抛物线方程联立消元可得x 的二次方程，由韦达定理得12x x +,从而的122AB x x =++，再由求出O 到直线l 的距离，由底乘高除以2得三角形面积． 【详解】解：（1）由题意可知动点P 到()1,0F 的距离等于其到直线1x =-的距离， 由抛物线的定义可知动点P 的轨迹C 的方程为24y x =或()00y x =<.（2）设直线l 的方程为1y x =-，设直线l 与曲线C 交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程214y x y x=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=126x x ∴+=，1228AB x x =++=.点O 到直线l 的距离2d ==.所以182OAB S ∆=⨯=. 【点睛】本题考查用抛物线定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦的性质，在求轨迹方程时要注意点的轨迹不仅仅是抛物线，还含有一条射线，抛物线22(0)y px p =>的焦点弦AB中，()11,A x y ，()22,B x y ，则12AB x x p =++.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）若2PA PD AB ===，60APD ∠=o ，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（243【解析】（1）由AB CD ∥及90BAP CDP ∠=∠=o 得CD DP ⊥，CD AP ∴⊥，从而有CD ⊥平面PAD ，于是可得面面垂直．（2）取AD 的中点O ，连接PO ，证明PO ⊥平面ABCD ，同时说明底面是正方形，即可求体积． 【详解】（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥.又90BAP CDP ∠=∠=o Q ，即AB AP ⊥，CD DP ⊥，CD AP ∴⊥，DP ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，从而CD ⊥平面PAD . 又CD ⊂平面PCD ， 所以平面PDC ⊥平面PAD .（2）如图，取AD 的中点O ，连接PO .2PA PD ==Q ，60APD ∠=o ，PO AD ∴⊥，3PO =又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，CD PO ∴⊥，CD AD ⊥，∴四边形ABCD 为正方形，又PO AD ⊥Q ，PO ∴⊥平面ABCD ，114322333P ABCD ABCD V PO S -∴=⋅⋅=⨯⨯⨯=Y .【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积．证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定定理中还有其他条件也应满足才能得出结论．20．已知直线:310l ax y a --+=恒过定点P ，过点P 引圆()22:14C x y -+=的两条切线，设切点分别为A ，B . （1）求直线AB 的一般式方程；（2）求四边形PACB 的外接圆的标准方程.【答案】（1）260x y +-=（2）()2215224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】（1）直线方程整理成a 的多项式，关于a 恒成立，由恒等式知识可得定点坐标， 过圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P (3,1)，直线x =3是一条切线，可知一切点为A (3,0)，由PC AB ⊥可求得AB 的斜率，从而得直线AB 的方程．不需求另一切点坐标． （2）由切线性质知PC 是四边形PACB 的外接圆的直径，外接圆方程易求． 【详解】（1）Q 直线():13l y a x -=-，∴直线l 恒过定点()3,1P .由题意可知直线3x =是其中一条切线，且切点为()3,0.101==312PC k --Q ，2AB k ∴=-， 所以直线AB 的方程为()23y x =--，即260x y +-=. （2）()()22=3110=5PC -+-PA AC ⊥Q ，PB BC ⊥所以四边形PACB 的外接圆时以PC 为直径的圆，PC 的中点坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以四边形PACB 的外接圆为()2215224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程．求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，本题直线AB 方程可以由四边形PACB 的外接圆方程与已知圆方程相减可得．21．如图，已知三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，点E ，F 分别为PC 、BC 的中点，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，23PC =.（1）证明：//EF 平面PAB ；（2）求平面PAC 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）60o【解析】（1）由中位线定理得EF PB P ，即可得线面平行；（2）建立解析中的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角． 【详解】（1）因为点E ，F 分别为PC ，BC 的中点， 所以EF PB P .PB ⊂Q 平面PAB ，EF ⊂/平面PAB ，EF ∴∥平面PAB .（2）2AB BC ==，AB BC ⊥，由勾股定理得AC =PC =Q 2224812PA AC PC ∴+=+==，故PA AC ⊥.又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC I 平面ABC AC =， 故PA ⊥平面ABC .以A 为坐标原点，垂直于AC ，AP 的直线为x 轴，AC u u u r 为y 轴正方向，AP u u u r为z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则()0,0,0A，)B，()002P ,,，()C ，.故()0,2PC =-u u u r，()BC =u u u r.显然平面PAC 的法向量()1,0,0n =r.设平面PBC 的法向量(),,m x y z =u r，则20,0,00,z m PC m BC ⎧⎧-=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩u u u v v u u u v v 令1y =有1,x z =⎧⎪⎨=⎪⎩故(m =u r .1cos ,2m n m n m n ⋅<>===⋅u r r u r r u r r .,60m n <>=︒u r r，∴平面PAC 与平面PBC 所成角为60o .【点睛】本题考查证明线面平行，考查求二面角．证明线面平行根据线面平行的判定定理证明即可，而求二面角可以建立空间直角坐标系，用向量法求解．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为22，过右焦点2F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为42()2,0M . （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 、BM 的斜率1k ，2k ，请问12k k +是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）12k k +是定值,且为0【解析】（1）由1ABF ∆的周长为42得到442a =，即2a =再由离心率求得c ，从而可得b ，得椭圆方程．（2）直线l 斜率不存在时，120k k +=，直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，可得1212,x x x x +，计算12k k +，并代入1212,x x x x +可得120k k +=．这样就得出结论．【详解】（1）由1ABF ∆的周长为42442a =，即2a =又因为22c a =，所以1c =， 故2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线l 的方程代入2212x y +=，得()2222214220k x k x k +-+-=，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+， 因为12121222y y k k x x +=+--1212(1)(1)22k x k x x x --=+--()()()12121223422kx x k x x k x x -++=--，而()()2233312122222223444128423440212121k k k kk k k k kkx x k x x k k k k k -⋅--++-++=-+==+++.即120k k +=．当直线l 与x 轴垂直时，12k k =-，即120k k +=， 所以120k k +=，即12k k +是定值. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，设交点()11,A x y ，()22,B x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，计算12k k +并代入1212,x x x x +求得结论．。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)含解答解析
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在一次数学测试中，成绩在区间上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为A. ￢￢B. ￢C. ￢￢D.【答案】A【解析】解：由题意值￢是“甲测试成绩不优秀”，￢是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用￢￢表示，故选：A．求出￢，￢，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在抛物线--，即，，，焦点坐标是，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3. 的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的充要条件为对于A是的充要条件对于B，是的充分不必要条件对于C，的不充分不必要条件对于D，是的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4. 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为，由，可得，即，双曲线的渐近线方程为，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点靠近，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得，故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6. 点到直线的距离为d，则d的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】A【解析】解：直线即，令，解得，．可得直线经过定点．则当时，d取得最大值．．故选：A．直线即，令，解得直线经过定点则当时，d取得最大值．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 如图：在直棱柱中，，，P，Q，M分别是，BC，的中点，则直线PQ与AM所成的角是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则0，，2，，0，，1，．，．．直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8. 《九章算术商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为A. 40B.C. 50D.【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取的中点N，连结MN，BN，，，三棱台的表面积为：梯形梯形梯形．故选：B．取的中点N，连结MN，BN，则三棱台的表面积为梯形梯形梯形．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，，．则，则左焦点．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为．设l与椭圆相交于、，联立，得：．则PQ的中点M的横坐标为．是以OF为底边的等腰三角形，，解得：．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则A. B. C. D. P【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，当直线m的斜率不存在时，，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立，得，消去y整理得，，又，，，．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立消去y得的值；利用求出的值，再求的值，从而求得的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11. 已知椭圆C的两个焦点分别是，，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为，，若为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设椭圆方程为．由为等腰直角三角形，且，得，解得，．则椭圆C的方程为．则，．设，则，得，，，，又，，解得：．斜率的取值范围是．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出，的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12. 如图：已知双曲线中，，为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，，，，在线段BF上不含端点有且仅有两个不同的点，使得，可得，，，．故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线离心率e 的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. “”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：，”是真命题，则，解得：故答案为：．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14. 已知，若三向量共面，则实数______．【答案】【解析】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，，解得，，．故答案为：．推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则CD的长为______．【答案】【解析】解：由条件，知，．所以所以．故答案为：．由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16. 椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为______．【答案】或或【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：，则；图2中：，则；图3中，，则．椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：方程表示双曲线；命题q：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：p真：得或，q真：，￢是￢的充分不必要条件，若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，，则有或，或，即实数k的取值范围是或．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18. 在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．【答案】解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．【解析】Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19. 如图：直三棱柱中，，，，D为棱上的一动点，M，N分别是，的重心，求证：；若点C在上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：有题意知，，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，则0，，2，，0，，2，设0，，0，，N分别为和，的重心，，，．解：在上的射影为M，面ABD，，又，，得，解得得，或舍，，，设面ABD的法向量为y，，则，取，得1，，设DN与平面ABD所成角为则，与平面ABD所成角的正弦值为．【解析】由，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明．求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 设抛物线C：，点，过点P作直线l，若l与C只有一个公共点，求l的方程过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长；以A，B为直径的圆的方程．【答案】解：若l的斜率不存在，则l：，符合题意；分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：；分由，消去y得，由，解得或，直线l的方程为：或；分综上所述，直线l的方程为：或或；分抛物线的焦点为，直线l的方程为：；设，，由，消去x得，；又，；分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为，则，，圆心为，所求圆的方程为；综上所述，，所求圆的方程为分．【解析】讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长，再求以AB为直径的圆的方程．本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题．21. 如图，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，，，现将梯形沿CB，DA折起，使且，得一简单组合体ABCDEF如图示，已知M，N分别为AF，BD 的中点．Ⅰ求证：平面BCF；Ⅱ若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【答案】证明：Ⅰ连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，为AC中点．在中，M为AF中点，故．平面BCF，平面BCF，平面BCF．Ⅱ依题意知，且平面ABFE，在面ABFE上的射影是AE．就是DE与平面ABFE所成的角．故在中：．设且，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．【解析】连结AC，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面BCF．先由线面垂直的判定定理可证得平面ABFE，可知就是DE与平面ABFE所成的角，解，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．22. 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ，所求椭圆E的方程为：分Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，把代入整理得：，分假设存在定点，使得为定值当且仅当，即时，为定值这时分再验证当直线l的倾斜角时的情形，此时取，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．【解析】Ⅰ，由此能导出所求椭圆E的方程．Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，由，整理得：，，假设存在定点，使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理)(解析版)
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题p：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：，，则￢为：，．故选：B．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2.已知a，，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：a，，若，对A，，若，则；，则；，则，故A错误；对B，若，则；若，则；若，则，故B错误；对C，a，，则，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，在R上递增，可得，故D正确．故选：D．讨论b的符号，即可判断A，B，C；运用在R上递增，即可判断D．本题考查两式的大小比较，考查作差法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．3.设等比数列的公比是q，则”是“数列是为递增数列的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：若，时，递减，数列单调递增不成立．若数列单调递增，当，时，满足递增，但不成立．“公比”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础．4.不等式的解集是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：不等式等价于如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为，故选：A．原不等式等价于把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集．本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．5.在等差数列中，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】解：在等差数列中，由，且，得，即，．故选：B．由已知结合等差数列的性质可得，则答案可求．本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．6.某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，所以是方程的正跟，即有，可得，又，所以．即b是a，c的等比中项．故选：B．通过椭圆的离心率，构造离心率的方程，然后推出a、b、c的关系，即可得到选项．本题考查椭圆的简单性质的应用，构造法是解得本题的关键，考查计算能力．7.已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为A. eB.C.D.【答案】C【解析】解：设切点坐标为，，，切线的斜率是，切线的方程为，将代入可得，，切线的斜率是；故选：C．设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．8.若函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，；又函数有极大值和极小值，；故或；故选：B．由题意求导；从而化函数有极大值和极小值为；从而求解．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．9.已知平面内有一个点，的一个法向量为1，，则下列点P中，在平面内的是A. B. C. D.【解析】解：由题意可知符合条件的点P应满足，选项A，0，，，故不在平面内；同理可得：选项B，，，故在平面内；选项C，2，，，故不在平面内；选项D，，，故不在平面内；故选：B．由题意可知符合条件的点P应满足，逐个选项验证即可．本题考查平面法向量的定义，属基础题．10.设数列的前n项和为，且，为常数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：数列的前n项和为，且，，为常数列，由题意知，，当时，，从而，，当时上式成立，．故选：B．由题意知，，当时，，由此能求出．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．11.下列命题正确的是若，则与、共面；若，则M、P、A、B共面；若，则A、B、C、D共面；若，则P、A、B、C共面．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：对于，若，则由平面向量基本定理知与、共面，正确；对于，若，则、、共面，所以M、P、A、B四点共面，对于，若，则，这里系数，A、B、C、D不共面，错误；对于，若，则，所以P、A、B、C共面，正确．综上所述，正确的命题序号是，共3个．故选：C．在中，由平面向量基本定理知与、共面；在中，由平面向量基本定理判断、、共面，M、P、A、B四点共面；在中，由题意得，不能判断A、B、C、D四点共面；在中，由，能判断P、A、B、C四点共面．本题考查了平面向量基本定理的应用问题，是基础题．12.已知函数，，对任意存在使，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令，则，令，可得，则，．显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点．故当时，取得最小值为，故选：D．令，则，令，可得，利用导数求得取得最小值．本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于中档题此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则取得最大值时的最优解为______【答案】【解析】解：画出约束条件的可行域，如图：由得：，显然直线过时，z最大，所以最优解为：故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14.平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】解：平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，则点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，，．因此的最小值为．故答案为：2．平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，可得点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，即可得出答案．本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10米到位置D，测得，则塔AB的高是______米【答案】【解析】解：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则故答案为：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．16.记为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：设正项等比数列的公比为，，，，可得：解得．则，当且仅当时取等号．的最小值为8．故答案为：8．设正项等比数列的公比为，由，可得，可得：解得可得，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列为单调递增数列，，其前n项和为，且满足求数列的通项公式；若数列其前n项和为，若成立，求n的最小值．【答案】解：，可得时，，相减可得，即为，数列为单调递增数列，即，可得，为首项为1，公差为2的等差数列，可得；，可得前n项和为，即，解得，即n的最小值为10．【解析】由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项；求得，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和，解不等式可得所求最小值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C；若，求面积的最大值．【答案】解：，由正弦定理可得：．，．．由余弦定理可得：，可得，当且仅当时取等号．面积的最大值．【解析】利用正弦定理与和差公式即可得出．利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料点A，B在直径上，点C，D在半圆周上，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗．若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【答案】解：连接OC，设，则，其中，，当且仅当，即时，S取最大值900；取时，矩形ABCD的面积最大，最大值为．设圆柱底面半径为r，高为x，则，解得，，其中；，令，得；因此在上是增函数，在上是减函数；当时，取得最大值，取时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为．【解析】设，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得出S 的最大值；用x表示出圆柱的底面半径，得出体积关于x的函数，判断的单调性，得出的最大值．本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的侧面积与体积计算，用不等式与函数单调性求函数最值，属于中档题．20.在中，点，，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．求E的方程；设点，过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，是否可能为直角，并说明理由．【答案】解：由题意得，，，则M的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M，A，B三点不共线，．的方程为；证明：设直线PQ的方程为，代入，得．设，，则，．．不可能为直角．【解析】由题意得，，则，可得M 的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，则E的方程可求；设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积证明不可能为直角．本题考查定义法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等，是中档题．21.如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．若点M是线段BF的中点，证明：平面AMC；求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【答案】证明： 连接MD ，FD ． 四边形BDEF 为菱形，且 ， 为等边三角形． 为BF 的中点， ． ， ，又D 是AC 的中点， ．平面 平面 ，平面 平面BDEF ， 平面ABC ， 平面BDEF ．又 平面BDEF ， ． 由 ， ， ， 平面AMC ；解： 设线段EF 的中点为N ，连接 易证 平面 以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 ，，，0， ， 1， ．， ，， ．设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为 ， ． 由．解得．取 ， ．又由解得．取，．．平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为．【解析】连接MD，FD，可得为等边三角形又M为BF的中点，得，进一步求得，再由面面垂直的性质可证平面AMC；设线段EF的中点为N，连接易证平面以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF，平面BCF的法向量，即可求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键，是中档题．22.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ0)'/>，当，即时，时，，时，0'/>，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，，所以在定义域上单调递增；综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在定义域上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．Ⅱ令，原问题等价于在区间上恒成立，可见，要想在区间上恒成立，首先必须要，而，另一方面当时，，由于，可见0'/>，所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减，成立，故原不等式成立．综上，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围为【解析】Ⅰ当时，求出函数的导数，求出极值点，判断极值点的大小故选，讨论导函数的符号，即可得到函数的单调性；Ⅱ利用函数恒成立，转化为函数的最值问题，构造函数求解函数的导数，求出最值即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学(理)试卷含解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1.设集合{}1,0,1,2A =-,{}|22B x x =-≤<,则A B ⋂= ( ) A. {}1,0,1- B. {}1,0- C. {}|10x x -<< D.{|10}x x -≤≤2.已知向量(1,2)a m =-,(,3)b m =-,若a b ⊥,则实数 m 等于( )A. 2-或3B. 2或3-C. 3D. 353.在ABC ∆中,若2a =,b =,30A =︒,则B 为( )A. 60B. 60或120C. 30D. 30或1504.已知命题11:,23xxp x R ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；命题2000:,10q x R x x ∃∈--=；则下列命题为真命题的是( )A. p q ∧B. p q ∨⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝5.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值 为( )A. 10-B. 6C. 14D. 186.若4cos 5α=-, α是第二象限的角,则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( ) )A. 10-C. 10-D.107.若某多面体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此多面体的体积是( )A ．2cm 3B ．32m 3C ．1cm 3D ．31cm 38.抛物线214y x =的准线方程是( ) A. 1y =- B. 2y =- C. 1x =- D. 2x =-9.已知,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥-04001y x y x x ,则目标函数3z x y =+的最小值是( )A.4B.6C.8D.10 10.已知数列{}n a 是递增的等比数列, 14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前10项和等于( )A.1024B.511C.512D.1023 11.函数3()35f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值与最小值的和是( ) A.6 B.8 C.-6 D.-812.过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A. 2B. 3C. 12D. 13第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年人教A版山西省朔州市怀仁市重点中学高二上学期期末理科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高二第一学期（上）期末（理科）数学试卷一、选择题1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 2．命题“若a＞﹣3，则a＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．下列说法正确的是（）A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．55．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题6．直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（﹣3，3），其斜率取值范围是（）A．﹣1B．k＞1或k C．k或k＜1 D．k或k＜﹣1 7．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面8．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝x2+y2的取值范围为（）A．[2，8] B．[4，13] C．[2，13] D．9．已知点P是直线2x﹣y+3＝0上的一个动点，定点M（﹣1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程（）A．2x+y+1＝0 B．2x﹣y﹣5＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．2x﹣y+5＝0 10．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．11．在一直角坐标系中，已知A（﹣1，6），B（3，﹣8），现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为（）A．B．C．D．212．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题13．已知点A（1，﹣1），B（﹣1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是．14．已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的一条渐近线为x+y＝0，则a＝．15．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为．16．椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，其余5道题每题12分）17．在△ABC中，已知A（5，﹣2），B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C的坐标；（2）直线MN的方程．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＝1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，点A（3，5）．（1）求过点A的圆的切线方程；（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB．（1）证明：DE⊥平面SBC；（2）求二面角A﹣DE﹣C的大小．21．如图，椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1|＝2+|＝2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e．22．已知抛物线C：y＝mx2（m＞0）．焦点为F，直线2x﹣y+2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）若抛物线C上有一点R（x R，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值．（3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角线？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．2．命题“若a＞﹣3，则a＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据四种命题的关系写出答案即可．解：在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否命题同真同假．∵命题“若a＞﹣3，则a＞﹣6”为真命题；逆命题是假命题，∴命题的逆否命题为真命题，故选：B．3．下列说法正确的是（）A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点【分析】利用棱锥，棱柱，棱台的定义，判断选项的正误即可．解：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，因为正六边形是六个正三角形组成，则此棱锥不可能是六棱锥，所以A不正确；四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图：正方体的一个顶点处的四棱锥P﹣ABCD 满足条件，所以B正确；有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，必须侧棱相交与一点，所以棱台的各侧棱延长后不一定交于一点，不满足棱台的定义，所以不正确；故选：B．4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC＝AB，E为BC中点，EA＝2，EA ＝EB＝1，OA＝1，：BC⊥面AEO，AC＝，OE＝判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC＝AB，E为BC中点，EA＝2，EC＝EB＝1，OA＝1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC＝，OE＝∴S△ABC＝2×2＝2，S△OAC＝S△OAB＝×1＝．S△BCO＝2×＝．故该三棱锥的表面积是2，5．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题【分析】A．否命题是即否定条件又否定结论；B．根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C．存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D．且命题的概念判断即可．【解答】A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故错误；B．若a，b∈R，则“ab≠0”可推出a≠0且b≠0，但由a≠0推不出ab≠0，故是充分不必要条件，故正确；C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故错误；D．若“p且q”为假，则p，q不全是真命题，故错误．故选：B．6．直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（﹣3，3），其斜率取值范围是（）A．﹣1B．k＞1或k C．k或k＜1 D．k或k＜﹣1 【分析】直接利用直线斜率公式求出两个端点的斜率，即可得到结果．解：因为直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（﹣3，3），所以直线端点的斜率分别为：＝﹣1，＝，如图：所以k或k＜﹣1．7．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D．8．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝x2+y2的取值范围为（）A．[2，8] B．[4，13] C．[2，13] D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．．解：作出不等式对应的平面区域，则z＝x2+y2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，则当动点P位于A时，OA的距离最大，当直线x+y＝2与圆x2+y2＝z相切时，距离最小，即原点到直线x+y＝2的距离d＝，即z的最小值为z＝d2＝2，由，解得，即A（3，2），此时z＝x2+y2＝32+22＝9+4＝13，即z的最大值为13，即2≤z≤13，故选：C．9．已知点P是直线2x﹣y+3＝0上的一个动点，定点M（﹣1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程（）A．2x+y+1＝0 B．2x﹣y﹣5＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．2x﹣y+5＝0 【分析】确定Q，P坐标之间的关系，利用点P是直线2x﹣y+3＝0上的一个动点，可得Q点的轨迹方程．解：设Q（x，y），P（a，b），则由中点坐标公式可得a＝﹣2﹣x，b＝4﹣y，∵点P是直线2x﹣y+3＝0上的一个动点，∴2a﹣b+3＝0，∴2（﹣2﹣x）﹣（4﹣y）+3＝0，即2x﹣y+5＝0．故选：D．10．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】设M在双曲线﹣＝1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a＝b，再由离心率公式即可得到所求值．解：设M在双曲线﹣＝1的左支上，且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣＝1，可得a＝b，c＝＝a，即有e＝＝．故选：D．11．在一直角坐标系中，已知A（﹣1，6），B（3，﹣8），现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为（）A．B．C．D．2【分析】平面直角坐标系中已知A（﹣1，6），B（3，﹣8），现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可．解：平面直角坐标系中已知A（﹣1，6），B（3，﹣8），沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，A在平面xOy上的射影是C，作BD⊥x轴，交x轴于D点，∴，+2＝＝68，∴AB＝2．故选：D．12．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0化为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6＝0，即a＝b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：＝＝≥4，当且仅当b＝﹣1时弦长最小，为4．故选：C．二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A（1，﹣1），B（﹣1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是x2+y2＝2 ．【分析】根据中点坐标公式算出AB的中点为（0，0），由两点的距离公式算出|AB|＝2，从而得到所求圆的圆心为原点、半径r＝，可得圆的标准方程．解：∵点A（1，﹣1），B（﹣1，1），∴线段AB的中点坐标为（0，0），且|AB|＝＝2．因此，以线段AB为直径的圆，它的圆心为（0，0），半径r＝|AB|＝，∴圆的方程为x2+y2＝2．故答案为：x2+y2＝214．已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的一条渐近线为x+y＝0，则a＝．【分析】运用双曲线的渐近线方程为y＝±，结合条件可得＝，即可得到a的值．解：双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为y＝±，由题意可得＝，解得a＝．故答案为：．15．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为．【分析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，可得C1D＝AD，从而可得结论．解：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，则∵C是圆柱下底面弧AB的中点，∴AD∥BC∴直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角∵C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，∴C1D⊥圆柱下底面∴C1D⊥AD∵圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，∴C1D＝AD∴直线AC1与AD所成角的正切值为∴异面直线AC1与BC所成角的正切值为故答案为：．16．椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出Q到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出b与c之间的关系，然后求解离心率即可．解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为F1（﹣c，0），如图连接Q1F，QF，设QF与直线y＝x交于点M，由题意知M为线段QF的中点，∴F1Q∥OM，又∵OM⊥FQ，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|，在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，可得|OM|＝，|MF|＝，故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝，由椭圆定义得|QF|+|QF1|＝+＝2a，得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，其余5道题每题12分）17．在△ABC中，已知A（5，﹣2），B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C的坐标；（2）直线MN的方程．【分析】（1）根据中点坐标公式，即可求顶点C的坐标；（2）由点M、N的坐标，利用截距式方程解答．解：（1）设C（x0，y0），则AC中点M，BC中点N（，）．∵M在y轴上，∴＝0，x0＝﹣5．∵N在x轴上，∴＝0，y0＝﹣3．即C（﹣5，﹣3）．（2）∵M（0，﹣），N（1，0），∴直线MN的方程为+＝1，即5x﹣2y﹣5＝0．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＝1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．【分析】（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，可得﹣2≥m2﹣3m，解得m范围．（2）a＝1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．可得m≤1．由p且q为假，p或q 为真，可得p与q必然一真一假，即可得出．解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．（2）a＝1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．∴m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p与q必然一真一假，∴或，解得1＜m≤2或m＜1．∴m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，2]．19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，点A（3，5）．（1）求过点A的圆的切线方程；（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．【分析】（1）先把圆转化为标准方程求出圆心和半径，再设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，然后可得切线方程．（2）先求OA的长度，再求直线AO的方程，再求C到OA的距离，然后求出三角形AOC 的面积．解：（1）因为圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0⇒（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1．所以圆心为（2，3），半径为1．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为kx﹣y﹣3k+5＝0，所以＝1，所以k＝，所以切线方程为：3x﹣4y+11＝0；而点（3，5）在圆外，所以过点（3，5）做圆的切线应有两条，当切线的斜率不存在时，另一条切线方程为：x＝3．（2）|AO|＝＝，经过A点的直线l的方程为：5x﹣3y＝0，故d＝，故S＝d|AO|＝20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB．（1）证明：DE⊥平面SBC；（2）求二面角A﹣DE﹣C的大小．【分析】（1）分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面SBC．（Ⅱ）向量与的夹角等于二面角A﹣DE﹣C的平面角，由此利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的大小．【解答】证明：（1）分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z建立空间直角坐标系（如图），则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，0，2）∵SE＝2EB，∴＝＝，又＝（﹣1，1，0），，∴，∴，，又BC∩BS＝B，∴DE⊥平面SBC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面SBC，∵EC⊂平面SBC，∴DE⊥EC，当SE＝2EB时，知E（），＝（），取DE中点F，则F（），＝（），故＝0，由此得FA⊥DE∴向量与的夹角等于二面角A﹣DE﹣C的平面角又cos＜＞＝＝﹣，∴二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．21．如图，椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1|＝2+|＝2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，2a＝|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c＝|F1F2|＝＝2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|＝|PF1|＝4a﹣2|PF1|，解得|PF1|＝2（2﹣）a，从而|PF2|＝2a﹣|PF1|＝2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a＝|PF1|+|PF2|＝2++2﹣＝4，故a＝2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c＝|F1F2|＝＝2，即c＝，从而b＝＝1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|＝2a，|QF1|+|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|+|QF2|，有|QF1|＝4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|＝4a﹣2|PF1|，解得|PF1|＝2（2﹣）a，从而|PF2|＝2a﹣|PF1|＝2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c＝|F1F2|＝，因此e＝＝＝＝＝．22．已知抛物线C：y＝mx2（m＞0）．焦点为F，直线2x﹣y+2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）若抛物线C上有一点R（x R，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值．（3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角线？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）抛物线C：y＝mx2（m＞0），即x2＝y，可求出焦点坐标；（2）利用抛物线的定义把焦点F的距离为3转化为到准线的距离为3即可求m的值．（3）△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形即是•＝0，把直线方程和抛物线方程联立，可以得到A，B两点的坐标进而求得P以及Q的坐标，代入是•＝0，即可求出m的值．解：（1）抛物线C：y＝mx2（m＞0），即x2＝y，∴抛物线C的焦点为F（0，）；（2）∵抛物线C上有一点R（x R，2）到焦点F的距离为3，∴2+＝3，∴m＝．（3）联立方程，消去y得mx2﹣2x﹣2＝0，设A（x1，mx12），B（x2，mx22），则，（*），∵P是线段AB的中点，∴P（，），即P（，y p），∴Q（，），得＝（x1﹣，mx12﹣），＝（x2﹣，mx22﹣），若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则是•＝0，即（x1﹣）•（x2﹣）+（mx12﹣）（mx22﹣）＝0，结合（*）化简得﹣﹣+4＝0，即2m2﹣3m﹣2＝0，∴m＝2或m＝﹣（舍去），∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．。
2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷(理科)附解答
2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ ）A. 21n a n =-B. (1)(12)nn a n =-- C. (1)(21)n n a n =-- D. (1)(21)nn a n =-+2.“ 0,2sin x x x ∀>>”的否定是（ ） A. 0,2sin x x x ∀>< B. 0,2sin x x x ∀>≤ C. 0000,2sin x x x ∃≤≤ D. 0000,2sin x x x ∃>≤3.在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点，且DF AC AB αβ=+，则（ ）A. 1,12αβ==-B. 1,12αβ=-=C. 11,2αβ==-D. 11,2αβ=-=4.在ABC ∆中，A B ∠∠∠、、C 所对的边分别为a b c 、、，若3A π∠=，3a =，2b =，则 B ∠=（ ）A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 86.已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为53，其左焦点为1(5,0)F =-，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22143x y -=B. 22134x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -= 7.下列命题正确的是（ ）A. 命题“p q ∧ ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；B. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；C. “ 22am bm <”是“ a b <”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在0x R ∈，使得 20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”.8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点(1,2)P ，法向量为(2,3)n =-的直线的点法式方程为2(1)3(2)0x y --+-=，化简得2340x y -+=，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,1)P -，且法向量为(2,3,1)n =-的直线的点法式方程应为（ ）A. 2330x y z --+=B. 2350x y z -++=C. 2370x y z ++-=D. 2390x y z +--=9.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 710.已知0,0,1a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 711.已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，12PF F ∆为等腰三角形，1223F F P π∠=,则C 的离心率为（ ）A.14 B. 12 C. 13 D. 23 12.如图，已知正方体ABCD EFGR -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角P OQ R --， Q OR P --， R OP Q--的平面角为,,αβγ，则（ ）A. γαβ<<B.αγβ<<C.βαγ<<D.αβγ<< 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_11
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）说明：本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟，分值150分.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名，考号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域.2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸，试题卷上答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择（每题5分，共计60分）1.用秦九韶算法求多项式当时的值时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将多项式进行整理变形，代值计算即可.【详解】因为故可得.故选：B.【点睛】本题考查秦九韶算法中的相关计算，属基础题.2.已知向量，且，则的值为（）A. 11B. 6C. 7D. 15【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理即可求出.【详解】向量，且，存在实数使得，，解得，.故选：.【点睛】本题追要考查是向量共线定理应用，考查了计算能力，及空间向量的应用，是基础题.3.执行如图所示的程序框图，输出的k值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的k的值.【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，；不满足条件,执行循环体，；满足条件，退出循环，输出的值为6，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于常考题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：6，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10.若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式，分别求出两组数据的平均数和方差，即可进行选择.【详解】因为；；；故可得；.故选：D.【点睛】本题考查平均数和方差的计算，属基础题.5.某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本，把学生编号为1～560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是（）A. 004B. 005C. 006D. 007【答案】A【解析】分析】根据系统抽样等距抽样的特点，结合已知编号，即可求得结果.【详解】因为抽取容量为70的样本，故应该将全部人员分为70组，则抽样距离为8，又编号20是第三组，故最小编号是.又编号均是三位数，故最小编号是.故选：A.【点睛】本题考查系统抽样中编号的计算，属基础题.6.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A. 12.5；12.5B. 13；13C. 13；12.5D. 12.5；13【答案】D【解析】分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，所以中间一个矩形最该，故数据的众数为，而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，所以中位数是，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.7.设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．8.命题，的否定是（）A. B.C. D.【解析】【分析】按存在性命题的否定的规则写出即可.【详解】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为：，选B.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.9.若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【详解】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线10.已知双曲线的离心率为，且它的一个焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据离心率以及焦点到渐近线的距离，结合，解方程，从而求得曲线方程.【详解】设双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线为，由点到直线的距离公式可得，解得；又因为，，解得.故选：D.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算出矩形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式求得结果.【详解】因为矩形的边长为和5，故矩形面积；又阴影部分的面积为；故在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.故选：D.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题；本题的易错点是容易在计算阴影部分面积的时候出现计算错误.12.已知点为抛物线：的焦点. 若过点的直线交抛物线于，两点，交该抛物线的准线于点，且，，则（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案.【详解】易知：焦点坐标为，设直线方程为：如图利用和相似得到：，【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.二、填空题（每空5分，共计20分）13.若“”为真命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据全称命题为真命题得到判别式，即可得到结论.【详解】若“”为真命题，则判别式，即，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是全称命题为真命题求参数的取值范围的应用，同时考查的是一元二次不等式的解法，是基础题.14.已知与之间的一组数据：21则与的线性回归方程为必过点___________.【答案】【解析】【分析】计算样本中心点，即可求得结果.【详解】由数据可知：；，故线性回归方程必过点.故答案为：.【点睛】本题考查线性回归直线方程的特点，属基础题.15.在极坐标系中，有点，则两点间的距离为___________.【答案】【解析】【分析】根据极坐标系中，两点之间的距离公式即可求得.【详解】设两点之间的距离为，则.故答案为：.【点睛】本题考查极坐标系中两点之间距离的求解，属基础题.16.下列命题中：①已知点，动点满足，则点的轨迹是一个圆；②已知，则动点的轨迹是双曲线；③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；正确的命题是_________．【答案】①③【解析】【分析】根据轨迹方程的求解，以及双曲线的定义，相关系数的性质，结合选项进行逐一分析即可.【详解】①：设动点，由，故可得，整理得：，且，故该方程表示圆，则①正确；②：根据双曲线的定义，，则动点的轨迹只表示双曲线的左支，故②错误；③：根据相关系数性质，相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故③正确；④：因为点在直线上，故满足题意的点的轨迹为过点且垂直于直线的直线，故④错误.故答案为：①③.【点睛】本题考查轨迹方程的求解，以及相关系数的性质，属综合中档题.三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题每题12分，22题10分，共计70分）17.设实数满足（其中），实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围.（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式，解得命题对应的范围，结合均是真命题，即可求得；（2）根据题意，则是的必要不充分条件，根据集合之间的包含关系，求参数范围即可.【详解】（1）当时，解得，即为真时，实数取值范围是.若为真，则真，且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件，设，则，由得，，，又，则且，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，涉及由集合关系求参数范围的问题，属综合基础题.18.如图，正四棱柱中，，点在上，且.（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，通过计算数量积得出，，故平面；（2）求出平面的法向量，通过计算两平面的法向量的夹角得出法向量的夹角从而得出二面角的余弦值.【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题设.，.（1），，又，且平面，平面.（2）由（1）知为平面的法向量，设向量是平面的法向量，则.，.令，则，..根据图像可得等于二面角的平面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查的是利用向量法证明线面垂直以及利用向量法求面面所成角，考查学生对空间向量的应用，考查学生的计算能力，是中档题.19.某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求续驶里程在的车辆数；（2）求续驶里程的平均数；（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.【答案】（1）5辆；（2）170；（3）.【解析】【分析】（1）根据所有长方形面积之和为1，求得未知数，计算出区间长方形的面积之和即为概率，用此数据乘以样本容量即可；（2）用每个长方形的面积乘以所在区间底边中点值，再求和即可得到结果；（3）先计算出在中的车辆数量，再列举出所有的抽取可能性，找出满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】由题意可知，∴，故续驶里程在的车辆数为：（2）由直方图可得：续航里程平均数为：.（3）由（2）及题意可知，续驶里程在的车辆数为3，分别记为，续驶里程在的车辆数为2，分别记为，事件“其中恰有一辆汽车的续驶里程为”从该5辆汽车中随机抽取2辆，所有的可能如下：共10种情况，事件包含的可能有共6种情况，则.【点睛】本题考查频率分布直方图中参数的计算，平均数的求解，涉及古典概型概率的计算，属综合基础题.20.已知椭圆及直线.（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，直线与椭圆交于两点，求当时，直线被椭圆截得的弦长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立椭圆方程和直线方程，消去，得到一元二次方程，只需即可；（2）根据韦达定理，结合弦长公式，即可求得.【详解】（1）由消去，并整理得①直线与椭圆有公共点，可解得：故所求实数的取值范围为（2）设直线与椭圆的交点为由①得：当时，直线被椭圆截得的弦长为.【点睛】本题考查由直线与椭圆的位置关系求参数范围的问题，以及椭圆中弦长的求解，属于常考题型.21.已知为坐标原点，抛物线与直线相交于两点.（1）求：的值；（2）当的面积等于时，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，得到一元二次方程，通过根与系数的关系，结合直线的斜率乘积为，即可得的值；（2）求出直线与轴交点，表示出的面积，根据面积等于，解方程即可求出实数的值.【详解】（1）显然直线的斜率存在且，联立，消去，得.如图，设，则，由根与系数的关系可得，，因为在抛物线上，所以.因为，所以.所以（2）设直线与轴交于点，令，则，即.因为，所以，解得.【点睛】本题主要考查的是直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数关系，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过焦点，可以直接利用公式，若不过焦点，则必须用一般的弦长公式，是中档题.22.已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求线段的长．【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数可得直线的普通方程，将，代入极坐标方程可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入抛物线方程，根据参数的几何意义将和韦达定理相结合即可得结果.【详解】（Ⅰ）将为参数消去参数可得，即，故直线的普通方程为．由可得，把，代入上式，可得，即，故曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）将代入，可得，设点，对应的参数分别为，，则，，所以，故线段的长为．【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）说明：本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟，分值150分.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名，考号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域.2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸，试题卷上答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择（每题5分，共计60分）1.用秦九韶算法求多项式当时的值时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将多项式进行整理变形，代值计算即可.【详解】因为故可得.故选：B.【点睛】本题考查秦九韶算法中的相关计算，属基础题.2.已知向量，且，则的值为（）A. 11B. 6C. 7D. 15【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理即可求出.【详解】向量，且，存在实数使得，，解得，.故选：.【点睛】本题追要考查是向量共线定理应用，考查了计算能力，及空间向量的应用，是基础题.3.执行如图所示的程序框图，输出的k值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的k的值.【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，；不满足条件,执行循环体，；满足条件，退出循环，输出的值为6，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于常考题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：6，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10.若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式，分别求出两组数据的平均数和方差，即可进行选择.【详解】因为；；；故可得；.故选：D.【点睛】本题考查平均数和方差的计算，属基础题.5.某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本，把学生编号为1～560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是（）A. 004B. 005C. 006D. 007【答案】A【解析】分析】根据系统抽样等距抽样的特点，结合已知编号，即可求得结果.【详解】因为抽取容量为70的样本，故应该将全部人员分为70组，则抽样距离为8，又编号20是第三组，故最小编号是.又编号均是三位数，故最小编号是.故选：A.【点睛】本题考查系统抽样中编号的计算，属基础题.6.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A. 12.5；12.5B. 13；13C. 13；12.5D. 12.5；13【答案】D【解析】分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，所以中间一个矩形最该，故数据的众数为，而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，所以中位数是，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.7.设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b ＞0，由充要条件的定义可得答案．解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．8.命题，的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】按存在性命题的否定的规则写出即可.【详解】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为：，选B.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.9.若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【详解】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线10.已知双曲线的离心率为，且它的一个焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据离心率以及焦点到渐近线的距离，结合，解方程，从而求得曲线方程.【详解】设双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线为，由点到直线的距离公式可得，解得；又因为，，解得.故选：D.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算出矩形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式求得结果.【详解】因为矩形的边长为和5，故矩形面积；又阴影部分的面积为；故在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.故选：D.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题；本题的易错点是容易在计算阴影部分面积的时候出现计算错误.12.已知点为抛物线：的焦点. 若过点的直线交抛物线于，两点，交该抛物线的准线于点，且，，则（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案.【详解】易知：焦点坐标为，设直线方程为：如图利用和相似得到：，【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.二、填空题（每空5分，共计20分）13.若“”为真命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据全称命题为真命题得到判别式，即可得到结论.【详解】若“”为真命题，则判别式，即，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是全称命题为真命题求参数的取值范围的应用，同时考查的是一元二次不等式的解法，是基础题.14.已知与之间的一组数据：21则与的线性回归方程为必过点___________.【答案】【解析】【分析】计算样本中心点，即可求得结果.【详解】由数据可知：；，故线性回归方程必过点.故答案为：.【点睛】本题考查线性回归直线方程的特点，属基础题.15.在极坐标系中，有点，则两点间的距离为___________.【答案】【解析】【分析】根据极坐标系中，两点之间的距离公式即可求得.【详解】设两点之间的距离为，则.故答案为：.【点睛】本题考查极坐标系中两点之间距离的求解，属基础题.16.下列命题中：①已知点，动点满足，则点的轨迹是一个圆；②已知，则动点的轨迹是双曲线；③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；正确的命题是_________．【答案】①③【解析】【分析】根据轨迹方程的求解，以及双曲线的定义，相关系数的性质，结合选项进行逐一分析即可.【详解】①：设动点，由，故可得，整理得：，且，故该方程表示圆，则①正确；②：根据双曲线的定义，，则动点的轨迹只表示双曲线的左支，故②错误；③：根据相关系数性质，相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故③正确；④：因为点在直线上，故满足题意的点的轨迹为过点且垂直于直线的直线，故④错误.故答案为：①③.【点睛】本题考查轨迹方程的求解，以及相关系数的性质，属综合中档题.三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题每题12分，22题10分，共计70分）17.设实数满足（其中），实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围.（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式，解得命题对应的范围，结合均是真命题，即可求得；（2）根据题意，则是的必要不充分条件，根据集合之间的包含关系，求参数范围即可.【详解】（1）当时，解得，即为真时，实数取值范围是.若为真，则真，且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件，设，则，由得，，，又，则且，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，涉及由集合关系求参数范围的问题，属综合基础题.18.如图，正四棱柱中，，点在上，且.（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，通过计算数量积得出，，故平面；（2）求出平面的法向量，通过计算两平面的法向量的夹角得出法向量的夹角从而得出二面角的余弦值.【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题设.，。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_40
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故B选项正确，D选项不正确.故选：B【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，属于基础题.2.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人【答案】C【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.3.已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用离心率求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，所以渐近线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.4.设，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由解得.由得.所以“”是“”必要而不充分条件故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意，长方体的面积为，半圆的面积为，所以质点落在以为直径的半圆内的概率是.故选：C【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.6.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求得其余弦值.【详解】设，是的中点，所以，所以是两条异面直线所成的角（或补角）.在三角形中,,，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.7.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，所以，所以.所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数，根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数是奇函数的导函数，（），，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，当时，根据已知条件，判断出.当时，根据为偶函数，判断出的单调性.结合，求得使得成立的的取值范围.【详解】由于是定义在上的奇函数，所以.构造函数，当时，，所以在上递增，由于，所以为偶函数，所以在区间上递减且.所以当时，，；当时，，.所以使得成立的的取值范围是.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等的解集，考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.二、多项共选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列命题中真命题的是（）A. 若实数，满足，则，互为倒数B. 面积相等的两个三角形全等C. 设，“若，则方程有实根”的逆否命题D. “若，则”的逆命题【答案】AC【解析】【分析】A利用倒数的知识进行判断；B利用全等三角形的知识进行判断；C利用原命题的真假性来判断；D利用原命题的逆命题的真假性来判断.【详解】对于A选项，根据倒数的知识可知，A选项正确.对于B选项，两个三角形的面积相等，不一定是全等三角形，所以B选项错误.对于C选项，当时，，所以方程有实根，为真命题，故其逆否命题为真命题，所以C选项正确.对于D选项，原命题的逆命题为“若，则”不正确，因为也可以，所以D选项为假命题.综上所述，正确的为AC.故选：AC【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查逆否命题、逆命题真假性，属于基础题.10.“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据年月至年月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步里程逐月增加B. 月跑步里程最大值出现在月C. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数D. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳【答案】BCD【分析】根据折线图，判断A,B,D选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C选项的正确性.【详解】根据折线图可知，月跑步里程下降了，故A选项错误.根据折线图可知，月的跑步里程最大，故B选项正确.一共个月份，里程中间的是从小到大的第个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为月份对应的里程数，故C选项正确.根据折线图可知，月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳，故D选项正确.综上所述，正确的选项为BCD.故选：BCD【点睛】本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题.11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A. B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【分析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.【详解】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.对于B选项，依题意，所以，所以B 选项不正确.对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D 选项正确.综上所述，正确的为AD.故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.12.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. 函数在区间单调递增B. 函数在区间单调递减C. 函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值【答案】ABD【解析】【分析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．13.同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是．【答案】【解析】【详解】列表如下：从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，这些结果出现的可能性相等．∵点数的和为5的结果共有4种：（1，4），（2，3），（4，1），（3，2）∴点数的和为5的概率P==故答案为14.已知函数，为的导函数，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】求得函数的导函数，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查导数的计算，属于基础题.15.已知向量，，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】先求得，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，即，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查空间向量垂直的坐标表示，考查空间向量的线性运算，属于基础题.16.设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________，__________．【答案】 (1). 1 (2). 8【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理，求得点坐标的表达式，根据两点的纵坐标相同列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得.【详解】由于点满足，所以是线段中点.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.设，由于在抛物线上，且，根据抛物线的定义得，所以，则，不妨设.若直线斜率不存在，则，则，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则.由于是线段中点，所以，而，所以，即，即，解得.所以，所以，则到准线的距离为，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知.故答案为：(1). 1 (2). 8【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求得函数在时的导数，由点斜式求得切线方程.（2）利用导数求得单调区间，区间端点的函数值和极值点的函数值，由此求得在区间上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以在上的最大值为，最小值为.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求函数的最值，属于基础题.18.已知双曲线的两个焦点为，，并且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用，以及列方程组，解方程组求得，由此求得双曲线的方程.（2）当直线斜率不存在时，直线与双曲线没有交点.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，消去得到，根据二次项系数和判别式进行分类讨论，由此求得直线的方程.【详解】（1）由已知可设双曲线的方程为，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）当直线斜率不存在时，显然不合题意所以可设直线方程为，联立，得，①当，即或，方程只有一解，直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时，直线方程为，②当，即，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则，解得，此时，直线方程为，综上所述，直线的方程为或.【点睛】本小题主要考查双曲线方程的求法，考查根据直线和双曲线交点个数求参数，属于中档题.19.某手机厂商在销售某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕，为了合理确定保费的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）：（1）根据上面的数据计算得，求出关于的线性回归方程；（2）若愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例超过，则手机厂商可以获利，现从表格中的种保费任取种，求这种保费至少有一种能使厂商获利的概率.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出关于的线性回归方程.（2）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）由，，，，得所以关于的回归直线方程为.（2）现从表格中的种保费任选种，所有的基本事件有：，，，，，，，，，，共有种.其中至少有一种保费能使厂商获利的基本事件有：，，，，，，，共种.所以从表格中的种保费任选种，其中至少有一种保费能使厂商获利的概率为.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查古典概率问题的求解，属于基础题.20.在如图所示的六面体中，四边形是边长为的正方形，四边形是梯形，，平面平面，，.（1）在图中作出平面与平面的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）求证：平面；（3）求平面与平面所成角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）延长与相交于点，连接，根据公理和公理可知，即是所求.（2）通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（3）利用勾股定理计算出，建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）延长与相交于点，连接，则直线就是平面与平面的交线.（2）因为，，所以是的中位线，故，因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，因面，面，所以平面.（3）在平面内，过点作的平行线交于点，又，所以四边形为平行四边形，所以，，，又因为，所以，所以为直角三角形，且，，.在平面内，过点作的垂线交于点，又因为平面平面，平面平面，所以面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，设是平面的法向量，则，即，所以可取.因为是平面的法向量，所以，所以平面与平面所成角的余弦值.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知椭圆的离心率为，，，，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，，两点，若直线，的斜率分别为，，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）为定值，理由见解析【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率、的面积、列方程组，解方程组求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率不存在时，求得两点的坐标，由此求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，，求得.当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，，结合韦达定理计算.由此证得为定值.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，，①当直线斜率不存在时，直线方程为，联立，得，不防设，，则直线方程为，令，得，则，此时，，同理，所以，②当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，设，，则，，直线方程为，令，得，则，同理，所以，，所以综上所述，为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22.已知函数，，为的导函数．（1）若，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若恰有一个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】（1）利用列方程，解方程求得的值.（2）求得函数的导函数，对分成等四种情况，分类讨论的单调区间.（3）结合（1）求得的的单调区间，判断出的单调区间，结合的取值范围、零点的存在性定理进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）由，得，得；（2）①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，得，，i）当时，，所以在上单调递增；ii）当时，令，得或；令，得，所以在和单调递增，在单调递减；iii）当时，令，得或；令，得，所以在和单调递增，在单调递减；综上：①当时，在上单调递增；在单调递减；②i）当时，在上单调递增；ii）当时，在和单调递增，在单调递减；iii）当时，在和单调递增，在单调递减；（3）①当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，又因为，所以恰有一个零点，符合题意；②i）当时，在单调递增，所以在单调递增，又，所以在恰有一个零点，符合题意；ii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，因为，所以是函数的一个零点，且，当时，取且，则，所以，所以在恰有一个零点，所以在区间有两个零点，不合题意；iii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，又因为，所以是函数的一个零点，且，又因为，所以，所以在区间有两个零点，不合题意；综上的取值范围为或.【点睛】本小题主要考查导数的计算，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故B选项正确，D选项不正确.故选：B【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，属于基础题.2.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.3.已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用离心率求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，所以渐近线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.4.设，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由解得.由得.所以“”是“”必要而不充分条件【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意，长方体的面积为，半圆的面积为，所以质点落在以为直径的半圆内的概率是.故选：C【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.6.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求得其余弦值.【详解】设，是的中点，所以，所以是两条异面直线所成的角（或补角）.在三角形中,,，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.7.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，所以，所以.所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数，根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数是奇函数的导函数，（），，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，当时，根据已知条件，判断出.当时，根据为偶函数，判断出的单调性.结合，求得使得成立的的取值范围.【详解】由于是定义在上的奇函数，所以.构造函数，当时，，所以在上递增，由于，所以为偶函数，所以在区间上递减且.所以当时，，；当时，，.所以使得成立的的取值范围是.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等的解集，考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.二、多项共选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列命题中真命题的是（）A. 若实数，满足，则，互为倒数B. 面积相等的两个三角形全等C. 设，“若，则方程有实根”的逆否命题D. “若，则”的逆命题【答案】AC【解析】【分析】A利用倒数的知识进行判断；B利用全等三角形的知识进行判断；C利用原命题的真假性来判断；D利用原命题的逆命题的真假性来判断.【详解】对于A选项，根据倒数的知识可知，A选项正确.对于B选项，两个三角形的面积相等，不一定是全等三角形，所以B选项错误.对于C选项，当时，，所以方程有实根，为真命题，故其逆否命题为真命题，所以C选项正确.对于D选项，原命题的逆命题为“若，则”不正确，因为也可以，所以D 选项为假命题.综上所述，正确的为AC.故选：AC【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查逆否命题、逆命题真假性，属于基础题. 10.“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据年月至年月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步里程逐月增加B. 月跑步里程最大值出现在月C. 月跑步里程的中位数为月份对应的里程数D. 月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳【答案】BCD【解析】【分析】根据折线图，判断A,B,D选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C选项的正确性.【详解】根据折线图可知，月跑步里程下降了，故A选项错误.根据折线图可知，月的跑步里程最大，故B选项正确.一共个月份，里程中间的是从小到大的第个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为月份对应的里程数，故C选项正确.根据折线图可知，月至月的月跑步里程相对于月至月波动性更小，变化比较平稳，故D 选项正确.综上所述，正确的选项为BCD.故选：BCD【点睛】本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题.11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A. B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.【详解】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为AD.故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等比数列中，，，则该数列的公比q为A. 2B. 1C.D.【答案】D【解析】解：等比数列中，，，该数列的公比．故选：D．根据等比数列的通项公式，利用，即可求出q的值．本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为抛物线的准线方程为，则由题意知，点是双曲线的左焦点，所以，又双曲线的一条渐近线方程是，所以，解得，，所以双曲线的方程为．故选：B．由抛物线标准方程易得其准线方程为，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x 轴上，则双曲线的左焦点为，此时由双曲线的性质可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，可得，则得a、b 的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．3.在三棱柱中，D是的中点，F是的中点，且，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，，，，故选：A．根据向量加法的多边形法则可得，，从而可求，．本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．4.已知点在函数的图象上，则数列的前n项和的最小值为A. 36B.C. 6D.【答案】B【解析】解：点在函数的图象上，则，，当时，取得最小值为．故选：B．点在函数的图象上，的，，由二次函数性质，求得的最小值本题考查了等差数列前n项和的最小值，属于基础题．5.“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得，即“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的性质是解决本题的关键．6.下列结论错误的是A. 命题p：“，使得”，则￢：“，”B. “”是“”的充分不必要条件C. 等比数列2，x，8，中的D. 已知a，，，则的最小值为8．【答案】D【解析】解：对于命题p：，，则￢：，使得，正确；对于B，“”“，或”，故“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于C，等比数列2，x，8，中的，正确；对于D，由于a，，，则，当且仅当时，，取等号，所以D不正确．故选：D．对于A：利用命题的否定定义即可得出；根据充要条件的定义，可判断B；利用等比数列的通项公式求解即可判断C的正误；所求式子乘以1，而1用代换；判断D的正误；本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，难度中档．7.若不等式对于一切恒成立，则a的最小值是A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：不等式对于一切恒成立，即有对于一切恒成立．由于的导数为，当时，，函数y递减．则当时，y取得最小值且为，则有，解得．则a的最小值为．故选：C．由题意可得对于一切恒成立运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令不大于最小值即可．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．8.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】解：由函数的图象可知，，，并且当时，，当，，函数有极大值．又当时，，当时，，故函数有极小值．故选：D．利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9.如图，长方体中，，点E，F，G分别是，AB，的中点，则异面直线与GF所成的角是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意：是长方体，E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，为异面直线与GF所成的角．连接，在三角形中，，，，，．，即异面直线与GF所成的角为．故选：A．异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，那么就是异面直线与GF 所成的角．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.已知a，，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：a，，且，设，，则，即为，由a，b为二次方程的两根，可得，解得，则的取值范围是．故选：A．a，，设，，，由a，b为二次方程的两根，运用判别式法，解二次不等式即可得到所求范围．本题考查了换元法和构造法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数的定义域为R，并且满足，且当时其导函数满足2f{{'}}(x)'/>，若则A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数对定义域R内的任意x都有，关于直线对称；又当时其导函数满足，当时，，在上的单调递增；同理可得，当时，在单调递减；，，，又，，在上的单调递增；故选：C．由，可知函数关于直线对称，由，可知在与上的单调性，从而可得答案．本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断在与上的单调性是关键，属于中档题．12.已知点，分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，，得，则，则，则，，，若，则只要即可，则，即，即，则，即，则，得，，，故选：B．求出交点M，N的坐标，若，则只要即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的关系转化为求是解决本题的关键考查学生的转化能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则k的值为______．【答案】【解析】解：；；；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算．14.若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是______．【答案】或【解析】解：若“”是“”表示，则，，则，即实数a的取值范围是，故答案为：根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键．15.若数列的前n项和为，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】解：当时，，解得当时，，整理可得，即，故数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，故当时，，经验证当时，上式也适合，故答案为：把代入已知式子可得数列的首项，由时，，可得数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式分段可得答案．本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．16.设点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则M，N两点间的距离的最小值为______．【答案】2【解析】解：当时，0'/>，函数在上单调递增．点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则，即，则M，N两点间的距离为．令，，则，，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故的最小值为，即M，N两点间的距离的最小值为2，故答案为2．求出导函数，根据题意可知，令，求出其导函数，进而求得的最小值即为M、N两点间的最短距离．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知是首项为1的等比数列的前n项的和，，，成等差数列，求的值；若，求．【答案】解：由题意，，显然，分，分解得分，分，分两式相减，得分分，分分【解析】利用已知条件，列出方程求解的值；化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.已知函数在点处的切线方程是．求实数a，b的值；求函数在上的最大值和最小值其中e是自然对数的底数．【答案】解：因为，，分则，，函数在点处的切线方程为：，分直线过点，则由题意得，即，分由得，函数的定义域为，分，，0⇒x > 2'/>，在上单调递减，在上单调递增分故在上单调递减，在上单调递增，分在上的最小值为分又，，且．在上的最大值为分综上，在上的最大值为，最小值为分【解析】求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数在上的最大值和最小值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，，点E是PD的中点．求证：平面AEC；求二面角的大小．【答案】解：平面ABCD，AB，平面ABCD，，且．以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；分证明：，0，，，，设平面AEC的法向量为，则，取，得．又2，，所以，，又平面AEC，因此：平面分平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，则，得：所以二面角的大小为分【解析】由已知得，，且以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；设平面AEC的法向量为，由，得平面AEC 求出平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，，可得二面角的大小本题考查了空间线面平行的判定，及向量法求二面角，属于中档题．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知米，米．Ⅰ要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？Ⅱ当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【答案】解：Ⅰ设DN的长为米，则米，由得又得解得：或即DN的长取值范围是Ⅱ矩形花坛的面积为当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】Ⅰ设DN的长为米，则米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．21.已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．求椭圆的标准方程；是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．【答案】解：抛物线的焦点是，，，又椭圆的离心率为，即，，则故椭圆的方程为；分由题意得直线l的方程为，由，消去y得，由，解得．又，．设，，则，．分，，分分若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，即，分解得或又，．即存在使以线段AB为直径的圆经过点分【解析】由抛物线得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离心率可求出c，a 的值，由，求出b，则椭圆的方程可求；由题意得直线l的方程为，联立，消去y得，由，解得m的范围，设，，则，，求出，由，，求出，若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，求出实数m的值即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力和计算能力，是中档题．22.已知函数，其中e为自然对数的底数，Ⅰ判断函数的单调性，并说明理由Ⅱ若，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，得，当时，，为R上的减函数；当时，令，得，若，则，此时为的单调减函数；若，则，此时为的单调增函数．综上所述，当时，为R上的减函数；当时，若，为的单调减函数；若，为的单调增函数．Ⅱ由题意，，不等式恒成立，等价于恒成立，即，恒成立．令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值．由，函数在上单调递减，令，，．在上也是减函数，在上也是减函数，在上的最大值为．故，不等式恒成立的实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，然后对a分类，当时，，为R上的减函数；当时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；Ⅱ，不等式恒成立，等价于恒成立，分离参数a，可得恒成立令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值，然后利用导数求得函数在上的最大值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，训练了利用分离变量法求函数的最值，是中档题．。
山西省怀仁市重点中学2020学年高二数学上学期期末考试试题 文
山西省怀仁市重点中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文一、选择题（每题5分，共12题，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥12. 已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，p，q中，真命题的个数是( )A． 1 B． 2 C． 3 D． 43. 若实数x，y满足,则的取值范围是( )A． B． C． D．4.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是 ( )A． 2 B． 2 C． 4 D． 55. 长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A．π B．56π C．14π D．64π6.经过点A(－1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条7. 两平行直线l1、l2分别过点P(1,3)、Q(2, 1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1、l2之间的距离的取值范围是( )A． (0，＋∞) B． [0，] C． (0，] D． [0，]8. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )①BC⊥平面PAB；②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC.A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个9. 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( ) A ． ()2222-， B ．()22-， C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4242-， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛8181-， 10. 若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上的点到直线4x －3y －2＝0的最近距离为1，则半径r 的值为( )A ． 4B ． 5C ． 6D ． 911.已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是( )①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝x ；④y ＝2x ＋1.A ． ①③B ． ①④C ． ②③D ． ③④12. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝，BC ＝AA 1＝1，点M 为AB 1的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点(点P 、Q 可以重合)，则MP ＋PQ 的最小值为( )A ．43 B.23 C.22 D ． 1 二、填空题（每题5分，共4题，满分20分）13. 若对任意x >0，≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．14. 将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点A (0,2)与B (4,0)重合，若此时点C (0,4)恰与点D 重合，则点D 的坐标是________．15.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．16.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为________．三、解答题（本题共6小题，满分70分。
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_3
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据三角函数表，在三角形中，当时，即可求解【详解】在三角形中，，故在三角形中，“”是“”的充分必要条件故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题2.已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则到轴的距离是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】结合抛物线第一定义即可求解【详解】如图：由，根据抛物线第一定义，，则到轴的距离是4故选：B【点睛】本题考查抛物线定义的运用，属于基础题3.过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程是（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】需要进行分类讨论，分为直线过原点和不过原点两种情况进行求解【详解】当直线过原点时，设，将点代入可得，则直线方程为：；当直线不过原点时，可设直线方程为，将点代入可得，则直线方程为：；综上所述，直线方程为：或故选：C【点睛】本题考查由截距相等求直线方程，不要忽略直线过原点的情况，属于基础题4.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可知该几何体应为正四棱锥，底面为正方形，高为，结合锥体体积公式求解即可【详解】如图，该几何体为正四棱锥，底面积为，高，则四棱锥的体积为：故选：B【点睛】本题考查由三视图还原几何体，锥体体积公式的应用，属于基础题5.圆关于直线对称的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先将圆用配方法写成标准式，求出圆心，再求出圆心关于直线的对称点，根据半径相等即可求解【详解】，故圆心坐标为，半径为2，设圆心关于直线对称的点为，则有，解得，则圆关于直线对称的圆的方程是故选：A【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求法，由圆心和半径求圆的标准方程，属于基础题6.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则（）A. B. C. 1 D. 3【答案】A【解析】【分析】可通过椭圆标准方程求得，结合双曲线中即可求解【详解】由题知，椭圆的，又在双曲线中，（需注意）故选：A【点睛】本题考查由椭圆和双曲线共焦点求参数值，属于基础题7.在空间直角坐标系中，若，则异面直线与所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】【分析】直接采用空间向量的夹角公式求解【详解】由题知：设两直线夹角为，，则，故选：C【点睛】本题考查异面直线夹角的向量求法，属于基础题8.在空间中，四个两两不同的平面，满足，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. 与既不垂直也不平行 D. 与位置关系不确定【答案】D【解析】【分析】可借助条件判断与可能平行也可能相交，而，则与的位置关系不确定【详解】若，四个两两不同的平面，满足，则与可能平行也可能相交，，与的位置关系不能确定故选：D【点睛】本题考查面与面位置关系的判定，空间的直观想象能力，属于中档题9.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且是坐标原点，则该椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意，可求得点P坐标，由，从而可得答案．【详解】依题意，设，则，，，又，，，，即，．设该椭圆的离心率为e，则，椭圆的离心率．故选C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10.已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先画出图像，再结合双曲线第一定义，三角形三边关系，当点为与双曲线的交点时，取到最小值【详解】如图，由双曲线第一定义得①，又由三角形三边关系可得②（当点为与双曲线的交点时取到等号），①+②得：，故，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，，则，，，则故选：D【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题11.在三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【解析】【分析】画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体积公式即可求解【详解】如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为，则该三棱锥外接球的体积为故选：D【点睛】本题考查锥体外接球体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题12.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于两点.若，则的方程为（）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】先做出图形，由再结合椭圆第一定义，可得出四条线段的比例关系，判断出点过椭圆的上顶点，根据斜率定义得到，再考虑图形的对称性，即可求解【详解】如图，不妨设，由，可得，由椭圆第一定义可得，可判断点过椭圆的上顶点，则，则直线的方程为，再由椭圆对称性可知，当时，经过椭圆的右焦点，则直线的方程为综上所述，直线方程为：或故选：B【点睛】本题考查椭圆基本性质的应用，数形结合思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“”的否定是_______.【答案】【解析】【分析】存在改全称，再否定结论即可【详解】命题“”的否定是“”故答案为：【点睛】本题考查存在命题的否定，属于基础题14.已知平行于轴的直线交抛物线于两点，且，则的方程为_____________.【答案】【解析】【分析】先画出图像，由可求出点横坐标，代入抛物线方程可求得，即可求解直线的方程【详解】如图，，将代入得，则直线的方程为故答案：【点睛】本题考查由直线与抛物线的位置关系求抛物线上的点，属于基础题15.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与的渐近线在第一象限内交于点，若，则的渐近线方程为_____________________.【答案】【解析】【分析】画出图形，可先求出焦点到渐近线距离，再作，由由等面积法可得，结合可推出，则可求出直线斜率，进而求解【详解】如图，作，双曲线焦点，设双曲线一条渐近线方程为，则点到渐近线距离，为等腰三角形，故腰上的高也相等，故，则，又，故，则双曲线的渐近线为故答案为：【点睛】本题考查双曲线的几何性质，双曲线的焦点到渐近线的距离为可作为常用结论，结合几何关系求解渐近线对应斜率是解题的关键，属于中档题16.知正方体的棱长为2，分别是的中点，过点的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几何体的体积为___________.【答案】【解析】【分析】先画出图形，需采用补形法延长，分别交延长线于点，则一部分几何体可通过求四棱锥，再减去两小三棱锥体积的方法求得【详解】如图，由分别是的中点，四边形时正方形可得，则，又在中，，则小四棱锥，则一部分被切几何体体积为，正方体体积为：，则另一部分几何体体积为：故较大部分几何体体积为：故答案为：【点睛】本题考查截面问题中几何体体积的计算问题，补形法是解题的关键，属于难题三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的定义域为，，若有且只有一个成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别求出命题中对应参数的取值范围，再根据题意若有且只有一个成立，判断需进行分类讨论，分和进一步求解参数的范围【详解】函数的定义域为；，当成立不成立时，对应的，故对应的；当不成立成立时，对应的，故对应的；综上所述，【点睛】本题考查逻辑用语中命题的等价形式的转化，命题的否定，由命题的交集求参数的范围，属于中档题18.已知圆的圆心在直线上，经过点，且与直线相切.（1）求的标准方程；（2）直线与相交于两点，求的面积.【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）不妨设圆心为，半径为，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解；（2）由圆心到直线距离公式求得弦心距，再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用即可求解【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为;,由题可得，解得，则圆的标准方程为；（2）如图，可求出圆心到直线的距离，则半弦长，，【点睛】本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题19.如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，点分别为的中点，点是原正方形的中心.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）由是中位线，易证，进而得证；（2）结合线面角的定义先求证，进而得到为与平面所成角，结合几何关系求解即可【详解】（1）由为中点可知，线段为中位线，则，又平面，平面，平面；（2）由（1）可得，，，又为直二面角，为中点，，底面，又平面，，，平面，，故为与平面所成角，设正方形边长为2，则，，，故【点睛】本题考查线面垂直证明，线面角的求法，属于中档题20.在平面直角坐标系中，直线的方程为，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若直线与相交于两点，与轴的交点为.若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合抛物线第一定义即可求解；（2）需要将问题转化，设的中点为，结合可得，联立直线和抛物线方程，表示出对应的弦长，由点到点距离公式求得长度，解方程即可解得，进而求解弦长【详解】（1）由题可知，圆心轨迹到定点的距离等于到定直线的距离，故点的轨迹为抛物线，抛物线焦点为，则的方程为；（2）由可知，线段，设的中点为，则，联立，则，将代入直线得，直线与轴交点为：，则，由弦长公式可得，又，联立化简可得，解得（负值舍去），则【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，由直线与抛物线相交的线段比例关系求解参数，韦达定理与弦长公式的应用，计算能力与转化能力，数形结合思想，属于难题21.已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且是侧棱上的动点.（1）求证：；（2）若点为的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）连接，利用正方形性质证明，结合，侧棱底面可证，通过线面垂直可证；（2）采用建系法，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，通过求两平面夹角的余弦值进而求解；【详解】（1）底面为正方形，，又侧棱底面，平面，，，平面，又平面，；（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则有，令，则；设平面的法向量为，则有，令，则；，则【点睛】本题考查线面垂直的证明，建系法求二面角夹角问题，属于中档题22.已知椭圆的焦点坐标是，过点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，问三角形内切圆面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在；；【解析】【分析】（1）由通径长度可求得，再结合即可求解；（2）设直线方程为，联立直线和椭圆方程可得关于的一元二次方程，求解出韦达定理，又由几何性质可得，，再由三角形的内切圆的面积公式，内切圆面积为，结合三个关系式可知，要使最大，即使最大，最终结合换元法和对勾函数可求最值；【详解】设，代入标准方程可得，又，故，又，求得，故椭圆的标准方程为：；（2）由题可知要使三角形内切圆面积最大，即使内切圆半径最大，而三角形面积的两个等价公式有①，②，其中，联立两式可得，设过的直线方程为，显然直线斜率不为0，联立，则，令，则，由对勾函数性质可知，当且仅当时，即时，取到最小值，又，时，单增，故，，，此时，直线方程为：【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，椭圆的几何性质，三角形面积公式的等价转化，韦达定理在解析几何中的应用，换元法，对勾函数求最值，转化与化归思想，计算能力，逻辑推理能力，属于难题学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据三角函数表，在三角形中，当时，即可求解【详解】在三角形中，，故在三角形中，“”是“”的充分必要条件故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题2.已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则到轴的距离是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】结合抛物线第一定义即可求解【详解】如图：由，根据抛物线第一定义，，则到轴的距离是4故选：B【点睛】本题考查抛物线定义的运用，属于基础题3.过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程是（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】需要进行分类讨论，分为直线过原点和不过原点两种情况进行求解【详解】当直线过原点时，设，将点代入可得，则直线方程为：；当直线不过原点时，可设直线方程为，将点代入可得，则直线方程为：；综上所述，直线方程为：或故选：C【点睛】本题考查由截距相等求直线方程，不要忽略直线过原点的情况，属于基础题4.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可知该几何体应为正四棱锥，底面为正方形，高为，结合锥体体积公式求解即可【详解】如图，该几何体为正四棱锥，底面积为，高，则四棱锥的体积为：故选：B【点睛】本题考查由三视图还原几何体，锥体体积公式的应用，属于基础题5.圆关于直线对称的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先将圆用配方法写成标准式，求出圆心，再求出圆心关于直线的对称点，根据半径相等即可求解【详解】，故圆心坐标为，半径为2，设圆心关于直线对称的点为，则有，解得，则圆关于直线对称的圆的方程是故选：A【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求法，由圆心和半径求圆的标准方程，属于基础题6.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则（）A. B. C. 1 D. 3【答案】A【解析】【分析】可通过椭圆标准方程求得，结合双曲线中即可求解【详解】由题知，椭圆的，又在双曲线中，（需注意）故选：A【点睛】本题考查由椭圆和双曲线共焦点求参数值，属于基础题7.在空间直角坐标系中，若，则异面直线与所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】【分析】直接采用空间向量的夹角公式求解【详解】由题知：设两直线夹角为，，则，故选：C【点睛】本题考查异面直线夹角的向量求法，属于基础题8.在空间中，四个两两不同的平面，满足，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. 与既不垂直也不平行 D. 与位置关系不确定【答案】D【解析】【分析】可借助条件判断与可能平行也可能相交，而，则与的位置关系不确定【详解】若，四个两两不同的平面，满足，则与可能平行也可能相交，，与的位置关系不能确定故选：D【点睛】本题考查面与面位置关系的判定，空间的直观想象能力，属于中档题9.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且是坐标原点，则该椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意，可求得点P坐标，由，从而可得答案．【详解】依题意，设，则，，，又，，，，即，．设该椭圆的离心率为e，则，椭圆的离心率．故选C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10.已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先画出图像，再结合双曲线第一定义，三角形三边关系，当点为与双曲线的交点时，取到最小值【详解】如图，由双曲线第一定义得①，又由三角形三边关系可得②（当点为与双曲线的交点时取到等号），①+②得：，故，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，，则，，，则故选：D【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题11.在三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体积公式即可求解【详解】如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为，则该三棱锥外接球的体积为故选：D【点睛】本题考查锥体外接球体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题12.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于两点.若，则的方程为（）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】先做出图形，由再结合椭圆第一定义，可得出四条线段的比例关系，判断出点过椭圆的上顶点，根据斜率定义得到，再考虑图形的对称性，即可求解【详解】如图，不妨设，由，可得，由椭圆第一定义可得，可判断点过椭圆的上顶点，则，则直线的方程为，再由椭圆对称性可知，当时，经过椭圆的右焦点，则直线的方程为综上所述，直线方程为：或故选：B【点睛】本题考查椭圆基本性质的应用，数形结合思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“”的否定是_______.【答案】【解析】【分析】存在改全称，再否定结论即可【详解】命题“”的否定是“”故答案为：【点睛】本题考查存在命题的否定，属于基础题14.已知平行于轴的直线交抛物线于两点，且，则的方程为_____________.【答案】【解析】【分析】先画出图像，由可求出点横坐标，代入抛物线方程可求得，即可求解直线的方程【详解】如图，，将代入得，则直线的方程为故答案：【点睛】本题考查由直线与抛物线的位置关系求抛物线上的点，属于基础题15.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与的渐近线在第一象限内交于点，若，则的渐近线方程为_____________________.【答案】【解析】【分析】画出图形，可先求出焦点到渐近线距离，再作，由由等面积法可得，结合可推出，则可求出直线斜率，进而求解【详解】如图，作，双曲线焦点，设双曲线一条渐近线方程为，则点到渐近线距离，为等腰三角形，故腰上的高也相等，故，则，又，故，则双曲线的渐近线为故答案为：【点睛】本题考查双曲线的几何性质，双曲线的焦点到渐近线的距离为可作为常用结论，结合几何关系求解渐近线对应斜率是解题的关键，属于中档题16.知正方体的棱长为2，分别是的中点，过点的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几何体的体积为___________.【答案】【解析】【分析】先画出图形，需采用补形法延长，分别交延长线于点，则一部分几何体可通过求四棱锥，再减去两小三棱锥体积的方法求得【详解】如图，由分别是的中点，四边形时正方形可得，则，又在中，，则小四棱锥，则一部分被切几何体体积为，正方体体积为：，则另一部分几何体体积为：故较大部分几何体体积为：故答案为：【点睛】本题考查截面问题中几何体体积的计算问题，补形法是解题的关键，属于难题三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的定义域为，，若有且只有一个成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别求出命题中对应参数的取值范围，再根据题意若有且只有一个成立，判断需进行分类讨论，分和进一步求解参数的范围【详解】函数的定义域为；，当成立不成立时，对应的，故对应的；当不成立成立时，对应的，故对应的；综上所述，【点睛】本题考查逻辑用语中命题的等价形式的转化，命题的否定，由命题的交集求参数的范围，属于中档题18.已知圆的圆心在直线上，经过点，且与直线相切.（1）求的标准方程；（2）直线与相交于两点，求的面积.【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）不妨设圆心为，半径为，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解；（2）由圆心到直线距离公式求得弦心距，再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用即可求解【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为;,由题可得，解得，则圆的标准方程为；（2）如图，可求出圆心到直线的距离，则半弦长，，【点睛】本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题19.如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，点分别为的中点，点是原正方形的中心.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）由是中位线，易证，进而得证；（2）结合线面角的定义先求证，进而得到为与平面所成角，结合几何关系求解即可【详解】（1）由为中点可知，线段为中位线，则，又平面，平面，平面；（2）由（1）可得，，，又为直二面角，为中点，，底面，又平面，，，平面，，故为与平面所成角，设正方形边长为2，则，，，故【点睛】本题考查线面垂直证明，线面角的求法，属于中档题20.在平面直角坐标系中，直线的方程为，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若直线与相交于两点，与轴的交点为.若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合抛物线第一定义即可求解；（2）需要将问题转化，设的中点为，结合可得，联立直线和抛物线方程，表示出对应的弦长，由点到点距离公式求得长度，解方程即可解得，进而求解弦长【详解】（1）由题可知，圆心轨迹到定点的距离等于到定直线的距离，故点的轨迹为抛物线，抛物线焦点为，则的方程为；（2）由可知，线段，设的中点为，则，联立，则，将代入直线得，直线与轴交点为：，则，由弦长公式可得，又，联立化简可得，解得（负值舍去），则。
2019-2020学年山西省怀仁市重点中学高二上学期期末考试数学(理)试题解析
绝密★启用前2019-2020学年山西省怀仁市重点中学高二上学期期末考试数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2nn N n ∀∈> B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,2nn N n ∃∈=答案：C 解：特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．命题“若，则”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：A【分析】试题分析：命题“若，则”的逆命题为：“若，则”，所以原命题为真命题，逆命题为假命题；所以否命题为假命题，逆否命题为真命题；所以选A.考点:命题间的关系． 解：请在此输入详解！3．下列说法正确的是（ ）A ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 答案：B根据棱锥和棱台的几何体的特征，逐项判断，即可求得答案. 解：对于A ，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A 错误；对于B ，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示：故B 正确；对于C ，有两个平面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱不相交于一点，则不是棱台，故C 错误；对于D ，由于棱台是用平行于底面的平面截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故D 错误． 故选：B. 点评：本题考查几何体结构特征的相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握常见几何体的结构特征，属于基础题.4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．25+B ．45+C ．225+D ．5答案：C根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，利用三视图中的数据即可得结果. 解：该几何体是棱长分别为2,2,1 的长方体中的三棱锥：P ABM - ，其中：52,,5ABM PMA PMB PAB S S S S ====V V V V ， 该几何体的表面积为：52252252+⨯+=+ . 故选C. 点评：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. .5．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件C ．命题“∃x 0∈R ，x ＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题 答案：B结合命题的否定与否命题对四个选项逐一进行分析即可得到结论 解：命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以A 错误； 若a b R ∈，，则0ab ≠可推出0a ≠且0b ≠，但0a ≠推不出0ab ≠，故是充分不必要条件，故B 正确；命题“0x R ∃∈，20010x x ++<”的否定为“x R ∀∈，210x x ++≥”，C 错误；若“p 且q ”为假命题，则p q ，至少有一个为假命题，D 错误． 综上所述，故选B . 点评：本题主要考查了命题的否命题，充分必要条件的判断等应用，运用各知识点对四个命题进行逐一判断，较为基础。
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山西省怀仁市重点中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=2.命题“若，则”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 43.下列说法正确的是（ ）A. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C. 有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A. 25+B. 45+C. 225+D. 55.下列说法正确的是( )A. 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B. 若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件C. 命题“∃x 0∈R ，x ＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”D. 若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题6.直线l 经过点(1,2)A ，在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，则其斜率k 的取值范围是（ ） A. 115k -<< B. 112k -<< C. 15k >或1k <- D. 12k >或1k <- 7.已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若垂直于同一平面，则与平行B. 若平行于同一平面，则与平行C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面8.设变量x 、y 满足约束条件1{22x y x y y -+，则目标函数22z x y =+的取值范围为（ ）A. []2,8B. []4,13C. []2,13D. 5,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点()1,2M -，点Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，则点Q 的轨迹方程是（ ） A. 210x y ++= B. 250x y --= C. 210x y --=D. 250x y -+=10. 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） 5 B. 23211.在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ） A. 24141171712.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 3D. 6二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是__________．14.已知双曲线2221x y a-= (a ＞0)的一条渐近线为3 x ＋y ＝0，则a ＝________.15.如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为_______________.16.椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点(c,0)F 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_____.三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，已知()5,2A -，()7,3B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：()1顶点C 的坐标；()2直线MN 的方程．18.已知m ∈R ,命题p :对[]0,1x ∀∈,不等式2223x m m -≥-恒成立；命题[]:1,1q x ∃∈-，使得m ax ≤成立.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∧假，p q ∨为真，求m 的取值范围. 19.已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A(3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S.20. 如图，四棱锥S- ABCD 中，SD⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥ DC,，AB=AD ＝1，DC=SD=2， E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB ．(I)证明：DE⊥平面SBC ；(II)证明：求二面角A- DE -C 的大小21.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222,22PF PF ==，求椭圆的标准方程（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e 22.已知抛物线2:(0)C y mx m =>，焦点为F ，直线220x y -+=交抛物线C 于,A B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .（1）求抛物线C 的焦点坐标；（2）若抛物线C 上有一点(),2R R x 到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；（3）是否存在实数m ，使ABQ △是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.山西省怀仁市重点中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2.命题“若，则”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为（ ）． A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】试题分析：命题“若，则”的逆命题为：“若，则”，所以原命题为真命题，逆命题为假命题；所以否命题为假命题，逆否命题为真命题；所以选A. 考点:命题间的关系． 【详解】 请在此输入详解！3.下列说法正确的是（ ）A. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C. 有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点【答案】B【解析】【分析】根据棱锥和棱台的几何体的特征，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A错误；对于B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示：故B 正确；对于C，有两个平面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱不相交于一点，则不是棱台，故C错误；对于D，由于棱台是用平行于底面的平面截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故D错误．故选：B.【点睛】本题考查几何体结构特征的相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握常见几何体的结构特征，属于基础题.4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A. 25+ B. 45 C. 225+ D. 5【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，利用三视图中的数据即可得结果.【详解】该几何体是棱长分别为2,2,1的长方体中的三棱锥：P ABM-，其中：52,,5 ABM PMA PMB PABS S S S====，该几何体的表面积为：52252252+⨯+=+ .故选C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响..5.下列说法正确的是( )A. 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B. 若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C. 命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”D. 若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题【解析】 【分析】结合命题的否定与否命题对四个选项逐一进行分析即可得到结论【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以A 错误； 若a b R ∈，，则0ab ≠可推出0a ≠且0b ≠，但0a ≠推不出0ab ≠，故是充分不必要条件，故B 正确；命题“0x R ∃∈，20010x x ++<”的否定为“x R ∀∈，210x x ++≥”，C 错误；若“p 且q ”为假命题，则p q ，至少有一个为假命题，D 错误． 综上所述，故选B .【点睛】本题主要考查了命题的否命题，充分必要条件的判断等应用，运用各知识点对四个命题进行逐一判断，较为基础．6.直线l 经过点(1,2)A ，在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，则其斜率k 的取值范围是（ ） A. 115k -<< B. 112k -<< C. 15k >或1k <- D. 12k >或1k <- 【答案】D 【解析】 【分析】设直线方程点斜式，根据在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，求解不等式即可得解，即可求得答案.【详解】由题可设直线方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+= 在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，即点()()3,0,3,0-在直线的异侧， 根据二元一次不等式表示平面区域关系可得：()()32320k k k k --+-+<，即()()42220k k -+>，解得：12k >或1k <- 故选：D【点睛】本题考查了根据过某点的直线与坐标轴的截距范围求解斜率取值范围，解题关键是掌握数形结合分析斜率和等价转化为二元一次不等式表示平面区域的问题求解，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 7.已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若垂直于同一平面，则与平行B. 若平行于同一平面，则与平行C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】 D 【解析】试题分析：对于A 中，若若垂直于同一平面，则与不一定是平行，例如墙角的三个平面；对于B 中，若平行于同一平面，则与平行、相交或异面，所以是错误的；对于C 中，若不平行，则在内可存在无数条与平行的直线，所以是错误的； 对于D中，若不平行，则与不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直一个平面，则这两条直线一定是平行的，所以是正确的． 考点：空间中直线与平面的位置的判定．8.设变量x 、y 满足约束条件1{22x y x y y -+，则目标函数22z x y =+的取值范围为（ ）A. []2,8B. []4,13C. []2,13D. 5,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域图形，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方的取值范围，从而可得22min22002211z OA +-===+,222max3213z OB ==+=.故正确答案为C.考点：1.简单线性规划；2.点到直线、两点间的距离.9.已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点()1,2M -，点Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，则点Q 的轨迹方程是（ ） A. 210x y ++= B. 250x y --= C. 210x y --= D. 250x y -+=【答案】D 【解析】 【分析】由PM MQ =知M 为PQ 中点，由中点坐标公式可表示出P 点坐标，代入直线方程即可求得Q 点轨迹方程. 【详解】PM MQ = M ∴为PQ 中点设(),Q x y ，则()2,4P x y ---，代入230x y -+=得：()()22430x y ----+= 整理可得Q 点轨迹方程为250x y -+= 故选：D【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用所求点坐标表示出已知直线上的点的坐标，代入已知直线整理可得结果.10. 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） 5 B. 2 32【答案】D 【解析】 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ． 考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．11.在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ）A. 241411717 【答案】D【解析】【分析】画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB 所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案.【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒． 可得：.cos6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅=故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅= 36166448=++-68=||217AB ∴=故选：D.【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.12.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 3D. 6【答案】B【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是__________．【答案】x 2＋y 2＝2【解析】圆心是AB 的中点坐标为(0，0)，直径是AB 两点之间距离是22，∴ 圆的方程为x 2＋y 2＝2.14.已知双曲线2221x y a-= (a ＞0)的一条渐近线为3 x ＋y ＝0，则a ＝________. 【答案】【解析】 【详解】双曲线()22210x y a a-=>渐近线方程为1y x a =±303x y y x +=⇒=，0a >,则133,a a -== 考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.15.如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为_______________.【答案】2【解析】【分析】取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接1C D ,直线1AC 与AD 所成角等于异面直线1AC 与BC 所成角,利用圆柱的轴截面11ABB A 是正方形,12C D AD =,从而可得结论.【详解】取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接1,C D AD ，则因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以//AD BC ，所以直线1AC 与AD 所成角等于异面直线1AC 与BC 所成角.因为1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，所以1C D ⊥圆柱下底面，所以1C D AD ⊥.因为圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，所以1C D ，所以直线1AC 与AD.所以异面直线1AC 与BC.故答案为.【点睛】本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易.16.椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点(c,0)F 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_____.【答案】2 【解析】【分析】根据点F 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，找出几何关系，列方程组求解，即可求得答案.【详解】设椭圆另一焦点为1F ，线段QF 与直线:b l y x c=交点为M 设1QF n =，QF m =，,O M 分别为1,FF QF 的中点，∴1//QF OM ，又OM QF ⊥ ∴22224l m n a m n c m b k n c ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪==⎩，整得22ab m b c ac n b c ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 代入2224m n c +=，整理得：22()(2)0b b c b bc c -++=，∴b c =， ∴2221222c c e a b c ====+ 故答案为：22. 【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率问题，解题关键是利用对称性找到几何关系，关键发现OM QF ⊥，抓住椭圆定义，斜率公式及直角三角形列出方程组，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，已知()5,2A -，()7,3B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：()1顶点C 的坐标；()2直线MN 的方程．【答案】（1）(5,3)C --；（2）5250x y --=．【解析】试题分析：（1）边AC 的中点M 在y 轴上，由中点公式得，A ，C 两点的横坐标和的平均数为0，同理，B ，C 两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C 点的坐标．（2）根据C 点的坐标，结合中点公式，我们可求出M ，N 两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN 的方程．解：（1）设点C （x ，y ），∵边AC 的中点M 在y 轴上得=0， ∵边BC 的中点N 在x 轴上得=0，解得x=﹣5，y=﹣3．故所求点C 的坐标是（﹣5，﹣3）．（2）点M 的坐标是（0，﹣），点N 的坐标是（1，0），直线MN 的方程是=，即5x ﹣2y ﹣5=0． 点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．18.已知m ∈R ,命题p :对[]0,1x ∀∈,不等式2223x m m -≥-恒成立；命题[]:1,1q x ∃∈-，使得m ax ≤成立.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∧假，p q ∨为真，求m 的取值范围.【答案】（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞. 【解析】【分析】（1）()2min 223x m m -≥-，即232m m -≤-，可解出实数m 的取值范围；（2）先求出命题q 为真命题时实数m 的取值范围，再分析出命题p 、q 中一个是真命题，一个是假命题，即可的得出实数m 的取值范围.【详解】（1）∵对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，()2min 223x m m ∴-≥-，即232m m -≤-，即2320m m -+≤，解得12m ≤≤，因此，若p 为真命题时，实数m 的取值范围是[]1,2； （2）1a =，且存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立，m x ∴≤，命题q 真时，1m . ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p 、q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩，解得12m <≤； 当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨≤⎩或，即1m <.综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞. 【点睛】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用复合命题的真假求参数问题，解题的关键就是要确定简单命题的真假，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19.已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A(3，5)．(1)求过点A 的圆的切线方程； (2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S.【答案】（1）3x =或34110x y -+=；（2）12 【解析】试题分析：（1）当切线的斜率存在时，设为k ，写出切线方程，圆心到切线的距离等于半径，解出k 求出切线方程，切线的斜率不存在时3x =验证即可；（2）先求直线 AO 的方程，再求C 到OA 的距离，再求OA 的长度，然后求出三角形AOC 的面积.试题解析：(1)由圆C ：2246120x y x y +--+=，配方，得22(2)(3)1x y -+-=，圆心()2,3C ，当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为()53y k x －＝－， 即530kx y k -+－＝，由1d ==，得34k =，又斜率不存在时直线3x =也与圆相切，故所求切线方程为3x =或34110x y -+=.(2)直线OA 的方程为53y x =，即530x y －＝，点C 到直线OA的距离为d ==OA ==1122S OA d ==. 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.20. 如图，四棱锥S- ABCD 中，SD⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥ DC,，AB=AD ＝1，DC=SD=2， E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB ．(I)证明：DE⊥平面SBC ；(II)证明：求二面角A- DE -C 的大小【答案】（Ⅰ）证明略；(Ⅱ)．【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据题意建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；(Ⅱ)求出两平面的法向量，求出法向量的夹角，再结合图形确定二面角的大小.试题解析：分别以DA ，DC ，DS 所在直线为x 轴，y 轴，z 建立空间直角坐标系（如图），则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C S ，(1,1,0),(0,0,2)DB DS == （Ⅰ）∵SE=2EB， ∴2121222(1,1,0)(0,0,2)(,,)3333333DE DB DS =+=+= 又(1,1,0),(1,1,2)BC BS =-=--∴0,0DE BC DE BS ⋅=⋅=∴,DE BC DE BS ⊥⊥又BC BS B ⋂=∴DE ⊥平面SBC(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，DE⊥平面SBC ，∵EC ⊂平面SBC ，∴DE EC ⊥当2SE EB =时，知222(,,)333E ，222(,,)333DE =，取DE 中点F ，则111333F （，，），211333FA =--（，，）故0FA DE ⋅=，由此得FA⊥DE ∴向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角 又1cos ,2FA EC FA EC FA EC⋅〈〉==-， ∴二面角A DE C --的大小为0120考点：1.空间几何体中的平行、垂直的相互转化；2.空间向量在立体几何中的应用． 21.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222,22PF PF ==，求椭圆的标准方程（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e 【答案】（1）22+y =14x ；（263-.【解析】 【详解】（1）由椭圆的定义，((12222224 2.a PF PF a =+=+==，故 设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此 ()()222212122||222223c F F PF PF ==+=++-=，即3.从而1b = 故所求椭圆的标准方程为22+y =14x . （2）设点P 00(,)x y 在椭圆上，且12PF PF ⊥，则22222000022y +=1,x x y c a b+=求得200=.b x y c=± 由12P =P |F PQ F ,得0>0x ,从而()(22222221||=22.b PF a b a c ⎛⎫⎫+=-+= ⎪⎪⎭⎝⎭ 由椭圆的定义，12122,2PF PF a QF QF a +=+=,从而由122==+PFPQ PF QF ，有1142QF a PF =-又由12PF PF ⊥，1=PF PQ知11QF PF =，因此(1=4PF a于是((24.a a =解得e ==. 解法二：如图由椭圆的定义，12122,2PF PF a QF QF a +=+=,从而由122==+PF PQ PF QF ，有1142QF a PF =-又由12PF PF ⊥，1=PF PQ知11QF PF =，因此1142a PF PF -=,1PF a ,从而21=2-21)PF a PF a a a =-=由12PF PF ⊥,知22222122|F |||(2)4PF P PF c c +===，因此c e a =====考点：考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．22.已知抛物线2:(0)C y mx m =>，焦点为F ，直线220x y -+=交抛物线C 于,A B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .（1）求抛物线C 的焦点坐标；（2）若抛物线C 上有一点(),2R R x 到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；（3）是否存在实数m ，使ABQ △是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4F m ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）14；（3）存在，2. 【解析】【分析】（1）抛物线2:(0)C y mx m =>，即21x y m=，可求出焦点坐标，即可求得答案； （2）利用抛物线的定义把焦点F 的距离为3转化为到准线的距离为3，即可求得答案；（3）ABQ △是以Q 为直角顶点的直角三角形即是0QA QB ⋅=，把直线方程和抛物线方程联立，可以得到,A B 两点的坐标进而求得P 以及Q 的坐标，代入是0QA QB ⋅=，即可求得答案.【详解】（1）抛物线2:(0)C y mx m =>， 即21x y m= ∴抛物线C 的焦点为10,4F m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）∵抛物线C 上有一点(),2R R x 到焦点F 的距离为3，1234m∴+= 14m ∴= （3）联立方程2220y mx x y ⎧=⎨-+=⎩消去y可得2220mx x --=，设()()221122,,,A x mx B x mx 则121222,x x x x m m+=⋅=-——① P 是线段AB 的中点， ∴()221212,22m x x x x P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭,即1,p P y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11,Q m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭得2211221111,,,QA x mx QB x mx m m m m ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 若存在实数m ，使ABQ △是以Q 为直角顶点的直角三角形，则是0QA QB ⋅= 即22121211110x x mx mx m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结合①化简得24640m m--+= 即22320m m --=2m ∴=或12m =- (舍去)，经检验满足判别式大于0 ∴存在实数2m =，使ABQ △是以Q 为直角顶点的直角三角形．【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。