形形色色的切线问题-高三数学备考冲刺

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2020届高三数学备考冲刺140分问题08形形色色的切线问题含解析

问题08 形形色色的切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题.. 二、经验分享(1) 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k ＝f ′(x 0)．(2)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数．（Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时,若()f x 有唯一的零点0x ,求证： 0 1.x > 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0x >,令,则由,可得x =()g x ∴在⎛ ⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.又,故当时, ()0g x <；又,故()g x 在()1,+∞上有唯一零点,设为1x ,从而可知()f x 在()10,x 上单调递减,在()1,x +∞上单调递增, 因为()f x 有唯一零点0x , 故10x x =且01x > (三)两曲线的公切线【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和都相切,则a 等于( )A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出a 的值.【答案】A【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与求a 的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的0∆=来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线）【小试牛刀】【2019届安徽省皖中名校联盟10月联考】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．【答案】0或1(四) 曲线条数的确定【例4】已知函数,若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线,所以考虑先设切点()00,x y ,切线斜率为k ,则满足,所以切线方程为,即,代入()1,P t 化简可得：,所以若存在3条切线,则等价于方程有三个解,即y t =与有三个不同交点,数形结合即可解决【解析】设切点坐标()00,x y ,切线斜率为k ,则有：∴ 切线方程为：因为切线过()1,P t ,所以将()1,P t 代入直线方程可得：所以问题等价于方程,令即直线y t =与有三个不同交点令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在单调递减,在()0,1单调递增所以若有三个交点,则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时,过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切.【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点()(),P t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,可把问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【小试牛刀】【2019届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.5．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数()f x 是偶函数,当0x >时, ,则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B6．【2018届河南省天一大联考】已知()f x 是定义在R 上的单调函数,满足,则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为（）A. 1y x =+B. 1y x =-C. 1y x =-+D. 1y x =-- 【答案】A【解析】由题意可得()xf x e -为一固定的数,设,则有()1f a =.由可得,当x a =时,有,解得0a =.∴()xf x e =,∴()xf x e '=.∴,又.∴曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y 1x -=,即1y x =+.选A. 7．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知12,P P 为曲线:ln C y x =（0x >且1x ≠）上的两点,分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点,若,则MN =（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点P 为函数与图象的公共点,以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为（）A. 3423eB. 3432e C. 2343e D. 2334e【答案】D【解析】设()y f x =与在公共点()00,P x y 处的切线相同, ,由题意,即,由得0x a =或03x a =-（舍去）,即有,令,则,于是当,即130t e <<时, ()'0h t >；当,即13t e >时, ()'0h t <,故()h t 在130,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数,在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数,于是()h t 在()0,+∞的最大值为,故b 的最大值为2334e ,故选D. 9．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条【来源】数学（理）试题【答案】A10．【2018届四川宜宾市高三（上）测试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b 的最大值为 A.21e B. 212e C. 213e D. 214e【答案】A【解析】由题意,可得,由(1)得,解得0x a =或013x a =- (舍去),代入(2)得,,构造,则()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,即()b h x -=的最小值为,所以b 的最大值为21e ,故选A. 11．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,则实数m 的取值范围是（） A. 2m > B. 2m ≤ C. 12m >- D. 12m ≤-【答案】A【解析】∵曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,成立,故选A16.已知函数（,a b R ∈）,()2g x x =.（1）若1a =,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直,求b 的值；（2）若2b =,试探究函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究a 值的个数；,若不存在,请说明理由.（2）假设函数()f x 与()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线,∵2b =,∴,∴, ()'2g x x =,由得,即,∴,故02a x =. ∵函数()f x 的定义域为()0,+∞,当0a ≤时,,∴函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当1t =时, ln 0t =,,由函数图象的性质可得ln y t =和212t y =-的图象有且只有两个公共点（且均符合）,∴方程有且只有两个根.综上,当0a ≤时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0a >时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.。

专题4.2 热点题型一切线相关问题-奇招制胜2017年高考数学文热点+题型全突破含解析精品

（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。

这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000lim x f x x f x k x∆→+∆-=∆, 即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000lim x f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。

导数专项：切线问题专项突破含详细解析答案

专项突破：切线问题思路汇总第一点：基础准备导函数的几何意义就是指在平面图形中，所表示的涵义，即：00()()y f x x x x ==在处有定义且可导处的导数表示该处的切线斜率。

斜率的表达方式，高中数学讲了以下几种212211210(1)tan ;[0,)(2),(,)(,)n (3)(,),k=(4)()k y yk x y x y x x a m n mk f x θθπ=-=-='=为直线的倾斜角，范围是和为直线上的两点，这两点的横坐标不相同若某直线的方向向量则这是在告诉考生第二点：切线问题结构图0000000000()(),()()(,)(3)y b f a x a y f x a b y '-=-'-=--=（1）题中说“在”点A(a,b)：该点必为唯一的切点，设切线方程为：即只需要求导数值就可以了；(2)题中说“过”点A(a,b)且该点不在f(x)上：思路是设切点(x ,y ),切线方程为：y x x ，将带入求出(x ,y )；切线问题题中说“过”点A(a,b)且该点在f(x)上：思路是设切点(x ,y ),切线方程为：y 00000()()(,),a f x a b a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪'-⎪⎪⎪⎪⎪⎩x x ，将带入求出(x ,y )；注：这种情况，解得的x 必有一个为也可能只有一个a,也可以除了之外还有其他值，也就是说切线方程可能不唯一综上：上述三种情况的关键在于：设切点，并求出切点坐标第三点：有两句话，在有关于切线问题的时候经常用到，没有思路的时候就要默念这两句话：函数在该点处的导数值为切线方程的斜率；切点既在切线上同时也在曲线上，可以将其带入到这两个方程；习题巩固：11. 2.(1)(1)______2x f f '++=已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为y=则3142.33(1)(2,4)(2)(2,4)y x P P =+已知曲线求曲线在点处的切线方程求过点的切线方程43.____1x P y P e αα=+已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是4. 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =5. 设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.求,a b ；6.=210,x y e P x y P -++=若曲线上点处的切线平行于直线则点的坐标为______切线问题汇总参考答案1.答案：3解析：2.3.4.5.6.。

形形色色的切线问题-2019届高三数学提分精品讲义

在利用点斜式写出直线方在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方式也为思路几何中【结果】【思路】()()()()21211212222222212x x x x x x ⎡⎤-=+-+≥-++=⎣⎦,当且仅当()2122221x x +=-+=,即132x =-, 212x =-时,等号成立,所以21x x -地最小值为1-.（2）当120x x <<或120x x <<时, ()()12''f x f x ≠,所以120x x <<,当10x <时,函数()f x 图象在点A 处地切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+,当20x >时,函数()f x 图象在点B 处地切线方程为()2221ln y x x x x -=-,即221ln 1y x x x =+-,两处切线重合地充要款件是12221122{ 1x x lnx x a=+-=-+,由12122x x =+及120x x <<,得110x -<<, ()221211ln 1ln 221a x x x x =+-=-+-,记()()2ln 221(10)h x x x x =-+--<<,则()1'201h x x x =-<+,所以()h x 在()1,0-单调递减, ()0ln21h =--, x 趋近于1-时, ()h x 趋近于+∞,所以()()ln21,h x ∈--+∞,所以a 地取值范围是()ln21,--+∞.学科￥网(二) 求曲线地切线方程【例2】已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2,f (2))处地切线方程。

(2)求经过点A (2,－2)地曲线f (x )地切线方程．【思路】(1)切点已知时求切线方程,求出()2k f '=,用点斜式写出方程。

备战2021高考数学冲破压轴题讲与练专题02 曲线的切线问题探究(解析版)

专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-．（2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C. 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1e x x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .例2.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T6)函数f(x)=x 4-2x 3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1【答案】B【解析】因为f (x )=x 4-2x 3,所以f'(x )=4x 3-6x 2,所以f (1)=-1,f'(1)=-2,因此,所求切线的方程为y +1=-2(x -1),即y =-2x +1.例3．（2020·江苏高三期中）（多选）在直角坐标系内，由A ，B ，C ，D 四点所确定的“N 型函数”指的是三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，其图象过A ，D 两点，且()f x 的图像在点A 处的切线经过点B ，在点D 处的切线经过点C .若将由()0,0A ，()1,4B ，()3,2C ，()4,0D 四点所确定的“N 型函数”记为()y f x =，则下列选项正确的是（） A ．曲线()y f x =在点D 处的切线方程为28y x =-+ B ．()()()1488f x x x x =-- C ．曲线()y f x =关于点()4,0对称 D ．当46x ≤≤时，()0f x ≥【答案】ABC【详解】因为直线CD 的斜率为02243-=--，所以CD 的方程为()024y x -=--，即28y x =-+，所以A 正确.因为()f x 的图象过点()0,0A 及()4,0D ，所以()f x 有两个零点0，4，故可设()()()4f x x x kx m =-+(其中0k ≠)，则()()()()'424f x kx x kx m x =-++-，由()'04f =，()'42f =，得1m =-，18k =，所以()()()1488f x x x x =--，故B 正确.由选项B 可知，()()80f x f x +-=，所以曲线()y f x =关于点()4,0对称，故C 正确.当46x ≤≤时，有40x -≥，80x -<，所以()0f x ≤，故D 不正确.例4．（2020·河北唐山高三）(多选)设点P是曲线23x y e =+上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含下列哪些（）A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】CD【详解】因为23x y e =+，故可得x y e =>'α，则tan α>20,,23ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，例5．（2020·湖北武汉高三）已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点(1,)P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值可以是（）A ．0B ．127C ．128D ．129 【答案】CD【详解】32()2f x x x x =-+-，2'()341f x x x ∴=-+-，由已知得，过点(1,)P t 作曲线()y f x =的三条切线，情况如下：①点(1,)P t 在曲线上，故此时，切点为(1,)P t ，把P 点代入函数可得，(1,0)P ，利用切线公式得，'(1)(1)y f x =-，所以，此时，切线为x 轴，但此时，切线只有一条，不符题意； ②点(1,)P t 不在曲线上，故此时，设切点为00(,)x y ，故切线经过(1,)P t ∴切线方程为：0'()(1)y t f x x -=-，所以，20000(341)(1)y t x x x -=-+--，又因为切点在曲线上，所以，3200002y x x x =-+-，又因为切线的斜率为：联立方程得，20000320000(341)(1)2y t x x x y x x x ⎧-=-+--⎨=-+-⎩，化简得，320002541t x x x =-+-，令32()2541g x x x x =-+-，即()t g x =有三个解，即y t =与()y g x =有三个交点，令2'()61042(1)(32)0g x x x x x =-+=--=，可得两极值点为11x =，223x =；对于()g x ，在2,3x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭和()1,+∞时，单调递增，在2(,1)3x ∈时单调递减，所以，当2()(1)3g t g <<时，因为21()327g =，(1)0g =，所以，当1027t <<时，满足y t =与()y g x =有三个交点，而1110292827<<< 例6．（2020·梅河口市第五中学高三）已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是（）A ．7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ B ．772ln 2,2ln 244⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．72ln 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．72ln 2,4⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A【详解】因为函数()21ln 2f x ax ax x =-+，所以定义域为()0,∞+，()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，因为曲线()y f x =在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，所以1x 、2x 是方程210ax ax -+=的两个不相等的正根，121x x =+，121=x x a ，则24010a a a⎧->⎪⎨>⎪⎩，解得4a >，令()()()121212h a x x x x f x f x +=+++，则()222121211111ln ln 22h a ax ax x ax ax x a =-++-+++ ，易知()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，故()72ln 24h a <--，()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，例7.（2019·全国高考真题）已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞， 2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点；（2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线x y e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x x y e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x x y e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-，切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x x b e x e x x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例8. (2020·全国卷Ⅲ理科·T21)函数f(x)=x 3+bx+c,曲线y=f(x)在点处的切线与y 轴垂直(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明f(x)所有零点的绝对值都不大于1.【解析】(1)因为f'(x )=3x 2+b ,由题意,f'=0,即3×+b =0,则b =-.(2)由(1)可得f (x )=x 3-x +c ,f'(x )=3x 2-=3,令f'(x )>0,得x >或x <-; 令f'(x )<0,得-<x <,所以f (x )在上单调递减,在,上单调递增, 且f (-1)=c -,f =c +,f =c -,f (1)=c +,若f (x )所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x 0,则f (-1)>0或f (1)<0,即c >或c <-.当c >时,f (-1)=c ->0,f =c +>0, f=c ->0,f (1)=c +>0,又f (-4c )=-64c 3+3c +c =4c (1-16c 2)<0,由零点存在性定理知f (x )在(-4c,-1)上存在唯一一个零点x0,即f(x)在(-∞,-1)上存在唯一一个零点,在(-1,+∞)上不存在零点,此时f(x)不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;当c<-时,f(-1)=c-<0,f=c+<0,f=c-<0,f(1)=c+<0,又f(-4c)=-64c3+3c+c=4c(1-16c2)>0,由零点存在性定理知f(x)在(1,-4c)上存在唯一一个零点x0',即f(x)在(1,+∞)上存在唯一一个零点,在(-∞,1)上不存在零点,此时f(x)不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;综上,f(x)所有零点的绝对值都不大于1.例9.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=a e x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-1-.(1)当a=e时,f(x)=e x-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为,2, 因此所求三角形的面积为.(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1不满足条件;当a=1时,f(x)=e x-1-ln x,f'(x)=e x-1-.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.所以a=1满足条件;当a>1时,f(x)=a e x-1-ln x+ln a≥e x-1-ln x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).例10.(2020·北京高考·T19)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.【解析】(1)f(x)定义域为R,f'(x)=-2x,设切点为P(x0,y0),则k=f'(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切点为(1,11),所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)切线方程为y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=+,所以S(t)=(t2+12)|+|,t≠0,易知S(t)为偶函数,当t >0时,S (t )=t 3+6t +,S'(t )=×,令S'(t )=0得t =2,-2(舍),t (0,2) 2(2,+∞) S'(t ) - 0+ S (t ) ↘ 极小值↗ 所以S (t )有极小值也是最小值S (2)=32,又S (t )为偶函数,所以当t =±2时,S (t )有最小值32.例11.（2019·山西太原高三）已知函数ln 1()x f x x +=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-；(Ⅱ)若直线(0)y ax b a =+>为函数()f x 的切线，求ba的最小值. 【答案】(1)见解析.(2) 1e-. 【解析】 (Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤> 令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x -++-+'==- 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证. (Ⅱ)221(ln 1)ln ()x x f x x x -+-'==，设切点为()()00,x f x ，则020ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=，所以()0002ln 1ln x x b a x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，因为0a >，020ln 0x x ->，所以100<<x ，()()()()2000000002220002ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．例12.（2020四川棠湖中学高三）已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程；（2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M.【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±.代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =.故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB x k =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ② 所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++ 22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦．将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2020·河津中学高三）设函数32()(2)2f x x a x x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的线方程为（）A ．520x y --=B ．20x y -+=C ．580x y ++=D ．40x y +-=【答案】A【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即3232(2)2(2)2x a x x x a x x -+-=-----，所以20a -=，所以2a =，所以3()2f x x x =+，则2(1)3,()32,(1)5f f x x f ''==+=，所以切线方程为35(1)y x -=-，即520x y --=.2．（2020·江苏常州市·高三期中）已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（）A ．12B ．1C D ．2【答案】D【详解】因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2af x x x'=+，由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值，因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2a x x =即22a x =时()f x '取得最小值，又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=，3．（2020·河南鹤壁高三）将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为()coshxf x a a=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh 2x x e e x -+=，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh 2x xe e x --=.若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 分别相交于点A ，B ，曲线1C 在点A 处的切线与曲线2C 在点B 处的切线相交于点P ，则（）A ．sinh cosh y x x =是偶函数B ．()cosh cosh cosh sinh sinh x y x y x y +=-C ．BP 随m 的增大而减小D ．PAB △的面积随m 的增大而减小【答案】D【详解】对于选项A ：定义域为R ，()22sinh cosh 4x xe e yf x x x --===，而()()222x xe ef x f x ---==-，所以()f x 是奇函数，所以A 错误；对于选项B ：cosh cosh sinh sinh 2222x x y y x x y ye e e e e e e e x y x y ----++---=⋅-⋅()cosh 442x y x y x y y x x y x y x y y x x y y xe e e e e e e e e e x y +----+------++++--+=-==-，所以B 错误；对于选项C 、D ：设,2m m e e A m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，,2m m e e B m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()cosh ,sinh 22x x x x e e e e x x ---+''==，则曲线1C 在点A 处的切线方程为：()22m m m me e e e y x m --+--=-，曲线2C 在点B 处的切线方程为：()22m m m me e e e y x m ---+-=-，联立求得点P 的坐标为()1,m m e +，则()2221124m m m mm e e e e BP e --+⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，1122m PAB S AB e -==△，所以BP 随m 的增大而先减小后增大，PAB △的面积随m 的增大而减小，所以C 错误，D 正确. 4．（2020·江西吉安市·高三）已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（）A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定【答案】A【详解】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a xg x x =，∴()2ln a a xg x x -'=，由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =，则()()()ln ln xx x h x f x g x xe e x x ==⋅=，∴()()ln 1ln xx xx x e e h x e x x x+=='+，0x >，令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()0m x >，则()0h x '>， ∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，5．（2019·湖南高考模拟）过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x xx x x x y y p p ====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-，点B 处的切线方程为2222x x y x p p =-，由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）．∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-，故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+，由28y kx b x y =+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=，∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =，∴直线AB 的方程为124y x =+．6．（2020·全国高三其他模拟）（多选）已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a ⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫<⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 7．（2020·辽宁高三期中）已知幂函数()122()2m f x m m x-=-在区间()0,∞+上单调递增，曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OAB 的面积为2，则点P 的坐标为________.【答案】()4,2【详解】由题意，可得221m m -=，解得1m =或12m =-，当12m =-时，1()f x x -=，不合题意；当1m =时，12()f x x =，符合题意.故12()f x x =，则'()f x =，设(0P x ，过点P处的切线方程为)0y x x =-，整理为y x =x 、y 轴上的截距分别为0x -，因为OAB 的面积为2，所以0122x =，解得()0040x x =>，故点P 的坐标为()4,2. 8．（2020·四川成都市·华西中学高三）已知函数()326f x x bx b =-+在区间()0,1内存在平行于x 轴的切线，则实数b 的取值范围为__________．【答案】10,,884⎛⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】()326f x x bx b =-+()2312f x x bx '∴=-()f x 在()0,1内存在与x 轴平行的切线()0f x '∴=有()0,1内有解，并且此解不能使()0f x =，否则此时切线会与x 轴重合由23120x bx -=有解，得4x b=()0,1x ∈10,4b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭由()40f b =得()()324640b b b b -⨯+=解得b=1884b ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.（2019·山东高考模拟）已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【解析】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即220024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．10.（2020·安徽高考模拟）已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+ (0)m上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =.由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+.∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-，得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x -='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.11. （2021·河北高考模拟）已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>．()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析. 【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a xm x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<. 所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-. 若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤. 所以实数a 的取值范围是(]0,e .()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x .由()x f x e =，得()x f x e '=.曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111xxy e e x x -=-，即()1111xxy e x x e =+-.同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-.所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x xx e --=-，即()111110xx e x -++=，构造函数()()x 11,h x x e x =-++ x R ∈，存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x 11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-.当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数. 又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =.且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<. 综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点.故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线. 12.（2020·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x=--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--，∴()211f x m x x =+-'．又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x=-'+≥在()0,1上恒成立，∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭，则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=，设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线的斜率()020011a f x x x ==+'，又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--，∴020011ln 1a b x x x +=+--．令()211ln 1(0)h x x x x x =+-->，则()()()23233211212x x x x h x x x x x x '+-+-=-+==，故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-． 13.（2021·四川高考模拟）已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题意，可得，，令，得.①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴.∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.14.（2020·湖南高考模拟）设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】（Ⅰ）∵()()2xf x eax =+，∴()()2x f x e ax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a +=-，且当2a x a+<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a +>-时，()0,()f x f x '>单调递增．所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a af x ae +--极小值，无极大值．③当0a <时，由()0f x '=得2a x a +=-，且当2a x a+<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a +>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a af x ae +--极大值，无极小值．综上所述，当0a =时，()f x 无极值；当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值；当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =，∴()()22xf x e x =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x mex x x =-=+-++，则()()()124x F x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥．由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-． ①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增，∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增，又(2)0F -=， ∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时，则有()222(2)2220F me e m e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．15.（2021·天津高考模拟）已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由；(3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】 (Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立令()1ln 212g x x x a x =--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x -+--++='=+-=>,()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减, ()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =.令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>，则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根，即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x =--+，()()()2121''x x f x x --+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减，且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立，函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线.(Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<，由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①,()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 16.（2020·辽宁高考模拟）已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x 12x x 处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x -'=-+=.()0,6x ∈∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴=设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+=令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =-121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--， ()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =-121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ 令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x xx x x -=++12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++，设()()21ln 1x g x x x -=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

高中数学解曲线切线问题解题技巧

高中数学解曲线切线问题解题技巧在高中数学中，曲线切线问题是一个常见的考点，也是数学解题中的一大难点。

解曲线切线问题需要掌握一定的解题技巧，下面我将为大家介绍一些常见的解题方法和技巧。

一、求曲线切线的斜率要求曲线在某一点的切线斜率，首先需要求出该点的导数。

导数表示了曲线在某一点的变化率，也就是切线的斜率。

例如，求曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率。

首先，我们需要求出曲线$y=x^2$的导函数。

根据求导法则，$y'=2x$。

然后，将$x=2$代入导函数中，得到$y'=2\times2=4$。

所以曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4。

二、求曲线切线的方程已知切线斜率后，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求出曲线切线的方程。

1. 利用点斜式点斜式是求直线方程的一种常用方法，它利用直线上一点和直线的斜率来表示直线方程。

例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用点斜式求出切线的方程。

根据点斜式，切线的方程为$y-4=4(x-2)$，化简得$y=4x-4$。

2. 利用斜截式斜截式是求直线方程的另一种常用方法，它利用直线的斜率和截距来表示直线方程。

例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用斜截式求出切线的方程。

根据斜截式，切线的方程为$y=4x+b$，其中$b$为截距。

将点$(2,4)$代入方程，得到$4=4\times2+b$，解方程得到$b=-4$。

所以切线的方程为$y=4x-4$。

三、举一反三掌握了求曲线切线的斜率和方程的方法后，我们可以通过举一反三的方法拓展解题技巧。

举例来说，已知曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率为3，我们可以利用之前的方法求出切线的方程为$y=3x-2$。

然后，我们可以进一步求出曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线与曲线的交点。

将切线方程$y=3x-2$代入曲线方程$y=x^3$中，得到$x^3=3x-2$。

高考数学知识点复习：函数的切线问题

专题1函数的切线问题秒杀秘籍：第一讲切线的几何意义1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y 在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（ tan k f x ）切线方程 000()()y f x f x x x 的计算:2．在点00(,)A x y 处的切线方程： 000()()y f x f x x x 抓住关键：000()()y f x k f x3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x ，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x 然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）4．定理：令 ln x f x e g x x 过原点的切线斜率为1e e；ln ax xa h x e t x 过原点的切线斜率为1ae ae类推： ,,0,f x h x m g x t x m 过,0过的切线斜率分别为111m m e e （根据平移记忆）和111am m ae ae（不要求记忆）考点1切线及斜率问题【例1】曲线1x y xe 在点 11，处切线的斜率等于（）A ．e2B ．e C ．2D ．1【解析】1101122x x x f x x e x e x e k f e，，C 选．【例2】设点P 是曲线3335y x x上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为，则角的范围是（）A ．203，B ．2023，，C ．223，D ．233，【解析】 22233tan 333tan 33f x x x∵，，，（为第二象限角）或02，（为第一象限角）．【例3】已知函数 f x 是偶函数，定义域为 00 ，，，且0x 时， 1xx f x e ，则曲线 y f x 在点 11f ，处的切线方程为．【解析】 21','1,10,xx f x f f e e∵∵曲线 y f x 在点 1,1f 处的切线方程为 11y x e ，又 f x 是偶函数，曲线 y f x 在点 1,1f 处的切线方程与曲线 y f x 在点 1,1f 处的切线方程故意y 轴对称，为 11y x e，故答案为 11y x e．【例4】设P 是函数 1y x x 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为，则的取值范围是．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x x x x0,,22∵．【例5】若P 是函数 1ln 1f x x x 图象上的动点，点 1,1A ，则直线AP 斜率的取值范围为（）A ．1, B ．0,1C ．1,e eD ．1,e【解析】由题意可得： 'ln 11f x x ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e上单调递减，在区间11,e 上单调递增，且1111f e e，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为 000,1ln 1x x x ，该点的斜率为 0ln 11k x ，切线方程为： 00001ln 1ln 11y x x x x x ，切线过点 1,1 ，则： 000011ln 1ln 111x x x x ，解得:00x ，切线的斜率0ln 111k x ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为 1, ．【例6】已知函数 32f x mx nx 的图象在点 1,2 处的切线恰好与直线30x y 平行，若 f x 在区间,1t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是．【解析】由题意知 32f x mx nx ，∴ 232f x mx nx ．由题意得121323f m n f m n解得13m n ，∵ 323f x x x ，∴ 23632f x x x x x ，由 320f x x x ，得20x ，所以函数 f x 的单调减区间为 2,0 ．由题意得 ,1t t 2,0 ，∴210t t，解得21t ．考点2切线条数问题【例7】过点 ,A m m 与曲线 ln f x x x 相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（）A ．e ，B ．+e ，C ．10e，D ．1+ ，【解析】设切点为 00x y ，, ln 1f x x ,所以切线方程为: 0000ln ln 1y x x x x x ,代入 ,A m m ,得 0000ln ln 1m x x x m x ,即这个关于0x 的方程有两个解．化简方程为00ln x m x ,即0ln 1x m x,令 ln 0x g x x x, 21ln xg x x, g x 在 0e ，上单调递增,在e ，上单调递减, 1g e e,x , 0g x ， 10g ,所以110m e,所以m e ．故选B ．【例8】已知曲线x a y e 与2y x 恰好存在两条公切线，则实数�的取值范围是（）A ．2ln 22+ ，B ．2ln 2+ ，C ．2ln 22 ，D ．2ln 22 ，【解析】2y x 的导数2x a y x y e ，的导数为x a y e ，设与曲线x a y e 相切的切点为 2m n y x ，，相切的切点为 s t ，，则有公共切线斜率为2m at n s e s m，又2+m at s n e ，，即有222s s s s m，即为12s s m ，即有 202s m s ，则有2m a e s ，即为 2ln 202s a s s ，恰好存在两条公切线，即s 有两解，令 2ln 202x f x x x，则 112f x x ，当0x 时， 0f x f x ，递减，当02x 时， 0f x f x ，递增，即有2x 处 f x 取得极大值，也为最大值，且为2ln 22 ，由恰好存在两条公切线可得y a 与 y f x 有两个交点，结合函数的图象与单调性可得a 的范围是2ln 22a ，故选D ．【例9】过点 A m n ，与曲线 ln f x x x 相切的直线有且只有两条，则实数m 的取值范围是（）A ．),(e B ．),( e C ．1,0(eD ．),1( 【解析】设切点为 00x y ，， ln 1f x x ,所以切线方程为: 0000ln ln 1y x x x x x ，代入 A m n ，，得 0000ln ln 1m x x x m x ，即这个关于0x 的方程有两个解．化简方程为00ln m x x ，即0ln 1x m x,令 ln 0x g x x x, 21ln x g x x , g x 在 0,e 上单调递增,在 ,e 上单调递减, 1g e e,x ， 0g x ， 10g ，所以110m e，所以m e ．【例10】设函数233)(x x x f ，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y 相切，则实数n 的取值范围是（）A ．)4,5( B ．)0,5( C ．)0,4( D ．]3,5( 【解析】法一： 323f x x x ,则 236f x x x ，设切点为 32000,3x x x ,则 200036f x x x ．∴过切点处的切线方程为32200000336y x x x x x x ，把点2n ，代入得：322000003362n x x x x x ．整理得：3200029120x x x n ．若过点 2n ，可作三条直线与曲线y f x 相切,则方程3200029120x x x n 有三个不同根（左图）令 322912g x x x x ，则 261812612g x x x x x ，∴当 12+x ，，时, 0g x ；当 12x ，时, 0g x ，∴ g x 的单调增区间为 1 ，和 2+ ，；单调减区间为 12，．∴当1x 时, g x 有极大值为 15g ；当2x 时, g x 有极小值为 24g ．由45n ，得54n ．∴实数n 的取值范围是 54 ，．故选A ．法二： 323f x x x 关于点 1,2 中心对称， 23613f x x x f ，在对称中心的切线方程为31,25y x x y 时，， 24f ，故当点 2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n ．（如右图）考点3零点、交点、极值点问题【例11】若函数 2x f x ae x a 有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,eB ．10,eC ．0 ，D ．0+ ，【解析】法一：∵ 2x f x ae x a ，∴ 1x f x ae ．①当0a 时， 0f x 恒成立，故函数 f x 在R 上单调，不可能有两个零点；②当0a 时，令 0f x ，得1lnx a ，函数在1ln a -，上单调递减，在1ln +a，,上单调递增，所以 f x 的最小值为11ln 1ln 21ln 2f a a a a a，令 1ln 2,0g a a a a ，则 1122a g a a a ，∴当102a时， 0,g a g a 单调递增；当12a 时， 0g a ， g a 单调递减．∴ max 1ln 02g a g a，∴ f x 的最小值为1ln 1ln 20f a a a，∴函数 2x f x ae x a 有两个零点．综上实数a 的取值范围是 0+ ，．法二： 202x x x f x ae x a e a，即x y e 与22y x a 交点问题，由图可知，0a 时，一定有两个交点，0a 时，有仅有一个交点；故选D ．例题10例题11例题12【例12】关于x 的方程2xx a e 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为．【解析】如图，临界情况为 2y x a 与xy e 相切的情况，'2xy e ，则ln2x ，所以切点坐标为ln2,2，则此时1ln2a ，所以只要2y x a 图象向左移动，都会产生3个交点，所以1ln2a ，即 1ln2, ．【例13】已知函数ln f x x x ax 有两个极值点，则实数的取值范围是（）A ． 0 －，B ．10,2C ．0,1D ．(0,)【解析】函数 ln f x x x ax ，则 1'ln ln 21f x x ax x a x ax x，令 'ln 210f x x ax 得ln 21x ax ，函数 ln f x x x ax 有两个极值点，等价于'ln 21f x x ax 有两个零点，等价于函数ln y x 与21y ax 的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a时，直线21y ax 与ln y x 的图象相切，由图可知，当102a 时，ln y x 与21y ax 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2，故选B ．【例14】设ln f x x ，若函数g x f x ax 在区间上有三个零点，则实数的取值范围（）A ．10,eB ．211,e eC ．222,e eD ．221,e e【解析】令 0g x f x ax ，可得f x ax ．在坐标系内画出函数 ln f x x 的图象（如图9所示）．当1x 时， ln f x x ．由ln y x 得1y x．设过原点的直线y ax 与函数y x ln 的图象切于点 00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x，解得0 1x ea e ．所以当直线y ax 与函数ln y x 的图象切时1a e ．又当直线y ax 经过点2B ,2e 时，有22a e ，解得22a e．结合图象可得当直线y ax 与函数 ln f x x 的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e．即函数 g x f x ax 在区间20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e．故选D ．例题13例题14【例15】对任意的0x ，总有 lg 0f x a x x ，则a 的取值范围是（）A ． lg lg lg e e，B ．1 ，C ． 1lg lg lg e e，D ． lg lg lg e e，【解析】原问题即lg x x a 在区间 0, 上恒成立，考查临界情况，即函数 lg g x x 与 h x x a 相切时的情形，如图10，很明显切点横坐标位于区间 0,1内，此时， 1lg ,'ln10g x x g x x ，由 '1g x 可得：1lg ln10x e，则切点坐标为： lg ,lg lg e e ，切线方程为：lg lg lg y e x e ，令0x 可得纵截距为： lg lg lg e e ，结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是 lg lg lg e e ，．选A ．【例16】已知定义在, 上的函数 f x ，满足 f x f x ，且当 1,x 时 ln f x x ，若函数g x f x ax 在1,上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,ln eB ． ln ,ln 0C ．0,ln D ． 1,ln 0e【解析】由题意知 1f x f x , 1,x 时， ln f x x ，1,1x时， 11,x ，11ln f f x x x， ln f x x ， g x 零点，就是 y f x 与y ax 的交点，画出两函数图象，如图，由图11知，ln OA k 过原点与ln y x 相切的直线斜率为1e，所有直线与曲线有一个交点的a 的范围是1,ln 0e，故选D ．【例17】若函数 ln f x x ax 存在与直线20x y 平行的切线，则实数a 的取值范围是．【解析】∵函数 ln f x x ax 存在与直线20x y 平行的切线，即 2y a x 与ln y x 切线平行，过原点且与ln y x 相切的直线为xy e，如下图所示，显然120,2a a e且，故实数a 的取值范围是11222e e，，．【例18】已知函数 f x 为偶函数，当0x 时， ln f x x ax ．若直线y x 与曲线 y f x 至少有两个交点，则实数a 的取值范围是（）A ．111,1e eB ．111,11e eC ．11,eD ．111,11,e e【解析】函数 f x 为偶函数，故当0x 时， ln f x x ax x 有交点，则 ln 1x a x 有解，故11a e ；当0x 时， ln f x x ax x，1y a x 与 ln y x 相切时，11a e ；如下图，1101,11a a e e，故a 的取值范围是111,11,e e．故选D ．【例19】已知函数 201720161120162017f x x x x x x x ，在不等式20171x e ax x R 恒成立的条件下等式 20182017f a f b 恒成立，求b 的取值集合（）A ．{|20162018}b bB ．2016,2018C ． 2018D ．2017【解析】20172017'2017xxee，函数2017,1x y e y ax 均经过点 0,1，则直线1y ax 是函数2017x y e 的切线，据此可得：2017a ，等式即： 12017f f b ，很明显函数 f x 是偶函数，则：20171b ，解得：2016b 或2018b ，结合绝对值和式的几何意义可得实数b 的取值范围是：{|20162018}b b ．【例20】已知函数 ln f x x x x ，若k Z ，且 2k x f x 对任意的2x 恒成立，则k 的最大值为（）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986 )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设直线 2y k x 与曲线 y f x 相切时的切点为 ,m f m ，此时0'2f m f m m ，即ln 2ln 2m m mm m ，化简得42ln 0m m ，设 42ln 0g m m m ，因为2280g e e ，33100g e e ，所以23e m e ，所以切线斜率2ln m 的取值范围为 4,5，所以整数k 的最大值为4，故选B ．【例21】已知,a b 为正实数，直线y x a 与曲线 ln y x b 相切，则2b的取值范围为．【解析】由题意知1'1y x b,1x b ,切点为 1,0b ,代入y x a ,得1a b ,∵,a b 为正实数, 0,1a ,则2223a a b a ,令 23a g a a ,则26'03a a g a a ,则函数 g a 为增函数,210,22a b．【例22】若直线y kx b 为函数 ln f x x 图象的一条切线，则k b 的最小值为．【解析】设切点 0,ln P x x ，则 001k f x x ，所以方程为 0001ln y x x x x ，即001ln 1y x x x ，所以001,ln 1k b x x， 00001ln 1(0)g x k b x x x ，可得 0g x 在 0,1上单调递减，在 1, 单调递增，所以当01x 时，k b 取得最小值0．【例23】设点P 在曲线12x y e 上，点Q 在曲线 ln 2y x 上，则PQ 最小值为（）A ．1ln 2B21ln 2 C ．1ln 2D21ln 2 【解析】两函数互为反函数，即图像关于y x 对称，函数12x y e 上的点12x x e，到直线y x 的距离为122xe x，设函数 11122x x g x e x g x e ，得 min 1ln 2g x ，所以min 1ln 22d ，由图像关于y x 对称得：PQ 的最小值为 min 221ln 2d ．【例24】直线y m 分别与曲线 21y x ，与ln y x x 交于点,A B ，则AB 的最小值为（）A ．324B ．2C ．3D ．32【解析】由题意可知，当过点B 的切线与 21y x 平行时，AB 取得最小值．为此对ln y x x 进行求导得11y x，令2y ，解得1x ，代入ln y x x ，知1y ，所以当BC 取到最小值时，1m ，所以 11112A B，，，，易知13122AB ，故选D ．【例25】已知函数 02x f x f e x ，点P 为曲线 y f x 在点 00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e 上，则PQ 的最小值为．【解析】由 02x f x f e ，令0x 可得 01f ，所以 2x f x e x ，所以切线的斜率 01k f ，又 01f ，故切线方程为10x y ．由题意可知与直线10x y 平行且与曲线x y e 相切的切点到直线10x y 的距离即为所求．设切点为t Q t e ，，则11t k e ，故0t ，即 01Q ，，该点到直线10x y 的距离为222d．【例26】函数 21x f x e x x 与 g x 的图象关于直线230x y 对称，P Q 、分别是函数 f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（）A 5B 5C 25D ．25【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y ，Q 为P 关于直线230x y 对称点时，PQ 取最小值． 21x f x e x ∵， 2121202x x f x e x e x P ，，PQ 的最小值为02322514，故选D ．考点6两点间距离平方问题【例27】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R ，，则 22a cbc 的最小值为（）A ．12B ．32C ．322D ．92【解析】考查22a cbc 的最小值：x 代换a ，y 代换b ，则x y ，满足：225ln 0x x y ，即225ln 0y x x x ，以x 代换c ，可得点 x x ，，满足0y x ．因此求 22a cbc 的最小值即为求曲线 225ln 0y x x x 上的点到直线0y x 的距离的最小值．设直线0y x m y +x +m =0与曲线 225ln 0y f x x x x 相切于点 00P x y ，， 54f x x x，则 000541f x x x ，解得01x ，∴切点为 12P ，．∴点P 到直线0y x 的距离33222d，得： 22a cbc 的最小值为92．【例28】已知 22ln S x a x a a R ，则S 的最小值为（）A ．22B ．12C 2D ．2【解析】设 ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点 ln A x x B a a ，，，之间距离的平方的最小值的问题，也即求曲线 ln f x x 上的点到直线y x 的点的距离最小值问题．因 1f x x，设切点 ln P t t ，，则切线的斜率1k t ，由题设当11t ，即1t 时，点 10P ，到直线y x 的距离最近，其最小值为min 12d ，所以所求S 的最小值为min 12S，故选B ．达标训练1．直线y m 分别与曲线 21y x ，与ln y x x 交于点,A B ，则AB 的最小值为（）A ．324B ．2C ．3D ．322．已知函数 3110sin 6f x x x在0x 处的切线与直线0nx y 平行，则二项式211nx x x 展开式中4x 的系数为（）A ．120B ．135C ．140D ．1003．已知 4201xf x a x x x，若曲线 f x 上存在不同两点,A B ，使得曲线 f x 在点,A B 处的切线垂直，则实数a 的取值范围是（）A ． 3,3B ．2,2 C ．3,2D ． 34．已知a b c R 、、，且满足221b c ，如果存在两条互相垂直的直线与函数 cos sin f x ax b x c x 的图象都相切，则23a b c 的取值范围是（）A ．2,2 B ．5,5 C ．6,6 D ．2,225．设函数 222ln 2f x x a x a ，其中0x ，R a ，存在0x 使得 045f x成立，则实数a 的值是（）A ．15B ．25C ．12D ．16．已知 f x 是定义在R 上的单调函数，满足 1x f f x e ，则 f x 在 0,0f 处的切线方程为（）A ．1y xB ．1y xC ．1y xD ．1y x 7．已知12,P P 为曲线:ln C y x （0x 且1x ）上的两点，分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点，若120PM P N ，则MN（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如右图，直线2y ax 与曲线 y f x 交于A B 、两点，其中A 是切点，记 ,f x h x g x f x ax x，则下列判断正确的是（）A ． h x 只有一个极值点B ． h x 有两个极值点，且极小值点小于极大值点C ． g x 的极小值点小于极大值点，且极小值为2D ． g x 的极小值点大于极大值点，且极大值为29．过点 21A ，作曲线 33f x x x 的切线最多有（）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条10．设函数 2340f x x ax a 与 22ln g x a x b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A ．21e B ．212e C ．213e D ．214e 11．已知定义在1, 上的函数 f x ，满足 1f x f x，且当 1,x 时 ln f x x ，若函数g x f x ax 在1,上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,ln eB ． ln ,ln 0C ．0,ln D ． 1,ln 0e12．已知 11,A x y ， 22,B x y 12()x x 是函数 3f x x x 图像上的两个不同点．且在,A B 两点处的切线互相平行，则21x x 的取值范围是（）A ． 1,1B ．1,2 C ．2.0 D ．1,0 13．设函数 232(0)2f x x ax a与 2g x a lnx b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为（）A ．212e B ．212e C ．1eD ．232e14．设直线12,l l 分别是函数 ,01,1lnx x f x lnx x图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且12,l l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB 的面积的取值范围是（）A ．0,1B ．1, C ．0, D ．0,215．函数 ln f x x 在点 00f P x x ，处的切线l 与函数 x g x e 的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个16．已知函数 x af x x e (0)a ，且 y f x 的图象在0x 处的切线l 与曲x y e 相切，符合情况的切线（）A ．有0条B ．有1条C ．有2条D ．有3条17．若曲线21(11)ln 1f x e x e a x和 32(0)g x x x x 上分别存在点,A B ，使得AOB 是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是（）A ．2,e eB ．2,2e eC ．21,e D ．1,e 18．已知函数 1x f x x a e，曲线 y f x 上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（）A ．2,eB ．2,0e C ．21,eD ．21,0e19．已知函数 f x 为偶函数，当0x 时， ln f x x ax ．若直线y x 与曲线 y f x 至少有两个交点，则实数a 的取值范围是（）A ．111,1e eB ．111,11e eC ．11,eD ．111,11,e e20．若曲线21:(0)C y ax a 与曲线2:x C y e 存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．20,8eB ．20,4eC ．2,8eD ．2,4e21．已知曲线21y x 在点200(,+1)P x x 处的切线为l ，若l 也与函数 ln ,0,1y x x 的图象相切，则0x 满足（）（其中 2.71828...e ）A ．012x B 02x eC 03e x D 032x 22．已知曲线1C :2y x 与曲线2C :2ln (y x x,直线l 是曲线1C 和曲线2C 的公切线,设直线l 与曲线1C 切点为P ,则点P 的横坐标t 满足（）A ．102t eB ．1122t e C ．1222t D ．222t 23．设函数 sin f x x 的图象与直线(0)y kx k 有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为，则（）A ．cosB ．tanC ．sinD ．tan24．已知函数 f x 是定义在 0, 的可导函数， f x 为其导函数，当0x 且1x 时，201f x xf x x ，若曲线 y f x 在1x 处的切线的斜率为34，则 1f （）A ．0B ．1C ．83D ．5125．函数 y f x 图象上不同两点 1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定 ,A B k k A B AB叫做曲线在点A 与点B 之间的“弯曲度”．设曲线x y e 上不同的两点 1122,,,A x y B x y ，且121x x ，若 •,3t A B 恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．,3 B ．,2 C ．3 D ．1,326．过点 22M p ，引抛物线 220x py p 的切线，切点分别为A B 、，若410AB ，则P 的值是（）A ．1或2B ．2或2C ．1D ．227．已知曲线 32+3f x x x x 在1x 处的切线与抛物线22y px 相切，则抛物线的准线方程为（）A ．116xB ．1x C ．1y D ．1y 28．已知函数 2,01,0x x a x f x x x的图象上存在不同的两点,A B ,使得曲线 y f x 在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是．29．若 323f x f x x x 对R x 恒成立，则曲线 y f x 在点 2,2f 处的切线方程为．30．直线 22,1FB x y分别是函数 sin [0π]f x x x ，，图象上点12P P ，处的切线，12l l ，垂直相交于点P ，且12l l ，分别与y 轴相交于点A B ，，则PAB 的面积为．31．已知函数1*n n f x x x n N ，曲线 y f x 在点 2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列 n b 的前n 项和为．32．已知函数 21,f x g x x x．若直线l 与曲线 ,f x g x 都相切，则直线l 的斜率为．33．设P 是函数 1y x x 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为，则的取值范围是．34．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数 2220f x x a x 和 3220g x x a x 均相切（其中a 为常数），切点分别为 11,A x y 和 22,B x y ，则12x x 的值为．35．过点 11 ，与曲线 32f x x x 相切的直线方程是．36．若直线y kx b 为函数 ln f x x 图象的一条切线，则k b 的最小值为．37．若曲线 ln *2n y x x n N在2x n 处的切线斜率为n a ，则数列11n n a a的前n 项和n S．38．曲线(0)y x a 与曲线y x a 的值为．39．已知函数 f x 是偶函数，定义域为 00 ，，，且0x 时， 1x x f x e，则曲线 y f x 在点 11f ，处的切线方程为．40．已知函数 3f x x ．设曲线 y f x 在点 11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点 22Q x f x ，，记 f x 为函数 f x 的导数，则12f x f x 的值为．41．若实数,,,a b c d 满足22ln 321a a c b d，则 22a cb d 是最小值为．42．已知函数2223ln 2f x x x a x a a R ，若关于x 的不等式 8f x 有解，则实数a 为．43．已知函数215()3,()322f x lnx x xg x x ，P ，Q 分别()f x ，()g x 为图象上任意一点，则||PQ 的最小值为．44．已知函数 222ln 323ln 310f x x x a x x a 若存在0x 使得 0110f x有解，则实数a 为．。

切线问题的解题技巧

切线问题的解题技巧
切线问题是高中圆锥曲线考试中常见的问题之一，通常需要一定的技巧和方法来解决。

以下是一些解决切线问题的常用技巧:
1. 利用三角形面积公式和椭圆切线方程的关系，可以快速求出椭圆上点的横坐标或纵坐标。

2. 利用椭圆的焦点三角形面积公式和椭圆的离心率的关系，可以快速求出椭圆上点的横坐标或纵坐标。

3. 利用椭圆的中点弦公式和椭圆的切线斜率的关系，可以快速求出椭圆上点的横坐标或纵坐标。

4. 利用抛物线的焦点弦公式和抛物线的切线斜率的关系，可以快速求出抛物线上点的横坐标或纵坐标。

5. 利用圆锥曲线的基本性质，例如离心率、截距、中点弦等，可以方便地求解圆锥曲线上的点。

6. 对于一些复杂的切线问题，可以利用仿射变换的方法将其转化为简单的问题，从而方便求解。

以上是解决切线问题的常用技巧，在高中圆锥曲线考试中，考生需要熟练掌握这些技巧，并能够灵活运用来解决各种切线问题。

同时，考生还需要具备扎实的数学基础知识和较强的思维能力，才能更好地应对高中圆锥曲线考试。

2024高中数学切线方程新高考题

2024高中数学切线方程新高考题高中数学切线方程是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学考试的重点内容之一。

切线方程的相关知识对于高中数学的学习和高考的考试都具有重要意义。

下面我们将针对2024高中数学切线方程的新高考题进行详细讲解。

在解答这个高中数学切线方程的新高考题之前，我们首先需要了解切线的定义和性质。

在数学中，切线是指与曲线仅有一个公共点，并且在这个点处的切线与曲线相切。

切线方程的求解可以通过求切点和切线斜率来进行。

接下来我们开始解答2024高中数学切线方程的新高考题。

题目如下：已知函数f(x)在点x=3处的切线方程为2x-y+5=0，求f(x)在点x=3处的函数值及切线的斜率。

解题步骤如下：第一步：确定切点坐标根据题目中已知的切线方程2x-y+5=0，可以得到切点的横坐标x=3，将其代入切线方程中，解方程可得切点的纵坐标y的值。

将x=3代入切线方程2x-y+5=0中，得到2*3-y+5=0，化简得到y=11。

因此，切点的坐标为(3,11)。

第二步：求切线的斜率切线的斜率可以通过求导数来得到。

根据切线的定义，切线的斜率等于曲线在切点处的导数值。

已知函数f(x)在点x=3处的切线方程为2x-y+5=0，可以看出切线的斜率为2。

因此，在点x=3处的切线的斜率为2。

第三步：求函数值求函数f(x)在点x=3处的函数值，可以通过将x=3代入函数f(x)的表达式中进行计算。

由于题目中没有给出函数f(x)的具体表达式，我们无法直接求得函数值。

但是我们可以通过已知的切点坐标(3,11)来推断函数的形式。

由切线方程2x-y+5=0可以得到y=2x+5。

因此，我们可以推测函数f(x)的表达式为f(x)=2x+5。

将x=3代入函数f(x)的表达式中，得到f(3)=2*3+5=11。

因此，函数f(x)在点x=3处的函数值为11。

综上所述，根据题目给出的切线方程2x-y+5=0，我们求得了函数f(x)在点x=3处的函数值为11和切线的斜率为2。

专题01 利用导函数研究函数的切线问题(原卷版)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.......................................................1二、典型题型.......................................................3题型一：在型求切线方程..........................................3题型二：过型求切线方程..........................................3题型三：已知切线斜率求参数......................................3题型四：确定过一点可以做切线条数................................4题型五：已知切线条数求参数......................................4题型六：距离问题转化为相切问题..................................5题型七：公切线问题..............................................5三、专项训练. (6)一、必备秘籍1、切线的斜率：函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x .第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。

切线问题综合(学生版)--2025年新高考数学重难点专题

切线问题综合近5年考情(2020-2024)考题统计考点分析考点要求2024年甲卷第6题，5分考察导数的几何意义，切线的相关计算求值求参(1)求在某处的切线(2)设切点求过某点的切线以及公切线(3)利用切线的条数求参数范围2024年新高考I 卷第13题，5分2023年甲卷第8题，5分2022年I 卷第15题，5分2021年甲卷第13题，5分2021年I 卷第7题，5分【题型1】求在曲线上一点的切线【题型2】求过某点的切线【题型3】已知切线斜率求参数【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值【题型5】奇偶函数的切线斜率问题【题型6】切线斜率取值范围问题【题型7】公切线问题【题型8】由切线条数求参数范围【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题【题型11】牛顿迭代法【题型1】求在曲线上一点的切线函数y=f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0)，抓住关键y0=f(x0) k=f (x0)1(2024年高考全国甲卷数学(文))曲线f x =x6+3x-1在0,-1处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-322(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数f x =e x+2sin x1+x2，则曲线y=f x 在0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.23【巩固练习】1已知曲线f x =x ln x在点1,f1处的切线为l，则l在y轴上的截距为()A.-2B.-1C.1D.22(23-24高三·福建宁德·期末)已知函数f x 在点x=-1处的切线方程为x+y-1=0，则f -1+f-1=()A.-1B.0C.1D.2【题型2】求过某点的切线【方法技巧】设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(a,b)，所以b-y0=f (x0)(a-x0)然后解出x0的值．1(2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线f x =e x x2-2x+2的切线，则切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2(2022年新高考全国I卷T15)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．【巩固练习】1已知直线y=ex-2是曲线y=ln x的切线，则切点坐标为()A.1e ,-1B.e,1C.1e,1D.0,12(2024·山西吕梁·二模)若曲线f x =ln x在点P x0,y0处的切线过原点O0,0，则x0= .3(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e，-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.4(23-24高三·广东·期中)过点P1,1作曲线y=x3的两条切线l1，l2.设l1，l2的夹角为θ，则tanθ=()A.513B.713C.913D.1113【题型3】已知切线斜率求参数已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．1(2024·湖北武汉·模拟预测)已知曲线f x =ln x+x2a在点1,f1处的切线的倾斜角为π3,则a的值为.2(2024·贵州六盘水·三模)已知曲线y=x2-3ln x的一条切线方程为y=-x+m，则实数m= ()A.-2B.-1C.1D.23(2024·全国·高考真题)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=.【巩固练习】1(23-24高三·山西晋城·期末)过原点O作曲线f(x)=e x-ax的切线，其斜率为2，则实数a= ()A.eB.2C.e+2D.e-22(2024·四川·模拟预测)已知m>0,n>0，直线y=1ex+m+1与曲线y=ln x-n+3相切，则m+n=．3(23-24高三·安徽合肥·期末)若函数f x =ln xx与g x =ex-a-b在x=1处有相同的切线，则a+b=()A.-1B.0C.1D.24(2024·河北沧州·模拟预测)已知直线l:y=kx是曲线f x =e x+1和g x =ln x+a的公切线，则实数a=．【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.1(23-24高三·安徽·阶段练习)已知P是函数f x =e x+x2图象上的任意一点，则点P到直线x -y-9=0的距离的最小值是()A.32B.5C.6D.522(23-24高三·广东惠州·阶段练习)已知点P在函数f x =e2x+x+9的图象上，则P到直线l: 3x-y-10=0的距离的最小值为．【巩固练习】1(23-24高三·河南南阳·阶段练习)点P是曲线f(x)=x上一个动点，则点P到直线x-y+2 =0的距离的最小值是()A.728B.74C.324D.342(23-24高三·河北石家庄·阶段练习)曲线y=ln(3x-2)上的点到直线3x-y+7=0的最短距离是()A.5B.10C.35D.13(23-24高三·河南·阶段练习)最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点P是曲线y=3ln x-12x2上任意一点，则P到直线4x-2y+5=0的距离的最小值为.4(2024·山西朔州·模拟预测)已知A，B分别为曲线y=2e x+x和直线y=3x-3上的点，则AB的最小值为.【题型5】奇偶函数的切线斜率问题奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.1已知f x 为奇函数，且当x<0时，f x =xe x，其中e为自然对数的底数，则曲线f x 在点1,f1处的切线方程为．2(2024·福建福州·模拟预测)已知函数f x 是偶函数，当x>0时，f x =x3+2x，则曲线y= f x 在x=-1处的切线方程为()A.y=-5x-2B.y=-5x-8C.y=5x+2D.y=5x+83(2024·湖北·一模)已知函数f x 为偶函数，其图像在点1,f1处的切线方程为x-2y+1= 0，记f x 的导函数为f x ，则f -1=()A.-12B.12C.-2D.2【巩固练习】1已知f x 是奇函数，当x <0时，f x =xx +2，则函数f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.2x -y +1=0B.x -2y +1=0C.2x -y -1=0D.x +2y -1=02(23-24高三·河南洛阳·期末)已知函数g x 为奇函数，其图象在点a ,g a 处的切线方程为2x -y +1=0，记g x 的导函数为g x ，则g -a =()A.2B.-2C.12D.-123(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )=ln (-x )+x 2，则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是()A.3x -y -2=0B.3x +y -2=0C.3x +y +2=0D.3x -y +2=04(2024·海南海口·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x +1 是偶函数，当x <12时，f x =ln 1-2x ，则曲线y =f x 在点2,f 2 处的切线斜率为()A.25B.-25C.2D.-25(23-24高三·广东深圳·期中)已知函数f x =e x ln x 与偶函数g x 在交点1,g 1 处的切线相同，则函数g x 在x =-1处的切线方程为()A.ex -y +e =0B.ex +y -e =0C.ex -y -e =0D.ex +y +e =0【题型6】切线斜率取值范围问题利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率1点P 在曲线y =x 3-x +23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是()A.0,π2B.π2,3π4C.3π4,π D.0,π2 ∪3π4,π 2(2021·河南洛阳·二模)已知点P 在曲线y =x 3-x 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是.【巩固练习】1过函数f (x )=12e 2x-x 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为()A.0,3π4B.0,π2 ∪3π4,π C.3π4,πD.π2,3π42(22-23高三·江苏镇江·阶段练习)点P 在曲线y =x 3-33x +14上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是()A.5π6,π B.2π3,π C.0,π2 ∪5π6,π D.-π6,π2【题型7】公切线问题公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．公切线问题主要有以下3类题型(1)求2个函数的公切线解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解(2)2个函数存在公切线，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题(3)已知两个函数之间公切线条数，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题1(浙江绍兴二模T 15)与曲线y =e x和y =-x 24都相切的直线方程为.2(2024·广东茂名·一模)曲线y =ln x 与曲线y =x 2+2ax 有公切线，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-12B.-12,+∞ C.-∞,12D.12,+∞ 3(2024·福建泉州·模拟预测)若曲线y =x 2与y =te x t ≠0 恰有两条公切线，则t 的取值范围为()A.0,4e 2B.4e 2,+∞C.-∞,0 ∪4e 2,+∞D.-∞,0 ∪4e 2【巩固练习】1(23-24高三·江西吉安·期末)函数f (x )=2+ln x 与函数g (x )=e x 公切线的斜率为()A.1B.±eC.1或eD.1或e 22已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 的值为.3已知直线l 与曲线C 1:y =x 2和C 2:y =-1x均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.4已知函数f x =mx +ln x ,g x =x 2-mx ，若曲线y =f x 与曲线y =g x 存在公切线，则实数m 的最大值为．5(2024·湖南长沙·三模)斜率为1的直线l 与曲线y =ln x +a 和圆x 2+y 2=12都相切，则实数a 的值为()A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或16(长沙雅礼中学月考(六))已知函数f x =2ln x ，g x =ax 2-x -12a >0 ，若直线y =2x -b 与函数y =f x ，y =g x 的图象均相切，则a 的值为；若总存在直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则a 的取值范围是【题型8】由切线条数求参数范围设切点为P (x 0，y 0)，则斜率k =f (x 0)，过切点的切线方程为：y -y 0=f (x 0)(x -x 0)，又因为切线方程过点A (a ,b )，所以b -y 0=f (x 0)(a -x 0)然后解出x 0的值，有多少个解对应有多少条切线．1(2022年新高考全国I 卷数学真题)若曲线y =(x +a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．2(2024·河南信阳·模拟预测)若过点1,a 仅可作曲线y =xe x 的两条切线，则a 的取值范围是.3(2024届广东省六校高三第一次联考T 8)已知函数f (x )=-x 3+2x 2-x ，若过点P 1,t 可作曲线y =f x 的三条切线，则t 的取值范围是【巩固练习】1(23-24高三·湖北武汉·阶段练习)已知过点A a ,0 可以作曲线y =x -1 e x 的两条切线，则实数a 的取值范围是()A.1,+∞B.-∞,-e ∪2,+∞C.-∞,-2 ∪2,+∞D.-∞,-3 ∪1,+∞2(2024届·广州中山大学附属中学校考)过点3,0 作曲线f x =xe x 的两条切线，切点分别为x 1,f x 1 ，x 2,f x 2 ，则x 1+x 2=()A.-3B.-3C.3D.33(2024·宁夏银川·二模)已知点P 1,m 不在函数f (x )=x 3-3mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与f (x )的图象相切，则实数m 的取值范围为()A.0,14 ∪14,12B.(-∞,0)∪14,+∞ C.0,14 ∪14,+∞ D.-∞,14 ∪12,+∞ 4(2024·内蒙古·三模)若过点a ,2 可以作曲线y =ln x 的两条切线，则a 的取值范围为()A.-∞,e 2B.-∞,ln2C.0,e 2D.0,ln25已知点A 在直线x =2上运动，若过点A 恰有三条不同的直线与曲线y =x 3-x 相切，则点A 的轨迹长度为()A.2B.4C.6D.86若曲线f x =xe x 有三条过点0,a 的切线，则实数a 的取值范围为()A.0,1e 2B.0,4e 2C.0,1eD.0,4e7若过点a ,b 可以作曲线y =ln x 的两条切线，则()A.e b >0>aB.ln a >0>bC.e b >a >0D.ln a >b >08(2024高三·辽宁本溪·期中)若过点1,b 可以作曲线y =ln x +1 的两条切线，则()A.ln2<b <2B.b >ln2C.0<b <ln2D.b >1【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.1(2024·河北邢台·二模)已知函数f x =x 2+2ln x 的图像在A x 1,f x 1 ，B x 2,f x 2 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是()A.x 1+x 2=2B.x 1+x 2=103C.x 1x 2=2D.x 1x 2=1032已知函数f x =a -3 x 3+a -2 x 2+a -1 x +a 若对任意x 0∈R ，曲线y =f x 在点x 0,f x 0 和-x 0,f -x 0 处的切线互相平行或重合，则实数a =()A.0B.1C.2D.33(2024·辽宁·二模)已知函数y 1=x 12的图象与函数y 2=a x (a >0且a ≠1)的图象在公共点处有相同的切线，则a =，切线方程为.【巩固练习】1(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x +a 2+ln x 的图象上存在不同的两点A ,B ，使得曲线y =f x 在点A ,B 处的切线都与直线x +2y =0垂直，则实数a 的取值范围是()A.-∞,1-2 B.1-2,0 C.-∞,1+2 D.0,1+22(23-24高三·辽宁·阶段练习)已知函数f x =x m -e x ，曲线y =f x 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y =x 平行，则实数m 的取值范围是()A.1-e -2,1 B.-1-e -2,-1C.-e -2,0D.1-e -2,+∞ 3(2024·河南·三模)已知函数f (x )=x +12e x ,x >0,x 3,x <0,点A ，B 在曲线y =f (x )上(A 在第一象限)，过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP 的最小值为．4(2024·北京朝阳·一模)已知函数f x =12sin2x .若曲线y =f x 在点A x 1,f x 1 处的切线与其在点B x 2,f x 2 处的切线相互垂直，则x 1-x 2的一个取值为.【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.1(2024·全国·模拟预测)若直线y =2x -b 与曲线f (x )=e 2x -2ax (a >-1)相切，则b 的最小值为()A.-eB.-2C.-1D.0【巩固练习】1(2024·重庆·模拟预测)已知直线y =ax +b 与曲线y =e x 相切于点x 0,e x 0，若x 0∈-∞,3 ，则a +b 的取值范围为()A.-∞,e B.-e 3,e C.0,e D.0,e 32(2024·广东广州·模拟预测)已知直线y =kx +b 恒在曲线y =ln x +2 的上方，则b k 的取值范围是()A.1,+∞B.34,+∞C.0,+∞D.45,+∞3已知直线y=kx+b与函数f x =12x2+ln x的图象相切，则k-b的最小值为．4对给定的实数b，总存在两个实数a，使直线y=ax-b与曲线y=ln x-b相切，则b的取值范围为.【题型11】牛顿迭代法数形结合处理1(23-24高三·河南郑州·期中)“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数f x 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数x0，x1，x2，⋯，x n，其中x1是f x 在x=x0处的切线与x轴交点的横坐标，x2是f x 在x=x1处的切线与x轴交点的横坐标，⋯，依次类推．当x n-r足够小时，就可以把x n的值作为方程f x =0的近似解．若f x =115x3-35x2+2x-125，x0=4，则方程f x =0的近似解x1=．2(2024·山东潍坊·三模)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程f x =0的根就是函数f x 的零点r，取初始值x0,f x 的图象在点x0,f x0处的切线与x轴的交点的横坐标为x1, f x 的图象在点x1,f x1处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1,x2,⋯,x n，它们越来越接近r．设函数f x =x2+bx，x0=2，用牛顿迭代法得到x1=1619，则实数b=()A.1B.12C.23D.34【巩固练习】1牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f x =0的根就是函数f x 的零点r ，取初始值x 0，f x 的图象在横坐标为x 0的点处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 1，f x 的图象在横坐标为x 1的点处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 2，一直继续下去，得到x 1，x 2，⋯，x n ，它们越来越接近r ．若f x =x 2-2x >0 ，x 0=2，则用牛顿法得到的r 的近似值x 2约为()A.1.438B.1.417C.1.416D.1.3752(2023·湖北咸宁·模拟预测)英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton -Raphson method 译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设r 是f x =0的根，选取x 0作为r 的初始近似值，过点x 0,f x 0 作曲线y =f x 的切线l ：y -f x 0 =f x 0 x -x 0 ，则l 与x 轴交点的横坐标为x 1=x 0-f x 0 f x 0 f x 0 ≠0 ，称x 1是r 的一次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x n +1=x n -f x n f x nf x n ≠0 ，称x n +1是r 的n +1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数f x =ln x +x -3的零点一次近似值为( )(精确到小数点后3位，参考数据：ln2=0.693)A.2.207B.2.208C.2.205D.2.2043(多选)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法--牛顿法．具体做法如下：如图，设r 是f x =0的根，首先选取x 0作为r 的初始近似值，在x =x 0处作f x 图象的切线，切线与x轴的交点横坐标记作x1，称x1是r的一次近似值，然后用x1替代x0重复上面的过程可得x2，称x2是r的二次近似值；一直继续下去，可得到一系列的数x0,x1,x2,⋯,x n,⋯在一定精确度下，用四舍五入法取值，当x n-1,x n n∈N∗近似值相等时，该值即作为函数f x 的一个零点r，若使用牛顿法求方程x2=3的近似解，可构造函数f(x)=x2-3，则下列说法正确的是()A.若初始近似值为1，则一次近似值为3B.x4=x0-f x0f x0-f x1f x1-f x2f x2-f x3f x3C.对任意n∈N∗，x n<x n+1D.任意n∈N∗，x n+1=12x n+32x nx n≠0。

高考数学复习点拨焕然一新的切线

高考数学复习点拨焕然一新的切线如图1，曲线C 是函数()y f x =的图象，P Q ，是曲线C 上的点，点Q 沿着曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 将绕着点P 逐渐转动时，割线PQ 将绕着点P 逐渐转动．当点Q 沿着曲线无限接近点P 时，如果割线PQ 有一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．在这里，切线的定义有以下“焕然一新”的特点：第一，从定义的描述中可以看出切线的基本特征：曲线C 的切线PT 是割线PQ 的极限位置（图1）．此时，割线PQ 的极限位置存在，则有切线；割线PQ 的极限位置不存在，则无切线．即使是直线都可以探讨它的切线．如图2，在函数()f x x =中，当1x =-时，与定义中的割线PQ 对应的直线是y x =-，割线PQ 的极限位置PT 也是直线y x =-，所以函数()f x x =在1x =-处有切线y x =-．第二，导数的几何意义反应了曲线在某点处切线的斜率．函数在某点处的导数存在，则函数图象在该点处切线的斜率存在，故切线一定存在．函数在某点处的导数不存在，则函数图象在该点的切线的斜率不存在，故切线一定不存在．在图2中，函数()f x x =在点0x =处，当0x +∆→时，y x∆∆有极限1，当0x -∆→时，y x∆∆有极限1-，它的左导数与右导数不相等，所以当0x ∆→时，y x ∆∆无极限，函数()f x x =在点0x =处无导数，即其函数()f x x =的图象在点0x =处无切线．第三，曲线的切线与曲线的公共点的个数可能不是唯一的，公共点的个数可随曲线及曲线上切点的位置的改变而不同．如在曲线313y x =上点823P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线方程是123160x y --=，切线与曲线还有一个公共点，坐标是6443⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．在图3中，曲线sin y x =在点5π12P x ⎛⎫= ⎪⎝⎭处的切线方程是： 62625π4412y x +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，它与曲线sin y x =的公共点有两个以上，当x 的取值无限趋近π2或π2x =时，曲线的切线与曲线的公共点逐渐增多，可达到无限多个．第四，定义中曲线的切线与曲线只有一个公共点时，曲线上的其余各点可以分布在切线的两侧．如图4，曲线3y x =在0x =处的切线方程为0y =，它把曲线分为两部分．当曲线的切线与曲线不只一个公共点时，曲线更会分布在切线的两侧，如图3中过点P 的切线．第五，对于曲线的切线而言，过曲线上的某些点可以作两条或两条以上曲线的切线；过曲线外的点更可能作两条或两条以上曲线的切线．例如：（1）过曲线323y x x =-上的点(00)，的切线方程是．（2）已知曲线3:3S y x x =-及点(22)P ，，则过点P 可向S 引切线的条数为条．分析：（1）令切点为()A m n ，，则323n m m =-．过点A 的切线斜率236k m m =-，故过A 点的切线方程为2(36)()y n m m x m -=--，点(00)，在切线上，有32230m m -=，0m =∴或32m =．所求切线方程为0y =及940x y +=．可以看出过曲线上的点(00)，的切线有两条．（2）采用与（1）类似的求法可知过点P 可向曲线S 引3条切线．在图3中，过曲线sin y x =上的点M 可作无数条曲线的切线．过曲线sin y x =外的点Q 也可作无数条曲线的切线．通过以上分析可以看出，这里的切线概念与学过圆的切线的概念完全不同，掌握切线的这些特点，对导数概念的理解和用导数解决问题都大有帮助．。

高考数学复习----切线问题规律方法与典型例题讲解

高考数学复习----切线问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】（1）若点()00,P x y 是圆222x y r +=上的点，则过点P 的切线方程为0x x +20y y r =．（2）若点()00,P x y 是圆222x y r +=外的点，由点P 向圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为200x x y y r +=．（3）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b +=上的点，则过点P 的切线方程为00221x x y ya b +=．（4）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b+=外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为00221x x y ya b+=．【典型例题】例33．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y+=的左、右顶点分别为,A B ，过左焦点1F 的直线与椭圆交于点,P Q （点Q 在点P 的上方）．(1)求证：直线,AP AQ 的斜率乘积为定值；(2)过点,P Q 分别作椭圆的切线，设两切线交于点M ，证明：1MF PQ ⊥．【解析】（1）由椭圆方程知：，；由题意知：直线斜率不为，则可设，，，由得：，，，()11,0F −()2,0A −PQ 0:1PQ x my =−()11,P x y ()22,Q x y 221143x my x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩()2243690+−−=m y my 122643m y y m ∴+=+122943y y m =−+，即直线的斜率乘积为定值.（2）椭圆在轴下方部分的方程为：，在处的切线斜率，又，，，在处的切线方程为，整理可得：；同理可得：处的椭圆的切线方程为：；由得：，则可设，，即直线方程为，其斜率；又直线斜率，，即. 例34．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，且点()()()12121221212121222111AP AQ y y y y y y k kx x my my m y y m y y ∴⋅=⋅==+++++++2222222299943969643414343m m m m m m m m −−+===−−+++−++++,AP AQ 94−x y =21333244y x x '⎛⎫'∴=−−= ⎪⎝⎭∴()11,P x y 134k x =2211334x y −=10y <111133144x k x y y ∴=⋅−=−∴()11,P x y ()111134x y y x x y −=−−22111114343x x y y x y +=+=()22,Q x y 22143x x y y+=1122143143x x y yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()()2121211221122121444411My y y y y y x x y x y my y my y y y −−−====−−−−−−+()4,M t −11221313t x y t x y ⎧−+=⎪⎪∴⎨⎪−+=⎪⎩PQ 13t x y −+=3PQ k t =1MF 10413MF t tk −==−−+11MF PQ k k ∴⋅=−1MF PQ ⊥2222:1(0)x y C a b a b+=>>(1,0)F在椭圆上，为坐标原点 (1)求椭圆的标准方程(2)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为，，不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，，求证：为定值【解析】（1）由题意得：，所以，又因为点在椭圆上，所以，可解得，，所以椭圆标准方程为．（2）证明：由题意：，设点，，，，，，因为，不在坐标轴上，所以，直线的方程为，化简得：，① 同理可得直线的方程为，② 把点的坐标代入①、②得，所以直线的方程为③，令，得，令得，P C O C 22122:153x y C a b +=−Q 224:3O x y +=M (N M N MN m n 22113m n +1c =221a b =+P ⎭C 223314a b +=24a =23b =22143x y +=2213144:C x y +=1(Q x 1)y 2(M x 2)y 3(N x 3)y M N 1QM OM k k =−QM 2222()x y y x x y −=−2243x x y y +=QN 3343x x y y +=Q 212131314343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩MN 1143x x y y +=0y =143m x =0x =143n y =所以，，又点在椭圆上，所以，即为定值．例35．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【解析】（1）设椭圆和抛物线的方程分别为，，，椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，，解得，椭圆的方程为，抛物线的方程为．（2）由题意知过点与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，设，则切线方程为，143x m =143y n=Q 1C 22443433m n ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211334m n +=1Γ2Γ(1,0)1Γ122Γ1Γ2ΓP 2ΓP 2ΓPA PB ,A B PA PB 1k 2k 12k k 1Γ2Γ22221(0)x y a b a b+=>>22y px =(0)p >1Γ2Γ(1,0)1Γ12∴12112c a c p ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩212a c p =⎧⎪=⎨⎪=⎩b ∴∴1Γ22143x y+=2Γ24y x =P 24y x =(1,)P t −()(1)0y t k x k −=+≠联立，消去，得，由，得，直线，的斜率分别为，，，为定值．2(1)4y t k x y x−=+⎧⎨=⎩x 24440t y y k k −++=244440t k k ⎛⎫⎛⎫∆=−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭210k tk +−=PA PB 1k 2k 121k k ∴=−12k k ∴。

河南省新乡市2024高三冲刺(高考数学)统编版考试(备考卷)完整试卷

河南省新乡市2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成准分（最高为100分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于75分的企业数为（）A．30B．60C．70D．130第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题若，，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知五个数，，，，的平均数为，则这五个数的方差为（）A．B．C．D．第(5)题已知双曲线C的方程为，斜率为的直线与圆相切于M，与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．第(6)题若实数，满足，则的最大值为（）A．0B．6C．7D．9第(7)题函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数第(8)题集合，若且，则满足条件的集合的个数为（）A．7B．8C．15D．16二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图1，矩形由正方形与拼接而成．现将图形沿对折成直二面角，如图2．点（不与重合）是线段上的一个动点，点在线段上，点在线段上，且满足，，则（）图1 图2A．B．C．的最大值为D．多面体的体积为定值第(2)题已知的内角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．第(3)题在平面直角坐标系中，过轴上一点作单位圆（以坐标原点为圆心）的切线，切线交椭圆于两点，则以下结论正确的是（）A．的最大值为2B．的最大值为4C．当时，弦长随的增大而减小D．当时，弦长随的增大而减小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若变量满足约束条件则的最大值是__________．第(2)题如果函数在区间内存在与y轴垂直的切线，则实数b的取值范围是___________.第(3)题从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆与x轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.第(2)题已知椭圆，直线l不经过坐标原点O且不平行与坐标轴，l与相交于A，B两点，线段的中点为M.（1）证明：直线的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；（2）若直线l过点，延长线与交于点P，若四边形是平行四边形，求直线l的斜率；第(3)题斜三角形的面积为，且，，且，求第(4)题已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若恒成立，求的取值范围.第(5)题若函数，求的值.。

2023届全国高考数学复习：专题(曲线的切线方程)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题（曲线的切线方程）重点讲解与练习考点一求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)ꞏ(x －x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． (2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．12 D ．1(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是．【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝05．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝06．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为． 8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________． 9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝111．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1413．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．考点二求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．(3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为．(4)(2019ꞏ全国Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1 (5)设曲线y ＝x ＋1x －2在点(1，－2)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．3 D ．－3(6)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．(7)已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是． (8)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．【对点训练】1．若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝； 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．参考答案【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0．(2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B 解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1．(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x答案 D 解析法一因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0．因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法二因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法三易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案 2x －y ＝0 解析设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x ＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1．所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋lnx ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D 解析根据y ＝e x 图象特征，y ＝e x 是下凸函数，又过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a ．故选D ．(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)答案 C 解析设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3．∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e ，1) 解析设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1．故点A 的坐标为(e ，1)．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为．答案 (0，0) 解析 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0，∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A ．18B ．14C ．12D ．1答案 B 解析 ∵y ＝x －1x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2　x ＋1　2，∴k ＝y ′|x ＝0＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x －0)，即y ＝2x －1，令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝12，故所求的面积为12×1×12＝14．(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是．答案 2 解析设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '＝＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1．∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2．【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 1．答案 C 解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，故选C ．2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为．2．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案 y ＝3x 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝04．答案 D 解析因为f (x )＝1－2ln x x f ′(x )＝－3＋2ln x x 2．又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．5．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝05．答案 C 解析设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0．故选C ．6．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．6．答案 y ＝－12x ＋1 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12．所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为． 7．答案 2x －y ＝0 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0，解得a ＝1，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________．8．答案 3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 解析设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0 ＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0．9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为． 9．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝110．答案 A 解析因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，所以f ′(x )＝2f ′⎝⎛⎭⎫12x －2＋f （1）x ．令x ＝12得f ′⎝⎛⎭⎫12＝2f ′⎝⎛⎭⎫12 ×12－2＋2f (1)，即f (1)＝1．又f (1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12－2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝3，所以f ′(1)＝2f ′⎝⎛⎭⎫12－2＋f (1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝5(x －1)，即5x －y －4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．11．答案 y ＝x 12 021 解析函数f (x )＝ln(1＋x )，则f ′(x )＝11＋x，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴切线方程为y ＝x ．∴ ln2 022－ln2 021＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋12 021＝f ⎝⎛⎭⎫12 021，根据以直代曲，x ＝12 021也非常接近切点x ＝0．∴可以将x ＝12 021代入切线近似代替f ⎝⎛⎭⎫12 021，即f ⎝⎛⎭⎫12 021≈12 021． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1412．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x－1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D ．13．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．13．解析 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4．∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0．(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20． ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20ꞏx －23x 30＋43． ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．14．解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6．故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6． 15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．15．解析 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增． (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1)．因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0)．由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(1＋a )x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a . 所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a )．考点二求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案 13 解析 f ′(x )＝3ax 2＋1x ，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案 [2，＋∞) 解析直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0．又4x ＋1x ≥24x ꞏ1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2．∴a 的取值范围是[2，＋∞)． (3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为．答案 0 解析依题意得f ′(x )＝a x ＋3bx 2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－1，f ′(1)＝1＋10－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＋3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．答案 D 解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1．∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3．故选D ．3．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)3．答案 C 解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C ．4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．4．答案 (－∞，2) 解析由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x ．因为x ＞0，所以2－1x 2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为． 5．答案 2 解析 f ′(x )＝cos x ＋x ꞏ(－sin x )＋a cos x ＝(1＋a )cos x －x sin x ，∴f ′(0)＝1＋a ＝3，∴a ＝2． 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________． 6．答案－1 －3 解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋a ，则由切线方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＝2×1－5，f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1，b ＝－3．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．7．答案 2 解析 f ′(x )＝a ＋3x 2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y－(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e8．答案 C 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1．设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1)．又y ′＝1x ，则1m ＝1，解得m ＝1．所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2．9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝； 9．答案 1 解析 y ′＝e x (ax ＋1＋a )，所以y ′|x ＝0＝1＋a ，则曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线方程为y＝(1＋a )x ＋1，又切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0，所以0＝(1＋a )×⎝⎛⎭⎫－12＋1，解得a ＝1． 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝．10．答案－274 解析设切点坐标为(t ，2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，即4t 3＋6t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝⎛⎭⎫－322＝0，解得a ＝－274．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．答案 A 解析因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3．设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎨⎧ 3x 20－3＝a ，2x 30＝3a ，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，a ＝6或⎩⎨⎧ x 0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ．12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．12．解析 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为y －53＝－1×(x －2)，即3x ＋3y －11＝0．(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π．故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．13．解析 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1． (2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12．所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 14．解析 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．。