山东省淄博市三校2015-2016学年高二上学期期末联考数学(文)试卷

山东淄博淄川一中2015-2016学年度高二第一学期期末学分认定考试数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题和解答题）两部分。

满分150分； 考试时间120分钟.考试结束后，监考教师将答题纸和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（共50分）注意事项：本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线22x y =的焦点坐标为 A ．1(0,)2B ．1(,0)2C ．()0,1D ．()1,02．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（ ）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 3．在ABC ∆中，如果=cos cos a bB A，则该三角形是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．以上答案均不正确4．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，那么4a 的值为A ．1B ．2C ．4D ．85．在平面直角坐标系中，不等式组0400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（ ）A . 2B . 4C . 8D . 166．不等式28210++<ax ax 的解集是{71}-<<-x x ，那么a 的值是 ( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 7．下列命题中，说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B .“102x <<”是“(12)0x x ->”的必要不充分条件 C ．命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++>” D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题为真命题 8．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且231n n S nT n =+，则55b a A ．32 B ． 149 C ． 3120 D ． 979．在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABC S ∆=（ ）A ．2B ．22C ．13+D ．()1321+10．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ABCD第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上。

11．已知等比数列{}n a 中，32a =-，那么234a a a ⋅⋅的值为 ． 12．如果0a >，那么12a a++的最小值是 ． 13．双曲线2214y x -=的渐近线方程为 ．14. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = ．15. 已知()(5)(3)f x m x m x m =++++，()1g x x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ，，，已知12,3,cos 4a c B ===， （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求C sin 的值．17．（本小题满分12分）已知命题p ：方程2212x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：对任意实数x 不等式22230x mx m +++>恒成立. （Ⅰ）若“q ”是真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知直线l 经过抛物线x y 42=的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点． （Ⅰ）当直线l 的斜率为1，求线段MN 的长； （Ⅱ）记||1||1FN FM t +=，试求t 的值．19.（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时． 假定每天至多可获取鲜牛奶15吨，问该厂每天生产A ，B 两种奶制品各多少吨时，该厂获利最大．20.（本小题满分13分）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. （Ⅰ） 求3a 的值；（Ⅱ） 求数列{}n a 前n 项和n T ；（Ⅲ）设11121222log log ......log n n b a a a =+++，11n n c b +=，求数列{}n c 的前n 项和.21.（本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线12y =被椭圆E 截得的线段长.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称，求实数m 的取值范围．数学试题答案文科选择题答案AACDB CDBCB11． 8- ． 12． 4 ．13．渐近线方程为 2y x =± ． 14. b = 1 ． 15. m 的取值范围是 (4,0)- .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16解：（Ⅰ）由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，…………………………4分∴b = …………………………6分（Ⅱ）方法1：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-=，==， …………………………10分 ∵C 是ABC ∆的内角，∴sin C == …………………………12分 方法2： ∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角，∴sin B ==． …………………………8分 根据正弦定理，sin sin b cB C=，得sin sin c B C b ===12分 17．解：（Ⅰ）因为对任意实数x 不等式22230x mx m +++>恒成立， 所以0)32(442<+-=∆m m ，解得　31<<-m ， …………2分又“q ”是真命题等价于“q ”是假命题， …………3分所以所求实数m 的取值范围是(][)∞+-∞-，31, ．…………4分（Ⅱ）21222>=+m y my x 轴上的椭圆，所以表示焦点在因为方程，…………6分恰有一真一假”为真命题，等价于”为假命题，““q p q p q p ,∨∧，………7分 3312≥⎩⎨⎧≥-≤>m m m m q p ，则或假时，真当，…………9分 21312≤<-⎩⎨⎧<<-≤m m m q p ，则真时，假当，…………11分 (][)　，，的取值范围是综上所述，实数∞+-321 m ．…………12分18.解：（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-．…………1分 设()11,M x y ，()22,N x y ，由抛物线的定义知1||1MF x =+，2||1NF x =+，于是12||||||2MN MF NF x x =+=++．………………3分 由(1,0)F ，所以直线l 的方程为1y x =-，解方程组214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得2610x x -+=．………………4分由韦达定理得126x x +=， 于是12||28MN x x =++=所以，线段MN 的长是8．…………………………6分 （Ⅱ）设1122(,)(,)M x y N x y ，,直线l 的方程为1x my =+ 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩得0442=--my y ，016162>+=∆m m y y 421=+,421-=y y …………………………8分 因为, 1240y y =-<, 21y y ，∴异号,又2111||||tFM FN y=+==22121221222122122)(4)(11)()-(11yyyyyymyyyymt-+⋅+=⋅+=∴11616611122=+⋅+=mm…………………………11分所以 ,所求t的值为1．…………………………12分方法二：设1122(,)(,)M x y N x y，,当直线l的斜率不存在时，(1,2)(1,2)M N-，，1||1||1=+=FNFMt；………7分当直线l的斜率不存在时，设直线l方程为(1)y k x=-联立2(1)4y k xy x=-⎧⎨=⎩消去x得0)42(2222=++-kxkxk，01616k2>+=∆222214242kkkxx+=+=+,121=xx…………………………9分1212121221111||||111x xtFM FN x x x x x x++=+=+=+++++224414121kk+==+++………………11分所以,所求t的值为1．…………………………12分19.（本小题满分12分）解：设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有2 1.515,1.512,20,0,0,x yx yx yx y+≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩…………4分目标函数为10001200z x y=+．…………5分上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域．…………7分 作直线:100012000l x y +=，即直线 1.20x y +=. 把直线l 向右上方平移到1l 的位置，直线1l 经过可行域上的点B ，此时10001200z x y =+ 取得最大值．…………8分由202 1.515x y x y -=⎧⎨+=⎩解得点M 的坐标为()3,6．…………10分∴当3,6x y == 时，max 310006120010200z =⨯+⨯=(元)．答：该厂每天生产A 奶制品3吨，B 奶制品6吨，可获利最大为10200 元．…12分 20.（本小题满分13分）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. （Ⅰ） 求3a 的值；（Ⅱ） 求数列{}n a 前n 项和n T ；（Ⅲ）（文科）设11121222log log ......log n n b a a a =+++，11n n c b +=，求数列{}n c 的前n 项和.解：（Ⅰ）令1n =，得11a =， 令2n =，有1222a a +=，得212a =， 令3n =，有12352344a a a ++=-，得314a =．…………3分 （Ⅱ）当2n ≥时，12312123(1)42n n n a a a n a --++++⋅⋅⋅+-=-， ①12311223(1)42n n n n a a a n a na --++++⋅⋅⋅+-+=-， ②②―①，得21112222n n n n n n nna ---++=-=，…………………5分所以112n n a -=，又当1n =时，11a =也适合112n n a -=， 所以，112n n a -=（n N *∈）…………………7分 （Ⅲ）（文科）11121n 222log log ...log n b a a a =+++12(1)n =++⋅⋅⋅+-(1)2n n -=…………………9分 故112112()(1)1n n c b n n n n +===-++ …………………10分 12111112...2((1)()...())22311n nc c c n n n +++=-+-++-=++ ……12分 所以数列1{}nb 的前n 项和为21n n + …………………13分 21.（本小题满分14分）（文科）已知椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，直线12y =被椭圆E 截得. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题设得，椭圆过点12⎫⎪⎪⎭，……………………1分所以2222231124a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1a b ==， ……………………3分 所以椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）易得知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+．……………5分 …………………………4分由22112y x b m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得 222112()102b x x b m m+-+-=· ……………………7分 因为直线12y mx =+与椭圆2212x y +=有两个不同分交点，所以224220b m∆=-++>· ① 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理知，12242mbx x m +=+ ……………………9分于是线段AB 的中点坐标为2222(,)22mb m bM m m ++，将其代入直线12y mx =+，解得2222m b m +=- ②……………………11分 将②代入①，得4211304m m --<解得m <m > ……………………13分 因此，所求实数m的取值范围(,)-∞+∞ ．………………………14分。