2019年高考数学(理科)必考题突破讲座：第八章解析几何第51讲双曲线

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2019年高考数学总复习核心突破第8章平面解析几何 8.5 双曲线的标准方程与性质课件

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AC.k>o4pyrighBt.k2<-0104-20C1.k1>-A1 sposDe.-P1<tky<4Ltd.
【答案】A
4
3.已知双曲线的焦点是F1(-7,0)、F2(7,0),双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为10,求此双曲线的标准方程.
8.5 双曲线的标准方程与性质
【考纲要求】理解双E曲va线l的ua定ti义on,了o解n双ly曲. 线的标准方程及其 ted with Aspos几e何.S性lid质e.s for .NET 3.5 Client Profile 5.2
【学习重C点op】yrig双h曲t 线20的0标4准-2方0程11. Aspose Pty Ltd.
为顶点与焦点的双曲线的方程. 【解】设双曲线的方程为��-��=1(a>0,b>0),
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则有 a2=25-9=16,b2E=2v5-a1l6u=a9,tion only. 图8-9 ted wi∴th双A曲s线p的os方e程.S为l��i��d��-��e��=s1.for .NET 3.5 Client Profile 5.2
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的距离是 ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
(2)双曲线��-��=1 的焦点坐标是 ( )
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A.(5,0)和(-5,0)
B.(0,5)和(0,-5)

2019高考数学(全国、理科)一轮复习课件：第51讲双曲线

[解析] A 双曲线的一条渐近线的方程为 x＋ my＝0.根据双曲线方程得 a2＝3m，b2＝3，所以 c＝ 3m＋3，双曲线的右焦点坐标为( 3m＋3，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离 | 3m＋3| 为＝ 3. 1＋m
栏目导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
RJA
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专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
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专题一
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第51讲 PART 51
双曲线
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
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专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
1．[2016· 全国卷Ⅰ] 已知方程
－＝1 表示 m2＋n 3m2－n 双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( ) A．(－1，3) B．(－1， 3) C．(0，3) D．(0， 3)
■ [2016－2011]课标全国真题 x2 再现 y2
[解析] A 若已知方程表示双曲线，则(m2＋ n)· (3m2－n)>0，解得－ m2<n<3m2.又 4＝4m2，所以 m2＝1，所以－1<n<3.
2
2 2 1 2y0，代入上式得 y0< ，所以－
3
3 3
3 <y0< 3 ，故选 A.
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专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
4．[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 F 为双曲线 C： x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B．3 C. 3m D．3m

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何第51讲双曲线课件理

两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是 ( A.(-1,3) C.(0,3)
所以 m =1,所以-1<n<3.
2
教学参考
4.[2015· 全国卷Ⅰ] 已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 2 -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两
2
�� 2
[答案]
A
个焦点.若��1 · ��2 <0,则 y0 的取值范围是 ( A. C. 3 3 3
真题再现
■ [2017－2013]课标全国真题再现
1.[2017· 全国卷Ⅱ] 若双曲线 C:�� 2 - �� 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2) +y =4 所截得的弦长为 2,则 C
2 2
�� 2 �� 2
[答案]
A
[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心到该直线的距离 d=
2 �� 0
) ,
3 3
B. D. -
3 6 3
,
3 6
2 2 2 2
,
2 3 2 3
3
,
3
A.
教学参考
5.[2014· 全国卷Ⅰ] 已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F
2 2
[答案]
A
到 C 的一条渐近线的距离为 ( A. 3 C. 3m B.3 D.3m
6.[2013· 全国卷Ⅰ] 已知双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C
�� 2 �� 2 �� 2 5

高考数学一轮复习第八章解析几何第四节双曲线讲义含解析051319.doc

第四节双曲线突破点一双曲线的定义和标准方程[基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若P Q 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段P Q 上，则△P Q F 的周长为________．答案：442．经过点P (－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________．答案：y 225－x 275＝13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为________．答案：72[全析考法]考法一双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题； (2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1] (1)(2019·宁夏育才中学月考)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|P Q|－|PR |的最大值是( )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] (1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒PF 2＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.(2)由题意可知C 3，C 2的圆心分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|P Q|max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|P Q|－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型[例2] (2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1[解析] 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bc c ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24解析：选B ∵2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ① |BF 2|－|BF 1|＝22，②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．长轴在x 轴上的椭圆 B ．长轴在y 轴上的椭圆 C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线解析：选D ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是实轴在y 轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x223＝1解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.突破点二双曲线的几何性质[基本知识][基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________．答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x (2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a2－x 20＝1，即9a 2－24＝1，解得a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤53，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ [解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ，则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得 cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y 216－x 29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2.4.[考法一、二]已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1，F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ， y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高三一轮总复习文科数学课件8-6双曲线

26
求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值．与双曲线ax22－by22＝1 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为ax22－by22＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值.
一点，A(0,6 6)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．
28
【解析】 (1)如图，内切圆圆心 M 到各边的距离分别为 MA，MB，MC，切点分别为 A，B，C，由三角形的内切圆的性质有|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|， ∴|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，∴|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.
又双曲线的一个焦点为( 5，0)，所以 a2＋b2＝5.② 由①②得 a＝1，b＝2.
答案：1 2
18
3
考点疑难突破
19
求双曲线的标准方程
[题组训练]
1．(2016 年天津卷)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 2 5，且双曲线的
一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，则双曲线的方程为( )
31
[自主演练]
1．已知双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点．若|PF1|
＝43|PF2|，则△F1PF2 的面积为(
)
A．48
B．24
C．12
D．6
32
解析：由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1| ＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，

全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线学案

全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线学案板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．考点2 双曲线的标准方程和几何性质[必会结论]双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b .(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.(6)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a2. [考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)与双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝λ(λ≠0)．( )(4)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．[课本改编]双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3x D ．y ＝±2x答案 A解析由题意知y 22－x 22＝1，y ＝±x .3．[xx·广东模拟]已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析由题意设C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由右焦点为F (3,0)，可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c a ＝32，所以a ＝2.由c 2＝a 2＋b 2，知b 2＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.4．[xx·福州质检]设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( )A ．5B ．3C ．7D ．3或7 答案 D解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 2|＝7或3.5．[xx·北京高考]若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.6．[xx·全国卷Ⅲ]双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案 5解析 ∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.板块二典例探究·考向突破考向双曲线的定义及标准方程例1 (1)[xx·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 答案 B解析由题意可得c a＝2，即c ＝2a . 又左焦点F (－c,0)，P (0,4)，则直线PF 的方程为y －04－0＝x ＋c0＋c，化简即得y ＝4c x ＋4.结合已知条件和图象易知直线PF 与y ＝bax 平行，则4c ＝ba，即4a ＝bc .故⎩⎨⎧c ＝2a ，4a ＝bc ，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝8，故双曲线方程为x 28－y 28＝1.故选B.(2)[xx·全国卷Ⅲ]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.触类旁通(1)若涉及双曲线上的点，在解题时要首先想到双曲线上的任意点均满足双曲线的定义． (2)利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．【变式训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝ba，解得a 2＝20，b 2＝5.(2)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3,23)的双曲线的方程．解设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ，将点(－3,23)代入双曲线方程，得99－1216＝λ，解得λ＝14， ∴所求双曲线方程为4x 29－y24＝1.考向双曲线的几何性质命题角度1 双曲线的离心率问题例2 (1)[xx·全国卷Ⅱ]若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)答案 C解析由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C.(2)[xx·山东高考]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案 2解析由已知得|AB |＝|CD |＝2b2a，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b2a＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．命题角度2 双曲线的渐近线问题例3 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 ∵e ＝52，∴c a ＝52，即c 2a 2＝54.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12.∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴渐近线方程为y ＝±12x .故选C.(2)[xx·深圳调研]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )A. 5B.52C. 3 D ．2 答案 A解析依题意设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(其中a >0，b >0)，则其渐近线方程是y ＝±ab x ，由题知a b ＝12，即b ＝2a ，因此其离心率e ＝a 2＋b 2a ＝5aa＝ 5. 触类旁通与双曲线的几何性质有关的问题(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式训练2】 (1)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点为M ，且sin ∠MF 1F 2＝15，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 D解析由题意知，∠F 1MF 2＝π2，不妨设点M 在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|－|MF 2|＝2a ，|MF 2||MF 1|＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＝4a ，|MF 2|＝2a ，又|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2，即16a 2＋4a 2＝4c 2，所以e ＝ca＝ 5.故选D.(2)已知双曲线y 2a 2－x 29＝1的两条渐近线与以椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点为圆心、165为半径的圆相切，则渐近线方程为________．答案 4x ±3y ＝0解析双曲线的渐近线方程为ax ±3y ＝0，椭圆的左焦点为F (－4,0)，因为渐近线ax ＋3y ＝0与以F 为圆心、165为半径的圆相切，所以|－4a ＋0|a 2＋9＝165，解得a ＝±4，故渐近线方程为4x ±3y ＝0.考向双曲线中焦点三角形例4 (1)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．1 B.52C ．2 D. 5 答案 A解析解法一：设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，由双曲线的定义可知|d 1－d 2|＝4.又∠F 1PF 2＝90°，于是有d 21＋d 22＝|F 1F 2|2＝20，因此，S △F 1PF 2＝12d 1d 2＝14(d 21＋d 22－|d 1－d 2|2)＝1.解法二：由x 24－y 2＝1，知|F 1F 2|＝2 5.设P 点的纵坐标为y P ，由于∠F 1PF 2＝90°，则P 在以|F 1F 2|为直径的圆上，即在x 2＋y 2＝5上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x 2－4y 2＝4，消去x 得|y P |＝55. 故△F 1PF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y P |＝1.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 点在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )A.32 B.62C. 3D. 6 答案 B解析设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，不妨设m >n ，P (x ，y )，|PF 1|－|PF 2|＝m －n ＝2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 (22)2＝m 2＋n 2－2mn cos60°， ∴8＝(m －n )2＋mn .∴mn ＝4. 由△F 1PF 2的面积相等，得12 ×22×|y |＝12mn sin60°，即2|y |＝12×4×32. ∴|y |＝62. 即P 到x 轴的距离为62. 触类旁通【变式训练3】 (1)[xx·哈尔滨质检]已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12 D ．6 答案 B解析由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.(2)[xx·全国卷Ⅰ]已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 答案 A解析解法一：由题意可知：c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距， ∴2c ＝2×2|m |＝4，∴|m |＝1.∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0， ∴－m 2<n <3m 2，∴－1<n <3.故选A.解法二：∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－(3m 2－n )－(m 2＋n )＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)．②无解．故选A.考向直线与双曲线的综合问题例5 直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b ax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解 (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过第一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2. 化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2| ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×362－4×8×(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝ 3. 解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.触类旁通求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：(1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．(2)利用点差法．【变式训练4】设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取PA →＝512PB →，求a 的值．解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2，即e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a21－a2，x 1x 2＝512x 22＝－2a21－a2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，由a >0，解得a ＝1713.核心规律1.当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便．2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．满分策略1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x 2，y 2前系数的正负． 2.关于双曲线中离心率范围问题，不要忘记双曲线离心率固有范围e >1.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5.当直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.板块三启智培优·破译高考题型技法系列 15——函数方程数学思想方法的应用(1)[xx·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．解题视点利用双曲线定义寻求△APF 周长最小时P 点位置．解析设F 1为双曲线的左焦点，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当|AP |＋|PF 1|最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案 12 6(2)已知双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1，其中a >1，求e 的取值范围．解题视点带参量的双曲线问题，需寻找e 与参量的依存关系，即函数关系，e 的范围由e ＝f (a )来确定．解 e 2＝c 2a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2， ∵a >1，∴1＋0<1＋1a<1＋1，∴1<⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2<4，即2<e 2<5，∴2<e < 5.答题启示解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.注意应用数学思想方法.跟踪训练[xx·山东高考]过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．答案 2＋ 3解析不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y ＝b a(x －c )，与C 交于P (x 0，y 0)．∵x 0＝2a ，∴y 0＝b a(2a －c )．又P (x 0，y 0)在双曲线C 上，∴(2a )2a 2－b 2a2(2a －c )2b 2＝1，∴整理得a 2－4ac ＋c 2＝0，设双曲线C 的离心率为e ，则1－4e ＋e 2＝0.∴e 1＝2－3(舍去)，e 2＝2＋3，即双曲线C 的离心率为2＋ 3.板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．[xx·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．y 2－x 24＝1D.y 24－x 2＝1 答案 D解析由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 24－x 2＝0，即y＝±2x .2．[xx·湖北模拟]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53答案 D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.3．[xx·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32 答案 D解析因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.4．[xx·广东模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析因为双曲线C 的右焦点为F 2(5,0)，所以c ＝5.因为离心率e ＝c a ＝54，所以a ＝4.又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.5．P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 B解析如图，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2a >2c ，a <c ，∴1<e <3.当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ，∴e ＝3. 综合e ∈(1,3]．6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析根据已知可得，|PF 1|＝2b2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .7．[xx·海口调研]已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，且|PF 2|＝2|PF 1|，若△PF 1F 2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．答案 2解析 ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2|PF 1|，∴|PF 2|＝4a ，|PF 1|＝2a ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，∴|PF 2|＝|F 1F 2|，即4a ＝2c ，∴ca＝2.8．[xx·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析由OA ，OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.9．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解 (1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．10．[xx·广西模拟]已知双曲线方程2x 2－y 2＝2. (1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解 (1)由2·22－12＝7>2可知点A 在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A (2,1)为中点的弦两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.由对称性知x 1≠x 2.∵P 1、P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4. 所求中点弦所在直线方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)由2·12－12＝1<2知B (1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)．可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消y ，得2x 2－4x ＋3＝0.∵Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．[B 级知能提升]1．[xx·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1答案 D解析根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b ax 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a＝tan60°＝ 3. 又a 2＋b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 3－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 答案 B解析由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b25a2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B.3．[xx·武汉模拟]过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的直线与双曲线相交于A ，B 两点，当AB ⊥x 轴，称|AB |为双曲线的通径．若过焦点F 的所有焦点弦AB 中，其长度的最小值为2b2a，则此双曲线的离心率的范围为( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析当经过焦点F 的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小，令x ＝c ，可得y ＝±bc 2a 2－1＝±b 2a ，即有最小值为2b 2a；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，即为实轴，最小为2a . 由题意可得2a ≥2b2a，即为a 2≥b 2＝c 2－a 2，即有c ≤2a ，则离心率e ＝c a∈(1，2]．4．[xx·承德模拟]已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2. 又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0.真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

2019-2020年新人教A版高考数学大一轮复习第八章解析几何第五节双曲线课件理

y＝±bax
y＝±abx
[拓展] 1．过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2 构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
2．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2ab2.
3．P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝
θ，则△F1PF2的面积为
b2 θ.
_|_y_|≥__a_，__x_∈__R_
焦点
F1(－_c_，__0_)_，__F_2_(_c_，0)
F1(0_，__－__c_)，__F__2_(0_，c)
几顶点
何对称性
性
A1(－__a_，__0_)_，__A_2_(_a，0) A1(0，___－__a_)，__A__2(_0_，a) 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
答案：(8，±3 3)
5．(知识点2)经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． ⇐ 源自选修2－1P62A组T6
答案：1x62－1y62 ＝1
考点一双曲线的定义及应用[基础练通]
1．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与
率e的关系
e＝ac＝ ac22＝ a2＋a2 b2＝ 1＋ba2.
1．(2018·广东肇庆二模)已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的
一个焦点坐标为(4，0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线
的方程为( A ) A.x82－y82＝1 C.y82－x82＝1
一点P满足|PF2|＝7，则△F1PF2的周长等于( C )
A．16
B．18
C．30

双曲线(讲)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版

年理数天津卷】已知双曲线的离心率为
到双曲线同一条渐近线的距离分别为，且
B. C. D.
【答案】C
（则可得：，不妨设：
双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则
，双曲线的离心率：，据此可得：
则双曲线的方程为
的左、右焦点分别为为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分，则的值为（
C. 52
D.
位于双曲线的左支，则：
：
若为直角三角形，则
B. 3
C.
D. 4
【答案】
年浙江卷】双曲线的焦点坐标是−，，0)，(2，−)，【答案】
O PF中，
1 ()22
+
2b a
是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则
B. 2
C.
D.。

2019年高考数学一轮复习第八章解析几何第51讲双曲线实战演练理

2019年高考数学一轮复习第八章解析几何第51讲双曲线实战演练理 1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( A )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 解析：∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋n ＜0，3m 2－n ＜0，－3m 2－n －m 2＋n ＝4，② 由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)，②无解，故选A ．2．(2016·天津卷)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点．四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( D ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝1 解析：不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝22， ①2x 0·2y 0＝2b ， ②y 0＝b 2x 0， ③由①③得x 20＝164＋b 2，④ 所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b 24＋b2，⑤由②④⑤可得b 2＝12. 所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D. 3．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A ． 2B ．32C ． 3D ．2 解析：由MF 1⊥x 轴上，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴|MF 1|＝b 2a ，由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a，又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝b 2a 2a ＋b 2a＝13⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ， ∴e ＝a 2＋b 2a 2＝ 2.故选A ． 4．(2016·浙江卷)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别是C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n ，且e 1e 2>1B ．m >n ，且e 1e 2<1C ．m <n ，且e 1e 2>1D ．m <n ，且e 1e 2<1 解析：在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m.在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.从而e 21·e 22＝m 2－1n 2＋1m 2·n 2＝m 2－12m 2·m 2－2，令t ＝m 2－1，则t ＞0，e 21·e 22＝t 2t 2－1＞1，即e 1e 2＞1.结合图形易知m ＞n ，故选A ．。

高考数学复习第8单元解析几何第51讲双曲线理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

教学参考
2.[2017·山东卷] 在平面直角坐标系
2 2
xOy 中,双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的右支
与焦点为 F 的抛物线 x =2py(p>0)交于
2
[答案]
y=± x
2
[解析] 设交点 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2
A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲
(3)当
2a>|F1F2| 时,P 点不存在.
13/54
课前双基巩固
2.标准方程
2 2
(1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0);
2 2
(2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0).

得 c=
2 3
3
a,则 e=
2 3
3
2 3
.综上可得 e=2 或 e=
3
.
22/54
课前双基巩固
2 2
8.P 是双曲线 - =1 上任意一点,F1,F2 分别是它
16 81
的左、右焦点,且|PF1|=9,则|PF2|=
.
[答案]
17
[解析] 由题设知
a=4,b=9,c= 2 + 2 = 97,由于
8/54
教学参考
6.[2013·全国卷Ⅰ] 已知双曲线
2 2
5
C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C

2
的渐近线方程为(
1
A.y=±4 x

2019版高考数学理高分计划一轮高分讲义：第8章平面解

8．6 双曲线[知识梳理] 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0：(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当a >c 时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b .(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． [诊断自测] 1．概念思辨(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与y 2b 2－x 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－1P 53T 3)已知椭圆x 28＋y 25＝1和双曲线x 2m －y 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±36y B ．y ＝±36x C ．x ＝±22y D ．y ＝±22x答案 D解析由椭圆x 28＋y 25＝1和双曲线x 2m －y 2＝1有公共的焦点，得m ＋1＝8－5.所以m ＝2，所以双曲线方程为x 22－y 2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .故选D.(2)(选修A1－1P 51例3)已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为________．答案5解析因为焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以ab＝12，即b ＝2a .由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋4a 2＝5a 2，即c2a 2＝5，所以e＝ca ＝ 5.3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m答案 A解析由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1，其中a 2＝3m ，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3，不妨设F 为双曲线的右焦点，故F (3m ＋3，0)．其中一条渐近线的方程为y ＝1m x ，即x －my ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋(－m )2＝3，故选A.(2)(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案 2解析由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c . 因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．题型1 双曲线的定义及应用典例1(2017·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12利用双曲线定义得到|PF |＋|P A |＝2a ＋|PB |＋|P A |，再利用|P A |＋|PB |≥|AB |求出最小值．答案 B解析由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．∴|PF |＋|P A |的最小值为9.故选B.典例2(2018·河北邯郸模拟)设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为________．根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解．答案 x 24－y 2＝1解析设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r ＞2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ |CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4＜25＝|C 1C 2|，即圆心C 的轨迹L 是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L 的方程为x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫422－y 2(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1，即x 24－y 2＝1. 方法技巧应用双曲线定义需注意的问题1.在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F 1F 2|，否则轨迹是线段或不存在．2.求双曲线方程时，注意用标准形式．冲关针对训练1．(2017·衡水模拟)已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于( )A.45 B.74 C.54 D.7答案 A解析由x 216－y 29＝1得a ＝4，b ＝3，c ＝5.结合双曲线定义及正弦定理得|sin A －sin B |sin P＝||P A |－|PB |||AB |＝2a 2c ＝45，故选A. 2．已知双曲线x 216－y 29＝1上有一点P ，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝π3，则△PF 1F 2的面积为________．答案 9 3解析由题意，得|F 1F 2|＝216＋9＝10.因为⎩⎨⎧||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3＝100，所以|PF 1|·|PF 2|＝36.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝9 3. 题型2 双曲线的标准方程及应用典例(2018·兰州检测)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1 本题采用方程法．答案 D解析不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎨⎧x 20＋y 20＝22，①2x 0·2y 0＝2b ，②y 0＝b2x 0，③由①③得x 20＝164＋b 2，④ 所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b 24＋b 2，⑤由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.[条件探究1] 若将典例中条件变为“以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．解因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43.又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.[条件探究2] 若将典例中变为“双曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点”，求双曲线的方程．解椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.方法技巧双曲线标准方程的求解方法1．定义法． 2．待定系数法．提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．冲关针对训练1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1答案 A解析由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.故选A.2．(2018·福建漳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，且P 与点F 1关于直线y ＝－bx a 对称，则双曲线的方程为________________．答案 x 2－y 24＝1解析设点A (1,0)，因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝|AF 1|－|AF 2|，所以2a ＝(c ＋1)－(c －1)，则a ＝1.因为点P 与点F 1关于直线y ＝－bx a 对称，所以∠F 1PF 2＝π2，且|PF 1||PF 2|＝ba ＝b ，结合|PF 1|－|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝4＋4b 2，可得b ＝2.所以双曲线的方程为x 2－y24＝1.题型3 双曲线的几何性质角度1 与双曲线有关的范围问题(多维探究)典例(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 根据已知MF 1→·MF 2→<0，列出y 0的不等式求解．答案 A解析不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33，故选A.[条件探究] 将本例中条件“MF 1→·MF 2→<0”改为“MF 1→·MF 2→＝0”，求△MF 1F 2的面积．解由MF 1→·MF 2→＝0得MF 1⊥MF 2，知△MF 1F 2为直角三角形．设M 为双曲线右支上一点，则|MF 1|－|MF 2|＝22，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2|＝12，得|MF 1|·|MF 2|＝2，所以S △MF 1F 2＝12·|MF 1|·|MF 2|＝1. 角度2 与双曲线渐近线有关的问题典例(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．涉及曲线交点时，考虑用设而不求的方法．答案 y ＝±22x解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2. 又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 角度3 与双曲线离心率有关的问题典例(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2将等式sin ∠MF 2F 1＝13转化为关于a ，b ，c 的等式．答案 A解析由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A.方法技巧与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略1．双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.2．求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3．求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0.冲关针对训练1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案 D解析设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，不妨设点M 在第一象限内，则易得M (2a ，3a )，又M 点在双曲线E 上，于是(2a )2a 2－(3a )2b 2＝1，可得b 2＝a 2，∴e ＝1＋b 2a 2＝ 2.故选D.2．(2018·成都统考)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝22.故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0.故选A.题型4 直线与双曲线的综合问题典例1以P (1,8)为中点作双曲线为y 2－4x 2＝4的一条弦AB ，求直线AB 的方程．本题采用“点差法”．解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21－4x 21＝4，y 22－4x 22＝4，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)，∵弦AB 的中点是P (1,8)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝16. ∴16(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)， ∴直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝12，∴直线AB 的方程为y －8＝12(x －1)，即直线AB 的方程为x －2y ＋15＝0.典例2 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB→>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围． (2)直线与双曲线联立，用设而不求的方法，列出不等式，然后求解．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，于是a 2＋b 2＝22，b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得 (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2.由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B>2. x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，又∵k 2<1， ∴13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.方法技巧直线y ＝kx ＋m 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的位置关系的分析：1．代数法⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 2b 2＝1，消去y ，得(b 2－a 2k 2)x 2－2kma 2x －a 2(m 2＋b 2)＝0.(1)二次项系数为0时，直线L ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝±b a 与双曲线的渐近线平行或重合．重合：无交点；平行：有一个交点．(2)二次项系数不为0时，上式为一元二次方程， Δ>0⇔直线与双曲线相交(两个交点)； Δ＝0⇔直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线相离．2．几何法：运用数形结合思想考查直线与渐近线的位置关系，转化为其斜率的大小关系．冲关针对训练若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解(1)由⎩⎨⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2. 故k 的取值范围是{k |1＜k ＜2}． (2)由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，∴k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC→＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14.1.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案 A解析由题意可知：c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距，∴2c ＝2×2|m |＝4，∴|m |＝1，∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，∴－m 2<n <3m 2，∴－1<n <3.故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1答案 B解析解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.解法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，∴b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案233解析如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝ab a 2＋b2. 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b 2＝32b ，∴a 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233.4．(2018·兰州诊断)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋e b 的最小值为________．答案263解析由题意，可得k ＝b a ＝tan π3＝ 3.∴b ＝3a ，则a 2＝b23，∴e ＝1＋b 2a 2＝2.∴a 2＋e b ＝b 23＋2b ＝b 3＋2b ≥2b 3×2b ＝263.当且仅当b 2＝6，a 2＝2时取“＝”．[重点保分两级优选练]一、选择题1．(2018·唐山统考)“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．2答案 B解析由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∵F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1答案 D解析设双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b2＝1.②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D.4．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎨⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22，故这样的直线有3条．故选C.5．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案 A解析在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m .在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.由n >0，m >1可得m >n ，且m 2－2>0.从而e 21·e 22＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2·n 2＝(m 2－1)2m 2·(m 2－2)，则e 21e 22－1＝(m 2－1)2m 2(m 2－2)－1＝1m 2(m 2－2)>0，即e 1e 2>1.故选A.6．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4答案 B解析由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(2018·湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线与直线x ＝a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB ＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，－ab c ， ∵60°＜∠AFB ＜90°，∴33＜k FB ＜1，∴33＜abc c －a 2c ＜1，∴33＜a b ＜1，∴13＜a 2c 2－a2＜1，∴1＜e 2－1＜3，∴2＜e ＜2.故选B. 8．(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92 D ．9答案 C解析由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④ 将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92，当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号．故选C. 9．(2017·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ D ．(0，＋∞)答案 A解析设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1，由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2，即有a 1＝5＋c ，a 2＝5－c (c <5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c >10，可得c >52，即有52<c <5.由离心率公式可得e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c 225－c 2＝125c 2－1，由于1<25c 2<4，则有125c 2－1>13.则e 1·e 2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.故选A.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ， ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D. 二、填空题11．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．答案 10解析依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP→)，则双曲线的离心率为________．答案102解析圆x 2＋y 2＝a 24的半径为a 2，由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP的中点，设F ′(c,0)，由于O 是FF ′的中点，所以OE ⊥PF ，|OE |＝12|PF ′|⇒|PF ′|＝2|OE |＝a .由双曲线定义，|FP |＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2⇒9a 2＋a 2＝4c 2⇒e ＝102.13．(2018·安徽江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．答案 2解析由题意取F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.14．(2018·贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________．答案3解析设椭圆的半长轴为a 1，椭圆的离心率为e 1，则e 1＝c a 1，a 1＝ce 1.设双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ， e ＝c a ，a ＝ce .|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y (x >y >0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ，当点P 看作是椭圆上的点时，有4c 2＝(x ＋y )2－3xy ＝4a 21－3xy ，① 当点P 看作是双曲线上的点时，有4c 2＝(x －y )2＋xy ＝4a 2＋xy ，②①②联立消去xy ，得4c 2＝a 21＋3a 2，即4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋3e 2＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3，即双曲线的离心率为 3. 三、解答题15．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)． (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km1－k ，x 1x 2＝m 2＋2k －1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0. 所以OA →·OB→>2. 综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 16．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|) ＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62，又因为－2<k <2，且k≠±1，所以当k＝0或k＝±62时，△AOB的面积为 2.。

2019年高考数学一轮复习热点难点精讲精析 8.5双曲线

2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.5双曲线三、双曲线（一）双曲线的定义与标准方程 ※相关链接※1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。

2．求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程；（2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； ②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。

注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：221(0)mx ny mn +=<。

※例题解析※〖例〗已知动圆M 与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。

解答：设动圆M 的半径为r则由已知1212|||||||MC r MC r MC MC =+=∴-=。

又1C （-4，0），2C （4，0），∴|1C 2C |=8，∴1C 2C |。

根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以1C （-4，0）、2C （4，0）为焦点的双曲线的右支。

222222,4,141(214a c b c a x y M x ==∴=-=∴-=≥点的轨迹方程是（二）双曲线的几何性质 ※相关链接※1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。

2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。

同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线（2）求已知渐近线的双曲线的方程；（3）渐近线的斜率与离心率的关系。