用转代法求点的轨迹

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人教版数学高二数学选修2-1 2.2三种方法巧解一类椭圆轨迹变式问题

三种方法巧解一类椭圆轨迹变式问题椭圆的轨迹问题是圆锥曲线中一块重要内容，求解的方法较多，但常见的有三类轨迹问题，一般可用定义法、转移法、交轨法进行破解，下面就如何用这三种方法巧解三类相似的椭圆的轨迹问题进行举例分析：一、定义法破椭圆轨迹所谓定义法，就是根据椭圆的定义设出椭圆的方程，若是标准型的椭圆则求出涉及到椭圆方程的二个参数,a b ；对于非标准型的椭圆则需要利用第一定义求解.例1、一个椭圆的焦点是()0,0和(4,0)F ，长半轴为3，求这个椭圆方程.分析：在所给的条件为非标准情况时，如适合椭圆定义，也可用椭圆的定义求它的方程.解：设(,)M x y 为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义有6MO MF +=6=，移项，平方，整理可得：225920250x y x +--=，即22(2)195x y -+=为所求椭圆方程. 点评：此题中的椭圆为非标准型的，解题时主要是利用了第一定义求方程，但当已知椭圆是标准型时，求椭圆方程一般为以下三步：1、依题意设出方程22221x y a b +=或22221x y b a+=，或利用椭圆的定义；2、根据已知条件，建立关于,a b 的方程；3、解方程求出,a b ，然后代入所设方程.二、转移法破椭圆轨迹所谓转移法，就是指转移代入法，主要是利用动点M 和曲线上的点P 的关系（有相关性），通过求出点M 与点P 的坐标关系，用点M 的坐标表示点P 坐标，然后代入点P 坐标所满足方程的方法.例2、已知圆229x y +=，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，点M 在PP '上，并且2PM MP '=，求点M 的轨迹.分析：此题是一个已知P 点的轨迹求未知点M 的轨迹问题，需要通过建立已知点的坐标和未知点的坐标关系求解，即转移代入法.解：设(,)M x y ，P 的坐标为()00,x y ，则由题意如图，003x x y y=⎧⎨=⎩，因为点P 在圆229x y +=上，即满足22009x y +=，将003x x y y=⎧⎨=⎩代入得2299x y +=，即2219x y +=，所以点M 的轨迹是一个圆. 点评：此题是一个转移代入法求椭圆轨迹问题，解题的步骤是：1、先写出P 点与M 点的关系，2、用点M 的坐标表示点P 的坐标，3、代入点P 的坐标所满足的方程。

最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-2024年中考数学常见几何模型及参考答案

最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3)确定动点轨迹的方法(重点)②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已知轨迹的线段求最值。

人教A版高中数学高二选修1-1教案椭圆及其标准方程

2．1椭圆2．1.1 椭圆及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．2．过程与方法(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神；(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美、几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．●重点、难点重点：椭圆定义及其标准方程．难点：椭圆标准方程的推导过程．椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石．这给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实例使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合．引导学生学习方式发生转变，采用“激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究”的学习方式，形成师生互动的教学氛围．学法方面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示因椭圆位置的不确定性所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．●教学流程创设问题情境，引出问题：按问题要求画出什么样的图形？⇒引导学生共同画图，观察、分析画出的图形的特点与满足的要求，引出椭圆定义.⇒通过观察椭圆的形状，结合定义，引导学生求出椭圆的标准方程，理解参数a，b，c的意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解椭圆的定义，学会使用定义解决问题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握用待定系数法求椭圆方程.⇒(对应学生用书第19页)课标解读1.掌握椭圆的定义会用待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)2．了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用．(难点)椭圆的定义1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？【提示】椭圆．2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．椭圆的标准方程【问题导思】观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？【提示】以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2(对应学生用书第20页)椭圆定义的理解及简单应用(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；(2)椭圆x 216＋y 225＝1的两焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为________．【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF 1的周长？【自主解答】 (1)由于动点到F 1、F 2的距离之和恰巧等于F 1F 2的长度，故此动点的轨迹是线段F 1F 2.(2)由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 1|＝2a ， ∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝20， ∴△ABF 1的周长为20.【答案】 (1)线段F 1F 2 (2)201．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，a ＞0，c ＞0，且a 、c 为常数．当a ＞c 时，集合P 为椭圆上点的集合；当a ＝c 时，集合P 为线段上点的集合；当a ＜c 时，集合P 为空集．因此，只有|F 1F 2|＜2a 时，动点M 的轨迹才是椭圆．2．注意定义的双向运用，即若|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a ＞|F 1F 2|)，则点P 的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a .椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32【解析】如图，F 2为椭圆右焦点，连MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， ∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4. 【答案】 B求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．【思路探究】 (1)焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∴2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)法一当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. ∴所求椭圆的方程为：x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.与a ＞b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，综上可知，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a 2、b 2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )和焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．【解】设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1 (m ＞0，n ＞0，m ≠n )，将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.求与椭圆有关的轨迹方程已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，垂足为P ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP →，求点M 的轨迹．【思路探究】设动点M (x ，y )，P (x 0，y 0)→找M ，P 的关系→用点M 坐标表示点P 坐标→代入圆方程→得点M 轨迹【自主解答】设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，∴x 20＋y 20＝9.将x 0＝x ，y 0＝3y 代入得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1. ∴点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2＝1.1．转代法(即相关点法)求轨迹方程：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代法”．2．用转代法求轨迹方程大致步骤是：(1)设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；(2)找出P 、Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1(x ，y )，y ′＝φ2(x ，y )；(3)将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0，即得所求轨迹方程．设A 、B 是椭圆x 225＋y 216＝1与x 轴的左、右两个交点，P 是椭圆上一个动点，试求AP中点M 的轨迹方程．【解】设P (x 0，y 0)，AP 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－52，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋5，y 0＝2y ，代入椭圆方程x 225＋y 216＝1，得(2x ＋5)225＋y 24＝1，所以AP 中点M 的轨迹方程是(2x ＋5)225＋y 24＝1.已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．【思路探究】 (1)解答本题时如何建系更简单？(2)由△ABC 的周长为18能否得到A 到B 、C 的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？【自主解答】以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．1．本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A 的轨迹方程，解答时不要漏掉y ≠0这一条件． 2．用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P 点，则动点P 的轨迹方程为________．【解析】如图，依题意知|PA |＝|PB |，所以|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2，所以点P 的轨迹为以A (－12，0)，F (12，0)为焦点的椭圆，其方程可设为x 2＋y 2b 2＝1，又因为c ＝12，a＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝34，从而所求的动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.【答案】 x 2＋43y 2＝1(对应学生用书第21页)忽略椭圆标准方程中a ＞b ＞0的条件致误方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围．【错解】方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 2＜(m －1)2，解得m ＜12，所以实数m 的取值范围是(－∞，12)．【错因分析】错解只注意了焦点在y 轴上，而没有考虑m 2＞0且(m －1)2＞0，这是经常出现的一种错误，解题时要注意．【防范措施】椭圆的焦点在x 轴上时，其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点在y 轴上时，其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，应用时一定要注意条件a ＞b ＞0，否则极易将焦点位置弄错．【正解】方程x 2m 2＋y2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞0，(m －1)2＞0，(m －1)2＞m 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m ≠1，m ＜12.故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(0，12)．1．熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所运用的数学思想方法，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，没有形成结论就不应该停手．2．在运用椭圆的定义解题时，一定要注意隐含条件a＞c.3．注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系．4．求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法．(对应学生用书第22页)1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．10B．8C．5D．4【解析】由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10.【答案】 A2．椭圆x216＋y225＝1的焦点坐标是()A．(±4,0) B．(0，±4)C．(±3,0) D．(0，±3)【解析】∵a2＝25，b2＝16且焦点在y轴上，∴c＝3，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)．【答案】 D3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1 B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝1 D.y 220＋x 212＝1 【解析】由题意c ＝8，a ＝10且焦点在y 轴上，∴b 2＝a 2－c 2＝100－64＝36，∴方程为y 2100＋x 236＝1. 【答案】 C4．已知一椭圆标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程．【解】 ∵b 2＝9，c 2＝16，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∵此椭圆的焦点不确定，∴标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.。

井眼轨迹计算方法

井眼轨迹计算方法
一、几何方法
几何方法是较为直观和简单的一种计算井眼轨迹的方法。

1.勘探法：根据钻孔信息和地质数据，绘制井眼轨迹图。

可以通过确定钻井工程中各个断面的形状和井眼位置，进而绘制出整个井眼轨迹。

2.旋转法：将井眼轨迹分解成一系列横截面，然后将各个横截面绕轴线旋转，形成井眼轨迹。

3.连杆分解法：将井眼轨迹看作一系列直线段和曲线段的组合，可以将井眼分解成若干个连杆（直线段）和曲柄（曲线段）的组合，然后根据连杆和曲柄的长度和方向，计算出井眼轨迹。

二、数学方法
数学方法是较为精确和复杂的一种计算井眼轨迹的方法。

1.转角法：根据每个测斜点的倾角和方位角，计算井眼轨迹的转角。

通过积分计算，可以得到井眼轨迹的长度和方向。

2.空间曲线法：将井眼轨迹看作一条空间曲线，通过数学模型计算出井眼轨迹在三维空间中的坐标。

3.轨迹方程法：通过建立井眼轨迹的参数方程或差分方程，计算出井眼轨迹在每个点的坐标。

4.迭代法：通过不断迭代，逐步优化井眼轨迹的计算结果。

常用的迭代方法包括牛顿法、高斯赛德尔迭代法等。

在实际应用中，通常会结合几何方法和数学方法，综合考虑测量数据的精度、计算复杂度等因素，选择适合的计算方法来计算井眼轨迹。

总结起来，井眼轨迹计算方法主要包括几何方法和数学方法。

几何方法较为直观和简单，适用于初步计算和绘制井眼轨迹图；数学方法较为精确和复杂，适用于精确计算井眼轨迹的长度和方向。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的计算方法来计算井眼轨迹。

立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC∴AC ⊥平面EFG ，∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为233的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合” 那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．1AC C 1AEC C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)DDA ．B ．C ．D ． A【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”，则动点P 的轨迹所在的曲线是椭圆 (双曲线)． (2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为抛物线．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6．【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴AD P A =CB PB ∴PB =2P A在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )BABCDA3P A BC D立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1⊥面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分简析由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（A ）． A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体ABCD A B C D -1111中，过P 作PF ⊥AD ，过F 作FE ⊥A 1D 1，垂足分别为F 、E ，连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________．简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1⊥面ACB 1，所以满足BD 1⊥AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．答案线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆） 9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（D ）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D简析动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内．只能选D ． 10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．简析以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π． 12．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是．提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ． 14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（）简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ．又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠，可得CPB tan PB CB PA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCBPA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=，即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+- 故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线．21．如图，动点P在正方体1111ABCD A B C D-的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N，．设BP x=，MN y=，则函数()y f x=的图象大致是（）分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数．22．已知异面直线a，b成︒60角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面α上，直线'a、'b为平面α内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，'a'AA⊥于'A，'b'BB⊥于'B，则P'B'AAB=⋂，且P也为'B'A的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP,1'AA==得32'B'A=．则问题转化为求长等于32的线段'B'A的两个端点'A、'B分别在'a、'b上移动时其中点P的轨迹．现以'OB'A∠的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．A BCDMNPA1 B1C1D1yxOyxOyxOyxO图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==，则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分 5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（） A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是（） A A AP PP PB C B C B C B CA B C DA B C D 7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（） A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分 10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（）14．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是．19．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O。

立体几何中轨迹问题的处理技巧与方法

ʏ陈婷立体几何中的轨迹问题,是立体几何与解析几何的知识交汇点㊂这类问题,立意新颖,重视不同知识的交叉与渗透,重视对数学知识与数学能力的考查与应用,是培养同学们数学核心素养的好素材㊂一㊁直接法直接法就是直接利用立体几何的相关知识,合理分析和研究问题中各个元素之间的关系,或者直接利用轨迹定义进行求解的方法㊂例1 如图1,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面B C C 1B 1上的一个动点,若点P 到直线B C 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹是下列哪种线的一部分( )㊂图1A.直线 B .圆C .双曲线 D .抛物线分析:根据题设条件,利用空间点线面的位置关系,直接得到动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等,再结合解析几何中抛物线的定义,可得对应的答案㊂解:根据正方体的性质,可知C 1D 1ʅ平面B C C 1B 1,所以动点P 到直线C 1D 1的距离与到点C 1的距离相等㊂又动点P 到直线B C 与到直线C 1D 1的距离相等,所以动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等㊂根据抛物线的定义,可得动点P 的轨迹是一条抛物线的一部分㊂应选D ㊂二㊁转化法转化法就是将立体几何问题转化为平面几何问题,进行合理降维处理,进而应用平面几何㊁解析几何等相关知识来分析与求解的方法㊂例2 (2022年高考北京卷)已知正三棱锥P -A B C 的六条棱长均为6,S 是әA B C 及其内部的点构成的集合㊂设集合T ={Q ɪS |P Q ɤ5},则T 表示的区域的面积为( )㊂A .3π4B .πC .2πD .3π分析:根据题设条件,结合正三棱锥的性质,合理构建点P 在底面әA B C 内的射影点O ,结合集合的创新设置进行合理转化,将空间中的距离问题转化为平面上的距离问题加以分析与求解㊂解:设点P 在底面әA B C 内的射影为点O ㊂依题意知әA B C 是边长为6的正三角形,所以A O =B O =C O =23㊂因为P A =P B =P C =6,所以P O =62-(23)2=26㊂若P Q =5,则O Q =P Q 2-P O 2=1,可知动点Q 的轨迹是在底面әA B C 内,以O 为圆心,半径为r =1的圆及其内部,其对应的面积为πr 2=π㊂应选B ㊂三㊁解析法解析法就是利用解析几何在研究轨迹方面的一整套比较完整的理论体系,通过坐标法进行代数运算与逻辑推理的一种求轨迹的方法㊂解析法是解决立体几何图形的二维轨迹问题的常用方法之一㊂例3 (多选题)如图2所示,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,E 是C C 1的中点,点P 在底面A B C D 内运动,若P D 1,P E 与底面A B C D 所成的角相等,则动点P 的轨迹是( )㊂71知识结构与拓展高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图2A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.经过线段B C靠近B的三等分点D.经过线段C D靠近C的三等分点分析:根据题意得D P=2P C,以点D为坐标原点,建立平面直角坐标系,通过坐标法进行讨论求解㊂解:由正方体的性质得D D1ʅ平面A B C D,E Cʅ平面A B C D,所以øD P D1,øC P E分别为P D1,P E与底面A B C D所成的角,所以øD P D1=øC P E㊂因为t a nøD P D1=D D1D P,t a nøC P E= C EP C,又D D1=2C E,所以D P=2P C㊂在平面A B C D中,以D为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图3所示㊂图3设正方体的边长为a,点P(x,y),xȡ0,yȡ0,则点D(0,0),C(a,0),所以D P2= x2+y2,P C2=(x-a)2+y2,所以x2+y2= 4(x-a)2+4y2,整理得3x2+3y2-8a x+ 4a2=0,显然3x2+3y2-8a x+4a2=0表示圆的方程,所以动点P的轨迹是圆的一部分,A正确,B错误㊂线段B C靠近B的三等分点的坐标为a,23a,线段C D靠近C的三等分点的坐标为23a,0,分别代入方程3x2+3y2-8a x+4a2=0,可得3a2+3ˑ23a2-8a2+4a2=13a2ʂ0,3ˑ23a2+ 3ˑ02-8aˑ23a+4a2=0,所以23a,0在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,a,23a不在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,C错误,D 正确㊂应选A D㊂四㊁性质法性质法就是利用轨迹的相关知识来解决立体几何中轨迹问题的一种基本方法㊂有些空间图形的轨迹不一定是二维的,转化为平面问题比较困难,这时可借助性质法来处理㊂例4已知棱长为3的正方体A B C D-A1B1C1D1中,长为2的线段M N的一个端点M在D D1上运动,另一个端点N在底面A B-C D上运动,则线段M N的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为㊂分析:不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂从而点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,由此可求出体积㊂解:如图4所示,端点N在正方形A B C D内运动㊂图4因为әMD N为直角三角形,P为斜边MN的中点,所以不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂利用立体几何的性质,可知动点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,所以所求体积V= 18ˑ43ˑπˑ13=π6㊂作者单位:江苏省海安高级中学(责任编辑郭正华)8 1知识结构与拓展高一数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

利用相关点转移法求轨迹

利用相关点转移法求轨迹作者：杨苍洲来源：《新高考·高三数学》2012年第06期一、重现问题图1例1 （2011年陕西卷）如图1，设P是圆x 2+y 2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=45|PD|.（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的长度.●解●析（1）设点M的坐标是（x,y），P的坐标是（x P,y P），因为点D是点P在x 轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|= 45 |PD| ，所以x P=x，y P=54y，因为点P在圆x 2+y 2=25上，所以x 2+54y 2=25，整理得x 225+y 216=1，即C的方程是x 225+y 216=1.（2） 415（过程从略）.二、寻根课本图2例2例2 （（人教 A 版）选修21第2.2节“椭圆”例2）如图2，在圆x 2+y 2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D是垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？●点●评本题的“分析”过程告诉我们：点P在圆上运动，点P的运动引起了点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点，得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程，得到点M的坐标所满足的方程.PB 1∥平面A 1BD，则动点P的轨迹的长度是 .2 设P为四棱锥SABCD的面SBC内的一个动点，若点P到平面ABC的距离与到点S 的距离相等，则动点P的轨迹是面SBC内的（）A 线段或圆的一部分B 椭圆或双曲线的一部分C 双曲线或抛物线的一部分D 抛物线或椭圆的一部分我们把这种方法称为“相关点转移法”，“点M与点P”即为“相关点”，“由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程”即为“转移法”.这是一种常考常新的求轨迹方法，在高考中，此类方法屡屡受到命题者的青睐.三、变式探究变式1 与线性规划的交汇例1 （2007年江苏卷）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={（x,y）|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，则平面区域B={（x+y,x-y）|（x,y）∈A}的面积为（）A 2B 1C 12D 14●分●析目标是求平面区域B的面积，所以必须知道集合B中的点所满足的条件.集合B中的点的横坐标可表示为x+y，纵坐标可表示为x-y，其中（x,y）∈A，所以必须通过x,y的范围来求解（x+y,x-y）的范围，因此采用相关点转移法进行求解.●解●析令x′=x+y， y′=x-y，则x=x′+y′2， y=x′-y′2，则B=（x′,y′）x′+y′2,x′-y′2∈A=（x′,y′）x′+y′2+x′-y′2≤1， x′+y′2≥0，x′-y′2≥0图3=（x′,y′）x′≤1， x′+y′≥0， x′-y′≥0，B表示的平面区域如图3所示，所以平面区域B 的面积为1.选 B .变式2 与矩阵的交汇例2 （2011年福建卷）已知矩阵M=a0 0b（其中a>0,b>0）.（1）若a=2,b=3，求矩阵M的逆矩阵M -1 ；（2）若曲线C:x 2+y 2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′:x 24+y 2=1，求a,b的值.●分●析（1）根据逆矩阵的公式即可求解；（2）曲线C在矩阵M的作用下得到曲线C′，因此可以建立曲线C上的点Px,y与曲线C′上的点 P′（x′,y′）的关系，然后代入C（或C′）的方程，得到C′（或C）的方程，最后比较系数得矩阵M.●解●析（1） 120 013（过程从略）；（2）设曲线C上任意一点Px,y，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′（x′,y′），则有a0 0bx y=x′ y′，即为ax=x′， ay=y′，又点P′（x′,y′）在曲线C′上，所以x′ 24+y′ 2=1，则有a 2x 24+b 2y 2=1为曲线C的方程.又已知曲线C的方程为x 2+y 2=1，故a 2=4， b 2=1，又a>0,b>0，所以a=2， b=1.变式3 与立体几何的交汇图4例3 （2011年湖北卷）如图4，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′轴与y轴重合）所在平面为β，且∠xOx′=45 ° .（1）已知平面β内有一点P′（22,2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为；（2）已知平面β内的曲线C′的方程是x′-2 2+2y′ 2-2=0，则曲线C′在平面α内的射影C 的方程是 .●分●析（1）作出点P′在平面α内的射影P，过点P′,P作出二面角，并找到二者的坐标关系；（2）可参考（1）的做法，在二面角中建立曲线C上任一点Px,y与曲线C′上任一点P′x′,y′的关系，并通过代入求出曲线C的方程.●解●析（1）（2,2）（过程从略）；图5（2）如图5，设 M（x′ ,y′）是曲线C′上的任意一点，过点M作MN⊥α，垂足为N，点N即点M在平面α内的射影.过点N作NH⊥y轴，垂足为H，连结MH，则MH⊥y轴，所以∠MHN是二面角 αy 轴β的平面角.又知HM∥x′轴（或M 依题意，∠MHN=45 ° .在 Rt △MNH中,HN=HM cos 45 ° .与O重合），HN∥x轴（或N与O重合），设 N（x,y），则x=22x′， y=y′，即x′=2x， y′=y.又点M（x′,y′）在曲线 x′-2 2+2y′ 2-2=0上，所以点N（x，y）在曲线 x-1 2+y 2=1上，所以曲线C′在平面α内的射影C的方程是（x-1） 2+y 2=1.上述几个变式题目都是以相关点转移法为考查点的试题，题目涉及了不等式、线性规划、矩阵与变换、立体几何、圆锥曲线等知识，强调了知识的交叉、渗透和综合，体现了综合性.同时，这也是来源于课本例题的一种思想方法，是课本知识的延伸与拓展，真正做到了“源于课本，高于课本”.1 已知点A（-2,0），设P是圆（x-2） 2+y 2=4上的动点，当P在圆上运动时，线段AP的中点M的轨迹方程为 .2 定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系；在平面斜坐标系xOy中，若 OP =xe 1+ye 2（其中e 1,e 2分别是斜坐标系x轴、y轴正方向上的单位向量，x,y∈R，O为坐标原点），则有序实数对（x,y）称为点P的斜坐标.在平面斜坐标系xOy中，若∠xOy= 120 ° ，点M的斜坐标为（1,2），则以点M为圆心，1为半径的圆在平面斜坐标系xOy中的方程是（）A x 2+y 2-xy-3y+2=0-2x-4y+4=0B x 2+y 2-xy+3y-2=0C x 2+y 2D x 2+y 2-2x+4y-4=0图61 x 2+y 2=1.2 如图6，设点P是以点M为圆心，1为半径的圆上的任一点，点P在斜坐标系xOy中的坐标为（x,y），在直角坐标系xOy′中的坐标为（x′,y′），所以AP=OD-CD=OD-PD cos ∠PDC，CP=PD sin ∠PDC.又∠PDC=60 ° ，所以x′=x-12y，y′=32y.因为点M在直角坐标系中的坐标为（0，3），则以M为圆心，1为半径的圆在直角坐标系中的方程为x 2+（y-3） 2=1.因为点P在该圆上，所以x′ 2+（y′-3） 2=1,所以x-12y 2+32y-3 2=1,整理得x 2+y 2-xy-3y+2=0.故选 A.3 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M在AB上，且AM=13，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A 1D 1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（）图8A 圆B 抛物线C 双曲线D 直线3 作PQ⊥AD于Q，作QR⊥D 1A 1于R，PR即为点P到直线A 1D 1的距离，由勾股定理得 PR 2-PQ 2=RQ 2=1，又已知PR 2-PM 2=1，故PM=PQ，即P到定点M的距离等于P到定直线AD的距离.。

轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =u u u r u u u r·，则点P 的轨迹是（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r·，求直线AP与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，，则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =u u u r，则22(222)(2)4x y -++=．即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠；（2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =．将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴，又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

部编版数学六年级上册第6讲旋转与轨迹

3
例6
一个长方形的长为 16 厘米，宽为 12 厘米．以它的一条对角线为轴旋转此长方形，得到一个旋转体．求这个旋转体的体积．（结果中保留 π，即不用近似值代替 π．）
第１１级下超常体系教师版９
A
B
M
EO
F
N
D
C
（学案对应：超常 2，带号 2）
【分析】如图先找到长方形的对称中心 O ,可以想象对角线左边三角形旋转是两个圆锥对起来，右边的也是，但是半径大的圆锥把半径小的圆锥给覆盖了，由于OE OF ,左边的三角形，OE 的下半部分被右边的覆盖，因此上边部分就是四边形 ABEO 旋转而成的立体图形，下边的是
A'
A
B
D
C
B'
用与前面同样的方法可以求出面积为： 52π42π9 π 4 44
旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，
所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问
例1
草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取 3.14 )
30
30
A
10
10
C
B 20
【分析】如图所示，羊活动的范围可以分为 A ， B ， C 三部分，其中 A 是半径 30 米的 3 个圆， B ， 4
第１１级下超常体系教师版７
A'
A
B

(完整版)与圆有关的轨迹方程

求与圆有关的轨迹方程[概念与规律]求轨迹方程的基本方法.（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法,在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。

（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是:设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0）,求出用x，y表示x0,y0的关系式，将(x0，y0）代入已知曲线方程,化简后得动点的轨迹方程。

（3）几何法:这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。

(4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x,y)中x，y之间的关系,后消去参数，求得轨迹方程。

（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程.［讲解设计］重点和难点例1 已知定点A（4， 0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2:1，求点P的轨迹方程。

例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程.方法一:（直接法)设P（x，y),连接OP，则OP⊥BC，当x≠0时,k OP·k AP＝－1，即即x2＋y2－4x＝0。

①当x＝0时,P点坐标(0,0)是方程①的解,∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0（在已知圆内的部分）．方法二：（定义法）由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2，0）,|PM|＝|OA|＝2,由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4（在已知圆内的部分)．例3 已知直角坐标平面上的点Q(2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P=｛M｜|MN|=｜MQ|}∵圆的半径｜ON|=1，∴｜MN|2=｜MO|2-|ON｜2=｜MO｜2-1，设点M的坐标为（x，y)，则整理得（x-4）2+y2=7．∴动点M的轨迹方程是（x—4)2+y2=7．它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0）,半径为例4 如图，已知两条直线l1：2x—3y+2=0,l2:3x—2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l1，l2都相交，并且l1与l2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。

matlab长方形绕中点旋转与坐标轴交点的轨迹

在MATLAB中，我们经常会遇到处理图形的问题，其中一个常见的问题就是对图形进行旋转操作。

在本文中，我们将讨论如何使用MATLAB来实现对长方形绕其中点进行旋转，并分析旋转后长方形边界上与坐标轴交点的轨迹。

1. 长方形绕中点旋转的数学原理让我们来看一下长方形绕其中点进行旋转的数学原理。

假设长方形的中心坐标为(x0, y0)，长方形的宽度为w，高度为h，旋转角度为θ。

那么，长方形旋转后的新坐标可以通过以下公式计算得到：x' = (x - x0) * cos(θ) - (y - y0) * sin(θ) + x0y' = (x - x0) * sin(θ) + (y - y0) * cos(θ) + y0其中(x, y)是长方形上任意一点的原始坐标，(x', y')是该点旋转后的新坐标。

利用这个公式，我们可以在MATLAB中实现长方形的旋转操作。

2. MATLAB实现长方形绕中点旋转在MATLAB中，我们可以利用旋转矩阵来实现对长方形的旋转操作。

以下是使用MATLAB代码实现长方形绕其中点进行旋转的示例：```matlab定义长方形的中心坐标和尺寸x0 = 0;y0 = 0;w = 4;h = 2;设置旋转的角度范围theta = linspace(0, 2*pi, 100);计算旋转后的长方形边界点坐标for i = 1:length(theta)x = [w/2, w/2, -w/2, -w/2, w/2];y = [h/2, -h/2, -h/2, h/2, h/2];使用旋转矩阵进行旋转R = [cos(theta(i)), -sin(theta(i)); sin(theta(i)), cos(theta(i))]; P = [x; y];P_new = R * P;绘制旋转后的长方形plot(P_new(1, :)+x0, P_new(2, :)+y0, 'b');hold on;end添加坐标轴plot([-10, 10], [0, 0], 'k--');plot([0, 0], [-10, 10], 'k--');axis equal;xlabel('x');ylabel('y');```在上述代码中，我们首先定义了长方形的中心坐标和尺寸，然后设定了旋转的角度范围。

偏心运动产生的运动轨迹

偏心运动产生的运动轨迹偏心运动是指物体在绕轴旋转时，旋转中心与物体质心不重合，从而导致物体运动轨迹产生改变的现象。

这种现象在日常生活中比较常见，如摆钟摆动、离心力的作用等均为典型的偏心运动。

在偏心运动中，物体的旋转中心与质心不重合，因此，物体将会产生一定的运动轨迹。

具体的轨迹形状取决于物体的形状、质量分布、偏心距离以及外力的作用等因素。

首先，我们来讨论一下偏心转动的基本原理。

当物体绕轴旋转时，偏心距离决定了旋转中心和质心的相对位置。

若偏心距离较大，那么旋转中心与质心之间的差距也相对较大，这就产生了较为明显的偏心效应。

而偏心距离越小，偏心效应也越小。

在进行偏心旋转时，旋转中心会沿着一个固定的轨迹运动，这个轨迹被称为运动中心。

运动中心的轨迹形状一般情况下是一个椭圆，但也有可能是其他的形状，如椭圆近似于圆、抛物线等。

具体的轨迹形状取决于旋转物体的参数和外力的作用。

假设我们以一个简单的圆环为例进行讨论。

假设圆环的质心与旋转中心的连线方向为x轴方向，圆环的半径为R，偏心距离为a，圆环在时刻t=0时从静止开始绕z轴旋转。

在这个例子中，我们忽略了外力的作用，即假设旋转是一个孤立的过程。

考虑圆环的运动中心，运动中心在x轴上的位置可以表示为：x = a * cos(ωt)其中，ω为圆环的角速度，t为时间。

接着，我们来看看圆环的质点速度。

圆环的质点速度由两个分量组成，分别是偏心速度和转动速度。

偏心速度由质心的偏心距离决定，而转动速度由物体的角速度决定。

所以，在这个例子中，质点速度可以表示为：v = ωR * sin(ωt)其中，R为圆环的半径。

在此基础上，我们可以推导出圆环的运动轨迹。

由于圆环的运动中心沿着x轴运动，因此，圆环的运动轨迹在xoy平面上。

将圆环的位置代入可以得到x-y坐标系下的运动轨迹：x = a * cos(ωt)y = R * sin(ωt)这就是圆环在偏心转动时的运动轨迹方程。

从上述方程我们可以看出，圆环的运动轨迹是一个椭圆。

matlab直线绕点旋转的轨迹

matlab直线绕点旋转的轨迹当直线绕一个固定点旋转时，其轨迹可以描述为一个圆锥曲线。

在MATLAB中，可以使用参数方程来描述这个轨迹。

假设直线的参数方程为x = at + b, y = ct + d，固定点为(h, k)，旋转角度为θ，则围绕固定点旋转的轨迹的参数方程可以表示为：x' = (x h)cos(θ) (y k)sin(θ) + h.y' = (x h)sin(θ) + (y k)cos(θ) + k.其中，x'和y'为旋转后的直线轨迹的参数方程。

在MATLAB中，可以使用这些参数方程来计算旋转后的直线轨迹的点的坐标，并绘制出轨迹图形。

以下是一个MATLAB示例代码，用于计算直线绕固定点旋转后的轨迹并绘制图形：matlab.% 定义直线的参数。

a = 1;b = 2;c = 3;d = 4;% 定义固定点的坐标。

h = 0;k = 0;% 定义旋转角度。

theta = linspace(0, 2pi, 100); % 从0到2π均匀取100个点。

% 计算旋转后的轨迹的参数方程。

x = a.theta + b;y = c.theta + d;% 计算旋转后的轨迹的点的坐标。

x_rotated = (x h).cos(theta) (y k).sin(theta) + h; y_rotated = (x h).sin(theta) + (y k).cos(theta) + k; % 绘制轨迹图形。

figure;plot(x_rotated, y_rotated);xlabel('X轴');ylabel('Y轴');title('直线绕点旋转的轨迹');在这个示例中，我们首先定义了直线的参数、固定点的坐标和旋转角度。

然后我们使用参数方程计算了旋转后的轨迹的点的坐标，并绘制出了轨迹图形。

这样，我们就可以在MATLAB中计算直线绕固定点旋转后的轨迹，并通过绘制图形来直观展示这个轨迹。

运动方程和轨迹方程的转换

运动方程和轨迹方程的转换
将运动方程变为轨迹方程的过程：1、运动方程的表达式为r=r(t),在二维坐标系上一般表示为：r(t)=x(t)i+y(t)j。

2、质点的轨道方程，表示的是质点运动的曲线方程，表
达式为：y=f(x)。

3、在运动方程的分量式中，消去时间t得f(x、y、z)=0，此方程称为
质点的轨迹方程。

二者的区别主要有：
1、轨迹方程就是x和y的函数，运动方程就是x与t的函数。

2、质点的运动方程和轨迹方程可以互相转换。

3、运动方程可以看作向量，轨迹方程可以窥见就是函数关系。

关于运动方程求轨迹方程的求法：
1、定义法
若动点在运动时满足的条件符合某种已知曲线的定义，则可以设出其轨迹的标准方程，然后利用待定系数法求出其轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求
轨迹方程要熟知常见曲线的定义、特征。

2、代入法
若所求轨迹上的动点p(x,y)与另一个已知轨迹（曲线）c:f(x,y)=0上的动点q
（x1,y1）存在着某种联系，则可以把点q的坐标用点p的坐标表示出来，然后代入曲线c 的方程f(x,y)=0中并化简，即得动点p轨迹方程。

3、参数法
根据题设条件，用一个参数分别表示出动点(x,y)的坐标x和y，或列出两个含同一个参数的动点(x，y)的坐标x和y之间的关系式，这样就间接地把x和y联系起来了，然后
联立这两个等式并消去参数，即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法。

adams旋转驱动函数

adams旋转驱动函数Adams旋转驱动函数是一种数学函数，它可以用来求解三维空间中刚体的运动轨迹。

该函数在运动学和动力学学科中被广泛应用，尤其在机械、航空航天和汽车工程领域得到了广泛的应用。

以下是Adams旋转驱动函数的分步骤阐述：步骤一：了解刚体在学习Adams旋转驱动函数之前，我们必须先了解刚体的基本概念。

刚体是一种物理对象，它是不可变形的，由许多质点组成，每个质点的位置相对于其他质点都是不变的。

步骤二：了解三维空间几何概念Adams旋转驱动函数的计算是基于三维空间中的几何概念的。

因此，在学习Adams旋转驱动函数之前，我们需要先学习和掌握一些三维空间几何概念，如坐标系、向量和矩阵等。

步骤三：定义Adams旋转驱动函数Adams旋转驱动函数根据它的定义可以用来计算刚体的运动轨迹。

它是一个包含六个参数的函数，这六个参数分别表示各向异性惯量张量、旋转角速度、旋转角、旋转中心和时间。

步骤四：学习Adams旋转驱动函数的计算方法Adams旋转驱动函数的计算方法复杂而精细。

它基于刚体的旋转角度和旋转角速度来计算刚体的运动状态。

这通常涉及到向量和矩阵运算，这需要对线性代数有一定的了解。

步骤五：应用Adams旋转驱动函数Adams旋转驱动函数广泛应用于机械、航空航天和汽车工程领域。

在这些领域中，Adams旋转驱动函数常常被用来预测刚体的运动轨迹，模拟机器的运行过程以及优化系统的设计。

总之，Adams旋转驱动函数是一种非常重要的数学函数，在航空航天、机械、汽车等领域具有广泛的应用价值。

了解它的定义和计算方法将为我们更好地理解刚体的运动学和动力学提供帮助。

人教版数学高二-备课资料转移法求点的轨迹的转移途径

转移法求点的轨迹的转移途径若所求轨迹的点(x,y)(称为从动点)的运动依赖于已知曲线(或可确定的曲线)上的另一动点(x 0,y 0)(称为主动点)而运动，那么可通过利用从动点的坐标x 、y 来表达主动点的坐标x 0、y 0，即x 0=f(x,y)，y 0=g(x,y)，然后将点(x 0,y 0)代入所在曲线上，化简后即可得所求点的轨迹方程，这种求轨迹的方法称为转移法.这种方法的实质是将关于从动点的坐标x 、y 问题转移到关于主动点的坐标x 0、y 0的问题.本文将从转移途径上进行归纳整理，供参考.一、利用定比分点坐标公式转移例1 设点Q 是抛物线y 2=4x 上的动点，点O 是原点，点P 在OQ 的延长线上，且|OP||OQ|=32，当点Q 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程. 解析：设Q(x 0,y 0)，P(x,y),∵|OP||OQ|=32，且P 在OQ 的延长线上，∴点P 分OQ →所成的比为λ=﹣3，由定比分点坐标公式，得 x=-3x 01-3，y=-3y 01-3,∴x 0=23x ，y 0=23y ， ∵点Q 在抛物线上移动，∴(23y)2=4·(23x)，∴y 2=6x ，即为所求点P 的轨迹方程. 二、利用复数相等的充要条件转移例2 有一不定的平行四边形OABC ，点O 固定在坐标原点，点A 在线段x=1，y=t(﹣1≤t ≤1)上移动，点C 在单位圆上移动，求点B 的轨迹方程.解析：设A 、B 、C 有三点分别对应复数为1+ti(﹣1≤t ≤1)、x+yi 、x 0+y 0i. OC →=AB →=OB →﹣OA →=(x+yi)﹣(1+ti)=(x ﹣1)+(y ﹣t)i ，∴x 0＝x ﹣1，y 0＝y ﹣t ， ∵C 点在单位圆上移动，∴(x ﹣1)2+(y ﹣t)2=1(﹣1≤t ≤1)为动点B 的轨迹方程.三、利用向量知识转移例3已知点A 、B 的坐标分别是(0，5)和(3，4)，点M 在圆x 2+y 2=25上运动，求以AB 、AM 为一组邻边的平行四边形的另一顶点P 的轨迹方程.解析：如图，设P(x,y),M(x 0,y 0)，则MP →=(x ﹣x 0,y ﹣y 0)，又∵A (0，5)和B (3，4)，∴AB →=(3,﹣1),因为 AB →=MP →,所以根据向量相等的条件,得 ⎩⎨⎧ x ﹣x 0＝3y ﹣y 0＝﹣1,∴⎩⎨⎧ x 0＝x ﹣3y 0＝y ＋1, 又∵点M 在圆x 2+y 2=25上运动，∴(x ﹣3)2+(y ＋1)2=25，即为所点P 的轨迹方程.例4(1995年全国高考)已知椭圆x 224＋y 216=1,直线l :x=12，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，如图所示，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明是什么曲线.解析：根据题设条件,设Q(x,y),R(x 0,y 0),P(12，m),则OQ →=(x,y),OR →=(x 0,y 0),OP→=(12，m)，∵OQ →与OR →共线，∴xy 0﹣x 0y=0 ① ，OQ →与OP →共线，∴12y ﹣mx=0 ② ,∵OQ →与OP →的夹角为0︒，∴由内积公式，得 OQ →·OP →=|OQ →|·|OP →|=|OR →|2，∴12x ＋my=x 02＋y 02 ③ ，由②得m=12y x ，代入③得 x 02＋y 02=12(x 2＋y 2)x ④，由①④联立解得 x 02=12x, y 02=12y 2x, ∵点R(x 0,y 0)在椭圆上，∴12x 24＋12y 2x 16=1，整理，得 2x 2-4x+3y 2=0，即 (x ﹣1)+ y 223=1(x >0),故Q 点的轨迹是以(1，0)为中心，长短半轴分别为1和63，且长轴在x 轴上的椭圆(去掉原点).四、利用几何性质转移例5 过圆O ：x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作圆的切线l ，M 为直线l 上任一点，过M 作圆O 的另一切线，切点为Q ，求点M 在直线l 上移动时，△MAQ 的垂心P 的轨迹方程.解析：如图，连结OQ ，由点P 是△MAQ 的垂心知 AP ⊥QM ，QP ⊥AM ，又∵OA ⊥AM ，OQ ⊥QM ，∴AP ∥OQ ，QP ∥OA ，又|OA|=|OQ|，∴则AOQP 为菱形，所以，|PQ|=|OA|=2，设P(x,y),Q(x 0,y 0),于是有 x 0=x ，y 0+y=2,因为点Q 为已知圆上一点，所以x 02+y 02=4,∴x 2+(y-2)2=4(x ≠0),即为所求重心P 的轨迹方程.五、利用对称性转移例6 已知椭圆C ：(x+5)29+(y-4)216=1，求椭圆关于直线l :x-y=3的对称曲线C '方程. 解析：设Q(x,y)为所求曲线C '的点，且Q 关于l 对称的点为P(x 0,y 0)，则点P 在曲线C 上.由轴对称的性质，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x+x 02﹣y+y 02+3=0y-y 0x-x 0=﹣1 ,用x,y 表示x 0,y 0得 ⎩⎨⎧ x 0=y ﹣3y 0=x ＋3 ， ∵点P 在椭圆C 上，将x 0,y 0代入椭圆方程得(x-1)216＋(y+2)29=1，即为所求曲线的方程.。

动点动角问题解法

动点动角问题解法动点动角问题是数学中的一类常见问题，通常涉及到点的运动轨迹和角度的变化规律。

为了解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法。

本文将介绍动点动角问题的解法，主要包括确定动点的运动轨迹、确定动角的变化规律、运用代数或几何方法求解以及检验答案的合理性等方面。

一、确定动点的运动轨迹在解决动点问题时，首先需要确定动点的运动轨迹。

通常可以通过题目中的描述或图形来推断出动点的运动规律。

例如，如果动点在直线上运动，那么它的运动轨迹就是一条直线；如果动点在圆上运动，那么它的运动轨迹就是一个圆。

通过确定动点的运动轨迹，我们可以更好地理解问题的本质，并为下一步求解做好准备。

二、确定动角的变化规律在解决动角问题时，同样需要确定角的变化规律。

可以通过题目中的描述或图形来推断出角度的变化规律。

例如，如果角度在旋转过程中发生变化，那么它的变化规律就是旋转的角度和方向；如果角度在平移过程中发生变化，那么它的变化规律就是平移的距离和方向。

通过确定动角的变化规律，我们可以更好地理解问题的本质，并为下一步求解做好准备。

三、运用代数或几何方法求解在确定了动点的运动轨迹和动角的变化规律之后，我们需要运用代数或几何方法进行求解。

具体方法的选择取决于问题的具体情况和要求。

如果问题可以通过代数方法求解，我们可以建立数学模型，利用代数运算来求解；如果问题需要通过几何方法求解，我们可以利用图形和几何性质来求解。

在求解过程中，需要注意表达式的推导和计算，确保结果的准确性和可靠性。

四、检验答案的合理性最后一步是检验答案的合理性。

在得出答案之后，我们需要根据问题的实际情况和背景进行检验，确保答案符合实际情况和逻辑。

如果答案不合理或者存在矛盾，我们需要重新审视问题的解答过程，找出错误并进行修正。

通过检验答案的合理性，我们可以更好地理解问题的本质和解答过程，提高解题的准确性和可靠性。

综上所述，解决动点动角问题需要我们确定动点的运动轨迹和动角的变化规律，然后运用代数或几何方法进行求解，最后检验答案的合理性。

直线绕点旋转公式

直线绕点旋转公式以直线绕点旋转公式为标题，我们将探讨在数学和物理学中常用的直线绕点旋转公式。

通过理解这一公式，我们能够更好地理解和描述物体在空间中的运动轨迹和旋转状态。

在平面几何中，我们经常遇到直线绕点旋转的情况。

当一个直线绕着一个固定点进行旋转时，我们可以通过一些公式来描述旋转后直线上点的新位置，这些公式被称为直线绕点旋转公式。

我们来看一下简单的情况，即直线绕原点旋转的情况。

设直线上的一点的坐标为(x, y)，旋转角度为θ，我们可以得到旋转后的新坐标(x', y')的计算公式如下：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)这两个公式可以用来计算任意一个点在旋转后的新位置。

其中，cos(θ)和sin(θ)分别代表旋转角度θ的余弦和正弦值。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的情况，即直线绕任意点旋转的情况。

设直线上的一点的坐标为(x, y)，旋转角度为θ，旋转中心点的坐标为(a, b)，我们可以得到旋转后的新坐标(x', y')的计算公式如下：x' = (x - a) * cos(θ) - (y - b) * si n(θ) + ay' = (x - a) * sin(θ) + (y - b) * cos(θ) + b这两个公式可以用来计算直线上任意一个点在绕任意点旋转后的新位置。

其中，cos(θ)和sin(θ)仍然分别代表旋转角度θ的余弦和正弦值。

通过直线绕点旋转公式，我们可以更好地理解物体在空间中的运动轨迹和旋转状态。

在物理学中，我们经常使用这一公式来描述刚体的旋转运动。

通过计算旋转后每个点的新位置，我们可以推导出物体在空间中的旋转轨迹，并进一步分析物体的旋转速度、加速度等运动特性。

除了在物理学中的应用，直线绕点旋转公式还在计算机图形学中有着广泛的应用。

在计算机生成的图像和动画中，我们经常需要对图像进行旋转操作。

圆的一般方程

例5 已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.
课后作业：
3．平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
，
课后作业：
4、已知A（0，2）,动点B在圆上运动，点M满足，求点M的轨迹方程.
典例探究
例1、求过三点A(—2,4),B(—1,3),C(2,6)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
练习:求过点的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为:
因为都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
所以,圆的方程为:
练习2:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长.
3
解:设圆的方程为:
因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
圆的方程:
即:
圆心:
半径:
求圆方程的步骤:
1.根据题意,选择标准方程或一般方程.
若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程;
学科网
教学重难点
重点：1.圆的一般方程的形式特征。 2．待定系数法求圆的方程。
难点：坐标转移法求轨迹方程。
【学习目标】1．掌握圆的一般方程及其条件，能进行标准方程与一般方程的互化，理解圆的一般方程与标准方程的联系。2．初步掌握求点的轨迹方程的思想方法。3．进一步掌握配方法和待定系数法．
复习引入
圆的方程一般代数形式是什么特点呢
展开得
任何一个圆的方程都是二元二次方程
- a
- b
r2
-2ax