4计量经济学+

1
ˆ 1 - β1 ˆ1 β β t t ~ t(n - 2) ˆˆ ˆˆ S S β β
1 1
（n-2）的
自由度
3.设显著性水平为α，则查t分布表得t ( n - 2 ）。 拒绝域为W t t t ( n - 2 ）.
2
2


2
注意
ˆ1 β 4.根据样本数据求出t 0 ，当 t 0 t ( n - 2 ）时， ˆˆ S β
变量(系数)的显著性检验
• 对一元线性回归模型而言,就是对参数估 计值 β ˆ、β ˆ 进行检验。 0 1
因为我们在假设检验过程中构造的统计量是t
分布,所以我们称之为 t-检验.
现对变量X (系数β1 )进行检验： 1. H 0 : β1 0; H 1 : β1 0
ˆ 1 - β1 β 2.设统计量t ,当H 0 成立时，有 ˆˆ S β
由
ˆ Y β ˆX β 0 1 XY X Y ； xy n ˆ β 1 2 1 2 x X ( X)2 n
2 2
可得
1 2 TSS (Yi Y ) Yi ( Yi ) n
1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ )2 ESS (Yi Y ) (Yi Yi ) Yi ( Y i n 1 2 2 2 2 2 ˆ ˆ β1 x i β1 [ X i ( X i ) ] Y ˆ Y n
绘制散点图（scatter）操作步骤：
1.录入数据。 2.按“Graphs(图像)” 3.选“simple ”,按 “define”. 4.定义y轴和x轴变量. “Scatter”
5.按“OK” 键等待结果输出
控制软件输出结果的方法：
E(Y X X 0 ) 1.选取“mean”表示要求输出预测值均值 的置信区间。 2. “dividual”表示要求输出预测值个别值Y0 的置信 区间。
E( Y X X 0 ) β0 β1 X 0 , Y0 β0 β1 X 0 ˆ0 ˆ 随机变量Y β0 ˆ β1 X 0，
ˆ0 ) β0 β1 X 0 E( Y X X 0 ) E( Y ˆ0 ) E ( Y0 ) β0 β1 X 0 0 E( Y ˆ0 ~ N ( β0 β1 X 0 , D( Y ˆ0 )) 因为Y
在显著性水平为 即置信水平为 1 时,参数 β0、 β1 的 置信区间可以通过t分布求出.
ˆ 1 - β1 β 已经知道，t ~ t(n - 2)，只要找到一个正数δ， ˆ Sβ ˆ
1
ˆ 1 δ， β ˆ 1 δ)以1 α的概率包含参数 使得随机区间(β 真值β1。
所以应满足 ˆ 1 δ 1 β ˆ 1 δ 1 Pβ ˆ 1 δ 1 β ˆ 1 δ 1 P β
ˆi ˆ Y β0 ˆ β1 X i
若给定自变量的一个新值X 0，来预测对应的因变量的 ˆ0 .严格来说，Y ˆ0 只是因变量的预测值的一个估计值。 值Y 而不是预测值。
一般认为预测更大意义上是一个区间估计问题。 ˆ0 预测值仅以一定的置信水平在以 为中心的区间内 Y 取值。
ˆ 是E( Y X X )和个别值Y 的无偏估计 证明 : Y
Y β1 - Xβ12 - β0 β1 XD( ˆ β1 ) β1 ( Y - Xβ1 ) β0 β1 XD( ˆ β1 ) X ˆ XD( β1 ) 2 x i
2
课本47页
Y β0 β 1 X
2 1 ( X X ) 2 0 ˆ 所以，D( Y0 ) [ ] 课本47页 2 n xi ①构造t 统计量,得到 E( Y X X 0 ) 的置信区间
0
0
0
ˆ0 ) D(ˆ 而D ( Y β0 ˆ β1 X 0 ) D(ˆ β0 ) D ( ˆ β1 X 0 ) 2COV( ˆ β0 , ˆ β1 X 0 ) 2X 0 COV( ˆ β0 , ˆ β1 ) D(ˆ β0 ) X 02 D( ˆ β1 )
而COV( ˆ β0 , ˆ β1 ) E( ˆ β0 ˆ β1 ) Eˆ β0 Eˆ β1 E ( ˆ β0 ˆ β 1 ) β0 β 1 E[ (Y - ˆ β1 X)ˆ β1 ] ˆ β0 ˆ β1 E (Y ˆ β1 - ˆ β12 X) β0 β1 YE( ˆ β1 ) - XE(ˆ β12 ) β0 β1 YE( ˆ β1 ) - X (D( ˆ β1 ) [ E ( ˆ β1 )]2 ) β0 β1
2
给定显著性水平 ,由
α 2
ˆ0 E( Y X X 0 ) Y 即t ~ t( n 2 ) 2 ( X0 X ) 2 1 ] ˆ [ 2 n xi
P t t (n - 2) 1 α

2 0
ˆ0 t SY ˆ0 t SY 得到区间( Y ，Y ). ˆ ˆ
t
ˆ Y 0 Y
0 0
1 [1 n
( X X )2
0 2 xi
~ t( n 2 ) ]
给定显著性水平 ,由
α 2
P t t (n - 2) 1 α

2
0
ˆ0 t SY ˆ0 t SY 得到区间( Y ，Y ). ˆ ˆ
Y0

如何才能缩小置信区间长度？
ˆ 为中心， • 显然，该区间是一个以参数 β 的点估计 β ˆ ˆ t ( n - 2 ）为半径的区间邻域。 以 S β1
1
1
α 2
ˆ ˆ t (n - 2） • 区间的长度为 2S β1
α 2
ˆ ˆ t (n - 2）可以减小区间长度。 所以，减小S β
1
( X0 X ) 2 1 ˆ 因为Y0 ~ N ( β0 β1 X 0 , [ ]) 2 n xi 2 ei 2 2 其中 的估计为 . ˆ n-2 ˆ0 ( β0 β1 X 0 ) Y t ~ t( n 2 ) 2 ( X0 X ) 2 1 ] ˆ [ 2 n xi
ˆ 1 1 δ 1 P δ β β ˆ 1 1 δ P ˆˆ ˆˆ S S β β
1
1
1
1 , 查(附录370页)t分布表 δ 得t ( n - 2 ），所以 t (n - 2 ） ˆˆ S β
1
拒绝H 0，认为变量X (系数β1 )显著，通过检验。
否则，不通过。
ˆ0 β 对参数β0，只需计算统计量 t ˆ , Sβ ˆ
0
与t 0.05 （8）比较即可。
2
参数的置信区间(confidence interval)
前面介绍的参数的最小二乘估计是点估计,这里在点估计 的基础上,给出参数 β0、 β1 的区间估计,即置信区间.
2
Hale Waihona Puke Baidu
ESS 拟合优度R TSS
2
要求同学们能够用手工（可以用计算 器）和软件两种方式解决此类问题。 比如课本第58页第9题。
1 2 2 1
δ P t ˆˆ S β
ˆ ˆ t (n - 2 ） 即δ S . β
1 2
置信区间估计为： ˆ S ˆ t ( n - 2 ），β ˆ S ˆ t ( n - 2 ）） （β
1 ˆ1 β

1
2
ˆ1 β

2
显然，置信区间长度越小越好，表明估计越精确。

2 0
②构造t 统计量,得到个别值 Y0 的置信区间
Y0 ~ N ( β0 β1 X 0 , 2 ), 2 1 ( X X ) 2 0 ˆ Y0 Y0 ~ N ( 0 , ( 1 )) 2 n xi
e 其中 的估计为 . ˆ n-2
2 2 2 i
所以统计量 ˆ2
α 2
ˆ ˆ 和t (n - 2）都减小；可 1.当样本容量n增大时，S β
1
α 2
减小区间长.( 样本信息越多，越精确 )
2.当建立的模型拟合优度R 很高时，可减小置信区间
2
长。（建立的模型越好，估计越精确）
S2.4一元线性回归分析的预测应用
我们通过样本数据得到参数的估计值后，建立 样本回归方程
2
0
Y0
S2.5应用实例
我们应用SPSS软件运行处理。 操作步骤： 1.在你的机器上安装该软件。 2.数据录入。
3.打开数据集.
4.在菜单中依次选取“analyze” “regression” “linear” 5.确定解释变量(independent)和被解释变量(dependent) 6.按“OK”键等待结果输出。 7.把输出结果整理成“报告形式” 。