北京十三中2016届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题

1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）

A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}

2．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）

A．588 B．480 C．450 D．120

4．设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）

A．1 B．C．D．2

5．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）

A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数

C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数

6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）

A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣

7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

A．12种B．10种C．9种D．8种

8．某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）

A．第一年到第三年B．第二年到第四年

C．第三年到第五年D．第四年到第六年

二、填空题

9．在（2x﹣1）8的展开式中，含x2的项的系数是______（用数字填写答案）

10．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为______．

11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，且双曲

线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为______；渐近线方程是______．

12．直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，则a=______．

13．在平面直角坐标系xy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：

①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条；

②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条；

③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条；

④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条．

其中所有真命题的序号是______．

14．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是______．

三、解答题

15．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理

“×”表示未购买．

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？16．某中学在高三年级开设大学先修课程（线性代数），共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的数学效果进行评估，学校按性别分别采用分成抽样的方法抽取5人进行考核．

（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；

（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙

X X

求数学期望；

（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）

17．在平面直角坐标系xOy中，过点C（0，p）作直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A，B两点，N点是C点关于原点O的对称点，点P（2，m）是抛物线上一点，F点是抛物线的焦点，|PF|=2．

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：∠ANC=∠BNC．

18．已知f（x）=﹣+x﹣ln（1+x），其中a＞0．

（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

19．已知函数f（x）=e x﹣2x．

（1）求函数f（x）的极值；

（2）证明：当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；

（3）讨论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数．

参考公式：a logaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）

20．设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E： +=1的左、右焦点．

（1）若椭圆的离心率是，求椭圆的方程，并写出m的取值范围；

（2）设P（x0，y0）为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y﹣2=0上．

2015-2016学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题

1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）

A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}

【考点】并集及其运算．

【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，

根据集合的并集可求解答案．

【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，

∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，

∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，

故选：A

2．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【考点】充要条件．

【分析】先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．

【解答】解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，

故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，

故选：A．

3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）

A．588 B．480 C．450 D．120

【考点】频率分布直方图．

【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．

【解答】解：根据频率分布直方图，

成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．