5数值积分与数值微分

第5章 数值积分与数值微分方法1 基本概念梯形公式))()((2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰中矩形公式)2()()(ba f ab dx x f ba+-≈⎰()()nbii ai f x dx Af x =≈∑⎰则上式为一个数值求积公式.i A 称为求积系数，i x 称为求积节点;而称()()()nbi i ai R f f x dx A f x ==-∑⎰为求积余项或求积公式的截断误差。

从定义可以看到，数值求积公式依赖于求积节点个数n 、求积节点{}i x 和求积系数{}i A ，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式.定义1 若求积公式对于次数不超过mm 次多项式的多项式准确成立，而对于1不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度为.一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好.确定代数精度的方法依次取()(0,1,)kf x x k == 代入公式()()()nbi i ai R f f x dx A f x ==-∑⎰并验证()0k R x =是否成立.若第一个使()0k R x =不成立的k 值为1m +，则对应的代数精度为m .例1确定求积公式11()((33f x dx f f -≈-+⎰的代数精度.解 取()kf x x =代入求积公式有11()[((]331[(](1(1))13kk k k kk R x x dx k -=--+=-+-+⎰易验证0123()()()()0R x R x R x R x ====，但48()045R x =≠，故本题求积公式代数精度为3.例 2确定下面求积公式2 2()()(0)(2)h h f x dx Af h Bf Cf h-≈-++⎰的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度.解本题要先求出具体的求积公式，然后再判断所求公式的代数精度。

公式有3个待定参数，故利用3个条件得到的3个等式关系就可以解决求出具体求积公式的问题.依次取2()1,,f x x x =代入求积公式并取等号，有420416/3A B C hA C A C h ++=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩解之得1648,,939h h A h B C ===错误！未找到引用源。

故所求的求积公式为为确定其代数精度，再取3()f x x =代入求出的公式继续计算，有3416()03R x h =-≠，故所求的求积公式具有二次代数精度.插值型求积公式考虑()f x 错误！未找到引用源。

关于1n +个节点01n a x x x b ≤<<<≤ 错误！未找到引用源。

的Lagrange 插值多项式()n L x 错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

()f x 的余项，有()(1)10()()()(1)!n ni i n i f f x f x l x x n ξω++==∑++（）这里()()()100,.n nk i n k k k i k k ix x l x x x x x x ω+==≠⎛⎫-=∏=- ⎪-⎝⎭∏错误！未找到引用源。

两边取积分,有()(1)10()(())()(1)!n nbbbi i n aaai f f x dx l x dx f x x dx n ξω++==∑++⎰⎰⎰（）记()bi i aA l x dx =⎰则有若舍去(1)1()()(1)!n bn af x dx n ξω+++⎰，得求积公式 0()()nbii ai f x dx Af x =≈∑⎰(求积系数()bi i a A l x dx =⎰)该公式是插值型求积公式。

插值型求积公式的求积余项()(1)1()()(1)!n b n a f R f x dx n ξω++=+⎰当()f x 为次数不超过n 次的多项式时，有()+1()0n f x ≡错误！未找到引用源。

，对应的()0R f =. 因此1n +个节点的插值型求积公式的代数精度至少为.n若求积公式()()nbii ai f x dx Af x =≈∑⎰的代数精度至少是n ，则该公式是插值型求积公式.1052. Newton-Cotes 求积公式1n +点的Newton-Cotes 公式将求积节点i x 错误！未找到引用源。

取为[a,b ]上的等距节点()(())()nbbk k aak f x dx l x dx f x =≈∑⎰⎰0()j knb bjk k aaj kjx x A l x dx dxxx ≠=-==-∏⎰⎰做积分变量变换,x a th =+ 有0000(1)()().!()!j kj kn kn nn n k j j t j b a A h dt t j dt k jk n k n ≠≠-==---==---∏∏⎰⎰ 记()00(1)(),!()!j kn kn n n k j C t j dt k n k n ≠-=-=--∏⎰106称()n k C 为Cotes 系数.求积公式()0()()()nbn k k ak f x dx b a C f x =≈-∑⎰称为Newton-Cotes 求积公式. 易验证()01.nn kk C==∑2 点的Newton-Cotes 公式这正是我们熟悉的梯形公式. 3点的Newton-Cotes 公式为称它为Simpson 公式.例1 试分别用梯形公式和Simpson公式计算1sin xI dxx=⎰解用梯形公式计算，有用Simpson公式计算，有107108梯形公式与Simpson 公式的余项 梯形公式余项为利用积分中值定理可有()()()()()()3(,)2!12b T a f b a R f x a x b dx f a b ηηη'-'=--=-∈⎰梯形公式余项Simpson 公式的余项部分Cotes系数当n较大时Cotes系数会出现负数，此时Newton-Cotes不具有数值稳定性，因而一般不用n较大的Newton-Cotes公式来做计算.1091103 复化求积公式1）复化梯形公式未找到引用源。

将积分区间[a,b ] n 等分,在每个小区间[]1,,0,1,,1k k x x k n +=- 错误！未找到引用源。

上用梯形公式做近似计算，就有11()()2()2n k k h f a f b f x -=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑得求积公式---复化梯形公式复化梯形公式的余项故复化梯形公式的求积余项1111122) 复化Simpson 公式未找到引用源。

将积分区间[a,b ] n 等分,在每个小区间[]1,,0,1,,1k k x x k n +=- 错误！未找到引用源。

上用Simpson 公式做近似计算，再累加起来就有()111012()42()6n n k k k k h f a f b f x f x --+==⎡⎤⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑未找到引用源。

，得复化Simpson 公式复化Simpson公式的余项记有复化Simpson公式的求积余项113114例1 分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算cos x I e xdx π=⎰，要求误差不超过30.510-⨯错误！未找到引用源。

.解 错误！未找到引用源。

数值计算结果列表，其中nR 错误！未找到引用源。

代表求积余项.-12.148 004-12.075 194 -12.071 558本题积分的准确值为错误！未找到引用源。

，可见复化梯形公式和复化Simpson 公式能求出精度较高的解。

115例2 考虑用复化Simpson 公式计算10sin x I dx x=⎰ 要使误差小于错误！未找到引用源。

，那么求积区间[0,1]应分成多少个子区间？以此计算积分近似值。

解 复化Simpson 公式的求积余项为误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

.为估计误差，要计算()401max ()x f x ≤≤错误！未找到引用源。

116()()1100sin ()cos cos 2k kk kk x d f x tx dt t tx k dt x dx π⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 由此得()1100011max ()cos 21k kk x fx t tx k dt t dt k π≤≤⎛⎫≤+≤= ⎪+⎝⎭⎰⎰ 从而有，故要求出满足计算精度要求的定积分值，只要将[0,1]分成4个子区间即可，此时算出40.9460833I S ≈=1174 Romberg 求积法Euler-Maclaurin 求和公式设22()[,],m f x C a b +∈则有2412()()baT h f x dx h h αα=+++⎰2221()m m m m h h h αα++++2412()()()242bahh h T f x dx αα=+++⎰2221()()()222m m m m h h h αα++++118消去2h 可得46124()()2()3bahT T h f x dx h h ββ-=+++⎰2221()m m m mh h h ββ+-++ 设14()()2()3hT T h T h -=则41()()()b aT h f x dx O h -=⎰（复化Simpson公式). 46112()()baT h f x dx h h ββ=+++⎰2221()m m m mh h h ββ+-++46112()()()()222bahh h T f x dx ββ=+++⎰222-1()()()222m m m m h h h ββ+++ 消去4h 可得211681224()()2()41bahT T h f x dx h h γγ-=+++-⎰11921m m --设211224()()2()41hT T h T h -=-则62()()()baT h f x dx O h -=⎰（复化Cotes 公式). 68212()()baT h f x dx h h γγ=+++⎰22221()m m m m h h h γγ+--++68212()()()()222bahh h T f x dx γγ=+++⎰22221()()()222m m m m h h h γγ+--++ 消去6h 可得3228101234()()2()41bahT T h f x dx h h δδ-=+++-⎰12032m m --设322334()()2()41hT T h T h -=- 则83()()()baT h f x dx O h -=⎰（Romberg 公式).T 数表k h ()0k T ()1k T ()2k T ()3k T 0 b a -(0)0T1 2b a -(1)T (0)1T 24b a -(2)T (1)1T (0)2T 38b a -(3)T (2)1T (1)2T (0)3T121收敛性 设()[,],f x C a b ∈可有(0)Lim ()bkak T f x dx →∞=⎰复化梯形公式给出的近似值有公式 121021()22n nn k k h T T f x -+==+∑练习一 计算积分 150,t dt ⎰计算到(0)2T .5 Gauss求积公式考虑求积公式()()()0,nbkkak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰求积公式具有21n +错误！未找到引用源。