一元函数积分学

一元函数积分学
一．定积分的定义 【例1】（用定义）求极限
1lim
_______n n →∞
++
= . 说明：若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积，于是由积分的定义，有
1
()lim
().
n
b a
n i i b a
f x dx f a b a n n →∞
=-⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
∑
⎰。

解
1
1lim 1
1
lim
cos 2
n n
n k n n x dx π
π
ππ
ππ
π
→∞→∞
=+++
===
=
∑
⎰
⎰
【例2】（定义及夹逼定理）求2sin sin sin lim 11
12n n n n n n n πππ→∞⎛⎫
⎪
+++ ⎪+ ⎪++
⎝
⎭
解 由于
sin
sin sin 1
2
i i i n n n i n n
n π
ππ<
<++
，故
1
1
1
sin
1
1
sin
sin
1
2
n
n
n
i i i i i i n i n n
n n
n π
ππ===<
<++
∑∑
∑
. 又
101
1
11
2
lim
sin lim .
sin
lim sin 1
11n
n
n n n i i i n i n xdx n n n n
n n π
ππ
→∞
→∞→∞
==⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑
∑
⎰，由夹逼定理知：原式=2
π
.
二．积分计算
基本方法：换元法，分部积分法，万能变换等.
基本题型：带根号的积分常用换元法去根号. 下面几种类型的积分常用分部积分法处
理：
1
2320
sin ,arctan ,ln ,,cos .x ax
x xdx xdx x xdx x e dx e
bxdx -⎰
⎰⎰⎰⎰
熟悉2
11
1
dx d
d x
x -==等.
【例1】
（分部积分）arcsin arccos x xdx ⋅⎰
分析：与arctan xdx ⎰类型同. 解
原式arcsin arccos x x x x dx ⎛⎫
=-
⎝⎰
(
)a r c s i n
a r c c o s a r c c o s
1
x x x x x x
=--⎰
arcsin arccos x x x dx ⎫
=-
-
-
⎝
⎰
a r c s i n a r c c o s 2x x
x x c
=-+
【例2】（三角变形）
2
sin cos _________(cos sin )
x x x
dx x x x +=-⎰. （赛.2004.苏）
分析：变形使被积函数的个数变少.
解
2
2
2
sin cos sec tan (cos sin )
(1tan )
x x x
x x x dx dx x x x x x ++=
--⎰⎰
=
2
1
1tan (tan 1)
tan 1
dx x c x x x x =-
+--⎰.
【例3】（变量代换）12
arctan _______.(1)
x dx x =+⎰
（赛.2006.苏）
解 作变量代换arctan t x =，则
原式2
444
1sec (1cos 2)sec 2
t tdt t t dt t
π
π
=
=
+⎰
⎰
2
2
4
440
11sin 2sin 24
464168
||t
t t tdt π
π
π
ππ⎛
⎫=
+-
=+- ⎪⎝
⎭⎰. 【例4】(奇偶性)2
22
(cos())sin ________.x x xdx π
π-+=⎰（赛.1991.苏）
分析：注意被积函数的奇偶性和积分区间的对称性.
解 2
2220
2
2
(cos())sin sin 2sin 2x x xdx x xdx x xdx πππ
π
π
-
-
+=
==⎰
⎰
⎰.
【例5】（轮换对称）计算20
11tan J dx x
π
=
+⎰
解 原式20
cos sin cos x dx x x π
=
+⎰
，记20
sin sin cos x I dx x x
π
=
+⎰
，作变量代换2
u x π
=
-
则20
cos sin cos u
I du u u
π
=
+⎰
J =. 又2
I J π
+=
， 故4
J π
=
.
注 1作变量代换tan u x =, 也可计算. 2 一般地，若f 连续，则
（i ）2200
(sin )(cos );f x dx f x dx π
π
=
⎰⎰
(ii ）0
(sin )(sin ).2
xf x dx f x dx π
ππ
=
⎰⎰
【例6】（递推计算）求定积分220
tan
.n
n I xdx π
=
⎰
解 4
4
221
2221
sin 11sin
cos
21
cos
n n n n
n x I dx xd
x
n x
π
π
--=
=
-⎰
⎰
422
2(1)21
1
1
(21)sin
cos 1,21
21
cos
21
n n n n x x
dx I n n x
n π----=
-
=
----⎰
所以
1
211
1(1)
(1)
.21
23
25
4
n n
n I n n n π
+=
-
+
-+-+----
三. 变限积分的应用 基本公式：
()'
()()x a
f t dt
f x =⎰
拓广公式：()'
()
'
'
()
()(())()(())()x x f t dt
f x x f x x ψϕψψϕϕ=-⎰
.
【例1】
设()f x 在[0,)+∞上连续，且1
1()1()x
f x f t dt x
=+
⎰
，求()f x .
解 对等式1
()()x
xf x x f t dt -=
⎰
两边求导，得'
()()1().f x xf x f x +-=
即'1().f x x
=
且(1)1f =. 因此()ln 1.f x x =+
【例2】
设'
()f x 连续，'
(0)0,(0)0,f f =≠求2
2
()lim
()x x x f t dt
x
f t dt
→⎰
⎰
.（赛.2000.苏）
解 原式2
2
2
002()
2()lim
lim
2()()
2()()
x
x
x x xf x f x x f t dt x f x f t dt xf x →→==++⎰⎰
'2
'2
'
'
'
'
'
4()4()
4(0)lim
lim
13[()(0)]
3()()
3(0)(0)
()
x x xf x f x f f x f f x xf x f f f x x
→→===
=-+++.
【例3】()
2
()
5
1lim
1_____.x tx x e
dt x
-→-=⎰
（赛.2006.苏）
解 作变量代换u tx =，则
原式=(
)
()
2
2
4
4
40
6
5
4
4
11.21
1lim
lim
lim
lim
.6333
x u
x
x
x x x x e
du
e
x
e
x x
x
x
x
---→→→→----====-
⎰
【例4】 设()f x 在[0,1]上可导，'0()1f x ≤≤且(0)0f =，证明：
()
2
113
()()f x dx
f x dx ≥
⎰
⎰
.
证 只需证明一般情形
()
2
3
()()x x f t dt
f t dt ≥
⎰
⎰
.
令()
2
3
()()()x x F x f t dt
f t dt =
-
⎰
⎰
, 则
'32
00()2()()()()2()(),x x
F x f x f t dt f x f x f t dt f x ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
再令2
()2()(),x
G x f t dt f x =-⎰ 则
'''
()2()2()()2()1()0,G x f x f x f x f x f x ⎡⎤=-=-≥⎣⎦
从而()0.F x ≥
【例5】设0
sin (),x t
f x dt t
π=-⎰
计算0
().f x dx π
⎰
解 由于'
sin (),x
f x x
π=
- 用分部积分法得
'
sin sin ()()()sin sin 2.
|t
x
f x dx xf x xf x dx dt x
dx
t
x
x xdx xdx x
π
π
π
π
π
π
π
π
ππππ=-
=-
---=
=
=-⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
四．定积分的证明题.
熟悉柯西-许瓦滋不等式：
()2
2
2()()()()b
b
b
a
a
a
f x
g x dx
f x dx
g x dx
≤⋅⎰
⎰
⎰
积分中值定理：若()f x 在[,]a b 上连续，则存在a b ξ<<，使()()().b a
f x dx f b a ξ=-⎰
【例1】 （柯西-许瓦滋不等式）设f 为[0,1]上正连续函数，证明：
2
110
()1()()
4dx
m M f x dx f x m M
+≤
≤
⎰
⎰.
其中01
01
max (),min ().x x M f x m f x ≤≤≤≤==
证 由柯西-许瓦滋不等式得
2
110
1()()
dx
f x dx f x ⎡⎤
=≤
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰
⎰.
另一方面
10
()1()f x m m dx M f x M ⎡⎤⎛
⎫+≤+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰
， 即
110
11()()
m M f x dx m dx M
f x M
++≤
⎰
⎰
.
而上式左端≥
2
112
()()()
4m dx
m M f x dx M
f x M
+≤
⎰
⎰
.
【例2】
（积分中值定理）设f 为[0,1]上连续函数，()()0b
b x
a
a
f x dx f x e dx =
=⎰⎰
，
求证：()f x 在(,)a b 内至少有两个零点.
解 方法一：令()(),()x a
F x f t dt a x b =
≤≤⎰
，则()()0F a F b ==. 于是
()()()()()()()|b b b
b
b
x
x
x
x
x c
a
a
a
a
a
f x e dx e dF x e F x F x e dx F x e dx F c e b a =
=-=-=--⎰
⎰
⎰⎰ 其中(,)c a b ∈. 于是()0F c =. 在[,]a c 和[,]c b 上应用Roll 定理，存在 12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使''12()()0F F ξξ==，即12()()0f f ξξ==. 于是
()f x 在(,)a b 内至少有两个零点.
方法二：由积分中值定理，11()()(),b
a
f x dx f b a a b ξξ=-<<⎰，得1()0f ξ=.
（反证）设()f x 在(,)a b 内仅有一个零点1ξ，不妨设1a x ξ<<时，()0f x >，1x b ξ<<时，()0f x <. 由条件得 1()()0
b x
a
e e
f x d x ξ-=⎰
. 又
1
1
1
1
1
()()()()()()000b b
x
x
x
a
a
e
e f x dx e
e f x dx e
e f x dx ξξξξξ
-=
-+
->+=⎰
⎰
⎰,
从而导出矛盾.
【例3】
（计算型证明）设"()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)0f f ==，求证：
（1）1
1"
00
1
()(1)()2
f x dx x x f x dx =
-⎰⎰， （2）1"
01
1
|()|m ax |()|12
x f x dx f x ≤≤≤⎰.
证：（1）11"
'
11(1)()(1)()22
x x f x dx x x df x -=
-⎰
⎰
=
1
1
'
'
11(1)()()(21)2
2
|x x f x f x x dx --
-⎰
=1111
11(21)()[()(21)()]()2
2
|x df x f x x f x dx f x dx -
-=-
--
=
⎰
⎰
⎰
.
（2）11"
01|()||(1)()|2
f x dx x x f x dx =-⎰⎰
1
"
"
01
01
11m ax |()|(1)m ax |()|2
12
x x f x x x dx f x ≤≤≤≤≤-=
⎰.
【例4】
（'
()()()b a
f b f a f x dx -=
⎰
的应用）设:[0,1]f → 具有二阶连续导数，又
设(0)(1)0f f ==，且对一切(0,1)x ∈有()0f x >，证明：
"
10
()4()
f x dx f x >⎰
.
证 记01
max ()x M f x ≤≤=，则存在0(0,1)x ∈使得0()f x M =，且'0()0f x =. 由微分中值定
理，存在,()a b a b <使
''
000
()(0)
(1)()(),()1f x f f f x f a f b x x --==
-，
于是
"
"
1''
0()()1()()()()
()
b a
f x f x dx dx f b f a f x f x f x ≥≥
-⎰
⎰
0000
00()()11
4.()
1(1)
f x f x f x x x x x =-
-
=
≥--
【例5】
（正负分开估计）证明2
0x dx >.
分析：由于2sin x 的原函数无初等表达式，故直接计算不可能. 但可以估计其正的部分和负的部分的差.
证 作变量代换2y x =，有
22
2
11n
i n i n .2
2x dx ππ
ππ
⎛⎫
=
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎰
⎰⎰ 对上述第二个积分进行换元，则有原积分为
00
11sin .22y dy ππ
⎛⎫⎛⎫-=
-
⎪ ⎪ ⎝⎭
⎝⎰⎰
由于在(0,)π上，被积函数是一个正函数，从而其积分大于零.
【例6】 （泰勒公式）设在区间[0,]a 上"
()0,f x > 证明：
().2a a f x d x a f ⎛⎫
≥
⎪⎝⎭
⎰
解 '"2'
2222222
()()()()()()()()(),a a a a a a a f x f f x f x f f x ξ=+-+-≥+-积分后得
().2a a f x d x a f ⎛⎫
≥
⎪⎝⎭
⎰
【例7】 （构造型）设()f x ∞∞在(-,+)上是导数连续的有界函数， '|()()|1,f x f x -≤ 求证：|()|1,(,).f x x ≤∈-∞+∞
证 方法一：任取,x ∈ 有''[()](()())x x e f x e f x f x --=-，又 '
()()[()]|x x
x
x
x e f x e
f x e
f x d x +∞+∞
---
-==
⎰
， 故
'
'
|()||[()]||()()|,x
x
x
x x
x
x
x
e
f x e
f x dx e
f x f x dx e dx e +∞
+∞+∞------=≤
-≤
=⎰
⎰
⎰
即|()|1f x ≤.
方法二：令'()(()1),1()()1,x F x e f x f x f x -=+-≤-≤由题意 所以 ''()(()()1)0,x F x e f x f x -=--≤ 因而()F x 单调减，故 ()1
()l i m ()
l i m 0.
x x x f x F x F x e
→+∞
→+∞+≥
== 而0,x e -> 故()10f x +≥，即() 1.f x ≥-
令'()(()1),1()()1,x G x e f x f x f x -=--≤-≤由题意 所以 ''()(()()1)0,x G x e f x f x -=-+≥ 因而()G x 单调增，故 ()1
()l i m ()
l i m 0.
x x x f x G x G x e
→+∞
→+∞-≤== 而0,x
e -> 故()10
f x -≤，即() 1.f x ≤
五. 定积分的应用 【例1】
设2
2
:4,.D x y x y x +≤≤- 在D 的边界y x =-上任取点P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于y x =-，交D 的边界2
2
4x y x +=于Q .
（1） 试将,P Q 的距离||PQ 表示为t 的函数；
（2） 求D 绕y x =-旋转一周的旋转体体积. （赛.2004.苏）
解 沿y x =-作坐标轴t ，原点为O ，则P 在t 轴上的坐标为t ，在xy 平面上P 的坐
标为⎛-
⎝
，所以直线PQ
的方程为(0y x t =-≤≤，由
2
2
,
4y x x y x
⎧=-⎪
⎨
+=⎪⎩
解得Q 点的横坐标为
01x =
所以
01
P Q x ⎫
⎫
=
-=⎪⎪⎭
⎭
. 所求旋转体体积为
2
2
1222
V dt t dt π
π
==+-
-
⎝
⎰
⎰
22
(2)
u -=-=
-=
-⎰
【例2】
曲线Γ的极坐标方程1cos 02πρθθ⎛
⎫
=+≤≤
⎪⎝
⎭
，求该曲线在4
π
θ=
所对应的
点处的切线L 的直角坐标方程，并求曲线Γ、切线L 与x 轴所围图形的面积.
（赛.2006.苏） 解 曲线的参数方程为
cos (1cos )cos x ρθθθ==+ s i n (1c o s )s
i y ρθθθ==+
'
'c o s c o s 2s i n s i n 2d y y d x
x
θθθθ+
==
--
，4
1|dy
dx πθ==-
又4
π
θ=
时，1122x y +
+=
=，故切线L 的方程为
(1)22y x ⎛-
=-
- ⎝
⎭
，
即
1
(1
2
y x
+
=-+. 令0
y=
得2
x=+如图所示，三角形
OPB的面积为
1
1110
2
228
S
++
⎛
=+⋅=
⎝
，
曲边三角形OPA的面积为
22
444
2
000
11131
(1cos)2cos cos2
22222
S d d d
πππ
ρθθθθθθ
⎛⎫
==+=++
⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰
31
1628
π
=+
于是所求图形的面积为
12
93
816
S S Sπ
=-=+.
【例3】求曲线|ln||ln|1
x y
+=所围成的平面图形的面积.
解方法一：上述曲线方程去掉绝对值后为
,1,
1
,101,
,011,
1
,0101,
x y e x y
y x x y
e
y e x x y
x y x y
e
=≥≥
⎧
⎪
⎪=≥<<
⎪
⎨
=<<≥
⎪
⎪
=<<<<
⎪
⎩
且
且
且
且
所以
1
1
1
11
.
e
e
e x
A ex dx dx e
ex x e e
⎛⎫⎛⎫
=-+-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎰⎰
方法二：令ln,ln,
u x v y
==则
,,
u v
x e y e
=='
:||||1,.
u
u v u v
v
u v
x x e
D u v J e e
y y e
+≤===⋅
故
''
0111
1101
||
1
.
u u
u v u v u v
u u
D D D
dxdy J dudv e e dudv e du e dv e du e dv
e
e
+-
----
==⋅=+
=-
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
习题
1.
n lim ln _________→∞=. 2. 21
1()sin _______.x x e xdx -+=⎰
3. 计算1
20(1)x xe dx x +⎰.
4. 求2
00sin lim .x x t dt t x →⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰（赛.1997.京）
5.
设连续非负函数满足()()1(),f x f x x -=-∞<<+∞ 则2
2cos ___________.1()x dx f x ππ
-=+⎰（赛.2004.京）
6. 设()()3,f x f x ≤≤在[0,1]上连续，且1 证明：110011() 3.()f x dx dx f x ≤
≤⎰⎰（赛.2004.京）
7. 证明：2
00.x dx >赛.前苏联） 8. 设()f x π在[0,2]上具有一阶连续导数，且"()0,f x ≥ 求证：对任意的自然数n ，有 202()s i n [(2)(0)].
f x n x d x f f n π
π≤-⎰ 9. 有一弹璜，假定被压缩0.5cm 时需用力1N （牛顿）， 现弹璜在外力的作用下被压缩3 cm,求外力所做的功.
10. 设()f x 在 [,]a b 上具有连续导数, 求证:
'1m a x |()|
()|()|.b
b a a a x b f x f x dx f x dx b a ≤≤≤+-⎰⎰（赛.2008.苏）。