隧道衬砌可靠度分析的有限单元法

五邑大学学报(自然科学版)JOURNAL OF WU YI UNIVERSITY第12卷　第3期　Vol.12No.31998隧道衬砌可靠度分析的有限单元法杨浩为(江门市交通工程建设总公司　江门市　529020)摘要 采用荷载-结构模式的隧道衬砌受力分析,推导出利用有限单元法求解结构可靠指标的算法,并设计了通用、实用的微机程序,最后给出实际算例。

关键词 隧道衬砌;荷载-结构模式;可靠度;极限状态中图分类号 U451我国正在为以基于可靠度的概率极限设计法修订新的《隧道设计规范》(以下简称《隧规》)做前期的研究工作,并取得了许多研究成果。

《隧规》改革是一项艰难而巨大的任务。

其最关键的问题有两个:一是必须通过大量的模型试验或现场量测,获得所有影响隧道结构可靠度的随机变量的统计特征;二是寻找适合隧道结构可靠度分析的方法,并开发实用计算机程序。

在此基础上,通过对现有的标准定型结构的可靠度分析,并结合实际工程类比,定出最优可靠指标,作为新规范修订的基准。

现有《隧规》的设计模式是荷载-结构模式,因此,为了新旧规范的衔接,本文也采用该模式作为可靠度分析的基础,而且该模式也比较适用于浅埋隧道、偏压隧道以及采用矿山法施工的深埋隧道。

另外,采用该模式所得的可靠指标便于与现有实际工程类比,使设计人员容易接受。

由于隧道衬砌多为多心圆的曲线结构,并且作用的荷载相当复杂,因此必须考虑用有限单元法等数值方法来求解。

1　随机变量的统计特征分析影响隧道衬砌可靠度的随机因素非常多,主要有:荷载不定性、材料性能不定性、几何尺寸不定性和计算模式不定性等。

它们的统计规律有的由模型试验求得,有的由现场量测求得,还有的只能靠经验假定,现分述如下: 111　荷载不定性的统计特征隧道衬砌承受的荷载主要有:衬砌结构的自重,围岩竖向压力、围岩水平压力和围岩的弹性抗力。

衬砌结构自重等于结构的体积乘以材料的容重,因此,其变异性主要来自衬砌厚度的变异性和材料容重的变异性,而这两个变异性的统计特征分别在几何尺寸不定性和材料性能不定性的讨论收稿日期:1997-10-25　22　五邑大学学报(自然科学版)1998年　中给出。

围岩竖向压力:在荷载-结构模式的分析方法中,该荷载是影响衬砌可靠度的最主要的随机因素之一,因此进行了大量的现场量测和模型试验。

对于深埋隧道,由参考文献[1]的现场量测可得其统计特征,对于相当于Ⅰ、Ⅱ类围岩的浅埋隧道及偏压隧道,由参考文献[2]的模型试验可得其统计特征。

由上述参考文献可知各种类型隧道的围岩竖向压力的概率分布为对数正态,其均值可按现行《隧规》取标准值,而变异系数则变化较大。

围岩水平压力:可认为等于竖向荷载乘以侧压力系数,对于深埋隧道可设两侧的水平压力为矩形分布,对于浅埋和偏压隧道则可设为梯形分布。

由参考文献[2]的模型试验得出相当于Ⅰ、Ⅱ类围岩的浅埋和偏压隧道衬砌的侧压力系数为对数正态分布,其均值可按现行《隧规》有关公式计算,变异系数为0107。

对于深埋隧道可参考此结果来取近似值。

围岩弹性抗力:当衬砌向围岩变形时,围岩对衬砌将产生弹性抗力,其大小等于位移乘以弹性抗力系数,由于缺乏统计资料,可假定弹性抗力系数为均匀分布,然后根据规范取值范围近似求出其统计参数。

112　材料性能不定性的统计特征隧道衬砌材料性能不定性的随机变量有:混凝土容重、抗压极限强度、抗拉极限强度及弹性模量等,这些随机变量的统计特征可参照建筑结构设计规范选定。

113　几何尺寸不定性的统计特征在几何尺寸的不定性中,只考虑影响最大的由超、欠挖所引起的衬砌厚度的不定性,由参考文献[3]可知其概率分布为正态分布,对于Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ类围岩,相应的均值为915cm、515cm、116cm,相应的变异为1166、1116、1124,由此可知超挖现象远大于欠挖现象。

而对于其它各类围岩则可参考上述结果假定。

114　计算模式不定性的统计特征引入计算模式不定性的随机变量,目的是弥补计算公式中各种假定的近似性,参考有关资料可假定抗力项和荷载效应项的计算模式不定性的随机变量均为正态分布,其均值为110,变异系数为012。

115　各随机变量的相关性分析参考文献[2]得围岩弹性抗力系数与水平荷载的侧压力系数的相关系数为-0179,为负相关,而弹性抗力系数与竖向荷载的相关系数为-018,也为负相关,其余变量之间的相关系数较小,可认为是统计独立的。

2　可靠度分析的有限单元法211计算模式分析本文采用荷载--结构计算模式,取单位宽度的衬砌作为杆系结构,且不考虑仰拱作用,墙底水平向加刚性链杆约束,竖直向加弹簧支承,衬砌外侧周边的单元结点处加径向弹簧,这些弹簧相当于围岩的弹性抗力,因此在计算时,若发现某结点向洞内变形,则取消该节点的弹簧,再继续计算,直到所有有弹簧的结点都向围岩变形为止。

衬砌承受的竖向荷载可以是矩形分布或梯形分布,水平荷载也可以是矩形分布或梯形分布。

212　极限状态方程的建立我们同时考虑两种极限状态:正常使用极限状态和承载能力极限状态,并根据现行《隧规》的结构截面强度检算式来建立这两种极限状态方程。

该检算式是假定初砌为偏心受压构件来建立的。

21211　当偏心矩e 0≤012t 时衬砌截面均受压,若该截面破坏,则必为压坏状态,从而达到承载能力的极限,因此,这种情况下可按承载能力建立极限状态方程为: Z =R -S =k PR αbtR a -k PS N =0(1)式中:R 为抗力;S 为荷载效应;k PR 为抗力计算模式不定性随机变量;α为偏心影响系数,α=1-115e 0/t ;b 为衬砌纵向宽度,取1m ;t 为截面厚度(m );R a 为混凝土抗压极限强度(MPa );k PS 为荷载效应计算模式不定性随机变量;N 为计算所得的截面轴力(kN )。

21212　当偏心矩e >012t 时衬砌截面以受拉为主,因此衬砌首先由于受拉而在一侧开始出现裂缝,从而达到正常使用极限状态,其极限状态方程为: Z =R -S =k PR ・1175R l -k PS (6M bt2-Nbt)=0(2)式中:R l 为混凝土抗拉极限强度(MPa );M 为截面弯矩(kN 1m );其余符号与前面同。

213　用有限单元法计算内力统计参数基于荷载—结构模式,建立衬砌杆系有限元整体平衡方程为 [k ]{u}={P}(3)式中:[k ]为结构总刚度矩阵;{u}为结构节点位移列阵;{P}为结构节点荷载列阵。

在式(3)中,矩阵[k ]包含有两个随机变量:混凝土弹性模量E 和围岩弹性抗力系数k ,列阵{P}中包含了四个随机变量:混凝土容重r 、竖向分布荷载q 、侧压力系数γ和衬砌厚度t 。

为公式的表达方便,设x 1=E ,x 2=k ,x 3=r ,x 4=q ,x 5=γ,x 6=t ,式(3)两边对x i (i =1,2,…,6)求偏导数得:5{u}5x i =[k ]-1(5{P}5x i -5[k ]5x i{u})(4)各偏导数在验算点(3)处取值得:5{u}5x 13=-([k ]-15[k ]5x 1{u})35{u}x 23=-([k ]-15[k ]x 2{u})35{u}5x 33=([k ]-15[p ]5x 3)35{u}5x 43=([k ]-15[p ]5x 4)35{u}5x 53=([k ]-15[p ]5x 5)35{u}5x 63=([k ]-15[p ]5x 6)3第12卷　第3期杨浩为:隧道衬砌可靠度分析的有限单元法23　 在节点位移列阵{u}中,将第j 个位移分量u j 在验算点处展开为级数并略去二次项及其以上的项后得: u j j =u j (x 31,x 32,…,x 36)+66i =1(x i -x 3i )5u j 5x i3(5)式中u j (x 31,x 32,…,x 36)可由各随机变量在验算处取值后代入式(3)求得,因此可求得u j j 的统计参数为均值:E (u j )=u j (x 31,x 32,…,x 36)+66i =1(u x i-x 3i )5u j 5x i 3(6)方差:var (u j )=E{(E (u j )-u j )2}=E{66i =1(u x i -x i )5u j 5x i3)2}=66i =166k =15u j 5x i 35u j 5x k 3E{(u x i -x i )(u x k -x k )}=66i =166k =15u j 5x i35u j 5x k3cov (x i ,x k )(7)协方差:cov (u j ,u l )=E{(E (u j )-u j )-u j )[(E (u l )-u l ]}=66i =166k =15u j 5x i35u l 5x k3cov (x i ,x k )(8)上述各式中:u x i为变量x i 的均值,cov (x i ,x k )为变量x i ,x k 的协方差。

下面求单元内力的统计参数,单元内力矩阵{F}e 的计算式为: {F}e =[k ]e [T]{u}e(9)式中:[k]e 为单元刚度矩阵;[T]为坐标转换矩阵,{u}e 为单元节点位移列阵。

在式(9)中,矩阵[k]e 包含有随机变量E ,{u}e 中包含有节点位移分量随机变量u 1,u 2,…u 6,为公式表达方便,设y i =u i (i =1,2,…,6),y 7=E ,因此,式(9)两边对y i 求偏导数得: 5{F }e 5y i =5{k }e 5y i [T ]{u}e +[k ]e[T]5{u }e 5y i(10)将单元内力分量F j 在验算处展开为级数并略去高次项得: F j =F j (y 31,y 32,…,y 37)+67i =1(y i -y 3i )5F j5y i3(11)式中F j (y 31,y 32,…,y 37)可由各随机变量在验算点处取值后代入式(9)求得,因此可求得F j 的统计参数为:均值:E (F j )F j =F j (y 31,y 32,…,y 37)+67i =1(u y i -y 3i )5F j 5y i3(12)方差:var (F j )=67i =167k =15F j y i 35F j y k 3cov (y i ,y k )(13)协方差:cov (F j ,F l )=67i =167k =15F j 5y i35F l 5y k3cov (y i ,y k )(14)　24　五邑大学学报(自然科学版)1998年　 由于相邻单元的杆端力之间的相关性十分显著,故在节点处的内力统计参数取其相邻单元的平均值。

214　可靠指标的计算有了基本随机变量和节点内力的统计参数(均值和方差),就可以用误差传递函数公式很容易地求出极限状态方程式(1)、(2)中的抗力项R 和荷载效应项S 的统计参数。