人教版初三数学上册二十一章第四课一元二次方程根与系数的关系

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人教版初中数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

1
2x²+x-3=0 1
观察表格中的结果，你有什么发现？
二、探索新知
运用你发现的规律填空：（1）已知方程x²-8x-3=0的根为x1，x2，则 x1+x2= 8 ，x1x2= -3 ；（2）已知方程x²+7x-5=0的两根为x1，x2，则 x1+x2= -7 ，x1x2= -5 .
思考1
（1）如果方程x²+mx+n=0的两根为x1，x2，你能说说x1+x2和x1.x2的值吗？
解：x1+x2=-(-6)=6
解：x1=
（3）5x-1=4x²
解：方程化为4x²-5x+1=0
x1+x2= x1x2=
例2 已知方程x²-x+c=0的一根为3，求方程的另一个根及c的值.
解：设方程另一根为x1. 则x1+3=1，∴x1=-2. 又x1.3=-2×3=c， ∴c=-6.
例4 已知x1，x2是方程x²-6x+k=0两个实数根，且x1².x2²-
x1-x2=115.（1）求k的取值；（2）求x1²+x2²-8的值.
解:（1）∵由题意有x1+x2=6，x1.x2=k. ∴x1²x2²-x1-x2=(x1x2)²-(x1+x2)=k²-6=115， ∴k=11或k=-11. 又方程x²-6x+k=0有实数解， ∴Δ=(-6)²-4k≥0,∴k≤9. ∴k=11不合题意舍去，故k的值为-11;
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、复习导入
问题1 请写出一元二次方程的一般形式和求根公式.
ax2+bx+c=0 x b b2 4ac

第二十一章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
栏目索引
例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.

九年级数学人教版上册课件：第21章 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

；(5)
x1 x2
＋
x2 x1
＝
x21＋x22 x1x2
＝
x1＋xx212x－2 2x1x2；(6)|x1－x2|＝ x1－x22＝ x1＋x22－4x1x2.
2．在利用根与系数的关系求方程中待定系数的值时，必须使Δ＝b2－
4ac≥0.
5
3 1．已知α、β是方程5x2－3x－7＝0的两根，则α＋β＝ 5 . 2．设α、β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α·β＝－7 .
4
【方法归纳】
1．根据根与系数的关系求值，要将方程两根化为两根之和或两根之积的
形式．(1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)(x1＋
1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；(4)
1 x1
＋
1 x2
＝
x1＋x2 x1x2
3
【规范解答】由题意知：x1＋x2＝2a，x1x2＝a2－2a＋2，因为x21＋x22＝(x1 ＋x2)2－2x1x2＝(2a)2－2(a2－2a＋2)＝2a2＋4a－4＝2，所以a2＋2a－3＝0，解得a1＝－3，a2＝1.当a＝－3时，原方程变为x2＋6x＋17＝0，Δ＝62－ 4×1×17＝－32＜0，方程无实数根，a＝－3应舍去．当a＝1时，原方程变为x2－2x＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，方程有实根，所以a＝1.
b a
＋
ab的值是( A )
A．7
B．－7
C．11
D．－11
11．已知m、n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n ＝8.
12．方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1、x2满足x21＋x22＝4，则k的值为 1 .

人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程的根与系数的关系课件

解：原方程可化为：
x2 + kx- 6 =0 55
想一想，
设方程的另一根是x1 ，那么
2x1 =-56,∴x1
=-3 5
还有其他方法吗？
又∵ （-53）+2=-5k，∴k=-5[53()-+2]=-7
答：方程的另一个根是
-
3 5
，k 的值是 -7。
还可以把 x=2代入方程的两边，求出k。
我能行3 例3、不解方程，求一元二次方程22 x+3x -1=0
两个根的①平方和；②倒数和。
解：设方x程1+的x两2=根-是3 2,xx11 ,x•2x,2那=-么1 2
① ∴ ( x 1 21 + + x x x 2 22 = ) 2 ( = 1 x + x 1 2 x + 2 2 ) 21 -x 2 x 2+ 1 x x x 2 2 2
∴ x1 2+x2 2=(-3 2) 2-2× (-1 2)=1 43
9．已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0 ，问：是否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明
理由。不存在
10．已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-
1=O。
(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相
等的实数根； (2)若方程两根为x1、x2，且满足求m的值。
2
如果方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个根是x , 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
1
想一想，还有其他方法吗？

人教版数学九年级上册教案21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》

人教版数学九年级上册教案21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版数学九年级上册第21.2章的一部分。

这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式的基础上进行学习的。

通过这部分内容的学习，学生将能够理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这一关系来解决问题。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了一定的数学基础，能够理解和运用方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式。

但是，对于一些学生来说，可能对于根与系数之间的关系还有一定的困惑，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.能够运用根与系数之间的关系来解决问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解和运用根与系数之间的关系来解决问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过问题引导学生的思考，通过案例让学生理解和运用根与系数之间的关系，通过小组合作学习法培养学生的合作和沟通能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。

例如，设计一个问题：一个农夫有一块土地，他想要种植两种作物，一种需要阳光充足，另一种需要阴凉的环境。

如果土地的一边是阳光充足的地方，另一边是阴凉的地方，那么如何分配这两种作物的种植区域呢？2.呈现（15分钟）通过PPT课件呈现一元二次方程的根与系数之间的关系。

解释根的判别式、根与系数之间的关系，并通过示例来说明。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些实际问题，运用根与系数之间的关系来解决问题。

例如，设计一些关于土地分配、投资收益等问题，让学生分组讨论和解决。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题来巩固学生对一元二次方程的根与系数之间的关系的理解。

人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系教案

一元二次方程根与系数的关系教案教材出处：义务教育课程标准实验教科书（人教版版）23.3实践与探索第2课时根与系数的关系。

教学目标：1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。

2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。

3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。

教学重点：根与系数的关系的推导、运用。

教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。

教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。

教学过程：一、问题情境，导入新课：解下列方程，并填写表格：观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 之间有什么关系？（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？二、探究新知： 1、根与系数关系：（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是：12x x p +=-， 12x x q =。

引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。

并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？（2）形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程，如果240b ac -≥，两根为1x ，2x ，引导学生利用上面的结论猜想1x ，2x 与各项系数a 、b 、c 之间有何关系。

然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)ax bx c a ++=≠ ∵0a ≠∴20b cx x a a++=∴12b x x a +=-，12cx x a=对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。

人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》课件(共24张PPT)

课堂练习
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1)x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
2.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
3.已知 x1，x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二次方程.
解：根据题意，得 x1+x2=-3，x1x2=-1，所以 x1-1+x2-1=-5， (x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1=-1+3+1=3，所以以 x1-1 和 x2-1 为根的一个一元次方程可以是 x2+5x+3=0(答案不唯一).
回顾旧知
1.写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
x1,2 b
b2 4ac 2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
(1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0；
(3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(2)
x1＋x2＝－
7 3
，x1
x2＝－39

数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

2
猜想 :如果方程 x px q 0 的根是 x 和 x , 1 2 ).
则 x x ( -p ), x x (q 1 2 1 2
问题 : 方 4 程5 3 xx 20 的根与系数
2
有上述关系吗?
3 x1 x2 5
2 x1 x2 5
2
问题5 :写出一元二次方程a x bx c 0(a 0 两根与系数的关系.
你能证明吗
例 : 1 求下列方程 , x 的两和根与 x : 积 1 2
2 2 (1) x 6x 15 0 ( 2 ) 3 7 xx 90
( 3 ) 5 1 x 4 x (1)由于根与系数的关系可知： x x 15 1 x 2 6, 1x 2 (2)由根与系数的关系可知： 7 x1 x2 , x1x2 3 3
二次方程的一般形式；（2）方程必须有实根。两
3.对于一些数学思想，譬如特殊到一般的想，转的思想，方程的思想等有初步的认识.
作业布置
《学习辅导》P12-13
2
解得：x 1, x2 3 1 故方程的另一个根为 -1，c的值为 -3.
例 2 : 已知方程 x 2 x c 0 的一个根 3 ,
2
求方程的另一个根及 c 的值 .
解(二）：设方程的另一个根为x 则由 0, 根与系数的关系可知 x0 3 2 x0 1 , 解得： c 3 x0 3 c 答：方程的另一个根为 -1，c的値为 -3.
(4 ) x x ( 原 x ) 6 式 5 30 1 2 1 2
(5)原式 x x (x x ) 1 6 5 1 10 1 2 1 2

人教版数学九年级上册教案21.2.4一元二次方程的根与系数关系

四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：计算长方形的长和宽）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
在新课讲授过程中，我采用了案例分析的方法，让学生看到一元二次方程在实际中的应用。这种方式似乎很受学生欢迎，他们能够更直观地理解抽象的数学概念。不过，我也发现对于一些难度较大的例题，部分学生还是感到困惑，我需要思考如何更有效地进行重点难点解析。
实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现得积极主动，这让我很欣慰。但我也注意到，在讨论过程中，有些小组的思路并不清晰，可能是因为我对他们的引导不够。在接下来的教学中，我要更加关注学生的思考过程，适时给予他们启发和指导。
学生小组讨论时，大家对于一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点，这让我感到很惊喜。但同时，我也发现有些学生在分享成果时表达不够清晰，这可能是因为他们在讨论过程中的逻辑思维训练不够。我需要在今后的教学中加强对学生逻辑思维能力的培养。
1.加强对基础概念的解释和强调，确保学生能够扎实掌握。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数关系（韦达定理），包括根的和、积与系数的关系，以及根的判别式的应用。
-举例解释：重点讲解如何通过韦达定理得出方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1、x2的和x1 + x2 = -b/a，积x1x2 = c/a，以及判别式Δ = b^2 - 4ac的符号与方程根的性质之间的关系。

人教版九年级数学上册第21章21.2.4一元二次方程根与系数的关系精品教案

人教版九年级数学上册第21章21.2.4一元二次方程根与系数的关系精品教案
教学内容
一、教学内容
人教版九年级数学上册第21章21.2.4节，主要围绕一元二次方程根与系数的关系展开，包括以下内容：
1.一元二次方程的根的判别式：Δ = b² - 4ac。
2.根与系数的关系：
（1）当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当Δ < 0时，方程无实数根。
3.根与系数的具体关系：
（1）两根之和：x₁ + x₂ = -b/a；
（2）两根之积：x₁x₂ = c/a。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.理解能力：通过学习一元二次方程根与系数的关系，使学生理解数学知识之间的内在联系，提高对数学问题的深入理解。
2.推理能力：培养学生运用根的判别式，分析一元二次方程的根的情况，并能推导出根与系数之间的关系，提高逻辑推理能力。
3.应用能力：使学生能够将一元二次方程根与系数的关系应用于解决实际问题，培养学以致用的能力。
4.合作交流能力：通过小组讨论和问题探究，培养学生与他人合作交流、共同解决问题的能力，提高团队协作精神。
-难点细节：
-推导两根之和与两根之积的表达式，理解其背后的代数原理。
-将实际问题抽象成一元二次方程，并运用根与系数的关系解决问题。
-在解决问题时，能够灵活运用根的判别式和根与系数的关系，尤其是在涉及多个方程或方程组的情况下。
举例：
-学生可能难以理解为什么两根之和是-b/a，两根之积是c/a。需要通过图解法或代数推导法，直观展示这一关系的由来。
实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生们积极参与其中，但我注意到有的小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论效率，我应该在讨论前给出明确的指导，确保学生们能够围绕主题展开讨论。

人教版初三数学上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》精品课件

人教版
九年级数学上册
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
学习目标

理解并掌握根与系数的关系：x1+x2=-
b a
，x 1x 2=
c a
会用根的判别式及根与系数的关系解题.
探索新知
探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子 x＝
课堂作业
５ .关于 x 的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是_______ k≤1/4 ６.若一元二次方程 x2 + m x 数根，那么 n 的值为 ( C )
m
n 0
有两个相等的实
A.- 4
B.4
C. 1/4
D. - 1/4
课堂作业
７.利用判别式判定下列方程的根的情况：（1）2x2－3x－1＝0；（2）16x2－24x＋9＝0；（3）x2－4x＋9＝0 ；（4）3x2＋10x＝2x2＋8x. 解:（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.
时，方程有两个相等的实根.
典题精讲
例2 已知关于x的方程 x 2 2 m 1 x m 2
取何值时, (3)方程没有实数根. 解：（3）要使方程没有实数根，只需
20 m 15 0
m 3 4 3 4

2
0 ，m
课堂作业
8、不解方程，判断下列方程根的情况：解： b 2 4 ac

人教版九年级上册数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1
·x2=2x2=
6 5
,
即：x2=
3 5
.
由于x1+x2=2+(
3 5
)
= k ,
5
得：k=－7.
答：方程的另一个根是
3 5
，k=－7.
巩固练习
变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个
根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
解：① ②
x1 x2 3 x1 x2 1
原方程可化为： x2 2x 1 0
2
x1 x2 2
x1

x2

1 2
二次项不是1，可以先把它化为1
探究新知
素养考点 2 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的
另一个根及k的值.
∴m的取值范围为m＞0.
解得m=8. 经检验m=8是原方程的解．
课堂小结
内容根与系数的关系（韦达定理）
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是
x1、 x2，那么
b x1 x2 a
x1 gx2

c a
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
应用
那么x1+x2=
b a
,
x1x2=
c a
常数项
一次项系数
注意系数符号。
二次项系数
【提示】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0

人教版九年级数学上册 21.2.4一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系【基础知识精讲】1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =•21 2．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=•>-=+002121a c x x a b x x 0,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=•<-=+002121a c x x a b x x0,0)3(21<>x x 时，有021<=•acx x3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++= 【例题巧解点拨】1．探索韦达定理例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x •的值。

例2.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m 的取值范围；（2）当x 12-x 22=0时，求m 的值．2．已知一个根，求另一个根.例3.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

3．求根的代数式的值例4：设x 1，x 2是方程x 2-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) x 13 x 24+ x 14 x 23；2112)2(x x x x +4．求作新的二次方程例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.2．已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：a+1、b+1 5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。