2018高中数学人教A版必修5课时作业9 等差数列
人教A版高中数学必修五学课时作业等差数列的前n项和新
课时作业10 等差数列的前n 项和时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48解析：S 10＝a 1＋a 102＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案：B2．等差数列{a n }中，a 5＝10，S 3＝3，则( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2 D ．a 1＝3，d ＝－2 解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝3，∴a 2＝1. 又a 5＝10， ∴d ＝a 5－a 25－2＝10－13＝3.∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2. 答案：A3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( ) A ．－23B ．－13C.13D.23解析：由S 10＝70，可以得到a 1＋a 10＝14，即a 1＝4. 所以d ＝a 10－a 19＝23.故选D. 答案：D4．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180， 所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60. 由S n ＝390，知n a 1＋a n2＝390.所以n ×602＝390，解得n ＝13.故选A.答案：A5．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝20，则数列前15项的和S 15的值为( ) A ．60 B ．22 C ．20D ．－8解析：∵a 1＋3a 8＋a 15＝20，∴5a 8＝20， ∴a 8＝4. ∴S 15＝a 1＋a 152＝15a 8＝15×4＝60.答案：A6．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．1305 解析：∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3为常数，故{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63∴a n ＝0时，n ＝21；a n >0时，n >21；a n <0时，n <21 ∴S 30′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.故选B. 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知{a n }是等差数列， a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________. 解析：a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6. ①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10. ②由①②得a 1＝1，d ＝12.答案：128．已知数列{a n }前n 项和S n ＝－2n 2＋3n ，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2＋3＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋3n ＋2(n －1)2－3(n －1)＝－4n ＋5. 又当n ＝1时，－4×1＋5＝1， 故n ＝1时满足a n ＝－4n ＋5. ∴a n ＝－4n ＋5. 答案：－4n ＋59．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d＝________. 解析：∵S 12＝8S 4，∴12a 1＋12×112d ＝8(4a 1＋4×32d )．∴20a 1＝18d .∴a 1d ＝1820＝910. 答案：910三、解答题(共计40分)10．(10分)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 3＝11，S 9＝153，求{a n }的通项公式．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝11，9a 1＋9×82d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝5.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2.11．(15分)甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解：(1)设n 分钟后第一次相遇，依题意， 得2n ＋n n －2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0， 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．甲、乙第一次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第二次相遇，依题意，得 2n ＋n n －2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －6×70＝0， 解得n ＝15，n ＝－28(舍去)．甲、乙第二次相遇是在开始运动后15分钟．12．(15分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，求a n .解：当n ≥2时，将S n －S n －1＝a n 代入式子a n ＝2S 2n2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n ·S n －1.两边同除S n ·S n －1得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴数列{1S n}是以2为公差的等差数列．则1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝2n －1.∴S n ＝12n －1(S 1＝a 1＝1也适合此式)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n －n －.当n ＝1时，a 1＝1不适合上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n －n －，n ≥2.。
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
高中数学课时训练(八)等差数列的性质新人教A版必修5(2021年整理)
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课时跟踪检测(八）等差数列的性质层级一学业水平达标1．在等差数列｛a n}中,已知a4＋a8＝16,则a2＋a10＝( ）A．12 B．16C．20 D．24解析：选B 因为数列{a n｝是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列｛a n｝中，a1＋a9＝10，则a5的值为( ）A．5 B．6C．8 D．10解析：选A 由等差数列的性质,得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10,即2a5＝10,∴a5＝5。
3．下列说法中正确的是( ）A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a,b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C 因为a，b,c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4,即2（b＋2)＝(a＋2）＋(c＋2），所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．4．在等差数列｛a n}中,a1＝2,a3＋a5＝10,则a7＝( ）A．5 B．8C．10 D．14解析:选B 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8。
新课标人教A版数学必修5全部课件：等差数列与等比数列
B.
5 1 2
C.
1 2
5
D.
5 1 2
或
5 1 2
9 4.等比数列{an}中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=_________
5.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12 的 值为( C ) A.20 B.22 C.24 D.28
4.重要性质： m+n=p+q am+an＝ap+aq(等差数列) (m、n、p、q∈N*) am·n＝ap·q(等比数列) a a
特别地 m+n=2p am+an＝2ap(等差数列)
am·n＝a2p(等比数列) a
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课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 31 点，在括号内适当的一个数是_____. )，38的特
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能力·思维·方法
1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比 数列，求原数列的四个数.
【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未 知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用 哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键 所在.
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.
①写出{cn}的前5项.
②证明{cn}是等比数列.
【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等 比数列，这是数列中的基本问题之一.
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误解分析
1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关 系，常会出现错误.
人教版A版高中数学必修5：等差数列的求和公式
n（n 1)
Sn na1
2
d
an a1 (n 1)d
结论：知 三 求 二
举例
例1:根据题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn
(1)a1 5, an 95, n 10;
n(a1 an ).
a1 an a2 an1 an a1
Sn
n(a1 an ) . 2
等差数列的前n项和公式
公式1
Sn
n（a1 2
an )
an a1 (n 1)d
公式2
Sn
na1
n（n 1) 2
d
思考
(1)两个求和公式有何异同点？
等差数列的前n项和
教学目标
知识与技能目标：
掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和求和公式。
过程与方法目标：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的 研究方法，学会观察、归纳、反思。
情感、态度与价值观目标：
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
(2)d
1 3
,
n
37,
Sn
629,
求a1及an
;
(1)d 17 , n 27 13
(2)a1 11, an 23
例3 等差数列-10，-6，-2，2， …的前多少项的 和为54？
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝-10，d＝-6-（-10）＝4，Sn＝54.
高中数学 课时作业9 等差数列的性质及简单应用 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题
课时作业9 等差数列的性质及简单应用[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40等于( )A ．40B ．70C ．80D ．90解析：方法一：因为a 20＝a 10＋10d ，所以50＝30＋10d ，所以d ＝2，a 40＝a 20＋20d ＝50＋20×2＝90.方法二：因为2a 20＝a 10＋a 30，所以2×50＝30＋a 30，所以a 30＝70，又因为2a 30＝a 20＋a 40，所以2×70＝50＋a 40，所以a 40＝90.答案：D2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则a 4＋a 10等于( )A ．3B ．4C ．5D ．12解析：a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10，∴由题设知6(a 4＋a 10)＝24，∴a 4＋a 10＝4.答案：B3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( ) A ．－1 B ．0C.14D.12解析：a 2＋a 4＝2a 3＝2，又a 2a 4＝34，且a 4>a 2， 解得a 2＝12，a 4＝32，∴d ＝12，∴a 1＝0. 答案：B4．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：由已知得：a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(a 5＋a 10)＝24.答案：C5．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个说法．p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎪⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中正确的是( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，d >0，所以a n －a n －1＝d >0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，所以na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关．故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ， 所以a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)， 当d －a 1>0，即d >a 1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 递增， 但d >a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0.所以数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 解析：∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，∴数列{a n ＋b n }也构成等差数列，∴2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5)，∴2×21＝7＋a 5＋b 5，∴a 5＋b 5＝35.答案：357．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________.解析：本题考查等差数列的性质及通项公式．∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35.∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴公差d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.答案：18．已知{a n }为等差数列，a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则该数列的正数项共有________项． 解析：∵a 5＋a 7＝2a 6＝4，a 6＋a 8＝2a 7＝－2，∴a 6＝2，a 7＝－1，∴d ＝a 7－a 6＝－3，∴a n ＝a 6＋(n －6)d ＝2＋(n －6)×(－3)＝－3n ＋20.令a n ≥0，解得n ≤203，即n ＝1,2,3，…，6，故该数列的正数项共有6项． 答案：6三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解析：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.10．首项为a 1，公差d 为正整数的等差数列{a n }满足下列两个条件：(1)a 3＋a 5＋a 7＝93；(2)满足a n >100的n 的最小值是15.试求公差d 和首项a 1的值．解析：因为a 3＋a 5＋a 7＝93，所以3a 5＝93，所以a 5＝31，所以a n ＝a 5＋(n －5)d >100，所以n >69d＋5. 因为n 的最小值是15，所以14≤69d＋5<15， 所以6910<d ≤723， 又d 为正整数，所以d ＝7，a 1＝a 5－4d ＝3.[能力提升](20分钟，40分)11．已知{a n }是公差为正数的等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1·a 2·a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13的值为( )A ．105B ．120C ．90D ．75解析：由等差数列的性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，所以a 2＝5，又因为a 1·a 2·a 3＝80，所以a 1·a 3＝16，所以(a 2－d )(a 2＋d )＝16，即(5－d )(5＋d )＝16，所以d 2＝9，又因为d >0，所以d ＝3.所以a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋10×3)＝105.答案：A12．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n ＞0，则a n ＝________.解析：由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，所以{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，所以a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3.又a n ＞0，所以a n ＝4n －3. 答案：4n －313．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R 且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，求m ＋n 的值．解析：设x 2－x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2， x 2－x ＋n ＝0的两根为x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1.不妨设数列的首项为x 1，则数列的第4项为x 2，所以x 1＝14，x 2＝34，公差d ＝34－143＝16. 所以中间两项分别是512，712. 所以x 1x 2＝316，x 3x 4＝512×712. 所以m ＋n ＝316＋512×712＝3172.14．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．解析：首项是8，公差是3的等差数列的通项公式为a n ＝3n ＋5；首项是12，公差是4的等差数列的通项公式为b m ＝4m ＋8.根据公共项的意义，就是两项相等，令a n ＝b m ，即n ＝4m 3＋1，该方程有正整数解时，m ＝3k ，k 为正整数，令k ＝1，得m ＝3，则n ＝5. 因此这两个数列有最小的公共项为20，分别是第一个数列的第5项，第二个数列的第3项．。
2016高中数学人教A版必修5课时作业9等差数列
【高考调研】2015年高中数学课时作业9等差数列（第1课时）新人教版必修51、 已知等差数列G,｝的通项公式氏=3—2R ,则它的公差为（ ）A 、 2B 、 3C 、-2D 、~3答案C解析 可得 a 小一&= — 2 或比一（3—4）— （3 — 2） = —2、2、 已知数列｛山满足—务+1 = 0,则数列的通项②等于（） A 、/f+1 B 、力+1答案D3、等差数列一3,-1,1,-,的第1 000项为（答案B4、等差数列1,-1, -3,-5,…，一89,它的项数为（ ）A 、92 C 、 46D. 45答案C5、 等差数列20,17,14, 11,…中第一个负数项就是（ ）A 、第7项B 、第8项C 、第9项D 、第10项答案B6、 ｛屛就是首项a ： = l,公差Q3的等差数列，若a,= 2 011,则n 等于（ ）A 、 671B 、 670C 、 669D 、 668答案A7、lg （错误!-错误！）与lg （错误!+错误！）的等差中项为（ ）A 、0B 、lg 错误！C 、lg （5—2错误!）D 、1答案A解析等差中项为错误！C 、l~nD 、 3—力A 、 1 990B 、 1 995C 、 2 010D 、2 015 B 、47=错误！=错谋!=0、8、一个首项为23,公差为整数的等差数列，第7项开始的负数，则它的公差就是（） A 、-2 D 、—6答案C9、若aHb,两个等差数列已乩 辺」与已刃，必」3, b 的公差分别为 込迄则错误!B 、错误! D 、错误!答案C解析・.・虫=错谋!，辺=错谋!，•••错误！=错谋！、10、首项为一24的等差数列，从第10项起为正数，则公差/的取值范围就是（ ）C 、错误! Wd <3答案D解析 从第10项起为正数，则al0>0且，刃W0, 由错误!可得错误！〈衣3、11、等差数列2,5,8, _ 107共有 项、答案3612、 为等差数列，且玄一2血=一1,空=0,则公差d= __________ 、答案-错误！解析 法一 由于比一2ai = a 】 + 6d —2（別+ 30 = —站=—1,则业=1,又由于站=比+2£=l + 2d=0,解得 Q —错误！、法二 ar = as + 4d=4d ai=as+£=i/,代入条件即可得 £、13、 _______________________________________ 首项为1&公差为3的等差数列从第 项开始大于100、答案2914、 已知一个等差数列的第&第9,第10项分别为2b+3,则通项公式曲答案2n-17解析 由(血一1)+ (2b+3)=2 (E+D,可得 b=Q.a8 = — 1, a9 = 1, al0 = 3、B 、-3C 、-4D 、错误！〈衣3:・d=2、al = — 15, /.an=2n~ 17、15、已知f(n+l)=f(n)-错课！且f (2) =2,则f(101) = _______________答案■错误！解析V｛fU)｝为等差数列，公差为一错误!，・・・f(l)=f⑵一(一错误!)=2+错误!=错误!、.•・/■ (101)=_f(l)+100・d=错误! + 100X (一错误！)= 一错误！、16、已知等差数列5, 2,—1,…、(1)求数列的第20项；(2)问一112就是它的第几项？(3)数列从第几项开始小于一20?(4)在一20到一40之间有多少项？答案(1) -52(2)第40项(3)从第10项开始(4)6项17、有一个阶梯教室，共有座位25排,第一排离教室地而高度为17 cm,前16排前后两排高度差8 cm,从17排起,前后两排高度差就是10 cm(含16,17排之间髙度差)、求最后一排离教室地而的高度、解析设从第一排起，各排的髙度组成数列｛拥，则a—17, ・・・a尸比+ 15丛=17+15X8 = 137、••心5=去+10 • ^=137 + 10X10=237 (cm)、»重点班・选作题18、一个等差数列中,3l = l,末项込=100323),若公差为正整数，则项n的取值有_______ 种可能、答案519、等差数列｛aj中，已知乩=扌，比+念=4, a°=33,求m的值、答案50备选题BEIXUANTI1、(2011-重庆)在等差数列｛%｝中，比=2,总=4,则处等于( )A、12B、14C、16 D. 18答案D解析设(aj的公差为d, Ta： = 2, <as=4, Q虽一走=2、•••知=比+(10 — 2) *2+8X2 = 18、2、已知数列｛an｝为等差数列，且a5 = ll,a8 = 5,求曲、解析设公差为丛则由a5 = ll, a8= 5,得错误！解得错误！a/2= 19 + (力一1) (—2),即am=—2刀+21、3、甲虫就是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:(1)您能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离与时间之间的关系不？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？解析(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都就是常数9、&所以就是一个等差数列模型、因为比=9、&戶9、&所以甲虫的爬行距离s与时间t 的关系就是s=9、8£、(2)当t=l(min) =60 (s)时，s=9、8t=9x 8X60=558 (cm)、s=49( cm)时，t= =错误! =5 (s)、。
人教版A版高中数学必修5：等差数列_课件26
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
2018年秋高中数学课时分层作业10等差数列的性质新人教A版必修5
(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10A [由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝2a 5，又∵a 1＋a 9＝10，即2a 5＝10，∴a 5＝5.]2．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )【导学号：91432156】A ．－2B ．－12C ．2 D.12C [∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列，且d ＝3.a 2＋a 4＋a 6＝9＝3a 4，∴a 4＝3，a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3(a 4＋3d )＝3(3＋3×3)＝36，∴log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 636＝2.]3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )A ．5B ．8C ．10D ．14B [由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.]4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( )【导学号：91432157】A ．8B ．4C ．6D ．12A [因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8.]5．下列说法中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 成等差数列C [因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．]二、填空题6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________.【导学号：91432158】－21 [设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d 2＋a 2＋a ＋d 2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.]7．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 1或2 [∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.]8．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km 高度的气温是－17.5 ℃，则2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为________、________、________.【导学号：91432159】2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n .∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.]三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．[解] ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.【导学号：91432160】[解] 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.[冲A 挑战练]1．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51C [根据性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，又因为a 3＋a 99＝2a 51＝0，故选C.]2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) 【导学号：91432161】A ．14B ．15C ．16D ．17C [设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.] 3．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．43 [n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )． 又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )． ∴d 1d 2＝13n －m 14n －m ＝43.] 4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．6766 [设自上而下各节的容积构成的等差数列为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9.则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝a 1＋4d ＝6766.] 5．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？【导学号：91432162】[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11，又等差数列5,8,11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，等差数列3,7,11，…的通项公式为b n ＝4n －1.所以数列{c n }为等差数列，且公差d ＝12，①所以c n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，c n ＝12n －1≤302，②得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项．。
人教A版高中数学必修五课时作业第二课时等差数列的性质及简单应用
第二课时等差数列的性质及简单应用[选题明细表]知识点、方法题号等差数列性质的应用1,2,3,4,5,7等差数列的综合应用8,9,11,12,13实际应用题6,10基础巩固1.在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为( A )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10解析:由等差数列的性质,得a1+a9=2a5,又因为a1+a9=10,即2a5=10,所以a5=5.故选A.2.已知等差数列{a n}:1,0,-1,-2,…;等差数列{b n}:0,20,40,60,…,则数列{a n+b n}是( D )(A)公差为-1的等差数列(B)公差为20的等差数列(C)公差为-20的等差数列(D)公差为19的等差数列解析:(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.所以由等差数列性质知数列{a n+b n}是公差为19的等差数列.选D.3.(2019·烟台高二检测)等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是( C )(A)20 (B)22 (C)24 (D)-8解析:因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,而2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故选C.4.(2019·东北三校联考)等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(··…·)等于( B )(A)10 (B)20(C)40 (D)2+log25解析:由等差数列的性质知a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×4=20,从而log 2(··…·)=log2220=20.故选B.5.(2019·成都高二检测)已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( C )(A)a1+a101>0 (B)a2+a101<0(C)a3+a99=0 (D)a51=51解析:根据性质得:a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,所以a3+a99=2a51=0,故选C.6.一架飞机在起飞时,第一秒滑行了2 m,以后每秒都比前一秒多滑行4 m,又知离地前一秒滑行了58 m,这架飞机起飞所用的时间为.解析:飞机每秒滑行的距离组成等差数列,记为{a n},其中,a1=2,d=4,a n=58,代入等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d,得2+4(n-1)=58,解得n=15(s).答案:15 s7.若x≠y,两个数列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差数列,则= .解析:设两个等差数列的公差分别为d1,d2.则y-x=4d1=5d2,又a2-a1=d1,b4-b3=d2,所以==.答案:8.(2019·洛阳高二检测)在等差数列{a n}中,已知a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求数列的通项公式.解:因为a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,又a2+a8=a3+a7=2a5,所以3a5=9,所以a5=3,所以a3+a7=2a5=6, ①a3·a7=-7. ②由①②解得a3=-1,a7=7或a3=7,a7=-1,所以a3=-1,d=2或a3=7,d=-2,由a n=a3+(n-3)d,得a n=2n-7或a n=-2n+13.能力提升9.(2019·黑龙江绥化期末)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a的值为( B )(A)2.5 (B)3.5 (C)1.5 (D)3解析:设公差为d,因为2,a,b,c,9成等差数列,所以9-2=4d,所以d=.又因为c-a=2d,所以c-a=2×==3.5.故选B.10.目前农村电子商务发展取得了良好的进展,若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列,且第2个月利润为2 500元,第5个月利润为4 000元,第m个月后该网店的利润超过5 000元,则m等于( B )(A)6 (B)7 (C)8 (D)10解析:设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{a n},则a2=2 500,a5=4 000.由a5=a2+3d,即4 000=2 500+3d,得d=500.由a m=a2+(m-2)×500=5 000,得m=7.故选B.11.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为.解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则有即解得则a5=a1+4d=,故第5节的容积为升.答案:升12.数列{a n}为等差数列,b n=(),又已知b1+b2+b3=,b1b2b3=,求数列{a n}的通项公式.解:因为b1+b2+b3=()+()+()=,b1b2b3=()=,所以a1+a2+a3=3.因为a1,a2,a3成等差数列,所以a2=1,故可设a1=1-d,a3=1+d,由()1-d++()1+d=,得2d+2-d=,解得d=2或d=-2.当d=2时,a1=1-d=-1,a n=-1+2(n-1)=2n-3,当d=-2时,a1=1-d=3,a n=3-2(n-1)=-2n+5.探究创新13.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 …那么位于表中的第n行第n+1列的数是.解析:第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,其第n+1项为n+n·n=n2+n.所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n. 答案:n2+n。
精选2018年秋高中数学课时分层作业9等差数列的概念及简单的表示新人教A版必修5
课时分层作业(九) 等差数列的概念及简单的表示(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14等于( ) A ．45 B ．41 C ．39D ．37B [设公差为d ，则d ＝a 6－a 26－2＝17－54＝3，∴a 1＝a 2－d ＝2，∴a 14＝a 1＋13d ＝2＋13×3＝41.]2．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )【导学号：91432143】A ．49B ．50C ．51D ．52D [∵a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)·12＝2＋n －12，∴a 101＝2＋101－12＝52.]3．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28 C [设公差为d ，则a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋9d ＝10. ∴3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝20.] 4．数列{a n }中，a n ＋1＝a n1＋3a n，a 1＝2，则a 4为( )【导学号：91432144】A.87B.85C.165D.219D [法一：a 1＝2，a 2＝21＋3×2＝27，a 3＝271＋67＝213，a 4＝2131＋613＝219.法二：取倒数得1a n ＋1＝1a n＋3，∴1a n ＋1－1a n＝3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列．∴1a n ＝12＋(n －1)·3 ＝3n －52＝6n －52，∴a n ＝26n －5，∴a 4＝219.]5．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．0 B ．log 25 C ．32D ．0或32B [依题意得2lg(2x －1)＝lg 2＋lg(2x＋3)， ∴(2x－1)2＝2(2x＋3)， ∴(2x )2－4·2x－5＝0， ∴(2x－5)(2x＋1)＝0，∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x ＝log 25.] 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.【导学号：91432145】13 [设公差为d ，则a 5－a 2＝3d ＝6， ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13.]7．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，则a n ＝________. 3n [因为n ≥2时，a n －a n －1＝3，所以{a n }是以a 1＝3为首项，公差d ＝3的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n .] 8．在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10＝________.【导学号：91432146】1 [法一：设数列{a n }的公差为d ，由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2，故a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋21. ∴a 10＝－2×10＋21＝1. 法二：∵a n ＝a m ＋(n －m )d ， ∴d ＝a n －a mn －m ， ∴d ＝a 8－a 58－5＝5－113＝－2，a 10＝a 8＋2d ＝5＋2×(－2)＝1.]三、解答题9．在等差数列{a n }中，已知a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？ [解] 由题意，得d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108. 令450≤a n ≤600，解得85.5≤n ≤123，又因为n 为正整数，故有38项． 10．已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 015.【导学号：91432147】[解] (1)证明：∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N *)， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53，∴1x 2 015＝2 015＋53＝2 0203，∴x 2 015＝32 020.[冲A 挑战练]1．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3C.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 C [设a n ＝－24＋(n －1)d ，由{ a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0， 解得83<d ≤3.]2．在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则( )【导学号：91432148】A ．a n ＝3nB ．a n ＝3nC ．a n ＝n － 3D ．a n ＝3n 2D [∵点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，∴a n －a n －1＝3，即数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)3＝3n ，∴a n ＝3n 2.]3．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 4n －3 [由a 2n ＋1－a 2n ＝4，知数列{a 2n }成等差数列，且a 21＝1 ∴a 2n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. 又∵a n >0，∴a n ＝4n －3.]4．等差数列{a n }中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________.【导学号：91432149】a n ＝38－5n (n ∈N *) [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋6d >0，a 8＝a 1＋7d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧33＋6d >0，33＋7d <0，解得－336<d <－337，又∵d∈Z，∴d＝－5，∴a n＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n(n∈N*)．]5．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2, … )，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在实数λ使数列{a n}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．[解](1)由于a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，且a1＝1.所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列 {a n}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{a n}是等差数列．。
人教A版高中数学必修五全册配套课时作业9
课时作业(九)1．已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差为() A．2 B．3C．－2 D．－3答案 C解析可得a n＋1－a n＝－2或a2－a1＝(3－4)－(3－2)＝－2.2．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0，则数列的通项a n 等于()A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n答案 D3．等差数列－3，－1,1，…，的第1 000项为()A．1 990 B．1 995C．2 010 D．2 015答案 B4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为() A．92 B．47C．46 D．45答案 C5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是()A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项答案 B6．{a n}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若a n＝2 011，则n 等于()A ．671B ．670C ．669D ．668答案 A7．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为( ) A ．0B ．lg 3－23＋2C ．lg(5－26)D ．1答案 A解析 等差中项为lg (3－2)＋lg (3＋2)2 ＝lg[(3－2)(3＋2)]2＝lg12＝0. 8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始的负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6答案 C9．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝( )A.32B.23C.43D.34答案 C解析 ∵d 1＝b －a 4－1，d 2＝b －a 5－1，∴d 1d 2＝43.10．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是( )A ．d >83B ．d <3 C.83≤d <3 D.83<d ≤3答案 D解析 从第10项起为正数，则a 10>0且，a 9≤0，由⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0，－24＋8d ≤0，可得83<d ≤3. 11．等差数列2,5,8，…，107共有________项． 答案 3612．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 答案 －12解析 法一 由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，则a 1＝1，又由于a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，解得d ＝－12.法二 a 7＝a 3＋4d ＝4d ，a 4＝a 3＋d ＝d ，代入条件即可得d . 13．首项为18，公差为3的等差数列从第________项开始大于100. 答案 2914．已知一个等差数列的第8，第9，第10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项公式an ＝________.答案 2n －17解析 由(b －1)＋(2b ＋3)＝2(b ＋1)，可得b ＝0. ∴a 8＝－1，a 9＝1，a 10＝3. ∴d ＝2，a 1＝－15，∴an ＝2n －17.15．已知f (n ＋1)＝f (n )－14(n ∈N*)，且f (2)＝2，则f (101)＝____________.答案 －914解析 ∵{f (n )}为等差数列，公差为－14， ∴f (1)＝f (2)－(－14)＝2＋14＝94.∴f (101)＝f (1)＋100·d ＝94＋100×(－14)＝－914. 16．已知等差数列5,2，－1，…. (1)求数列的第20项； (2)问－112是它的第几项？ (3)数列从第几项开始小于－20? (4)在－20到－40之间有多少项？答案 (1)－52 (2)第40项 (3)从第10项开始 (4)6项 17．有一个阶梯教室，共有座位25排，第一排离教室地面高度为17 cm ，前16排前后两排高度差8 cm ，从17排起，前后两排高度差是10 cm(含16,17排之间高度差)．求最后一排离教室地面的高度．解析 设从第一排起，各排的高度组成数列{a n }，则a 1＝17，∴a 16＝a 1＋15d 1＝17＋15×8＝137.∴a 25＝a 16＋10·d 2＝137＋10×10＝237(cm)． ►重点班·选作题18．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，则项n 的取值有________种可能．答案 519．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值． 答案 501．(2011·重庆)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10等于( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18答案 D解析 设{a n }的公差为d ，∵a 2＝2，a 3＝4，∴d ＝a 3－a 2＝2. ∴a 10＝a 2＋(10－2)d ＝2＋8×2＝18.2．已知数列{an }为等差数列，且a 5＝11，a 8＝5，求an . 解析 设公差为d ，则由a 5＝11，a 8＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.∴an ＝19＋(n －1)(－2)，即an ＝－2n ＋21.3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解析 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t .(2)当t ＝1(min)＝60(s)时，s＝9.8t＝9.8×60＝558(cm)．s＝49(cm)时，t＝s9.8＝494.8＝5 (s)．。
高中数学 课时作业9 等差数列的性质 新人教A版必修5
课时作业9 等差数列的性质时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．数列{a n }是等差数列，则有( ) A ．a 2 007＋a 2 008＝a 2 009＋a 2 010 B ．a 2 007＋a 2 009＝a 2 008＋a 2 010 C ．a 2 007＋a 2 010＝a 2 008＋a 2 009 D ．a 2 007＋a 2 008≤a 2 009＋a 2 010解析：若m ，n ，p ，q ∈N *，且{a n }是等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，C 成立． 答案：C2．等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数，且c ≠0)是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．以上都不对 解析：设b n ＝ca n ，则b n ＋1－b n ＝ca n ＋1－ca n ＝c (a n ＋1－a n )＝cd . 答案：B3．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＋a 9＝π2，则sin(a 4＋a 6)＝( )A.32B.22C.12D ．1解析：∵a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π2，∴a 5＝π6，∴a 4＋a 6＝2a 5＝π3.∴sin(a 4＋a 6)＝sin π3＝32.答案：A4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 4＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2，∵d <0，∴a 2＝6，a 4＝2. ∴d ＝12(a 4－a 2)＝－2.∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝6－2(n －2)＝10－2n . 答案：D5．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差的取值范围是( ) A ．(83，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[83，3)D ．(83，3]解析：设公差为d ，则a n ＝－24＋(n －1)d ，a 9＝－24＋8d ，a 10＝－24＋9d ， ∵从第10项起为正数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 9≤0，a 10>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－24＋8d ≤0，－24＋9d >0，即83<d ≤3. 答案：D6．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．7解析：方法1：∵a 1＋a 3＋a 5＝105，即3a 3＝105，解得a 3＝35，同理a 2＋a 4＋a 6＝99，得a 4＝33，∵d ＝a 4－a 34－3＝33－351＝－2.∴a 20＝a 4＋(20－4)d ＝33＋16×(－2)＝1.方法2：由a 1＋a 3＋a 5＝105，得a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝3a 1＋6d ＝105，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝3a 1＋9d ＝99，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋6d ＝105，3a 1＋9d ＝99，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝39，d ＝－2.∴a 20＝39＋(20－1)×(－2)＝1.方法3：∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，∴(a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5)＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ＝99－105＝－6. 解得d ＝－2，又a 1＋a 3＋a 5＝105，得a 3＝35，a 20＝a 3＋(20－3)d ＝35＋17×(－2)＝1.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：∵{a n }是等差数列，设公差为d ， ∴3d ＝a 5－a 2＝6， ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13. 答案：138．等差数列{a n }中，a 15＝8，a 60＝20，则a 105＝________. 解析：a 15，a 60，a 105成等差数列， 则a 15＋a 105＝2a 60，∴a 105＝2a 60－a 15＝2×20－8＝32. 答案：329．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________.第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … ……………n 行第n ＋1列的数为n (n ＋1)＝n 2＋n .答案：n 2＋n三、解答题(共计40分)10．(10分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4.求它的通项公式．解：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝－12，a 3＋a 7＝－4， ∴a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－6，a 7＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 7＝－6.当a3＝－6，a7＝2时，d＝a7－a37－3＝2，a n＝a7＋(n－7)×d＝2n－12，同理当a3＝2，a7＝－6时，a n＝－2n＋8.11．(15分)已知无穷等差数列{a n}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}．(1)求b1和b2；(2)求{b n}的通项公式；(3){b n}中的第110项是{a n}的第几项？解：(1)∵a1＝3，d＝－5.所以a n＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.数列{a n}中项数被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…，∴{b n}的首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项，即b n＝a m，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴b n＝a m＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n(n∈N＋)．∵b n－b n－1＝－20(n∈N＋，n≥2)，∴{b n}是等差数列，其通项公式为b n＝13－20n(n∈N＋)．(3)∵b110＝13－20×110＝－2187，设它是{a n}中的第m项，则－2187＝8－5m，则m＝439.12．(15分)数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在实数λ使数列{a n}为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．解：(1)由于a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，且a1＝1.所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)不存在实数λ使数列{a n}为等差数列，证明如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{a n}是等差数列．。
人教版高中数学必修五课时作业9：§2.2 等差数列(一)
§2.2 等差数列(一)一、选择题1.在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14等于( )A.45B.41C.39D.372.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( )A.10B.18C.20D.283.在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )A.49B.50C.51D.524.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n}是等差数列，则a 11等于( ) A.0B.16C.13D.125.数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n ，a 1＝2，则a 4为( ) A.87B.85C.165D.2196.若lg 2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( )A.0B.log 25C.32D.0或327.设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b 2n －a n ·b n ，则{c n }是( )A.常数列B.摆动数列C.公差不为0的等差数列D.递减数列二、填空题8.等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为________.9.已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________.10.若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则m ＋n 的值为________.三、解答题11.已知等差数列{a n }.(1)若a 12＝31，a 32＝151，求a 42的值；(2)若a 1＝5，d ＝3，a n ＝2 009，求n .12.若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式.13.已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定. (1)求证⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100.答案精析1.B [设公差为d ，则d ＝a 6－a 26－2＝17－54＝3， ∴a 1＝a 2－d ＝2，∴a 14＝a 1＋13d ＝2＋13×3＝41.]2.C [设公差为d ，则a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋9d ＝10.∴3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝20.]3.D [∵a n ＋1－a n ＝12， ∴数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·12＝2＋n －12， ∴a 101＝2＋101－12＝52.] 4.A [∵11＋a 3＝13，11＋a 5＝12， ∴12－135－3＝112， 1a 1＋1＝13－112×2＝16， ∴11＋a n ＝16＋(n －1)·112， ∴11＋a 11＝16＋11－112＝11＋112＝1， ∴a 11＝0.]5.D [方法一 a 1＝2，a 2＝21＋3×2＝27，a 3＝271＋67＝213，a 4＝2131＋613＝219. 方法二 取倒数得1a n ＋1＝1a n＋3， ∴1a n ＋1－1a n ＝3， ∴{1a n }是以12为首项，3为公差的等差数列. ∴1a n ＝12＋(n －1)·3 ＝3n －52＝6n －52， ∴a n ＝26n －5，∴a 4＝219.] 6.B [依题意得2lg(2x －1)＝lg 2＋lg(2x ＋3)，∴(2x －1)2＝2(2x ＋3)，∴(2x )2－4·2x －5＝0，∴(2x －5)(2x ＋1)＝0，∴2x ＝5或2x ＝－1(舍)，∴x ＝log 25.]7.C [∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])，∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b 2n －a n ·b n ＝b n (b n －a n ) ＝4(n ＋4)＝4n ＋16.]8.a n ＝2n －3(n ∈N *)解析 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项，∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0.∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋(n －1)·2＝2n －3. 9.4n －3解析 ∵a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3. 又a n >0，∴a n ＝4n －3.10.3172 解 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1.设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14， ∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16， ∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712. ∴x 1·x 2＝m ＝316.x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144. ∴m ＋n ＝316＋35144＝3172. 11.解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则a 12＝a 1＋11d ＝31，a 32＝a 1＋31d ＝151，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－35，d ＝6，∴a 42＝a 1＋41d ＝－35＋41×6＝211.(2)a n ＝5＋(n －1)×3＝2 009，∴n ＝669. 12.解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .13.(1)证明 由题意得x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，且n ∈N *)， 所以1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1(n ≥2，且n ∈N *)， 所以1x n －1x n －1＝13(n ≥2，且n ∈N *)，所以{1x n }是等差数列.(2)解 由(1)知{1x n }的公差为13，因为x 1＝12，所以1x n ＝1x 1＋(n －1)·13， 1x 100＝2＋(100－1)×13＝35. 所以x 100＝135.。
人教A版高中数学必修五课时作业第一课时等差数列的概念与通项公式
2.2 等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式[选题明细表]知识点、方法题号等差数列的判定1,9等差数列的基本运算2,4,6等差中项的应用3,8综合应用5,7,10,11,12,13基础巩固1.下列数列不是等差数列的是( D )(A)3,3,3,…,3,…(B)-1,1,3,…,2n-3,…(C)-1,-4,-7,…,2-3n,…(D)0,1,3,…,,…解析:直接用等差数列的定义判断.选项A,a n+1-a n=0,是常数列,也是等差数列;选项B,a n+1-a n=2,是公差为2的等差数列;选项C,a n+1-a n=-3,是公差为-3的等差数列;选项D,a2-a1=1,a3-a2=2,不是同一个常数,故选D.2.已知数列3,9,15,…,3(2n-1),…,那么81是数列的( C )(A)第12项(B)第13项(C)第14项(D)第15项解析:a n=3(2n-1)=6n-3,由6n-3=81,得n=14.故选C.3.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是( C )(A)a=-b (B)a=3b(C)a=-b或a=3b (D)a=b=0解析:由等差中项的定义知,x=,x2=,所以=()2,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.故选C.4.若等差数列{a n}中,已知a1=,a2+a5=4,a n=35,则n等于( D )(A)50 (B)51 (C)52 (D)53解析:依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入a1=,得d=.所以a n=a1+(n-1)d=+(n-1)×=n-,令a n=35,解得n=53.故选D.5.(2019·皇姑区期中)数列{a n}中,a1=1,a2=2,且数列{}是等差数列,则a3等于( C )(A)(B)3 (C)5 (D)2 007解析:因为a1=1,a2=2,且数列{}是等差数列,所以=+,即=+,解得a3=5,故选C.6.(2019·临沂高二检测)已知{a n}为等差数列,a1+a3=22,a6=7,则a5= .解析:由条件可知解得所以a5=12+4×(-1)=8.答案:87.(2019·大连高二检测)已知数列{a n}满足:=+4,且a1=1,a n>0,则a n= .解析:根据已知条件=+4,即-=4.因为数列{}是公差为4的等差数列,=+(n-1)·4=4n-3.因为a n>0,所以a n=.答案:8.若,,是等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.证明:由已知得+=,通分有=.进一步变形有2(b+c)(a+b)=(2b+a+c)(a+c),整理,得a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2成等差数列.能力提升9.已知数列{a n},对任意的n∈N*,点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上,则{a n}为( A )(A)公差为2的等差数列(B)公差为1的等差数列(C)公差为-2的等差数列(D)非等差数列解析:由题意知a n=2n+1,所以a n+1-a n=2,应选A.10.(2019·石家庄高二检测)如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,且公差d≠0,则( B )(A)a3a6>a4a5 (B)a3a6<a4a5(C)a3+a6>a4+a5(D)a3a6=a4a5解析:由通项公式,得a3=a1+2d,a6=a1+5d,那么a3+a6=2a1+7d,a3a6=(a1+2d)(a1+5d) =+7a 1d+10d2,同理a4+a5=2a1+7d,a4a5=+7a1d+12d2,显然a3a6-a4a5=-2d2<0,故选B.11.(2019·沈阳二中月考)在△ABC中,若A,B,C的度数成等差数列,且lg a,lg b,lg c也成等差数列,则△ABC的形状一定是.解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又A+B+C=180°,所以B=60°,又lg a,lg b,lg c成等差数列,所以2lg b=lg a+lg c,即b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,所以ac=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,所以(a-c)2=0,所以a=c.故△ABC为正三角形.答案:正三角形12.已知数列{a n}满足a1=1,且a n=2a n-1+2n(n≥2,且n∈N*).(1)求a2,a3;(2)证明:数列{}是等差数列;(3)求数列{a n}的通项公式a n.(1)解:a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20.(2)证明:因为a n=2a n-1+2n(n≥2,且n∈N*),所以=+1(n≥2,且n∈N*),即-=1(n≥2,且n∈N*),所以数列{}是首项为=,公差d=1的等差数列.(3)解:由(2),得=+(n-1)×1=n-,所以a n=(n-)·2n.探究创新13.(2019·临沂高二期中)已知数列{a n}满足a1=3,a n-2a n a n+1-a n+1=0,求该数列的通项公式.解:由a n-2a n a n+1-a n+1=0,得-=2.又因为a1=3,所以=,所以数列{}是以为首项,2为公差的等差数列,所以=+(n-1)×2=,所以a n=.。
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【高考调研】2018年高中数学课时作业9 等差数列（第1课时）新
人教版必修5
1．已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
答案 C
解析可得a n＋1－a n＝－2或a2－a1＝(3－4)－(3－2)＝－2.
2．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0，则数列的通项a n等于( )
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
答案 D
3．等差数列－3，－1,1，…，的第1 000项为( )
A．1 990 B．1 995
C．2 010 D．2 015
答案 B
4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为( )
A．92 B．47
C．46 D．45
答案 C
5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项B．第8项
C．第9项D．第10项
答案 B
6．{a n}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若a n＝2 011，则n等于( )
A．671 B．670
C．669 D．668
答案 A
7．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为( )
A．0 B．lg 3－2 3＋2
C．lg(5－26) D．1 答案 A
解析 等差中项为
3－2＋
3＋2
2
＝
3－2
3＋2
2
＝lg1
2
＝0. 8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始的负数，则它的公差是( ) A ．－2 B ．－3 C ．－4 D ．－6
答案 C
9．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，
则d 1
d 2
＝( ) A.32 B.23 C.43 D.34
答案 C
解析 ∵d 1＝b －a 4－1，d 2＝b －a 5－1，∴d 1d 2＝4
3
.
10．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是( ) A ．d >8
3
B ．d <3 C.8
3≤d <3 D.8
3
<d ≤3 答案 D
解析 从第10项起为正数，则a 10>0且，a 9≤0，
由⎩⎪⎨⎪⎧
－24＋9d >0，－24＋8d ≤0，
可得8
3
<d ≤3.
11．等差数列2,5,8，…，107共有________项． 答案 36
12．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 答案 －1
2
解析 法一 由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，则a 1＝1，又由于a 3＝a 1
＋2d ＝1＋2d ＝0，解得d ＝－1
2
.
法二 a 7＝a 3＋4d ＝4d ，a 4＝a 3＋d ＝d ，代入条件即可得d .
13．首项为18，公差为3的等差数列从第________项开始大于100.
答案 29
14．已知一个等差数列的第8，第9，第10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项公式
an ＝________.
答案 2n －17
解析 由(b －1)＋(2b ＋3)＝2(b ＋1)，可得b ＝0. ∴a 8＝－1，a 9＝1，a 10＝3. ∴d ＝2，a 1＝－15，∴an ＝2n －17.
15．已知f (n ＋1)＝f (n )－1
4(n ∈N*)，且f (2)＝2，则f (101)＝____________.
答案 －91
4
解析 ∵{f (n )}为等差数列，公差为－1
4，
∴f (1)＝f (2)－(－14)＝2＋14＝9
4
.
∴f (101)＝f (1)＋100·d ＝94＋100×(－14)＝－91
4.
16．已知等差数列5,2，－1，…. (1)求数列的第20项； (2)问－112是它的第几项？ (3)数列从第几项开始小于－20? (4)在－20到－40之间有多少项？
答案 (1)－52 (2)第40项 (3)从第10项开始 (4)6项
17．有一个阶梯教室，共有座位25排，第一排离教室地面高度为17 cm ，前16排前后两排高度差8 cm ，从17排起，前后两排高度差是10 cm(含16,17排之间高度差)．求最后一排离教室地面的高度．
解析 设从第一排起，各排的高度组成数列{a n }，则a 1＝17，∴a 16＝a 1＋15d 1＝17＋15×8＝137.
∴a 25＝a 16＋10·d 2＝137＋10×10＝237(cm)． ►重点班·选作题
18．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，则项n 的取值有________种可能．
答案 5
19．等差数列{a n }中，已知a 1＝1
3，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．
答案 50
1．(2018·重庆)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10等于( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18
答案 D
解析 设{a n }的公差为d ，∵a 2＝2，a 3＝4，∴d ＝a 3－a 2＝2. ∴a 10＝a 2＋(10－2)d ＝2＋8×2＝18.
2．已知数列{an }为等差数列，且a 5＝11，a 8＝5，求an . 解析 设公差为d ，则由a 5＝11，a 8＝5，得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝19，
d ＝－2.
∴an ＝19＋(n －1)(－2)，即an ＝－2n ＋21.
3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
(1) (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？ 解析 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t .
(2)当t ＝1(min)＝60(s)时，
s ＝9.8t ＝9.8×60＝558(cm)． s ＝49(cm)时，t ＝
s
9.8＝49
4.8
＝5 (s)．。