「精品」全国通用高考数学总复习考前三个月12+4满分练12理

12＋4满分练(12)1.已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{y |y ＝2x，x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A.∅B.{x |1＜x ＜2}C.{x |1≤x ＜2}D.{x |1＜x ≤2}答案 C解析 由已知可得A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥1}⇒A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}. 2.(2017·江门一模)i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则复数z 的模|z |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 B解析 由题意知z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2. 3.(2017·四川联盟三诊)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝513，则sin α等于( ) A.5213 B.1213 C.7226 D.17226 答案 C解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝513，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1213，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝1213×22－513×22＝7226. 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为( )A. 5B.2 2C.3D.3 2 答案 C解析 三视图的直观图为三棱锥E －BCD ，如图：CD ＝1，BC ＝5，BE ＝5，CE ＝22，DE ＝3，所以最长边为DE ＝3.5.已知ω为正整数，若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内单调递增，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π 答案 D解析 函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋π4≥－π2，π6ω＋π4≤π2，ω∈N *，解得ω＝1，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π，故选D.6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A.3B.4C.5D.6答案 B解析 第一次循环得S ＝0＋20＝1，k ＝1； 第二次循环得S ＝1＋21＝3，k ＝2； 第三次循环得S ＝3＋23＝11，k ＝3； 第四次循环得S ＝11＋211＝2 059，k ＝4， 但此时S 不满足条件S ＜100，输出k ＝4，故选B.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若函数F (x )＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.(2，8)C.⎝⎛⎦⎥⎤2，174D.(0，8)答案 C解析 函数f (x )的图象如图所示：要使方程f 2(x )－bf (x )＋1＝0有8个不同实数根，令f (x )＝t ，意味着0<t ≤f (0)(f (0)＝4)且t 有两个不同的值t 1，t 2，0＜t 1＜t 2≤4， 即二次方程t 2－bt ＋1＝0在区间(0，4]上有两个不同的实数根.对于二次函数g (t )＝t 2－bt ＋1， 这意味着Δ＝b 2－4>0⎝ ⎛⎭⎪⎫或g ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2<0，0<b2<4(或t 1＋t 2＝b ∈(0，8))， 因为g (0)＝1>0(不论t 如何变化都有图象恒过定点(0，1))， 所以只需g (4)≥0，求得b ≤174.综上可得b ∈⎝⎛⎦⎥⎤2，174.8.已知函数f (x )＝2x ＋sin x ，则不等式f ()m 2＋f ()2m －3＜0(其中m ∈R )的解集是( )A.()－3，1B.()－1，3C.()－∞，－3∪()1，＋∞D.()－∞，－1∪()3，＋∞答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋sin x ，f (－x )＝－2x ＋sin(－x )＝－()2x ＋sin x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数， ∵f ′(x )＝2＋cos x >0， ∴函数f (x )为增函数， 由f ()m 2＋f ()2m －3＜0，得f ()m 2＜－f ()2m －3＝f ()3－2m ，即m 2＜3－2m ，得－3＜m ＜1，即不等式f (m 2)＋f (2m －3)＜0的解集是(－3，1)， 故选A.9.(2017·湛江二模)底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为( )A.22π3B.2π3C.23π3D.3π3答案 B解析 设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ， 由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ， 在Rt△AOO 1中，⎝ ⎛⎭⎪⎫22－R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝R 2， 解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝2π3. 10.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F (1，0)，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A ，B 两点，若x 轴上的点P (t ，0)使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( )A.－2B.2C.－ 2D. 2 答案 B解析 在椭圆中，由c ＝1，e ＝c a ＝22，得a ＝2，故b ＝1， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，当直线的斜率不存在时，t 可以为任意实数， 当直线的斜率存在时，可设直线方程为y ＝k (x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线， 即直线PA 和PB 的斜率之和为0， 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，得 2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－(t ＋1)4k21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.11.(2017·自贡一诊)已知a ∈{0，1，2}，b ∈{－1，1，3，5}，则函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.512 B.13 C.14 D.16 答案 A解析 ∵a ∈{0，1，2}，b ∈{－1，1，3，5}， ∴基本事件总数n ＝3×4＝12，函数f (x )＝ax 2－2bx 在(1，＋∞)上为增函数，则①当a ＝0时，f (x )＝－2bx ，情况为b ＝－1，1，3，5，符合要求的只有一种b ＝－1； ②当a ≠0时，则讨论二次函数的对称轴x ＝－－2b 2a ＝b a ，要满足题意，则b a ≤1，则(a ，b )有：(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)共4种情况.综上所述得：使得函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为P ＝512.12.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在DG →上运动(如图).若AP →＝λAE →＋μBF →，其中λ，μ∈R ，则6λ＋μ的取值范围是( )A.[1，2]B.[2，22]C.[2，22]D.[1，22] 答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，C (2，2)，D (0，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.设P (cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π2，则AP →＝(cos θ，sin θ)，AE →＝(2，1)，BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，∵AP →＝λAE →＋μBF →，∴(cos θ，sin θ)＝λ(2，1)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， 即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2λ－μ，sin θ＝λ＋32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14sin θ＋38cos θ，μ＝12sin θ－14cos θ，∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∵0≤θ≤π2，∴π4≤θ＋π4≤3π4， ∴2≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤22，即6λ＋μ的取值范围是[2，22]，故选C.13.已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，x ＋y ≤4，y ≥0，则x ＋2y 的最大值为________.答案 7解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，x ＋y ≤4，y ≥0对应的平面区域如图所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知当直线y ＝－12x ＋z2经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即A (1，3)，此时z 的最大值为z ＝1＋2×3＝7.14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3B 2＋π4＝22，且a ＋c ＝2，则△ABC的周长的取值范围是________. 答案 [3，4) 解析 ∵0＜B ＜π，∴0＜3B 2＜3π2，π4＜3B 2＋π4＜7π4，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫3B 2＋π4＝22，∴3B 2＋π4＝3π4，B ＝π3， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝4－3ac ，由a ＋c ＝2≥2ac ，得0＜ac ≤1，∴1≤4－3ac ＜4， 即1≤b 2＜4，∴1≤b ＜2，3≤a ＋b ＋c ＜4，则△ABC 的周长的取值范围是[3，4).15.从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________.(结果用最简分数表示) 答案 35解析 从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35.16.已知函数f (x )＝(x －1)e x＋12ax 2＋1(其中a ∈R )有两个零点，则a 的取值范围是__________.答案 (－∞，－1)∪(－1，0)解析 由题意，f ′(x )＝x (e x＋a )，其中f (0)＝0，故函数还有一个不为零的零点，分类讨论： (1)当a ≥0时，由f ′(x )＜0，得x ＜0，由f ′(x )＞0， 得x ＞0，此时函数仅有一个零点；(2)当a ＜0时，由f ′(x )＝0可得，x 1＝0，x 2＝ln(－a )， ①当ln(－a )＜0，即－1＜a ＜0时，当x ∈(－∞，ln(－a ))∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(－ln(－a )，0)时，f ′(x )＜0，所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取得极大值，当x ＝0时，函数取得极小值， 而f (ln(－a ))＞f (0)可知函数有两个零点，此时满足条件. ②当ln(－a )＝0，即a ＝－1时，当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 函数单调递增，函数只有一个零点，不满足条件. ③当ln(－a )＞0，即a ＜－1时，当x ∈(－∞，0)∪(ln(－a )，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(0，ln(－a ))时，f ′(x )＜0，所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取得极小值，当x ＝0时，函数取得极大值， 由f (ln(－a ))＜f (0)可知函数有两个零点，此时满足条件. 综上可得，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，0).。