三角形中位线角分线
三角形的高中线角分线
时代中学八年级数学导学案 编号：2 使用时间：2017-9-2 编制人： 审核： 审批： 班级： 小组： 姓名： 小组评价： 教师评价：第 1 页 共2页 上的高，则∠ADC=）三角形的三条高线所在的直线相交于 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相）直角三角形的三条高相交三角形的上的中线，则有BD = = = ）三角形的三条角平分线相交于 ）钝角三角形的三条角平分线相交三角形）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 .，则∠BAC 的平分线2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？第 3 页 共 3页课堂小测1.1．三角形的角平分线是（ ）．A ．直线B ．射线C ．线段D ．以上都不对2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；•②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、如图，点D 是BC 边上的中点，如果AB=3厘米，AC=4厘米， 则△ABD 和△ACD 的周长之差为________，面积之差为__________。
4、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形 5、填空：（1）如图（1），AD ，BE ，CF 是ΔABC 的三条中线，则AB=2 ，BD= ,AE= 。
（2）如图（2）， AD ，BE ，CF 是ΔABC 的三条角平分线，则∠1= , ∠3= , ∠ACB= 2 。
6.如图，在ΔABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高。
填空： （1）BE= = ½ ；（2）∠BAD= = ½ ； （3）∠AFB= =90°；图2F E D CBA4321图1F E D CBAA B D C。
初中数学知识归纳三角形的中线角平分线高线
初中数学知识归纳三角形的中线角平分线高线初中数学知识归纳：三角形的中线、角平分线、高线三角形是初中数学学习中最基础的几何图形之一，它具有丰富的性质和特点。
本文将归纳总结三角形的中线、角平分线和高线的相关性质，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、三角形的中线中线是连接三角形的两个顶点和中点的线段。
三角形的中线有以下特点：1. 任意三角形的三条中线交于一点，这一点称为三角形的重心。
重心所在的位置离三角形的三个顶点距离相等，且重心将中线分成2:1的比例。
2. 三角形的重心到顶点的距离是中线对应中点到顶点距离的2倍，也就是说，如果连接重心和顶点，那么重心到顶点的距离是连接中点和顶点的线段的2倍。
3. 在等边三角形中，三条中线重合，即三条中线交于一点，同时这个点也是三角形的重心。
二、三角形的角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
三角形的角平分线有以下特点：1. 三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心。
内心所在的位置距离三角形的三条边的距离相等，且内心到三边的距离之和等于三角形的周长。
2. 在等腰三角形中，三条角平分线重合，即三条角平分线交于一点，同时这个点也是三角形的内心。
3. 角平分线和对边、邻边有如下关系：角平分线等分对边和邻边上的对应角；对边和邻边上的线段与角平分线比例相等。
三、三角形的高线高线是从一个顶点出发，与对边垂直相交的线段。
三角形的高线有以下特点：1. 任意三角形都有三条高线，它们分别从三个顶点出发，并与对边垂直相交。
2. 等腰三角形的高线同时也是角平分线和中线。
3. 在直角三角形中，高线就是斜边上的中线。
总结：三角形的中线、角平分线和高线都有各自的特点和性质。
通过了解和掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的问题。
在实际应用中，这些概念和性质也有着广泛的应用，例如在建筑、制图、几何证明等方面都可以看到它们的身影。
通过本文的归纳和总结，我们希望读者能够对三角形的中线、角平分线和高线有更全面的了解，并在实际问题中能够运用到这些知识，提高数学解题的能力。
中考数学复习知识的：三角形中位线
中考数学复习知识的：三角形中位线
导语：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是中考的重点内容，一起来学习下吧：
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以*两条直线平行。
数量关系：可以*线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
三角形的中位线角平分线和垂线
三角形的中位线角平分线和垂线三角形的中位线、角平分线和垂线三角形是初中数学中一个重要的图形，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，中位线、角平分线和垂线是三条与三角形内部相关的特殊线段。
本文将介绍中位线、角平分线和垂线在三角形中的性质和应用。
一、中位线中位线是连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，三条中位线分别为AD，BE和CF（D、E和F分别为边BC、AC和AB的中点）。
中位线具有以下性质：性质1：三角形中的三条中位线互相平分。
性质2：三角形中的三条中位线交于一个点，该点被称为中心。
性质3：中心到各顶点的距离等于中心到对边中点的距离，而且中心是中位线的重心。
应用：中位线的应用较多，最常见的是利用中位线求三角形重心。
重心是以三角形三条中位线的交点为顶点的新三角形的重心。
我们可以根据中位线的性质计算重心的坐标。
二、角平分线角平分线是从一个角的顶点出发，平分这个角的角度的线段。
对于三角形ABC，角BAC的角平分线为AD（D在BC上）。
角平分线具有以下性质：性质1：角平分线把原来的角分成两个相等的角。
性质2：三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为内角平分点。
性质3：内角平分点到三个顶点的距离相等。
应用：角平分线的应用较多，最常见的是利用角平分线求三角形内心。
内心是以三角形的三条角平分线的交点为顶点的新三角形的内心。
我们可以根据角平分线的性质计算内心的坐标。
三、垂线垂线是从一个顶点引出，与对边垂直相交的线段。
对于三角形ABC，从顶点A引出的垂线为AD（D在BC上）。
垂线具有以下性质：性质1：垂线与对边垂直相交，交点为垂足。
性质2：三角形的三条垂线交于一点，该点被称为垂心。
应用：垂线的应用较多，可以用于求解三角形的垂心。
垂心是以三角形的三条垂线的交点为顶点的新三角形的垂心。
我们可以根据垂线的性质计算垂心的坐标。
综上所述，三角形的中位线、角平分线和垂线在几何学中具有重要的地位和应用。
《三角形的中位线》 知识清单
《三角形的中位线》知识清单一、三角形中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
需要注意的是，一个三角形有三条中位线。
二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理是解决与三角形中位线相关问题的重要依据。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过以下方式进行证明：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE。
延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接 CF。
因为 AE ＝ EC，DE ＝ EF，∠AED ＝∠CEF（对顶角相等），所以△ADE ≌△CFE（SAS）。
所以 AD ＝ CF，∠ADE ＝∠F。
因为 AD ＝ BD，所以 BD ＝ CF。
又因为∠ADE ＝∠F，所以 BD∥CF。
所以四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
所以 DE∥BC 且 DE ＝ 1/2BC。
三、三角形中位线定理的应用1、证明线段平行如果已知一条线段是三角形的中位线，那么可以直接得出这条线段与三角形的第三边平行。
例如，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么 DE∥BC。
2、证明线段的数量关系因为三角形的中位线等于第三边的一半，所以可以利用这个关系来证明线段之间的倍数关系。
比如，已知△ABC 中，DE 是中位线，那么 DE ＝ 1/2BC。
3、计算线段的长度当已知三角形的边长或者其他相关线段的长度时，可以通过中位线定理求出中位线的长度。
假设△ABC 的边长分别为 a、b、c，其中 AB ＝ c，AC ＝ b，BC＝ a。
D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么中位线 DE 的长度为 1/2a。
4、求解三角形的面积通过中位线将三角形分成几个部分，利用中位线定理和已知条件，可以求出三角形的面积。
5、构造中位线解决问题在一些几何问题中，如果没有现成的中位线，可以通过连接中点构造中位线，从而使问题得到解决。
三角形的中位线与中心线
三角形的中位线与中心线一、三角形的中位线1.定义：三角形的中位线是从三角形的一个顶点出发，在对面的边上找到中点，然后连接这个中点和顶点的线段。
(1)三角形的中位线平行于第三边。
(2)三角形的中位线等于第三边的一半。
(3)三角形的中位线将对边的夹角平分。
二、三角形的中心线1.定义：三角形的中心线是从三角形的某个顶点出发，延长到对边上的点，使得这个点到三角形其他两个顶点的距离相等。
(1)三角形的中心线将对边的夹角平分。
(2)三角形的中心线将对边的中点连接起来，形成的线段是三角形的中位线。
(3)三角形的三条中心线相交于一点，称为三角形的心。
1.在等边三角形中，中位线和中心线重合，都是三角形的角平分线、中线和高线。
2.在一般三角形中，中位线是中心线的一部分，中心线是延长的中位线。
四、三角形的中位线与中心线在实际应用中的意义1.在建筑设计中，通过测量三角形的中位线和中心线，可以判断建筑物的结构是否稳定。
2.在工程测量中，利用三角形的中位线和中心线可以简化计算，提高测量精度。
3.在解决几何问题时，运用三角形的中位线和中心线可以简化问题，找到解决问题的突破口。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC上的中点，求证：DE平行于BC，且DE等于BC的一半。
答案：根据三角形的中位线性质，D、E分别是边AB、BC的中点，所以DE平行于BC，且DE等于BC的一半。
2.习题：在三角形ABC中，M是边AC上的中点，求证：BM平行于AC。
答案：延长BM到N，使得MN=BM。
由于M是AC的中点，所以AN=NC。
根据等腰三角形的性质，AN平行于BC，且AN=BC。
又因为DE平行于BC，所以DE平行于AN。
又因为DE=BC，所以MN平行于AC，且MN=AC。
根据平行线的性质，BM平行于AC。
3.习题：在等边三角形DEF中，G是边DE的中点，求证：FG平行于DE。
答案：由于DEF是等边三角形，所以DE平行于DF。
初中数学三角形中位线定理
初中数学三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
逆定理为在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
三角形中位线特点
若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。
三条中位线形成的三角形的面积是原三角形面积的四分之一，三条中位线形成的三角形的周长是原三角形周长的二分之一。
三角形角平分线定义
三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。
(也叫三角形的内角平分线。
) 由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
且任意三角形的角平分线都在三角形内部。
三角形三条角平分线永远交三角形内部于一点，这个点我们称之为内心。
全等三角形怎样判定
1.SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
2.SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
3.ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
4.AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
三角形的中位线定理及判定方法
三角形的中位线定理及判定方法想要了解三角形中位线定理的小伙伴，赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“三角形的中位线定理及判定方法”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！三角形的中位线定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理是，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
三角形的中位线的判定方法1、过三角形的两边中点的线段，是三角形的中位线。
2、过三角形的一边中点且平行于另一边的线段，是三角形的中位线。
3、平行且等于三角形一边长度的一半的线段，是三角形的中位线。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
拓展阅读：三角形的面积公式1.已知三角形底a，高h，则等腰三角形的面积为S=ah/2。
2..已知三角形三边a，b，c，则S=√p（p-a）（p-b）（p-c）[p=（a+b+c）/2]。
3.已知三角形两边a，b，这两边夹角C，则S=（a*b*sinC）/2。
4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积S=[（a+b+c）r]/2。
5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积S=abc/4R。
6.海伦——秦九韶三角形中线面积公式：S=√[（Ma+Mb+Mc）*（Mb+Mc-Ma）*（Mc+Ma-Mb）*（Ma+Mb-Mc）]/3其中Ma，Mb，Mc为三角形的中线长。
7.已知三角形的三条边为a，b，c，三角形的角为A，B，C，则三角形面积为S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。
三角形的基本定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。
平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
三角形的中位线和角平分线
三角形的中位线和角平分线三角形是几何学中最基本的图形之一，它有很多有趣的性质和特点。
本文将要讨论的是三角形中的两条重要线段——中位线和角平分线，它们对于三角形的性质和形状起着关键的作用。
一、中位线中位线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC来说，连接顶点A与对边BC中点的线段就是三角形ABC的中位线。
中位线的一个重要性质是：三角形的三条中位线交于一点，且该点与三角形的三个顶点距离相等。
这个点被称为三角形的质心，通常用字母G表示。
质心是三角形的一个重要中心，它具有以下特点：1. 质心G到三角形的各顶点距离相等，即GA=GB=GC；2. 质心G内分中位线，GA:AG'=GB:BG'=GC:CG'=2:1。
质心G的坐标可以通过三角形的顶点坐标计算得到。
以三角形的顶点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，质心的坐标为G(x, y)。
质心的横坐标可以通过以下公式计算：x = (x1 + x2 + x3) / 3质心的纵坐标可以通过以下公式计算：y = (y1 + y2 + y3) / 3通过计算可以得到三角形的质心坐标，进而推导出质心G在坐标平面上的位置。
二、角平分线角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将对应的顶角平分为两个相等的角的线段。
对于任意三角形ABC来说，由顶点A开始的角平分线与对边BC相交于一点D。
角平分线的一个重要性质是：三角形的三条角平分线交于一点，且该点与三角形的三个顶点到交点的距离成比例。
这个点被称为三角形的内心，通常用字母I表示。
内心是三角形的一个重要中心，它具有以下特点：1. 内心I到三角形的各边的距离相等，即ID=IE=IF；2. 内心I到三角形的顶点的距离成比例，即AI:BI:CI = a:b:c，其中a、b、c分别为三角形的边长。
内心I的坐标可以通过三角形的顶点坐标计算得到。
以三角形的顶点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，内心的坐标为I(x, y)。
三角形的高线、角平分线与中位线
三角形的高线、角平分线与中位线三角形是几何学中的基础概念之一，它有许多有趣而重要的性质和定理。
其中，高线、角平分线和中位线是比较常见且常用的三角形线段。
本文将介绍这三种线段的定义、性质和应用。
一、高线高线是指从三角形的一个顶点到对边上垂直的线段。
对于任意三角形ABC，以顶点A为例，从A点引一条垂直于BC边的线段AD，AD 就是三角形ABC的高线。
同理，从B和C点分别引出高线，得到的线段分别为BE和CF。
高线具有以下性质：1. 高线的长度可以不相等，取决于三角形的形状和大小。
2. 高线相交于一个点，这个点被称为三角形的垂心，记为H。
3. 垂心与三个顶点的连线分别垂直于对边。
高线的应用：1. 高线可以帮助我们确定三角形的垂直性质。
如果一个三角形的三条高线相交于一个点且互相垂直，那么这个三角形就是直角三角形。
2. 高线还可以用于解决一些几何问题，如寻找最短路径或确定最佳角度等。
二、角平分线角平分线是指从一个角的顶点引出的线段，将该角分成两个相等的角。
对于任意三角形ABC，以角A为例，从A点引一条线段AD，使得∠BAD=∠DAC，AD就是角A的平分线。
同理，从B和C点分别引出平分线，得到的线段分别为BE和CF。
角平分线具有以下性质：1. 三角形的三条角平分线相交于一个点，称为三角形的内心，记为I。
2. 内心到各边的距离相等，即ID = IE = IF。
3. 内心与各边的连线平分相应的内角。
角平分线的应用：1. 角平分线可以帮助我们确定三角形的内切圆，即内心为圆心，与三边相切。
内切圆有许多有趣的性质与应用。
2. 角平分线还可以用于构造一些特殊的图形或解决几何问题。
三、中位线中位线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，以顶点A为例，连接A点与BC中点M的线段AM，AM 就是三角形ABC的中位线。
同理，从B和C点分别连接中点，得到的线段分别为BM和CM。
中位线具有以下性质：1. 三角形的三条中位线交于一个点，称为三角形的重心，记为G。
三角形的角平分线和中位线
三角形的角平分线和中位线三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段连接称为边的三个点组成。
在三角形中，有两条特殊的线段，分别称为角平分线和中位线。
本文将详细介绍三角形角平分线和中位线的定义、性质和应用。
一、角平分线角平分线是从三角形的一个顶点出发，将对角线分成两个相等部分的线段。
具体而言，三角形的角平分线将相对于该顶点的两个角分成相等的两个角。
角平分线的性质：1. 角平分线上的点到三角形的两边的距离相等。
2. 三角形的三条角平分线交于一点，称为角平分点（也叫做内心）。
3. 角平分线将三角形分成一个内角和两个外角。
内角等于两个外角的和。
角平分线的应用：1. 角平分线可以用来构造内切圆。
内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，其圆心即为角平分点。
2. 角平分线的交点还可以用来确定三角形的内心，进而用于求三角形的各种性质。
二、中位线中位线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
具体而言，三角形的中位线将相邻两个顶点的中点连接起来。
中位线的性质：1. 三角形的三条中位线交于一点，称为重心。
2. 重心将中位线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
3. 在等边三角形中，重心、内心和外心三个点重合。
中位线的应用：1. 中位线将三角形分成六个小三角形，这些小三角形的面积相等。
2. 重心是三角形内接圆（与三角形的三条边都相切的圆）的圆心。
因此，通过重心可以确定三角形的外接圆和内接圆。
结论：三角形的角平分线和中位线是三角形内部的特殊线段，具有一些独特的性质和应用。
理解和运用这些性质，可以帮助我们更好地研究和解决与三角形相关的问题。
通过本文的介绍，我们对三角形的角平分线和中位线有了更深入的理解。
在解决几何题目时，我们可以利用这些性质和应用，快速推导出结论，提高解题的效率。
同时，这些特殊线段也为我们探索三角形的更多性质和定理提供了基础。
三角形的研究是几何学中重要的一部分，而角平分线和中位线在其中扮演着重要的角色。
希望通过本文的介绍，读者们对于这两个概念有了更全面的认识和了解。
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理中位线是指将三角形 ABC 划分为两个三角形的线段，即 AB 线和 AC 线。
中线是指连接三角形 ABC 中任意两边中点的线段。
高线是指过三角形 ABC 顶点且垂直于底边的线段。
角平分线是指连接三角形 ABC 任意两个角顶点的线段。
垂线是指连接三角形 ABC 顶点和底边中点的线段。
区别定义定理：1. 中位线将三角形 ABC 划分为两个三角形，中线连接三角形 ABC 中任意两边中点，高线过三角形 ABC 顶点且垂直于底边，角平分线连接三角形 ABC 任意两个角顶点。
2. 中位线定理指出，三角形 ABC 的中位线平行于三角形 ABC 的任意一条边，且中位线的长度等于该边的一半。
中线定理指出，三角形 ABC 的中线长度等于该三角形周长的一半。
高线定理指出，三角形 ABC 的高线垂直于底边，且高线的长度等于该三角形周长的一半。
角平分线定理指出，三角形 ABC 的角平分线交于点 O，且角平分线的长度为该角的一半。
拓展：1. 中位线将三角形 ABC 划分为两个三角形，意味着中位线将三角形 ABC 的顶点和底边分成了两个部分，每个部分都是三角形 ABC 的一个内角。
中线连接三角形 ABC 中任意两边中点，意味着中线将三角形 ABC 的两边连接在一起，并且中线的长度等于该边的一半。
高线过三角形 ABC 顶点且垂直于底边，意味着高线将三角形 ABC 的顶点和底边分成了两个部分，并且高线的长度等于该边的一半。
角平分线连接三角形 ABC 任意两个角顶点，意味着角平分线将三角形ABC 的顶点和角顶点分成了两个部分，并且角平分线的长度等于该角的一半。
2. 中位线定理、中线定理、高线定理和角平分线定理都是三角形相关的定理，它们为三角形的研究提供了重要的工具。
中位线定理和中线定理提供了测量三角形周长和长度的方法，高线定理和角平分线定理提供了测量三角形内角和和角度的方法。
这些定理的应用可以帮助人们更好地理解和掌握三角形的知识。
三角形的角平分线和中位线
三角形的角平分线和中位线三角形是初中数学中的重要概念之一，它的性质和特点在数学学习中有着广泛的应用。
本文将重点介绍三角形的角平分线和中位线的概念、性质和应用。
一、角平分线的概念和性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在一个三角形中，每个内角都可以有一条角平分线。
我们以三角形ABC为例来说明。
对于三角形ABC，假设∠BAC是一个内角，线段AD是∠BAC的角平分线。
根据角平分线的定义，∠BAD和∠DAC是相等的。
同时，根据角的性质，∠BAD和∠DAC的和等于∠BAC。
因此，∠BAD和∠DAC的和等于180度。
利用角平分线的性质，我们可以解决一些有关角的问题。
例如，给定一个三角形ABC，已知∠BAC的度数为x度，∠BAD的度数为y度，我们可以通过利用角平分线的性质，得到∠DAC的度数为x-y度。
二、中位线的概念和性质中位线是指连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，线段DE是∆ABC的中位线，其中D是BC的中点。
中位线有以下性质：1. 三角形的三条中位线交于一点，且这个点被称为三角形的重心。
重心将三角形分成六个小三角形，这些小三角形的面积相等。
2. 重心到三角形的顶点距离的比例为2:1。
即重心到顶点的距离是重心到中点的距离的两倍。
3. 重心到三角形的顶点的距离之和等于重心到对边中点的距离之和。
利用中位线的性质，我们可以解决一些有关三角形的问题。
例如，给定一个三角形ABC，已知AB=AC，线段DE是BC的中位线，我们可以利用重心的性质得到BD:DC=2:1。
三、角平分线和中位线的应用角平分线和中位线在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面以一些例题来说明。
例题1：在三角形ABC中，∠BAC=60度，角平分线AD交边BC于点D，求∠BAD和∠DAC的度数。
解：根据角平分线的性质，∠BAD和∠DAC的和等于∠BAC的度数，即∠BAD+∠DAC=60度。
又根据角平分线的定义，∠BAD和∠DAC是相等的，因此∠BAD=∠DAC=30度。
(完整版)初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点
初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点我们在学习三角形的时候，学到好多“线”，比如：中线、角平分线、垂线、高线等等.它们都是三角形里面比较重要的东西，也是比较重要的知识点。
如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为多少？这道题题目比较简单，很容易得出答案是2。
三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4。
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。
三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线不是角的平分线,是线段。
角的平分线是射线.(这是三角形的角平分线与角平分线的区别）角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理2:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如:在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心）。
三角形的高线从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明垂直平分线的性质：1。
三角形中分线定理
三角形中分线定理三角形中分线定理是指：在一个三角形中，如果从某一顶点引一条线段，使其与对边的两条边相交，那么这条线段将这个三角形的对边分成两个部分，其中一部分的长度等于另一部分长度的比等于这个顶点所对的角的两个邻角所对应边的长度之比。
具体来说，设在三角形ABC中，D为BC上一点，AD为三角形ABC 中A顶点所引的直线段，则有以下结论：1. BD/DC=AB/AC2. AD/AB=CD/AC证明：1. 由相似三角形可得：∵∠BAD=∠CAD∴△ABD∽△ACD则有：BD/DC=AB/AC2. 由相似三角形可得：∵∠BAD=∠CAD∴△ABD∽△ACD则有：AD/AB=CD/AC应用：1. 求三角形内心到各边距离的大小关系。
设I为三角形ABC内心，在BC上取点D，则根据中线定理有BD/DC=AB/AC。
又因为I是内心，则ID垂直于BC。
连接AI交BC 于E，则AE是△ABC中位线。
根据勾股定理可得：BE²=BA²-EA²又因为I是内心，则ID²=IB²-BD²同理可得：IC²-CD²=ID²则有：BE²+CD²=(BA²+AC²)/2-ID²又因为AB=AC，则有：BE=CD所以，三角形ABC内心到各边距离相等。
2. 求三角形内心到各顶点的距离。
设r为三角形ABC的内切圆半径，则根据中线定理有BD/DC=AB/AC。
又因为I是内心，则ID垂直于BC。
连接AI交BC于E，则AE是△ABC中位线。
根据勾股定理可得：BE²=BA²-EA²又因为I是内心，则ID=r，AE=(AB+AC)/2，BE=r+tan(A/2)×(s-AB-AC)/2，CD=r+tan(A/2)×(s-AB-AC)/2其中s=(AB+BC+CA)/2为△ABC的半周长。
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理中位线、中线、高线、角平分线、垂线都是常见的几何概念。
它们在不同的几何图形中具有不同的定义和性质。
下面将逐个介绍它们的定义和定理，并探讨它们的重要性和应用。
首先，中位线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，连接点A与边BC的中点D所得的线段AD即为三角形ABC的中位线。
同理，连接点B与边AC的中点E所得的线段BE以及连接点C与边AB的中点F所得的线段CF也都是三角形ABC的中位线。
中位线的定理是指中位线的三个交点构成一个等边三角形。
这意味着，无论三角形的尺寸和外形如何，它的三个中位线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。
其次，中线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。
与中位线相似，中线也有三个，分别是从顶点A到边BC的中点M，从顶点B到边AC的中点N，以及从顶点C到边AB的中点P所得的线段。
中线的定理是指它们的交点构成一个等边三角形。
这意味着，在任意三角形中，三个中线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。
第三，高线是指在一个三角形中，从一个顶点向对边作垂直线段。
具体来说，对于三角形ABC，从顶点A向边BC作垂直线段AH，从顶点B向边AC作垂直线段BK，以及从顶点C向边AB作垂直线段CL，它们分别是三角形ABC的三条高线。
高线的定理是指三角形的三条高线交于一个点，这个点称为三角形的垂心。
垂心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的顶点和对边之间的距离满足最短距离的性质。
接下来，角平分线是指将一个角等分成两个相等的角的线段。
对于三角形ABC，角BAC的角平分线是从角BAC的顶点A出发，将角BAC 等分为两个相等的角的线段AD。
角平分线的定理是指三角形内的三个角的角平分线交于一个点，这个点称为三角形的内心。
内心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的三个边之间的距离满足最短距离的性质。
最后，垂线是指与另一条直线（边）垂直相交的线段。
探讨中位线与角平分线的性质
探讨中位线与角平分线的性质中位线和角平分线是几何中常见的概念，它们在三角形中具有一些特殊的性质。
本文将探讨中位线和角平分线的性质，从而加深对这两个概念的理解。
一、中位线的性质中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的直线。
下面分别讨论中位线的性质。
1. 中位线的长度在任意三角形中，三条中位线的长度相等。
即对于三角形ABC来说，连接顶点A和边BC中点的线段AD是三角形ABC的中位线，连接顶点B和边AC中点的线段BE是三角形ABC的中位线，连接顶点C和边AB中点的线段CF是三角形ABC的中位线。
三条中位线AD、BE和CF的长度相等。
2. 中位线的交点三条中位线的交点称为三角形的重心，记为G。
重心G是一个特殊的点，它在任意三角形中都存在且位置唯一。
3. 重心到顶点的距离比重心G到三角形三个顶点的距离满足以下关系：AG : BG : CG = 2 : 2 : 2，即AG = BG = CG。
二、角平分线的性质角平分线是一个角的两个相邻边的夹角平分线，将这个角平分为两个相等的角。
下面分别讨论角平分线的性质。
1. 角平分线的交点一个三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心，记为I。
内心I是一个特殊的点，它在任意三角形中都存在且位置唯一。
2. 角平分线长度比一条角平分线将一个角分成两个相等的角。
在三角形中，三条角平分线将一个角分成六个相等的角。
记角ABC的角平分线为AD，其中D是边BC上的一点。
则有：∠BAD = ∠DAC = ∠EAD = ∠FAD = ∠IAD = ∠HAD，其中∠BAD = ∠CAD = ∠DAB，∠EAD = ∠DAF = ∠DAE，∠IAD =∠IAE = ∠IAF，∠HAD = ∠HAF = ∠HAE。
通过以上性质，我们可以推导出许多与中位线和角平分线有关的结论。
例如，可以证明中位线和角平分线的交点重心G和内心I距离的比为3:1，即GI : IG = 3:1。
总结起来，中位线和角平分线是三角形中常见的概念，它们具有许多重要的性质。
三角形的中位线 知识讲解
三角形中位线定理责编：杜少波【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】（2015秋•青岛校级月考）在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO 中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC ＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】（2015春•泗洪县校级期中）如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN⊥BE 于N ，AM⊥CF 于M ，求证：MN∥BC．【答案】证明：延长AN 、AM 分别交BC 于点D 、G ．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．4、（2014•鞍山一模）（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【思路点拨】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．【答案与解析】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠HEO，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由.【答案与解析】解：四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.。
三角形中’线表示法
三角形中’线表示法三角形中的线表示法是一种用线段在三角形内部或外部连接各个重要点的方法，以便更好地研究和理解三角形的性质和关系。
在这种表示法中，线段可以连接三角形的顶点、中点、角平分线、垂心、重心、外心等等。
下面将详细介绍三角形中常用的线表示法及其应用。
1. 三角形的中位线中位线是连接三角形两个顶点的中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接AB的中点M和C的中点N，得到的线段MN就是三角形ABC的中位线。
中位线有以下重要性质：（1）三角形的三条中位线交于一点，该点称为三角形的重心，记作G。
重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心和大三角形的重心重合。
（2）重心到三角形三个顶点的距离相等，即GA=GB=GC。
（3）重心到三角形三边中点的距离是中点连线的一半。
2. 三角形的角平分线角平分线是从三角形的一个顶点出发，将对角的角平分成两个相等角的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与BC的角平分线AD，得到的线段AD就是三角形ABC的角平分线。
角平分线有以下重要性质：（1）三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心，记作I。
内心到三角形三边的距离相等，即ID=IE=IF。
（2）内心是三角形ABC内接圆的圆心，内接圆是唯一与三角形三边相切的圆。
（3）内心到三角形三个顶点的距离满足以下关系：IA：IB：IC = b+c：c+a：a+b。
3. 三角形的高线高线是从三角形的一个顶点出发，与对边垂直相交的线段。
对于任意三角形ABC，从顶点A向BC引一条垂直线段AH，得到的线段AH就是三角形ABC的高线。
高线有以下重要性质：（1）三角形的三条高线交于一点，该点称为三角形的垂心，记作H。
垂心到三角形三边的距离满足以下关系：AH：BH：CH = cotB:cotC:cotA。
（2）垂心是三角形ABC外接圆的圆心，外接圆是唯一与三角形三边相切的圆。
（3）垂心到三角形三个顶点的距离满足以下关系：HA·HD = HB·HE = HC·HF。
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二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
图1-1B图1-2DBC简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？练习 1．已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC2．已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE=2CE3．已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。
求证：BM-CM>AB-AC4．已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、DC 。
求证：BD+CD>AB+AC 。
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等ABC图1-4ABC过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。
近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。
例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。
求证：BC=AB+AD分析：过D 作DE ⊥BC 于E ，则AD=DE=CE ，则构造出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。
求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。
分析：连接AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。
练习：1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥O A ，如果PC=4，则PD=（ ）A 4B 3C 2D 12．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。
3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ，CE ⊥AB ，AE=21（AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180 。
图2-1BC图2-2ABC图2-3ABC 图2-4OADABD4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
5．已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。
求证CF=BH 。
（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。
求证：DH=21（AB-AC ） 分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。
问题可证。
例2． 已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠A BC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE 于M 。
求证：AM=ME 。
图2-6ECD图2-7DBAB图3-2BC图3-3E分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE ，所以想到利用比例线段证相等。
例4． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。
求证：AM=21（AB+AC ） 分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△AB D 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=21EC ，另外由求证的结果AM=21（AB+AC ），即2AM=AB+AC ，也可尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=C F 即可。
练习： 1．已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。
2．已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线，AF ⊥BF于F ，AE ⊥BE 于E ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证MN=21BC （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
图4-2图4-1ABC BIG例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。
1 2ACDB例5 如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC ，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180。
例6 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。
练习：1. 已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC 。
求证：△ABC 是直角三角形。
2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥ACBDCAAB EC DCAB ABDC1 23．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD四 由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD 是ΔABC 的中线，则S ΔABD =S ΔACD =S ΔABC （因为ΔABD 与ΔACD 是等底同高的）。
ABCDAEBD例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE 的中线。
已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD =SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE =SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF =SΔCDE=×1=。
∴ΔCDF的面积为。
（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。
求证：∠BGE=∠CHE。
证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位线，∴ME CD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位线，∴MF AB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，从而∠BGE=∠CHE。
（三）、由中线应想到延长中线例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。
在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，从而BE=AC=3。
在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD===，故BC=2BD=2。
例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC是等腰三角形。
证明：延长AD到E，使DE=AD。
仿例3可证：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。