二面角求法大全教案
二面角的教学设计
二面角的教学设计一、教学目标1.了解二面角的概念和性质；2.掌握计算二面角的方法；3.学会应用二面角解决相关几何问题；4.培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、教学准备1.PowerPoint课件；2.相关绘图工具；3.教学实例和习题集。
三、教学过程步骤一：导入与激发兴趣（5分钟）通过一组有趣的图形和问题引入二面角的概念，让学生对二面角产生兴趣，激发学习欲望。
例如，可以展示一张图片，上面有一根棍子放在桌子上，然后在桌子上侧视拍摄，让学生观察并推测这种角度有什么特殊的性质。
步骤二：简介二面角的概念和性质（10分钟）在这一部分，通过PPT课件介绍二面角的定义和基本性质。
通过清晰的图示和简洁明了的文字，让学生了解二面角是指两个在一个平面上的直线夹角。
步骤三：计算二面角的方法（20分钟）在这一部分，详细讲解如何计算二面角。
首先，介绍二面角的计算公式，然后通过几个具体的实例来演示计算方法，并与学生一起讨论解题思路和步骤。
步骤四：应用二面角解决相关几何问题（15分钟）通过一些实例题目，让学生应用二面角的知识来解决相关的几何问题。
这些问题既能巩固学生对二面角的理解，又能培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
例如，可以出一道题目：已知两个平面的夹角为60°，求它们的二面角。
步骤五：小结与拓展（10分钟）在这一部分，对本节课的内容进行小结，并与学生一起讨论二面角的应用领域，以及未来学习的方向。
同时，可以给学生布置一些相关的习题作业，巩固所学知识。
步骤六：课堂练习（20分钟）在这一部分，放一些与二面角相关的练习题供学生自主完成，同时教师在课堂上对学生的答题情况进行监督和指导。
步骤七：课堂总结（5分钟）对本节课的内容和学生的表现进行总结，对本节课中存在的问题和不足进行反思。
四、教学评价1.教学进度评价：根据教学计划和实际情况，评价教学进度是否合理，课堂时间是否充分利用。
2.学生学习评价：通过学生的课堂表现、课后作业、练习题的完成情况等，评价学生对二面角教学的掌握程度。
二面角教学设计
二面角教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解二面角的概念，能在空间图形中找出二面角的平面角。
（2）掌握二面角平面角的一般求法，能运用定义法、三垂线法等求二面角的大小。
2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、猜想、探究等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（2）经历二面角概念的形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队协作意识和交流沟通能力。
二、教学重难点1、教学重点（1）二面角的概念及二面角平面角的定义。
（2）二面角平面角的求法。
2、教学难点（1）二面角平面角的寻找和确定。
（2）灵活运用不同的方法求二面角的大小。
三、教学方法讲授法、启发式教学法、探究式教学法、多媒体辅助教学法四、教学过程1、导入新课（1）通过展示实际生活中的例子，如打开的书本、半开的门等，引导学生观察这些物体中两个平面所形成的角。
（2）提出问题：如何度量两个平面所形成的角呢？从而引出本节课的主题——二面角。
2、新课讲授（1）二面角的概念①结合实例，给出二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②让学生观察二面角的图形，理解二面角的构成要素，并通过举例加深对二面角概念的理解。
（2）二面角的表示方法①用三个字母表示，如二面角\（A l B\），其中\（A\）、＼（B\）分别为两个半平面上的点，＼（l\）为棱。
②用一个数字表示，如二面角\（＼alpha\）。
③用两个平行四边形的相对顶点表示，如二面角\（M N\）。
（3）二面角的平面角①提出问题：如何度量二面角的大小呢？引导学生思考。
②给出二面角平面角的定义：在二面角\（＼alpha l ＼beta\）的棱\（l\）上任取一点\（O\），以点\（O\）为垂足，在半平面\（＼alpha\）和\（＼beta\）内分别作垂直于棱\（l\）的射线\（OA\）和\（OB\），则\（＼angle AOB\）叫做二面角\（＼alpha l ＼beta\）的平面角。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》教案标题：二面角教学目标：1. 了解二面角的定义及相关概念。
2. 掌握计算二面角的方法。
3. 能够应用二面角的知识解决实际问题。
教学重点：1. 二面角的定义及性质。
2. 二面角的计算方法。
教学难点：1. 掌握二面角的计算方法。
2. 能够灵活运用二面角的知识解决实际问题。
教学准备：教材、教具、多媒体设备教学过程：Step 1 引入新知1. 向学生介绍二面角的概念，引导学生思考如何定义二面角。
2. 给出一个具体例子，让学生观察并猜测如何计算该二面角的大小。
3. 引导学生通过观察得出计算二面角的方法。
Step 2 讲解知识点1. 讲解二面角的定义：二面角是由两个不重合的平面所围成的角。
2. 介绍常见的二面角：直角（90°）、平角（180°）等。
3. 讲解二面角的计算方法：a. 当两个平面为互相垂直的平面时，二面角等于两个平面的夹角。
b. 当两个平面不垂直时，可以通过将这两个平面旋转至相交的情况下计算得出。
Step 3 练习巩固1. 出示一些二面角计算题目，让学生运用所学知识计算出它们的大小。
2. 引导学生分析解题思路，解释计算过程。
Step 4 拓展延伸1. 出示一些实际问题，要求学生运用二面角的知识来解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为计算二面角的问题。
Step 5 总结归纳1. 对本节课所学的二面角的定义和计算方法进行总结归纳。
2. 强调二面角的重要性和应用价值。
Step 6 课堂小结1. 对本节课的主要内容进行回顾。
2. 解答学生提出的疑问。
Step 7 作业布置1. 布置一些计算二面角的练习题，要求学生在家完成。
2. 提醒学生关注实际问题中的二面角应用。
拓展活动：1. 考察学生对二面角的理解，出示一些实际问题，让学生用二面角的知识解决问题。
2. 给学生一些创设问题的任务，要求他们设计一些与二面角相关的实际问题，并解答。
教学反思：本节课通过引入、讲解和练习，让学生逐步掌握了二面角的定义和计算方法，同时能够将二面角的知识应用于实际问题中。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解二面角的概念，能够正确辨认二面角；2. 掌握求解二面角的方法和技巧；3. 运用二面角的概念和求解方法解决相关问题；4. 培养学生的观察力、推理能力和解决问题的能力。
二、教学重点1. 二面角的概念；2. 求解二面角的方法和技巧。
三、教学难点1. 运用二面角的概念解决相关问题；2. 培养学生的观察力和推理能力。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一张包含二面角的图片，引起学生对二面角的兴趣，并提出问题：“你们知道什么是二面角吗？它有什么特点？”引导学生思量和讨论。
2. 概念讲解（15分钟）通过多媒体展示二面角的定义和特点，让学生理解二面角的概念。
并通过示意图和实际物体展示，让学生观察并找出身边的二面角实例。
引导学生总结二面角的特点。
3. 求解方法和技巧讲解（20分钟）介绍二面角的求解方法和技巧，包括使用三角函数和几何图形的性质求解二面角的具体步骤。
通过多个实例演示，让学生掌握求解二面角的方法和技巧。
4. 练习与巩固（25分钟）设计一系列练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生运用所学的方法和技巧解决问题。
通过个别辅导和小组合作学习，匡助学生巩固所学知识。
5. 拓展应用（15分钟）提供一些拓展应用题，让学生运用二面角的概念和求解方法解决更复杂的问题，培养学生的观察力、推理能力和解决问题的能力。
6. 总结与反思（5分钟）对本节课的内容进行总结，并引导学生反思学习过程中的困惑和不足之处。
鼓励学生提出问题，并进行讨论和解答。
五、教学资源1. 多媒体设备；2. 二面角的示意图和实物；3. 练习题和拓展应用题。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的积极性、合作性和表现情况；2. 作业评价：检查学生完成的练习题和拓展应用题的正确性和解题思路。
七、教学反思本节课通过引导学生观察和思量，培养了学生的观察力和推理能力。
通过多媒体展示和实物演示，使学生更加直观地理解了二面角的概念和特点。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
学案1：1.2.4 二面角
1.2.4 二面角【新知初探】1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分， 都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 ， 叫做二面角的面．棱为l ，两个面分别为α，β的二面角的面，记作 ，若A ∈α，B ∈β，则二面角也可以记作 ，二面角的范围为 ．(3)二面角的平面角：在二面角αl β的棱上 ，以O 为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则 叫做二面角αl β的平面角．提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角． 思考：如何找二面角的平面角？2．用空间向量求二面角的大小如果n 1，n 2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝ 或θ＝ ，sin θ＝ ．【初试身手】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2．( )(2)若二面角αl β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1，n 2〉一定相等．( )(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量． ( )2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1BC A 的余弦值为( ) A ．12 B ．23 C ．22 D ．333．已知二面角αl β，其中平面α的一个法向量m ＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n ＝(0，－1,1)，则二面角αl β的大小可能为________．4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1BD C 1的余弦值是________．【合作探究】类型一用定义法求二面角【例1】 如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，P A 为母线，点C 在底面圆周上，若△P AB 是边长为2的正三角形，且CO ⊥AB ，求二面角P AC B 的正弦值．[规律方法]用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角． [跟进训练]1．已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A BD P的正切值为________．类型二用向量法求二面角[探究问题]1．构成二面角的平面角有几个要素？2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？【例2】如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．[母题探究]1．(变问法)本例(2)条件不变，求二面角BA1CD的余弦值．2．(变条件、变问法)本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值．[规律方法]利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2．(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝|n1·n2||n1|·|n2|．(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ．提醒：确定平面的法向量是关键．类型三空间中的翻折与探索性问题【例3】如图甲，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A 点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图乙．甲乙(1)求证：BC⊥平面DEC；(2)求二面角CBFE的余弦值．[规律方法]1．与空间角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．2．关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．[跟进训练]2．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2CB＝4，∠ABC＝120°，E为AD的中点，现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，连接AD，如图2．图1图2(1)若在平面BCE内存在点G，使得GD∥平面ABE，请问点G的轨迹是什么图形？并说明理由．(2)求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值．【课堂小结】1．学会利用空间向量求二面角与定义法求二面角的方法．2．利用向量法求二面角的基本思想是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量，然后运用向量的运算即可，其次要理清要求角与两个向量夹角之间的关系．【学以致用】1．三棱锥A BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1·n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A BD C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π32．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A BC D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．如图所示，在正四棱锥P ABCD 中，若△P AC 的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．π12B ．π4C ．π6D ．π34．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．5．三棱锥P ABC ，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，求二面角P AC B 的大小．【参考答案】【新知初探】1．二面角的概念 (1)其中的每一部分 (2)两个半平面棱 每个半平面αl βA l B[0，π](3)任取一点O∠AOB思考：[提示] (1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识． (2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用空间向量求二面角的大小 〈n 1，n 2〉π－〈n 1，n 2〉sin 〈n 1，n 2〉 【初试身手】1．[答案] (1)× (2)× (3)√ [提示] (1)× 不是．是[0，π]． (2)× 不一定．可能相等，也可能互补． (3)√2．C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角，cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]3．60°或120° [cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，∴二面角αl β的大小为60°或120°．] 4．13 [如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC 1D 的一个法向量m ＝(1，－1,1)， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13，所以二面角A 1BD C 1的余弦值为13．] 【合作探究】类型一用定义法求二面角【例1】[解] 如图，取AC 的中点D ，连接OD ，PD ，∵PO ⊥底面，∴PO ⊥AC ，∵OA ＝OC ，D 为AC 的中点，∴OD ⊥AC ， 又PO ∩OD ＝O ，∴AC ⊥平面POD ，则AC ⊥PD ， ∴∠PDO 为二面角P AC B 的平面角． ∵△P AB 是边长为2的正三角形，CO ⊥AB ， ∴PO ＝3，OA ＝OC ＝1，OD ＝22， 则PD ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫222＝142．∴sin ∠PDO ＝PO PD ＝3142＝427，∴二面角P AC B 的正弦值为427．[跟进训练]1．13[过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，∴BD ＝32＋42＝5，PO ⊥BD ，∴∠POA 是二面角A BD P 的平面角，∵12×BD ×AO ＝12×AB ×AD ，∴AO ＝AB ×AD BD ＝125， ∴tan ∠POA ＝P A AO ＝45125＝13，∴二面角A BD P 的正切值为13．]类型二用向量法求二面角[探究问题]1．[提示] (1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直． 2．[提示]条件平面α，β的法向量分别为u ，v ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u ，v 〉＝φ图形关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ【例2】[解] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ， 又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD ．(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ， 又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，所以3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以m ＝(2,23，－3)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝2319＝25719．由图形可知二面角C 1OB 1D 的大小为锐角， 所以二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719．[母题探究]1．[解] 如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，则A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 所以BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－2)，CD →＝(－3，－1,0)． 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，取x 1＝3，则y 1＝z 1＝3，故n 1＝(3，3,3)． 设平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →＝0，n 2·CD →＝0，即⎩⎨⎧2y 2－2z 2＝0，－3x 2－y 2＝0，取x 2＝3，则y 2＝z 2＝－3，故n 2＝(3，－3，－3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1521＝－57．由图形可知二面角B A 1C D 的大小为钝角，所以二面角B A 1C D 的余弦值为－57．2．[解] 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1， 则A (0，0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，D 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，AE →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AB 1→＝(1,0,1)，AF →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，AD 1→＝(0,1,1)． 设平面AB 1E 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋z 1＝0，x 1＋12y 1＝0， 令y 1＝2，则x 1＝－1，z 1＝1，所以n 1＝(－1,2,1)． 设平面AD 1F 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AD 1→＝0，n 2·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋z 2＝0，12x 2＋y 2＝0.令x 2＝2，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n 2＝(2，－1,1)．所以平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值为 |n 1·n 2||n 1||n 2|＝|(－1，2，1)·(2，－1，1)|(－1)2＋22＋12·22＋(－1)2＋12＝|(－1)×2＋2×(－1)＋1×1|6×6＝12．类型三空间中的翻折与探索性问题【例3】[解] (1)证明：如图，∵DE ⊥EC ，DE ⊥AE ，AE ∩EC ＝E ， ∴DE ⊥平面ABCE ，又∵BC ⊂平面ABCE ，∴DE ⊥BC ， 又∵BC ⊥EC ，DE ∩EC ＝E ，∴BC ⊥平面DEC ．(2)如图，以点E 为坐标原点，分别以EA ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建立空间坐标系E xyz ，∴E (0,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，D (0,0,2)，A (2,0,0)，F (1,0,1)， 设平面EFB 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由EF →＝(1,0,1)，EB →＝(2,2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，∴取x 1＝1，得平面EFB 的一个法向量n 1＝(1，－1，－1)， 设平面BCF 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由CF →＝(1，－2,1)，CB →＝(2,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，x 2－2y 2＋z 2＝0，∴取y 2＝1，得平面BCF 的一个法向量n 2＝(0,1,2)，设二面角C BF E 的大小为α，则cos α＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|－1－2|5·3＝155．[跟进训练]2．[解] (1)点G 的轨迹是直线MN ．理由如下：如图，分别取BC 和CE 的中点N 和M ，连接DM ，MN ，ND ，则MN ∥BE ，又MN ⊄平面BEA ，BE ⊂平面BEA ，∴MN ∥平面BEA ，依题意有△ABE ，△BCE ，△ECD 均为边长为2的正三角形，∴MD ⊥CE ， 又平面ECD ⊥平面BCE ，则MD ∥平面BEA ， ∴平面NMD ∥平面BEA ，∴点G 的轨迹是直线MN ．(2)如图，以点M 为坐标原点，MB 为x 轴，MC 为y 轴，MD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则E (0，－1,0)，D (0,0，3)，A ⎝⎛⎭⎫32，－12，3，∴EA →＝⎝⎛⎭⎫32，12，3，ED →＝(0,1，3)，设平面AED 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·ED→＝y ＋3z ＝0，n ·EA →＝32x ＋12y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，3，－3)， 取平面BCE 的一个法向量m ＝(0,0,1)， 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－55，∴平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为55． 【学以致用】1．C [当二面角A BD C 为锐角时，它等于〈n 1，n 2〉＝π3．当二面角A BD C 为钝角时，它应对等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3．]2．C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，且AE ＝DE ＝32a ， 又AD ＝32a ，∴∠AED ＝60°，即二面角A BC D 的大小为60°．] 3．D [设正四棱锥的底面边长为a ，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h ，斜高为h ′，则12×2ah 4×12ah ′＝68，∴h h ′＝32，∴sin θ＝32，即θ＝π3．]4．23[建系如图，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12，∴DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12．设平面A 1ED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，且n ·DE →＝0． 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＋12z ＝0，令x ＝1，得y ＝－12，z ＝－1．∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－1， 又平面ABCD 的一个法向量为DD 1→＝(0,0,1)．则cos 〈n ，DD 1→〉＝|n ·DD 1→||n ||DD 1→|＝23．]5．[解] 如图在三棱锥P ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴P 在底△ABC 的射影D 是△ABC 的外心， 即斜边AB 的中点D 是P 在底△ABC 的射影， 作DE ⊥AC ，交AC 于点E ，连接PE ， 则∠PED 是所求的二面角的平面角，由题意得DE ＝4，PE ＝8，cos ∠PED ＝DE PE ＝12，∴∠PED ＝60°，∴二面角P AC B 的大小为60°．。
二面角的求法教案
二面角习题课目的：让学生巩固求二面角的常用方法；重点：方法的使用；难点：方法的选择；课型：习题课；教法：讨论法过程：一复习求二面角的常用方法①、点P在棱上—定义法②、点P在一个半平面上—三垂线定理法③、点P在二面角内—垂面法④、向量法，射影面积法——（2） （1）2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角ABDP 的大小为( A )(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°二、例题：如图：直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,底面ABCD 是菱形，AD=AA 1=2，∠DAB=600,求：（1）若F 为棱AA1的中点，平面BFD 1与平面ABCD 所成的二面角的大小。
（2）问：在AA 1上是否存在点F 使平面BFD 1与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为532，若存在确定其位置。
图（1） 要求：1、各人思考；2、小组讨论；3、小组交流展示；4、总结。
的余弦值二面角中，求、正方体 1111C BD A AC --A 1D 1C 1B 1ADCBF C 1 D 1 CPA1 B 1BDAF解法一：如图（1）：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。
∵F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中点，∴AP=AB,又∵∠DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD, 故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300, ∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因为是直棱柱，∴DD1 ⊥PB, DD1 DB=D∴PB⊥面DD1B,故∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。
显然BD=AD=DD1, ∴∠DBD1=450。
即为所求.解毕。
解法二：如图（2）：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1⊥底面ABCD,过A做AE ⊥PB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EF⊥PB,∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300，Rt △APB 中，可求得AE= 1 ，又AF= 1,图（2） 图（3）思考：这种解法同解法一有什么异同？ 解法三：向量法：建系如图(3)：D(0，-1，0）D 1（0，-1，2） B （0，1,0） F （3,0，1）∴ =（3，-1，-1）,B D 1=（0，2，-2）显然， 1DD 就是平面ABCD 的法向量，再设平面BDD 1的一个法向量为向量u =(x 0,y 0,z 0)。
二面角求法大全教案
学号：200908101130姓名：程文二面角求法总结教案一、教案分析求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.二、学情分析经过前段时间的学习，同学们已基本掌握了二面角的相关知识。
本节课的内容对他们来说不是很难，本节课只是对二面角求法的总结，没有学习新知识的困惑，内容非常实用，也是考试常题，能让同学们感受到这些的价值，增加同学们的学习积极性。
三、教学目标1）通过本节课学习，能解答一般二面角问题；2) 通过本节的学习，能学会总结归纳已学过的知识；3）面对二面角问题，能从容思考，冷静作答。
四、教学重点与难点1）总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点；2）“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.；3）求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积法、向量法、变式二面角求法；4）变式二面角求法。
五、教学准备通过课堂总结与举例练习，是同学们能当堂掌握二面角求法的相关知识。
六、教学过程提问：同学所知道的二面角求法有哪些？1）定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为.分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1D B1A1 D1 C1O1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。
二面角的应用及实际意义教案
二面角的应用及实际意义一、教学目标1、掌握二面角的概念及相关定义。
2、理解二面角的性质和应用。
3、培养学生解决实际问题的能力，提高数学思维水平。
二、教学重点1、了解二面角的概念及相关定义。
2、掌握二面角的性质和应用。
三、教学难点1、学生对二面角的性质和应用的深入理解。
2、学生运用二面角解决实际问题的能力。
四、课前准备1、教师准备好二面角的基本概念和相关定义。
2、与学生交流，梳理出二面角在实际问题中的应用。
五、教学过程1、导入新知识（1）让学生回顾平面角的概念及性质。
（2）引出二面角的概念及相关定义。
（3）让学生思考二面角的特点和性质，比较平面角和二面角的异同。
2、二面角的性质和应用（1）让学生思考平面角与二面角的异同，帮助理解二面角的定义和性质。
（2）介绍二面角的性质，例如二面角的度数、二面角的余角、二面角的补角等等。
（3）讨论二面角在实际问题中的应用，例如建筑设计中的体形空间、视角分析中的角度计算等。
3、应用练习（1）让学生通过练习巩固二面角的基本概念和性质。
（2）引导学生应用二面角解决实际问题，例如计算建筑物或雕塑物的外形尺寸及角度，分析哪些工程需要用到二面角等等。
六、教学总结1、总结本节课的重点内容，强调学生需要掌握的知识点。
2、鼓励学生在实际生活中用数学知识去解决实际问题。
七、教学反思通过本节课的教学，学生对二面角的概念及性质有了初步了解，掌握了二面角在实际问题中的应用。
但学生的应用能力还需加强。
在以后的教学中，应该加强实际问题的训练，提高学生的实际应用能力。
教学设计1：3.2.4二面角及其度量
3.2.4二面角及其度量教学目标知识与技能目标：了解并掌握二面角的定义及其度量方式，会用定义法求二面角.过程与方法目标：培养观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象能力.情感态度价值观目标：培养主动获取知识的学习意识，激发学习兴趣和热情.教学重点、难点重点：定义法和向量法计算二面角的大小难点：做出二面角的平面角教学方法：利用多媒体课件展示定义法求二面角和向量法求二面角的联系和区别.教学过程一.自主学习，归纳总结1．二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B，也可记作2∠l.(3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如图所示，由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(5)二面角的范围是[0°，180°]．2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α、β内，并沿α、β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角．(2)如图，设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．二.典例精析，方法形成例1如图所示，S是△ABC所在平面外一点，且SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E—BD—C的大小．【解】∵SB＝BC，E为SC的中点，∴SC⊥BE.由题设知，SC⊥ED，而ED∩EB＝E，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD.∴BD⊥平面SAC，∴∠EDC为二面角E—BD—C的平面角．设SA＝a，则SB＝a，又∵AB⊥BC，由三垂线定理，SB⊥BC.∴在Rt△SBC中，SC＝2a.在Rt△SAC中，∵SA＝a，SC＝2a，∴∠SCA＝30°.故∠EDC＝60°，即二面角E—BD—C的大小为60°.反思与感悟利用定义法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算．即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角的大小．跟踪训练1如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A—VB—C的余【解】取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A—VB—C的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝＝－，∴二面角A—VB—C的余弦值是－.例2如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝2cm，求这个二面角的度数．【解】设〈，〉＝x.由已知CA⊥AB，AB⊥BD，得·＝·＝0，〈，〉＝180°－x，因此||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2||||cos(180°－x)．代入已知线段的长度，得(2)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cos x)，即cos x＝＝＝，因此，所求二面角的度数为60°.反思与感悟若AC、BD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的平面角就是向量与的夹角(如图所示)．跟踪训练2已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直，则B与D之间的距离为________．【答案】【解析】由B、D分别向AC作垂线，垂足分别为M、N.则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝.MN＝1.由于＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝.例3在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．【解】方法一如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设P A＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，＝.∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，∴E，O，＝，＝(b,0,0)．∵·＝0，∴⊥，＝＝，·＝0.∴⊥.∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角)．cos〈，〉＝＝.∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.方法二建系如方法一，∵P A⊥平面ABCD，∴＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，＝，＝(b,0,0)．设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．由得∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0,1,1)，cos〈m，〉＝＝＝.∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.反思与感悟(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练3若P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝1，BC＝，求二面角APBC的余弦值．【解】如图所示建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)， 故＝(0,0,1)，＝(，1,0)，＝(，0,0)，＝(0，－1,1)，设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⇒⇒令x ＝1，则y ＝－，故m ＝(1，－，0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⇒⇒令y ′＝－1，则z ′＝－1，故n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝＝.∴二面角A PB C 的余弦值为.三. 课堂小结，明确规律 二面角的求法： ①定义法．②三垂线法，如图A ∈β，过A 作AB ⊥α于点B ，在α内作BO ⊥l 于点O ，连接AO ，则由三垂线定理知AO ⊥l ，故∠AOB 是二面角α—l —β的平面角． ③用公式cos θ＝，其中S ′为射影面积，S 为原图形面积．④利用向量夹角公式求〈，〉．⑤用法向量，若二面角α—l —β的大小为θ，其两半平面的法向量分别为n 1、n 2，其夹角为φ，则θ＝φ或θ＝π－φ.一定要注意检验．四.当堂训练，及时反馈1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1－BC －A 的余弦值为( ) A.12 B.23 C.22D.33【解析】：易知∠A 1BA 为二面角A 1－BC －A 的平面角，cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22.【答案】：C2．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A －BC －D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】：如图取BC 的中点为E ，连接AE 、DE ， 由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ， ∴∠AED ＝60°，即二面角A －BC －D 的大小为60°. 【答案】：C3．在正方体AC 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为( )A ．－12B.23C.33D.22【解析】：建系如图，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)、A 1(1，0，1)、E (1，1，12)．∴1DA ＝(1，0，1)，DE ＝(1，1，12)．设平面A 1ED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0x ＋y ＋12z ＝0.令x ＝1，则z ＝－1，y ＝－12， ∴n ＝(1，－12，－1)．又平面ABCD 的一个法向量为1DD ＝(0，0，1)．∴cos 〈n ，1DD 〉＝－194·1＝－23.又平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角为锐角， ∴平面A 1ED 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23.【答案】：B4．已知直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°【解析】：取CD 中点E ，在平面BCD 内过B 点作BF ⊥CD ，交CD 延长线于F . 据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA ，FB 〉为二面角的平面角，由|AB |2＝(AE ＋EF ＋FB )·(AE ＋EF ＋FB )得 13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE ，FB 〉， ∴cos 〈EA ，FB 〉＝－12.∴〈EA ，FB 〉＝120°. 即所求的二面角为120°.【答案】：C5．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为________． 【解析】：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A (0，0，32)，B (0，－12，0)，D (32，0，0)． ∴OA ＝(0，0，32)，BA ＝(0，12，32)，BD ＝(32，12，0)． 由于OA ＝(0，0，32)为面BCD 的法向量，可求出面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA 〉＝55，sin 〈n ，OA 〉＝255. 【答案】：2556．已知正四棱锥的底面边长为23，高为3.则侧面与底面所成的二面角等于________． 【解析】：如图，四棱锥P －ABCD 为正四棱锥，连接AC 、BD 相交于点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD .作OE ⊥CD ，连接PE ，则∠PEO 即为侧面与底面所成二面角的平面角．由题意知PO ＝3， OE ＝3， ∴tan ∠PEO ＝33＝ 3. ∴∠PEO ＝60°. 【答案】：60°7．P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝ 2.求二面角A －PB －C 的余弦值． 解：法一：如图建立空间直角坐标系，A (0，0，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)， ∴AP ＝(0，0，1)，AB ＝(2，1，0)．设平面P AB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP ＝0，n 1·AB ＝0，得⎩⎨⎧z 1＝0，2x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，则n 1＝(1，－2，0)．∵CP ＝(0，－1，1)，CB ＝(2，0，0)， 设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CP ＝0，n 2·CB ＝0，得⎩⎨⎧－y 2＋z 2＝0，2x 2＝0.令z 2＝1，则n 2＝(0，1，1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23×2＝－33.∵所求二面角为锐角， ∴二面角A －PB －C 的余弦值为33. 法二：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD . ∵P A ⊥平面ABC ， ∴P A ⊥AC . ∴PC ＝P A 2＋AC 2＝ 2.∵PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB . 作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A －PB －C 的大小就等于DC 与EA 的夹角θ. ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，∴PC ⊥BC . ∴PB ＝PC 2＋BC 2＝2.∴PD ＝1，PE ＝P A 2PB ＝12.∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC ＝AE ＋ED ＋DC ，且AE ⊥ED ，ED ⊥DC ，∴|AC |2＝|AE |2＋|ED |2＋|DC |2＋2|AE |·|DC |·cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ，解得cos θ＝33， 故二面角A －PB －C 的余弦值为33. 8．(2012·新课标高考)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC . 而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC .(2)由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向，|CA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .由题意知A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，D (1，0，1)，C 1(0，0，2)．则1A D ＝(0，0，－1)，BD ＝(1，－1，1)，DC 1＝(－1，0，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ＝0，n ·1A D ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n ＝(1，1，0)．同理，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面C 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD ＝0，m ·DC 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0－x 1＋z 1＝0，可取m ＝(1，2，1)．从而cos n ，m ＝n ·m |n|·|m|＝32. 故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.。
二面角的求法(精华版)
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
2.平面法向量法:
求二面角的大小, 先求出两个半平面的法向量 的夹角, 然后根据二面角与其大小相等或互补 求出二面角的大小。
αm
n
β
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例4:在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，
AD=
⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式, 然后指出平面的垂线, 射影关系, 再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角, 但计算较繁, 所以不常用。
练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为棱AA1的中点, 求平面EB1C和平面 ABCD所成的二面角。
D
cos SA1B1C 1
⑶三垂线定理法 ⑷向量法
②求解
解三角形或用向量的夹角公式
n
1,1,
1 2
平面AEF的法向量为AA1 0, 0,1
cos
n, AA1
n • AA1 n • AA1
1 3
二面角C1 EF A为钝角
二面角C1
EF
A的大小为
arc
cos
1 3
1、二面角的定义 2.二面角的平面角的定义 3.二面角的平面角的求解：
①找（或作）出平面角
⑴定义法
⑵棱的垂面法
注意: 二面角的平面角必须满足:
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角的范围: 0180
一、几何法:
1.定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点, 在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB, 则∠AOB就 是此二面角的平面角。
二面角及其求法教案
2.3.2 平面与平面垂直的判定第一课时二面角及其求法一、教学目标1.记住并理解二面角及其平面角的概念；2.会求二面角的大小；引导学生总结求二面角的方法，培养学生归纳问题的能力；3.通过亲身的思考与体验，让学生体会立体几何问题转化为平面几何问题的思想与方法。
二、教学重难点1.教学重点：二面角及其求法；2.教学难点：找出或作出二面角的平面角。
三、教学过程（一）引入：师：在学习新的一课之前，我们来思考这样的一个问题：两个平面有几种位置关系呢？（学生举手回答）师：那大家来看看我手中的这本书所形成的两个平面是什么位置关系呢？（学生举手回答）师：为此，我们引入二面角的概念，来研究两个平面所形成的角。
（PPT2出示课题；教师板书：二面角及其求法）（二）目标导学算和大家一起来探讨和学习，来完成本节课的学习任务。
首先我们来看本节课的学习目标。
（PPT3展示本节课的学习目标）（三）合作探究探究活动一：师： （出示PPT4）自主学习教材P67-P68，小组讨论并完成以下4个问题.（1）在二面角的定义中，关键词有哪些？（2）如何表示出一个二面角？（3）作二面角的平面角时，应该注意些什么？（4）请用纸折一个二面角，并为其命名.（让学生学习和讨论3-5分钟，教师巡视并对小组讨论进行指导；通过点名提问的方式，让小组发言人对这4个问题一一进行作答；在学生回答问题的过程中，教师板书：1.二面角的定义；2.二面角的画法和表示法；3.二面角的平面角的概念）师：（出示PPT5）请大家来看一看大屏幕上的这几个二面角，请大家说一说这4个二面角的棱和面？请大家为它们命名。
（在讲授的过程中，点出二面角的两种画法：直立式和平卧式；点出二面角命名的规则：面-棱-面）思考：（出示PPT6）把书打开，相邻两页书构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？（独立思考后，教师点名回答）师：同学们说得对，这些二面角张开的程度不一样。
二面角测量方法与实例教案
二面角是指物体表面上两个面的夹角，它是诸多测量角度中相对比较复杂的一个角度，其测量方法也相对比较困难，需要一定的数学基础以及计算机模拟技术。
下面本文将会介绍二面角的测量方法，以及一些实例教案。
一、二面角的测量方法1.定义二面角是空间中两个平面的夹角。
对于物体表面上的每一个点，我们都可以找到两个相面来计算它的二面角。
2.数学方法要计算二面角，我们需要首先找到点的正面和背面。
我们可以使用各种数学方法来计算角度。
一种常见的方法是用向量表示平面并计算它们之间的夹角。
该方法需要了解向量的基础知识，如向量的内积和外积等。
另一种方法是使用三角函数，如余弦定理或正弦定理。
这种方法需要知道三角形的三个边长或两个角度和一个边长。
如果你要计算一个平面的二面角，可以把它转化为一个三角形，然后使用上述方法来计算。
3.计算机模拟方法计算机模拟可以用来计算复杂的二面角。
这种方法使用数字模型来模拟物体表面上的每一个点，并计算其二面角度量。
数值模拟可以非常准确地计算被测量物的二面角，但需要计算机和CAD软件的支持。
二、实例教案为了更好地理解二面角的测量方法，我们可以进行一些实际的操作。
下面本文将会介绍三个实例教案，以帮助我们更好地理解二面角的测量方法。
1.实例一：采用余弦定理计算二面角在本实例中，我们将选取两个相邻的三角形，并使用余弦定理来计算它们的夹角。
要执行此操作，请按照以下步骤操作：步骤一：选择两个相邻的三角形。
步骤二：找到三角形的三个点，并计算出每个点的坐标。
步骤三：使用向量叉乘法或余弦定理来计算两个三角形的夹角。
步骤四：输出二面角的准确值。
2.实例二：使用CAD软件计算二面角在本实例中，我们将使用CAD软件来计算一个物体表面上的二面角。
要执行此操作，请按照以下步骤操作：步骤一：打开CAD软件，并导入要测量的物体模型。
步骤二：使用CAD中的测量工具来计算一个特定的二面角。
步骤三：输出二面角的准确值。
3.实例三：使用计算机模拟计算二面角在本实例中，我们将使用计算机模拟和CAD软件来计算一个物体表面上的二面角。
二面角专题教案
二面角专题例1．如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，（1）求二面角1D-AB-D的大小？（2）求二面角1A-AB-D的大小。
三．空间向量法求二面角课本P106 例2DC1C例2．已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=900。
，PA⊥底面ABCD 且PA=AD=DC=1，AB=2，M 是PB 的中点 （1）证明：面PAD⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角； （3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小练习1：P 是二面角α—AB —β棱AB 上的一点,分别α,β在内引射线PM,PN,如果45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒,则二面角α—AB —β的大小是 .15. 90︒练习2：如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BD 、BB 1的中点， （1）求证：EF ⊥AD 1；（2）求二面角E —D 1F —A 的大小； （3）求三棱锥D 1—AEF 的体积.17． 解：（1）连结B 1D 、A 1D∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，∴A 1D 是B 1D 在平面AA 1D 1D 的射影，并且A 1D ⊥AD 1， ∴A 1D ⊥B 1D （三垂线定理）.又∵在△BB 1D 内，E 、F 分别为BD 、BB 1的中点，∴EF )2,2,0(),1,0,2(),0,1,1(1===∴D A AF AE AE 设平面AFD 1的法向量n=（x ，y ，z ），则22)2,2,0(),,(02)1,0,2(),,(1=+=⋅=⋅=+=⋅=⋅z y z y x AD n z x z y x AF n令x=1得z=－2，y=2即n=（1，2，-2），22...cos =>=⋅<∴n AE 由图形可知，二面角E —D 1F —A 的平面角为锐角， ∴二面角E —D 1F —A 的大小为45°（3）由（1）知，EF ⊥AD 1，又显然EF ⊥AE ，∴EF ⊥平面AED 1∴EF 就是三棱锥F —AED 1的高，又∵AE ⊥平面BB 1D 1D ，∴AE ⊥D 1E ∴三棱锥F —AED 1的底面AED 1是直角三角形 易求得6...,2,3...122=====+=E D AE BF BE EF∴三棱锥D 1—AEF 的体积1 (3)111==⋅⋅==--EF S V V AEF AED F AEF D变式：如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为PB 的中点,AE ⊥PB, PA=AC=1,BC=2，求二面角A —PB —C 的大小。
二面角的求法教案
二面角的求法教案【篇一：高中数学教学设计---二面角的求法】《二面角大小的求法（一）》一、概述1.地位和作用二面角是人教版《数学》第二册（下b）中9.7的内容，它是在学生学过平面几何中的角、空间中两异面直线所成的角、直线和平面所成的角之后，又要重点研究的一种空间的角，它是学生进一步研究多面体和旋转体的基础，因此，它起着承上启下的作用。
教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和求解方法。
同时，也是培养学生的空间想象力和逻辑思维能力的重要素材，为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机。
本节课为立体几何《二面角大小的求法》的第一课时的内容，是在学生已学习过二面角的基础上的推广。
其主要内容是二面角的作法以及这些知识的初步应用。
二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系，具有综合性强、灵活性大的特点,一直成为高考、会考的热点。
2.重点难点重点：一般方法———三垂线定理（逆定理）的方法难点：根据不同条件，灵活运用不同方法求解二面角的大小二、教学目标根据上面对教材的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标:1．知识与技能：（1）掌握二面角的平面角的基本作法以及计算。
（2）培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
（3）培养学生观察分析的能力、空间想象的能力、猜想证明的能力，从而培养学生的创造能力。
同时注意渗透转化的数学思想。
2．过程与方法：（1）通过观察、分析等手段，在活动中自主探求二面角大小的特征，理解平面角的含义。
（2）通过示范、讨论合作，完成对空间问题转化为平面问题的研究。
（3）通过作业设计完成求解二面角大小的应用。
3．情感态度价值观：（1）培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。
（2）通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
三、学习者特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的：四、教学策略的选择与设计在设计本教学时，主要贯彻了以下两个思想：（一）引导发现法1.是符合辩证唯物主义观点；2.是符合教学原则的；3.能充分调动学生的主动性和积极性。
“二面角”教学设计
“二面角”教学设计第一篇：“二面角”教学设计“二面角”教学设计一、教学内容解析“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。
在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。
对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。
二、教学目标设置在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。
故而，在本节我设计的目标要求如下：（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。
（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
三、学生学情分析在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。
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学号：200908101130姓名：程文二面角求法总结教案一、教案分析求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.二、学情分析经过前段时间的学习，同学们已基本掌握了二面角的相关知识。
本节课的内容对他们来说不是很难，本节课只是对二面角求法的总结，没有学习新知识的困惑，内容非常实用，也是考试常题，能让同学们感受到这些的价值，增加同学们的学习积极性。
三、教学目标1）通过本节课学习，能解答一般二面角问题；2) 通过本节的学习，能学会总结归纳已学过的知识；3）面对二面角问题，能从容思考，冷静作答。
四、教学重点与难点1）总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点；2）“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.；3）求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积法、向量法、变式二面角求法；4）变式二面角求法。
五、教学准备通过课堂总结与举例练习，是同学们能当堂掌握二面角求法的相关知识。
六、教学过程提问：同学所知道的二面角求法有哪些？1）定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为.分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1D B1A1 D1 C1O1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。
将题目略作变化，二面角A 1-BD-C 1的余弦值为 .在图1中，∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cos ∠A 1OC 1=31例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A 1EF 的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连 接A 1B 、A 1P .(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A 1P-F 的余弦值。
分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△ PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=552，在△QMF中，由余弦定理得cos ∠QMF=87-。
练习：2011广东高考理18.(本小题满分13分)如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形， 且∠DAB=60︒，PA PD ==分别是BC,PC 的中点.(1) 证明：AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 解：(2) 由（1）知P G B ∠为二面角P A D B --的平面角，在R t P G A ∆中，2217()24P G =-=；在R t B G A ∆中，222131()24B G=-=；在P G B ∆中，222cos 27PG BG PBPG B PG BG+-∠==-⋅.2） 三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.M AFA 1QPBECEF 图2(2)图2(1)QA 图3αβPBlGPAＳBＳCＳDＳFE最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt △PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例3(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为AB ，不像图3的那样一看就明白 的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥A B 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的 平面角.依次可求得AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23，则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63. 与图3中的Rt △PAB 比较，这里的Rt △A 1EF 就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.3）垂面法事实上，图1中的平面COC 1、图2(2)中的平面QMF 、图3中的平面PAB 、图4中的平面A 1FE 都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.例4空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.分析与略解：如图5，分别作PA ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，则易知 l ⊥平面PAB ，设l ∩平面PAB=C ，连接PC ，则l ⊥PC.分别在Rt △PAC 、Rt △PBC 中，PC=3392，PA=4，PB=3，则AC=332，BC=335.因为P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为直径，设PC=2R ，二面角βα--l 的大小为θ. 分别在△PAB 、△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2·AC ·BCcos θ=PA 2+PB 2-2·PA ·PBcos(θπ-)， 则可解得cos θ=21-，θ=120o ，二面角βα--l 的大小为120o .4）面积法如图1，设二面角C-BD-C 1的大小为θ，则在Rt △COC 1中，cos BDC CBD S S BDO C BDCO OC CO1112121∆∆=⋅⋅==θ，图4B 1A αβA 1B l EFP图5βαlC BA在某些情况下用此法特别方便.例5 如图6，平面α外的△A 1B 1C 1在α内的射影是边长为1的正三角形ABC ，且AA 1=2，BB 1=3，CC 1=4，求△A 1B 1C 1所在的平面与平面α所成锐二面角的余弦值分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB 1、CC 1取BD=CE=AA 1， 则△A 1B 1C 1≌△A 1DE ，可求得A 1B=2，A 1C 1=5，B 1C 1=2，所以等腰△A 1B 1C 1的面积为415，又正△ABC 的面积为43.设所求二面角的大小为θ，则cos θ=555）向量法向量法只需注意法向量方向的判断与计算过程要仔细，由于时间关系今天就不细讲。
6）变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略. 6.1 “无棱”二面角的求法严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：(1)用面积法，见例5；(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.在例5中，延长C 1B 1和C 1A 1分别交CB 和CA 的延长线于G 、H ，连GH. 作CM ⊥GH 于M ，连C 1M ，C 1M ⊥GH ，则∠CMC 1是所求二面角的平面角. 由平几知识得CG=4，CH=2，则△CGH 的面积为32，又△CGH 的面积为21CH ·CM.又由余弦定理得GH=32，所以CM=2，则在Rt △CMC 1中，cos θ=55.在原图中，面A 1B 1C 1与α的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了.面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法. 6.2 有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.例6 二面角α-l -β的大小是变量)20(πθθ<<，点B 、C 在l 上，A 、D 分别在面α、β内，且AD ⊥BC ，AD 与面β成6π角，若△ABC 的面积为定值S ，求△BCD 面积Q 的最大值.分析与略解：如图9，作AE ⊥BC 于E ，连DE ，则由AD ⊥BC 得αD AM 图6E CBC 1A 1B 1H G图7α EDCBA lβBC ⊥平面ADE ，则DE ⊥BC ，∠AED=θ，∠ADE=6π.在△AED 中，由正弦定理得6sin)6sin(ππθ+=AEDE ，所以)6sin(2,6sin)6sin(πθππθ+=+=S Q SQ ，则当3πθ=时，有Q max =2S.△BCD 和△ABC 有公共的底边BC ，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.七、教学反思。