【数学】1.3柱体锥体台体的表面积和体积_PPT课件_(人教A版必修2)

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
r O
r 'O’
l
O
r’＝r
上底扩大
l
r’＝0
上底缩小
l
r
2
O
2
r
O
S柱 2r (r l )
S台 (r r r l rl ) S 锥 r (r l )
典型例题
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆 底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长 15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取 3.14，结果精确到1 cm2 ）？ 20cm 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
体积公式汇总
V柱体＝Sh
3
( S－底面积，h－高 )
V锥体＝ 1 Sh ( S－底面积，h－高 ) V台体＝ 1 h( S＋ SS '＋S’ ) 3
( S，S’－上下底面积， h－高 )
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8 g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即:
答:这个正六棱台的体积为 28 3 cm3.
思考题：一个平行于圆锥底面的平面将圆锥 的高分成相等的两段，圆锥被分成的两部分 S 1:7 的体积之比为_______．
解:设圆锥SA的高为h,底面半径为r, 则圆锥SB的高为2h,底面半径为2r,
h
C
则圆锥被分成的两部分体积为:
r
A h
1 2 V上 r h, 3
2 15 2 15 20 1.5 S 15 15 2 2 2 2
15cm
15cm
999 (cm2 )
cm2 ． 答：花盆的表面积约是999
初中知识复习：
（1）若正方体的棱长为a，你能表示它的体积吗？
3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 (mm 3 )
2.956 (cm3 )
所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956 ) 252 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
AB 例4：如图，在长方体 ABCD ABCD中， 6, BC 5, BB' 4,
高为6，则它的体积为:
C
VC A' DD '
1 1 1 S A' DD ' h ( 5 4) 6 20. 3 3 2
所以, 长方体的体积为120，棱锥 C ADD的体积为20.
例5：已知圆锥的底面半径长为5，母线长为13，求出
这个圆锥的侧面积和体积是多少？ 解：由已知得圆锥的侧面积为： S
解：由已知,底都可以分成六个正三角形求出面积:
S上
S下
3 6 2 2 6 3， 4
3 6 4 2 24 3， 4
2 2 4 4
1 V ( S上 S上 S下 S下 )h 3
1 4 (6 3 6 3 24 3 24 3 ) 2 3 1 (6 3 12 3 24 3 ) 2 28 3 (cm3 ) 3
（棱台）的高．
棱台（圆台）的高是指两底面之间的距离，即从一底面 上任一点向另一个底面作垂线,这点与垂足之间的距离．
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S为底面面积， h为锥体高
1 S S 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
棱锥的体积：
锥体体积
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积 乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高 的 1 ．
3
棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线, 顶点与垂足之间的距离．
台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截 成的，因此可以利用两个锥体的体积 差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程 A 略)．
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的展开图
六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的 表面积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
正四棱锥的侧面展开图
h
/
h
/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r (r l )
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
r 'O’
l
2r '
2r
r
O
2 2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r r r l rl )
S 所以： ABC 1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
3 2 因此，四面体S-ABC 的表面积: S 4 a 3a 2 4
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ． 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成． 解：先求 ABC 的面积，过点S作 SD BC ， S 交BC 于点D． 3 a 因为BC=a，SD SB sin 60 A 2
B D C
S侧 rl 5 13 65 .
如图，圆锥的高线、半径与母线 构成一个直角三角形， 则圆锥的高为： h
l
h l r 13 5 12,
2 2 2 2
O
r
A
所以圆锥的体积为：
1 1 2 V Sh ( 5 ) 12 100 . 3 3
例6：已知有一正六棱台(底面为正六边形)的上底边长 为2cm，下底边长为4cm,高为2cm，求其体积。
圆锥体积
圆锥的体积公式：
1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ． 3
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
柱体三等份分割成锥体演示:
(课外可了解课本阅读部分)
1 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的 ．即 3
求这个长方体的体积与棱锥 C ADD 的体积。 解：已知长方体可以看成侧棱垂 直于底面的四棱柱,以 ABCD为 底面时，高为4,则它的体积为:
D' A' D A B B'
C'
V ADD ' A' BCC ' B ' Sh (6 5) 4 120 .
而棱锥 C ADD以 A' DD ' 底面时，
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公 式,它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高． 棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面 上任一点向另一个底面作垂线,这点与垂足之间的距离．
A
P D
S
C
B
h
S
D
C
V台体 V大锥体 V小锥体
V VP ABCD VP ABCD
1 ( S S S S )h 3
B
x S’ h r’
S
r
台体体积
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
正方体的体积=a
3
=a×a×a=Sh
（2）若长方体的长、宽、高分别为 a 、b、c，那么 它的体积如何计算呢？
长方体的体积 =abc=Sh
（3）若圆柱的底面半径为r ，高为h ，你能表示它的体积吗？ 2 圆柱的体积= r = Sh
正方体、长方体和圆柱都是特殊的柱体.
你是能否用统一的形式来推广它们的体积公式呢？
r 0
展开图 圆锥 S r (r l )
各面面积之和
柱体、锥体、台体的体积
知识小结
柱体
V Sh
柱体
S S'
台体
1 V S SS ' S ' h 3
台体


S' 0
锥体
V
锥体
1 Sh 3
侧面展开
h'
正五棱锥的侧面展开图
h'
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧 面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由 梯形组成的平面图形。这样，求它们的表面积的问题就可转化 为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们 的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各 个侧面面积和底面面积之和．