【备课精选】2012年高二数学新人教A版选修1-1学案2.1《椭圆》

合集下载

人教A版高中数学选修1-1教案：2.2.1椭圆及其标准方程

三、学习者特征分析
以探究问题为中心，感受推导椭圆方程的必要性和实际意义.通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风，通过椭圆标准方程的推导化简，体会数学的“对称美”和“简洁美”.通过师生、生生的合作学习，增强小组协作能力的培养，形成学习数学知识的积极态度.
四、教学过程
（一）创设情境，认识椭圆．
将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用笔挑起细绳并绷紧，移动笔，可画出什么图形？
(1)取一条细绳；
(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点、；
(3)用笔尖（）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？
通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力
六、教学评价设计
1．知识点：椭圆的定义及其标准方程
2．数学方法：用坐标法求动点轨迹方程
3．数学思想：数形结合思想、化归思想、不怕困难的思想
（设计意图：在总结时采用“知识点、方法、思想”的方式，目标明确，重点清晰，易于掌握所学内容，构建知识链。）
七、教学板书
椭圆及其标准方程
一．椭圆的定义三.例题
四.小结
课题名称：椭圆及其标准方程
姓名
工作单位
年级学科
高二数学
教材版本
人教A班2-1
一、教学难点内容分析
经历椭圆概念的探求过程，体会从形象到抽象、从具体到抽象的过程，培养学生的动手能力、合作学习能力以抽象概括能力，掌握推导椭圆方程的一般方法．
二、教学目标
掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．通过对椭圆的标准方程的探求，能根据椭圆方程和实际问题求a,b,c.
二．椭圆的标准方程五.作业

人教A版高中数学选修1-1 第二章 2.1.1《椭圆的定义及标准方程》教学设计

课题：§2.1.1椭圆的定义及其标准方程鹿城中学田光海一、教案背景：1.面向对象：高中二年级学生2.学科：数学3.课时：2课时4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§2.1.1椭圆及其标准方程二. 教材分析本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。

因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。

1. 教法分析结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。

在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。

利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。

主要采用探究实践、启发与讲练相结合。

2. 学法分析从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。

从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

3.教学目标知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。

新人教A版高中数学(选修1-1)2.1《椭圆》word说课教案

课题：椭圆的标准方程授课教师:苏彦斌(恩平一中)教材：人教版高中选修1-1（一）教材分析一．教材地位《椭圆的标准方程》是继学习必修2圆以后又一个二次曲线的实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从方法上说，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法.椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用.二．教材特点1、由于本章节难度教大，学生普遍觉得比较困难.特别是缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题.2、本章节的概念比较多，性质又比较相似，容易互相干扰而影响学习效果.三.教学重点、难点教学重点：掌握椭圆的定义及其标准方程；求椭圆标准方程的方法.教学难点：椭圆标准方程的推导和应用.（二）目的分析1．知识与技能目标：学习椭圆的标准方程及其应用；培养学生的数形结合的思想.2．过程与方法目标：通过椭圆定义，学生自主推导标准方程；通过观察图形逐渐培养学生对称的思想.3．情感态度与价值观：引导学生积极参与学习活动,培养学生的好奇心和学习兴趣；体验学习数学的成功与快乐，增强自信心.（三）、教法分析1、教法及设计目的应用实物模型导入新课，目的是要激发学生学习的兴趣，让他们观察椭圆的由来.在推导椭圆的标准方程时利用演示板来进行演示，先给学生直观的感性的认识.接着进行标准方程的推导，这样有利于培养学生的数形结合的能力.本课主要采用探究式教学方法，即“观察对象－问题引导－讨论探究－得出结论”的探究式教学方法.在教学上是以多媒体和演示板作为教学手段，始终坚持启发式教学，以学生为主体，引导学生思考并自己动手分析.2、学法及设计目的由于高二的学生思维比较活跃，又有了相应的知识基础，所以他们乐于探索新知识，虽然学习热情时起时落，但能在老师的引导下开展学习活动.在学习过程中可以安排学生进行小组讨论，注意要多利用定义来理解，要习惯动手画图，可以用类比法来记忆知识点.（五）、评价分析这节课我使用了多媒体、演示板教学，激发学生的学习兴趣，使学生动手操作，学会探索.在教学中要关注到学生的基础薄弱，必须扎实基础，突出重点。

高中数学人教A版选修1-1教学案：第二章 2.1 椭圆 Word版含答案

第1课时椭圆及其标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P32～P36的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P32“探究”的内容，思考下列问题：①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示：椭圆．②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？提示：是．其距离之和始终等于线段的长度．(2)观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？提示：．(3)观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？提示：．2．归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，ca2＝b2＋c2的关系[问题思考](1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2;_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)如图，你能从中找出表示a，b，c的线段吗？提示：a＝|PF2|，b＝|OP|，c＝|OF2|．(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？提示：a，b的值及焦点的位置．[课前反思](1)椭圆的定义是：；(2)椭圆的标准方程是：；特点：；(3)在椭圆的标准方程中，a，b，c之间的关系是：．讲一讲1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B两点，求△ABF 2的周长．[尝试解答] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ， ∴△ABF 2的周长为4a .由椭圆的定义可知，点的集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }(其中|F 1F 2|＝2c )表示的轨迹有三种情况：当a >c 时，集合P 为椭圆；当a ＝c 时，集合P 为线段F 1F 2；当a <c 时，集合P 为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆．练一练1．已知命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2.讲一讲2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．[尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.法二：设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)法一：当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， ∴⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．练一练3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26，2c ＝10，所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.讲一讲3．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[尝试解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．练一练4．如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2， ∴M 点的轨迹为椭圆．由椭圆的定义知，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1.讲一讲4．如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF 1|，再代入三角形的面积公式求解． [尝试解答] 由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.即△PF 1F 2的面积是335.对于椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．练一练5．将本讲中“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos 60°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°. ∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×4×32＝ 3.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题． 2．对椭圆定义的理解易忽视“2a >2c ”这一条件，是本节课的易错点．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在． 3．本节课要重点掌握的规律方法 (1)椭圆标准方程的求法，见讲2. (2)与椭圆有关的轨迹问题的求法，见讲3. (3)与椭圆焦点有关的三角形问题，见讲4.课时达标训练（六）[即时达标对点练]题组1 椭圆的标准方程1．已知方程 x 2k －4＋y 210－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(4，10)B ．(7，10)C ．(4，7)D ．(4，＋∞)解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.2．已知椭圆 x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， ∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.3．椭圆9x 2＋16y 2＝144的焦点坐标为________．解析：椭圆的标准方程为x 216＋y 29＝1，∴a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，且焦点在x 轴上， ∴焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．答案：(－7，0)，(7，0)4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．解析：∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12， b 2＝4，a 2＝16.又∵焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝1题组2 与椭圆有关的轨迹问题5．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 214＝1 C.x 24＋y 2＝1 D ．x 2＋y 24＝1解析：选A 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1. ① 将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1.6．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4.但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题7．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3，又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin C sin B＝________．解析：由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8.于是，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.答案：549．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标．解：(1)由题意知，2c ＝4，c ＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 坐标为(x 0，y 0)，依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23，∴|y 0|＝3，y 0＝±3.代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴点P 坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．[能力提升综合练]1．设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：选D ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6，当且仅当a ＝9a ，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P ，则△PF 1F 2的面积等于( )A.32B. 3C.72D ．4 解析：选A 如图所示，由定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，c ＝a 2－b 2＝3，又由PF 1⊥F 1F 2，可设点P 的坐标为(－3，y 0)，代入x 24＋y 2＝1，得|y 0|＝12，即|PF 1|＝12，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝32.3．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或 x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或 x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.4．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4 解析：选B ∵，∴PF 1⊥PF 2.∴点P 为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c ＝8－4＝2. ∵b ＝2，∴点P 为该椭圆y 轴的两个端点．5．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为 3的正三角形，则b 2的值是________．解析：∵|OF 2|＝c ，∴由已知得3c 24＝3，∴c 2＝4，c ＝2.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由△POF 2为正三角形， ∴|x 0|＝1，|y 0|＝3，代入椭圆方程得1a 2＋3b 2＝1.∵a 2＝b 2＋4，∴b 2＋3(b 2＋4)＝b 2(b 2＋4)，即b 4＝12，∴b 2＝2 3. 答案：2 36．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．解析：如图，设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8.又因为点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：47．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. 即F 1(－5，0)，F 2(5，0)．则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. 故所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积； (2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解：(1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．①在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝33.(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得即(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )<0.又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2，解得－263<x <263.所以点P 横坐标的范围是⎝⎛⎭⎫－263，263.第2课时椭圆的简单几何性质[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 37～P 40“探究”的内容，回答下列问题．观察教材P 38－图2.1－7，思考以下问题：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中x ，y 的取值范围各是什么？提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？提示：离心率e ＝ca；0<e <1.(6)如果保持椭圆的长半轴长a 不变，改变椭圆的短半轴长b 的值，你发现b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b越大，椭圆越圆；b越小，椭圆越扁．(7)根据离心率的定义及椭圆中a，b，c的关系可知，e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝1－⎝⎛⎭⎫ba2，所以e越接近于1，则c越接近于a，从而b＝a2－c2就越小；e越接近于0，则c越接近于0，从而b越接近于a.那么e的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．2．归纳总结，核心必记椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程续表焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)离心率e＝ca(0<e<1)[问题思考](1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．(2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ．(3)如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2，∴e ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2. ∴e ＝1－b 2a2. [课前反思](1)椭圆的几何性质：；(2)椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度的关系是：．讲一讲1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [尝试解答] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．练一练1．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)，可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2， ∴1m 2>14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.讲一讲2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍．练一练2．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b 2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上．设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254.∴方程为y 225＋4x 225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x 225＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.讲一讲3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e . [尝试解答] 由A (－a ，0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得 d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a ＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0. 解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c ，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．练一练3．如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1OOA. ∴b 2a b ＝ca ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率． 2．由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点． 3．本节课要重点掌握的规律方法(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲1. (2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲2.(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲3.课时达标训练（七）[即时达标对点练]题组1 由椭圆的标准方程研究几何性质1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.6解析：选B 把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10，2b ＝6，ca＝0.8.2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69. 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.题组2 由椭圆的几何性质求标准方程4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析：选A 因为2a ＝18，2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D 由题意得m －2>10－m 且10－m >0，于是6<m <10，再由(m －2)－(10－m )＝22，得m ＝8.6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.则椭圆G 的方程为_______________________．解析：依题意可设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a >b >0，半焦距为c ，∵椭圆G 的离心为率为32， ∴c a ＝32⇒c ＝32a . ∵椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12， ∴2a ＝12⇒a ＝6.∴c ＝33，b ＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝1题组3 椭圆的离心率7．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：选A 化为标准方程为x 24＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，∴e ＝c a ＝32.8．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( ) A.513 B.35 C.45 D.1213解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a －c ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋c ＝9. 当a －c ＝9时，由b 2＝9得a 2－c 2＝9＝(a －c )(a ＋c )， a ＋c ＝1，则a ＝5，c ＝－4(不合题意)．当a ＋c ＝9时，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，故e ＝45.9．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．解：如图，连接BF 2.∵△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点， ∴F 2B ⊥AF 1.又∵∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ，根据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，即c ＋3c ＝2a ， ∴ca＝3－1. ∴椭圆的离心率e 为3－1.[能力提升综合练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 解析：选A 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33 C.12 D.13解析：选B 记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33. 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13 D.12解析：选D又∵PO ∥BF ，∴|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.4．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝15．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5，4)，则椭圆的方程为________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5，4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1. 答案：x 245＋y 236＝16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为，所以MF 1⊥MF 2，所以点M 的轨迹是以O 为圆心，c 为半径的圆．因为点M 总在椭圆内部，所以c <b ，所以c 2<b 2＝a 2－c 2，所以2c 2<a 2，所以e 2<12，所以0<e <22.答案：⎝⎛⎭⎫0，22 7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ⎝⎛⎭⎫1，432，N ⎝⎛⎭⎫－322，2两点，求椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).将点M ⎝⎛⎭⎫1，432，N ⎝⎛⎭⎫－322，2代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧12a 2＋⎝⎛⎭⎫4322b2＝1，⎝⎛⎭⎫－3222a 2＋（2）2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．将点M ⎝⎛⎭⎫1，432，N ⎝⎛⎭⎫－322，2代入上式得 ⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫4322a 2＋12b2＝1，（2）2a 2＋⎝⎛⎭⎫－3222b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝9.因为a >b >0，所以舍去，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.8．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >m m ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a 2－b 2＝ m （m ＋2）m ＋3.由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1，0)，A 2(1，0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 第3课时直线与椭圆的位置关系(习题课)[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径的大小关系判断，d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离；d <r ⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系． [思考3] 已知直线l 和椭圆C 的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．讲一讲1．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离． [尝试解答] 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1，消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.当Δ＝0时，得m ＝±52，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－52<m <52，直线与椭圆相交；当Δ<0时，得m <－52或m >52，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法练一练1．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆 x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m ＝1，消去y ，整理得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)，因为直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立，因为m >0，所以5k 2≥1－m 恒成立，所以1－m ≤0，即m ≥1.又因为椭圆的焦点在x 轴上，所以0<m <5，综上，1≤m <5，即m 的取值范围是[1，5)．[思考1] 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |? 名师指津：(1)利用r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|求解．[思考2] 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何求|AB |的值？名师指津：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|．讲一讲2．已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．[尝试解答] (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1），由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.(1)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2 ＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.练一练2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 解析：选C 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.∴所求中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. 3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.讲一讲。

高二数学人教A版选修1-1学案第二章2-12-1-1椭圆及其标准方程Word版含答案

关闭Word文档返回原板块。

第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．定义中的常数不满足2a>|F1F2|时点的轨迹是什么？提示：(1)当|PF1|＋|PF2|＝2a<|F1F2|时，P的轨迹不存在.(2)当|PF1|＋|PF2|＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．2．椭圆的标准方程椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)F1(－c，0)，F2(c，0)2c焦点在y轴上y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．()提示：(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．(2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．( )提示：(2)×.2a<|F 1F 2|，动点的轨迹不存在．(3)平面内到点F 1(－4，0)，F 2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆．( ) 提示：(3)√.符合椭圆的定义．(4)平面内到点F 1(－4，0)，F 2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( ) 提示：(4)×.平面内到点F 1(－4，0)，F 2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．2．椭圆x 216 ＋y 225 ＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若||PF 1 ＝2，则||PF 2 ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】选D.由题意a ＝5，||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，所以||PF 2 ＝2a －||PF 1 ＝10－2＝8.3．(教材二次开发：例题改编)设F 1，F 2为定点，||F 1F 2 ＝6，动点M 满足||MF 1 ＋||MF 2 ＝10，则动点M 的轨迹是________．(从以下选择：椭圆．直线．圆.线段)【解析】动点M 满足||MF 1 ＋||MF 2 ＝10>6＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆．答案：椭圆类型一求椭圆的标准方程(数学运算)1．(2021·昆明高二检测)已知椭圆的两个焦点是⎝⎛⎭⎫－3，0 ，⎝⎛⎭⎫3，0 ，且点⎝⎛⎭⎫0，2 在椭圆上，则椭圆的标准方程是( )A ．x 213 ＋y 24 ＝1 B ．x 29 ＋y 24 ＝1 C ．x 24 ＋y 213 ＝1D ．x 213 －y 24 ＝1【解析】选A.由题意，因为椭圆的两个焦点是(－3，0)，(3，0)，所以c ＝3，且焦点在x 轴上，又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫0，2 ，所以b ＝2，根据a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝13 ，故椭圆的标准方程为x213＋y 24 ＝1.2．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左焦点为F(－ 3 ，0)，且椭圆C 上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为3 2 ，则椭圆C 的方程为( ) A ．x 23 ＋y 2＝1 B ．x 24 ＋y 2＝1 C ．x 26 ＋y 23 ＝1D ．x 29 ＋y 26 ＝1【解析】选C.因为椭圆C 的左焦点为F(－ 3 ，0)，所以c ＝ 3 ，又因为椭圆C 上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为3 2 ，即12 ×2a×b ＝ab ＝3 2 ①又因为a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝b 2＋3② 由①②解得：a ＝ 6 ，b ＝ 3 ，椭圆C 的方程为x 26 ＋y 23 ＝1.3．求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．【解析】方法一：(1)当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0).依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14．由a>b>0，知不合题意，故舍去．(2)当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a>b>0).依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15．所以所求椭圆的标准方程为y 214 ＋x 215＝1.方法二：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m≠n).则⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132n ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，故椭圆的标准方程为y 214 ＋x 215＝1.1．求曲线方程首先考虑比较简单的定义法，也可以用待定系数法． 2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是在两个坐标轴上都有可能． (2)设方程．①依据上述判断设方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)或y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0且m≠n).(3)找关系：依据已知条件，建立关于a ，b 或m ，n 的方程组．(4)得方程：解方程组，将a ，b 或m ，n 代入所设方程即为所求．提醒：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同．类型二椭圆中的焦点三角形问题(数学运算)【典例】(1)椭圆x 29 ＋y 22 ＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小．(2)已知椭圆x 24 ＋y 23 ＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．【思路导引】【解析】(1)由x 29 ＋y 22 ＝1，知a ＝3，b ＝ 2 ，所以c ＝7 ，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| ＝－12 ，所以∠F 1PF 2＝120°.(2)由x 24 ＋y 23 ＝1，知a ＝2，b ＝ 3 ，所以c ＝a 2－b 2 ＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4.② 由①②联立得|PF 1|＝65 .所以12PFF S ＝12 |PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2 ＝12 ×65 ×2×32 ＝335 .1．椭圆定义的应用(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化． (2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题． 2．椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2，如果已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12 |PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．1．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为33 ，过点F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3 ，则C 的方程为________．【解析】由题意及椭圆的定义知4a ＝4 3 ，则a ＝ 3 .又c a ＝c 3 ＝33 ，所以c ＝1.所以b 2＝2. 所以C 的方程为x 23 ＋y 22 ＝1. 答案：x 23 ＋y 22 ＝12．已知P 是椭圆y 25 ＋x 24 ＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是________．【解析】由椭圆方程知a ＝5 ，b ＝2，所以c ＝a 2－b 2 ＝1，所以|F 1F 2|＝2，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5 . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－ 2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°，即4＝20－(2＋ 3 )|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝16(2－ 3 )，12PFF S＝12 |PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12 ×16(2－ 3 )×12 ＝8－43 . 答案：8－4 3【拓展延伸】椭圆中的焦点三角形：椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．【拓展训练】在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝c|y 0|＝b 2tan α2 .【证明】12PFF SS △PF 1F 2＝12 |F 1F 2||y 0|＝c|y 0|.在△PF 1F 2中，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a. 两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.① 根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2| cos α＝4c 2.②， ①－②，得(1＋cos α)|PF 1||PF 2|＝2b 2，所以|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos α.根据三角形的面积公式得12PFF S ＝12 |PF 1||PF 2|sin α ＝12 ·2b 21＋cos α ·sin α＝b 2·sin α1＋cos α. 又因为sin α1＋cos α ＝2sin α2cos α22cos 2α2 ＝sin α2cos α2＝tan α2 ，所以12PFF S ＝b 2tan α2 . 类型三与椭圆有关的轨迹问题(直观想象、数学运算)定义法【典例】一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．【思路导引】由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3，0)，R 1＝1；Q 2(3，0)，R 2＝9.设动圆圆心为M(x ，y)，半径为R ，如图．由题设有|MQ 1|＝1＋R ，|MQ 2|＝9－R ，所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3. 所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.若将“圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1”改为“圆Q1：(x＋3)2＋y2＝9”，试求这个动圆圆心的轨迹方程．【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝3；Q2(3，0)，R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R.由题设有|MQ1|＝3＋R，|MQ2|＝9－R，所以|MQ1|＋|MQ2|＝12>|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝6，c＝3.所以b2＝a2－c2＝36－9＝27，椭圆方程为x236＋y227＝1，又当M在点(－6，0)时，不存在圆符合题意，所以x≠－6，故动圆圆心的轨迹方程为x236＋y227＝1(x≠－6).代入法(相关点法)【典例】已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点；O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．【思路导引】点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．【解析】设Q(x ，y)，P(x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 20 4 ＋y 20 8 ＝1，所以（2x ）24 ＋（2y ）28 ＝1，即x 2＋y 22 ＝1.答案：x 2＋y 22 ＝11．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．2．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x ，y)与另一个已知曲线C ：F(x ，y)＝0上的动点Q(x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F(x ，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).1．已知动圆M 过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解析】设动圆M 的半径为r ，则|MA|＝r ，|MB|＝8－r ，所以|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，所以动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3，0)，B(3，0)，且2a ＝8，所以a ＝4，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216 ＋y 27 ＝1.2．(2021·洛阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且||F 1F 2 是||PF 1 与||PF 2 的等差中项．(1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．【解析】(1)设所求椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)，根据已知可得||F 1F 2 ＝2，所以||PF 1 ＋||PF 2 ＝4＝2a ，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以此椭圆方程为x 24 ＋y 23 ＝1；(2)在△PF 1F 2中，设||PF 1 ＝m ，||PF 2 ＝n ，由余弦定理得4＝m 2＋n 2－2mn·cos 60°，所以4＝(m ＋n)2－2mn －2mn·cos 60°＝16－3mn ，mn ＝4，所以12PFF S S △PF 1F 2＝12 mn·sin 60°＝12 ×4×32 ＝3 .1．若方程x 220＋a ＋y 24－a ＝1表示椭圆，则实数a 的取值范围是() A ．⎝⎛⎭⎫－20，4B ．⎝⎛⎭⎫－20，－8 ∪⎝⎛⎭⎫－8，4C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－20 ∪⎝⎛⎭⎫4，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－20 ∪⎝⎛⎭⎫－8，＋∞【解析】选B.因为方程x 220＋a ＋y 24－a＝1表示椭圆，所以有⎩⎪⎨⎪⎧20＋a>0，4－a>0，20＋a≠4－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>－20，a<4，a≠－8⇒－20<a<－8或－8<a<4.2．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A ．x 2100 ＋y 236 ＝1B ．y 2400 ＋x 2336 ＝1C ．y 2100 ＋x 236 ＝1D ．y 220 ＋x 212 ＝1【解析】选C.由已知c ＝8，2a ＝20，所以a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝36，故椭圆的方程为y 2100 ＋x 236 ＝1. 3．若方程x 2m ＋y 21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________．【解析】由题可知，方程x 2m ＋y 21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得1－m>m>0，解得：0<m<12 ，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12 . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 4．如果方程x 2a 2 ＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎨⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎨⎧（a ＋2）（a －3）>0，a>－6. 解得a>3或－6<a<－2. 答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)关闭Word 文档返回原板块。

高中数学选修1-1人教A教案导学案：2.1.1椭圆及其标准方程

2. 1.1椭圆的标准方程一预习目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．二预习内容1.什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？．2.圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？3．椭圆的定义：---------------------------------------------------------------- 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的-------------，两焦点的距离叫做 ----------------。

4. 椭圆标准方程的推导：①建系；以-----------为轴，----------- 为轴，建立直角坐标系，则的坐标分别为：--------------------②写出点集；设P（）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知： ------------------------------③坐标化；④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2）类似的，焦点在----- 轴上的椭圆方程为：-------------------------- 其中焦点坐标为：--------------------------三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1..通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。

2通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．重点：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆难点：椭圆标准方程的推导二、学习过程1.思考：(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？得出结论：在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为2．推导椭圆的标准方程．1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F2(c，0)，2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，思考：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．b2=a2-c2得：() 222210 x ya ba b+=>>3.例题例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．设椭圆的标准方程为--------------------，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，代入化简可得标准方程。

高中数学人教A版选修1-1教案-2.1 椭圆_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标教学目标：1.使学生了解并掌握椭圆的范围；2.使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心；3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、以及a、b、c的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距；4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义。

2. 教学重点/难点教学重点：掌握椭圆的几何性质教学难点：理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法3. 教学用具4. 标签教学过程一、知识回顾：复习：椭圆的标准方程下面我们将利用椭圆的标准方程（1）来研究椭圆的几何性质。

一、椭圆的几何性质：1. 范围：椭圆上点的坐标（x，y）满足于是知椭圆落在直线所围成的矩形中。

（如图所示）1. 对称性：⑴复习：如何判断曲线的对称性？⑵指明：标准方程表示的椭圆关于x轴、y轴及原点都对称；原点是椭圆的对称中心简称中心；x轴、y轴叫椭圆的对称轴。

非标准方程表示的椭圆的对称轴不是坐标轴，椭圆的对称轴不是坐标轴时，椭圆的方程不是标准方程，但无论椭圆在什么位置，它都有互相垂直的两条坐标轴, 都有中心.1. 顶点：观察：上图中，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即|B1F1|= |B2F1|= |B1F2|= |B2F2|=a在Rt△O B2F2中|OF2|2=| B2F2|2- |OB2|2 ,即c2= a2 -b24.离心率：（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率; （2）范围：因为a>c>0,所以0<e<1;（3）说明：e的变化对椭圆的影响。

(课本P98)三、例题讲解：四、随堂练习：课本P102第1、2题。

五、课堂小结：椭圆的标准形式下的简单几何性质。

六、课后作业：P103习题8.2 第1，2，3题。

高二数学2.1.1椭圆及其标准方程学案新人教A版选修1-1

距．
(2) 通过标准方程可以判断焦点的位置，其方法是：
看 x2， y 2 的分母大小，哪个分母大，焦
点就在哪个坐标轴上．
4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
(1) 作判断：依据条件判断椭圆的焦点在
x 轴上还是在 y 轴上．
(2) 设方程： ①依据上述判断设方程为
x2 y2
x2 y2
a2＋ b2＝ 1 或 b2＋ a2＝ 1．
y2 x 2 A. ＋＝ 1
84
y2 x2
y2 x2
B. ＋＝ 1 C. ＋＝ 1
10 6
48
y2 x 2 D. ＋＝ 1
6 10
解析：由题意知，所求椭圆的焦点在
53
x 轴上，可以排除
A、 B；再把点
，－ 22
代入方程，
可知应选 D. 3．过椭圆 4x 2＋ 2y2＝ 1 的一个焦点 F1的直线与椭圆交于
即 a＝ 2.
4，得 2a＝4，
3 又 A 1， 2 在椭圆 C 上，
32
12
2
∴ 22＋ b2 ＝ 1，解得 b ＝ 3.
∴ c2＝ a2－ b2＝ 1.
x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝ 1，
焦点坐标为 F( ±1， 0) ．
1．下列说法中正确的是 ( C)
A．已知 F1( － 4， 0) ， F2(4 ，0) ，到 F1，F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆 B．已知 F1( － 4， 0) ， F2(4 ，0) ，到 F1，F2 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆
?基础梳理
1．椭圆的定义及标准方程． (1) 平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数 ( 大于 | F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆，这两个

新人教A版(选修1-1)2.1《椭圆》word学案

1§2.1.1 椭圆及其标准方程（1）【学习目标】（1）从具体情境中抽象出椭圆的模型；（2）掌握椭圆的定义，能用坐标法求椭圆的标准方程；（3）掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程的形式。

【重点、难点】重点：椭圆的定义及其标准方程难点：椭圆定义理解及其标准方程推导【学习方法】探究、讨论、归纳、类比一、【基础知识链接】（1）圆的定义：；（2）圆心为C (b a , ，半径为r 园上任意一点M 满足的几何条件；（集合表示）圆C 的标准方程为（3）回顾圆的标准方程的推导步骤？求平面内动点轨迹方程的一般方法有哪几步？（4）圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?二、【新知导学】探究任务一、椭圆的定义教材导读，预习课本P32的内容，并思考下列问题：（1）我们知道，平面内动点M 到一个定点C 的距离等于定长为r （r 为常数）的动点的轨迹是圆，那么到两个定点21,F F 的距离之和等于定长为a 2(a 常数)的动点的轨迹是什么？动动手，做教材32P 中的演示.（2）椭圆的定义：把平面内动点M 与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的，两焦点的距离（2c ）叫做 .（3）椭圆定义中动点M 满足的几何条件是；（4）在椭圆的定义中，强调了22a c >；若22a c =动点的轨迹是什么？若22a c <呢？尝试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F 、2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是．反思：在判断平面内的动点的轨迹是否为椭圆时，一定要判断a 2（到两定点距离之和）与c 2（两定之间的距离）的关系探究任务二、椭圆的标准方程教材导读，预习课本P33的内容，并思考下列问题（1）在椭圆中如何建立适当的直角坐标系求动点轨迹？依据什么建立直角坐标系？（2）设椭圆上任意一点),(y x M 满足几何条件)2(22121c F F a MF MF =>=+①1F 、2F 坐标为②几何条件坐标形式为x③ 椭圆标准方程为（焦点在x 轴上）①1F 、2F 坐标为②几何条件坐标形式为③ 椭圆标准方程为（焦点在y 轴上）（3222b a 、b 、c 的含义吗？（4）观察比较焦点位置不同的椭圆标准方程，怎样根据椭圆标准方程判断椭圆焦点的位置？尝试：根据下列椭圆方程，写出,,a b c 的值，并指出焦点的坐标：（1）221169y x +=；（2）2212516y x +=；（1）a = ；b = ；c = （2）a = ；b = ；c =焦点坐标焦点坐标典型例题分析----椭圆标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两焦点坐标分别是)0,4(-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10；（2）两焦点的坐标分别是)2,0(-、(0,2)，并且椭圆经过点)25,23(-.变式：写出适合下列条件的椭圆的标准方程（1）4=a ，2b =，焦点在x 轴上；（2）4=a ，c =，焦点在y 轴上反思：求椭圆标准方程，定型（焦点位置）、定量（确定b a ,的值）三、【基础达标检测】1. 已知6,5a b ==，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是（）A . 2213635y x +=B . 2213625y x +=C . 2213536y x +=D . 2212536y x +=2. 如果椭圆22110036y x +=上一点到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（）A . 8B . 14C . 16D . 203. 椭圆221169y x +=的左、右焦点为1F 、2F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B ，则2ABF ∆的周长为 .四、【课堂归纳、小结、反思】x x x（1）椭圆定义：①椭圆上任意点M 满足的几何条件：)2(22121c F F a MF MF =>=+ ②当22a c =时动点M 的轨迹是线段21F F 当22a c <时动点M 的轨迹是不存在（2）椭圆标准方程注意焦点位置不同的两种形式，其中222c b a +=（3）椭圆标准方程定型、定量§2.1.1 椭圆及其标准方程（2）【学习目标】（1）掌握动点的轨迹的求法；（2）进一步熟练掌握椭圆的定义及标准方程；（3）掌握含参数的椭圆方程的表示.【重点、难点】重点：椭圆的定义及标准方程难点：动点的轨迹的求法【学习方法】探究、讨论、归纳、类比一、【基础知识链接】（1）椭圆的定义：平面内，动点M 到两定点21,F F 的距离之和等于常数a 2（小于常数212F F c =）的轨迹（2）椭圆的标准方程：①焦点在x 上；焦点坐标；②焦点在y 上；焦点坐标；复习检测：（1）下列哪些是椭圆方程？如果是，请指出其焦点所在的坐标轴．①22342x y +=； ②221259y x +=； ③22144y x +=； ④22183y x +=-.（2）在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是．（3）方程2231kx y +=的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，则k 的范围是 . 二、【新知探究】知识点一、椭圆的标准方程例1．求适合下列条件的椭圆标准方程（1）焦点在y 上，且经过两点）和（,01)2,0( （2）经过点）（3,36和点)1,322(反思：求椭圆标准方程：“先定型，再定量”，可把标准方程设成)0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+且形式不用考虑焦点所在的坐标轴。

新人教A版高中数学(选修1-1)2.1《椭圆》ppt说课课件

一、3教学目标设计
掌握椭圆的定义及标准方程； 1.知识目标：根据条件写出椭圆标准方程；熟悉求曲线方程的一般方法．
2.能力目标：提高动手能力、合作学习的能力、运用知识解决问题的能力．
激发学生的兴趣；提高审美情趣； 3.情感目标：培养勇于探索、敢于创新的精神．
一、4教学重点和难点
1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程
A1 F1 M
F2
归纳概念
A1 F1
M
F2
椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.
定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
[设置依据] 以活动为载体，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验。同时，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。
基础题：
1、根据椭圆的标准方程，判断焦点的位置，并求其坐标（口答）：
（1）
x2 y2 1 9 6
（2）
y2 x2 1 7 4
（3）
3x 2 4 y 2 5
活动形式:思考—解答—点评设计意图:熟悉椭圆两种形式的标准方程
2、已知:两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），
2. 教学难点：椭圆标准方程的推导
二、教学策略
1．教法：探究式教学方法
教师为主导：设置情境、问题诱导 2．学法：本节课给学生提供以下四种机会： 1．提供观察、思考的机会； 2．提供操作、尝试、合作的机会； 3．提供表达、交流的机会； 4．提供成功的机会．
3．教学准备 • 学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板. • 教师准备：用几何画板制作的相关课件.

高中数学人教A版选修1-1教案-2.1 椭圆_教学设计_教案_1

教学准备1. 教学目标教学目标：1.掌握求适合条件的椭圆的标准方程的方法.2.理解椭圆的比值定义，椭圆的准线的定义.3.掌握椭圆的准线方程并能运用准线方程判定椭圆的焦点位置.2. 教学重点/难点教学重点：椭圆的比值定义，椭圆的准线的定义及其运用.教学难点：椭圆的准线的运用.3. 教学用具4. 标签教学过程教学过程:一、知识回顾：求椭圆16x2+9y2=144中x,y的范围，长轴和短轴长、离心率、半焦距的大小、焦点及顶点坐标。

二、课堂新授：例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点P（－3,0）、Q（0，－2）；（2）长轴的长等于20，离心率等于.解：（1）由椭圆的几何性质可知，点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点.于是得a=3,b=2.又长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为(2) 由已知，2a=20,e=,a=10,c=6.b2=102-62=64.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为例1. 如图，我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆。

已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439KM。

远地点B（离地面最远的点）距地面2384km,并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km.求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.点评：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=（0<e<1）时，这个点的轨迹是椭圆。

定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

一、随堂练习：P102 练习4,6二、课堂小结：五、课后作业：P103 习题8.24,5，6,7。

高中数学人教A版选修1-1第2章2-1椭圆教案

人教A版选修1-1教案第2章圆锥曲线与方程2.1 椭圆§2.1.1椭圆的定义及其标准方程1【学情分析】：学生已经学过了轨迹方程。

对于怎样列方程有了一定的了解。

本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。

【三维目标】：1、知识与技能：①使学生掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导过程；掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系；②了解建立坐标系的选择原则。

2、过程与方法：①通过让学生自己画图探究椭圆上的点应满足的条件；②通过椭圆的标准方程的推导突破带“两个根号的方程”的化简方法。

.3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，使学生体会探索、学习的乐趣。

【教学重点】：知识技能目标①②【教学难点】：知识技能目标②【课前准备】：课件§2.1.1椭圆的定义及其标准方程2【学情分析】：学生已经学过了轨迹方程、椭圆的定义及其标准方程的概念。

本节课将主要通过例题、练习明确求轨迹方程的步骤，进一步加强学生对于知识的掌握。

【三维目标】：1、知识与技能：①使学生进一步掌握椭圆的定义；掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系；②进一步强化学生对求轨迹方程的方法、步骤的掌握。

2、过程与方法：通过例题、习题的评练结合，促使学生掌握求椭圆轨迹方程的方法。

3、情感态度与价值观：通过讲解求椭圆轨迹方程，使学生认识到辨证联系地看问题，学会在解题过程中抓住题目中条件与结论的联系。

【教学重点】：知识与技能①、②【教学难点】：知识与技能②【课前准备】：课件§2.1.2椭圆的简单几何性质1【学情分析】：学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映。

【三维目标】：1、知识与技能：①熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。

②掌握标准方程中a,b,c的几何意义③通过对椭圆的研究，加强学生对学习“圆锥曲线”的方法（用代数来研究几何）的理解。

高二数学(人教A版)选修1-1导学案：2.1.1椭圆及标准方程(无答案)

编号： gswhsxxx1-1----02-01文华高中高二数学选修 1-1§ 2.1 《椭圆及其标准方程》导教案学习目标1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的观点2．娴熟掌握椭圆的标准方程，会依据所给的条件画出椭圆的草图并确立椭圆的标准方程3．使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，有关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决要点难点要点：椭圆的标准方程难点：椭圆的标准方程的推导学习方法类比，数形联合感情态度与价值观经过坐标系把数与形有机联系起来，经过研究椭圆等圆锥曲线的方程获得圆锥曲线的几何性质，形成研究曲线的一般方法学习过程一、自学研究（预习教材 32 页 —— 34 页回答以下问题） 1. 椭圆的定义我们把平面内与两个定点 F 1 , F 2 的距离常数（大于 F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．反省：若将距离之和（ | P F 1|+|PF 2）记为 2a ，为何 2a F 1F 2 ？| 当 2a F 1F 2 时，其轨迹为；当 2a F 1F 2 时，其轨迹为．小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看能否知足常数2aF 1F 22. 填下表椭标准方程x 2 y 21y 2x 2圆a2b2a2b 21（a>b>0 ）(a>b>0)不同图形点焦点坐标相定义同a,b,c 的关系点焦点地点的判断二、例题研究例 1 已知椭圆方程是x2 y 2 1 则36 100(1)a ＝____，b＝____，c＝ ___，焦点坐标为：___ ，焦距等于 ____。

(2)曲线上一点 P到焦点 F1的距离为 8，则点 P到另一个焦点 F2的距离等于______。

思虑：定义中，“定值大于 | F1F2 |”是必需条件．1）当 2a 2c 时，动点轨迹是__________________；2）当 2a 2c 时，动点轨迹是．例 2. 写出合适以下条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是( 4,0) 、，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于10；(4,0)( P34 例 1) ⑵两个焦点坐标分别是( 2,0)和(2,0)，且过（5， 3 ）2 2三、合作研究（预习教材 P34 P35）例 3．（P34例 2）如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 2 ，从这个圆上随意一点P 向xy轴作垂线段 PP/，求线段 PP/的中点 M 的轨迹. PM剖析：（ 1）圆上点 P 和点 M坐标分别可设为：OP′ 2x-2（2）点 P，P,和点 M的关系可表示为：（3） P 点坐标知足方程：（4） M轨迹方程和（ 3）的关系？概括：求轨迹方程的一般步骤例 4．（P35例 3）如图，设A，B的坐标分别为5,0 ， 5,0 ．直线 AM ， BM 订交于点 M ，且它们的斜率之积为4，求点 M 的轨迹方程．9四、讲堂展现1 ．设F1, F2为定点， | F1F2 |=6 ，动点 M知足| MF1| | MF 2 | 6，则动点M的轨迹是（）A. 椭圆B. 直线C. 圆D. 线段2．椭圆x2 y2 1 上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为25 9（）3．椭圆x2 y 2 1 的焦点坐标是（）25 169A.( ±5，0)B.(0 ，± 5)C.(0 ，± 12)D.( ±12， 0)4．椭圆x2 y2 1的焦距是，焦点坐标为；若 CD 为过左焦点F1 16 9的弦，则F2CD 的周长为五、讲堂小结1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F 2|时轨迹才是椭圆，假如2a＝|F 1F 2|，轨迹是线段 F 1F 2，假如 2a<|F 1F 2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有 a>b>0，所以判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴从而设出相应的标准方程，而后再计算；假如不可以确立焦点的地点，有两种方法求解，一是分类议论，二是设椭圆方程的一般形式，即 mx2＋ ny2＝ 1 (m，n 为不相等的正数 )．本节课我最大的收获是我存在的迷惑有：文华高中高二数学选修1-1《椭圆及其标准方程》节节过关达标检测班级： ------------组名：------------学生姓名：------------1．平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为（）．A．椭圆B．圆 C ．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹2．若ABC 的个极点坐标A( 4,0) 、 B(4,0) ，ABC 的周长为 18，则极点 C 的轨迹方程为（）．A．C．x2y225 92 2x y16911 ( y0)B ． y2 x2 1 ( y 0)25 9D 2 2．x y 1 ( y 0)25 92 2 1 的焦距为2，求则 n 的值为．3. 椭圆x y4 n_______4.方程 x2 y 2 1 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的范围是4 m．5. 已知y 2 x 210 m m1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数 m 的范围是26.假如方程 x2 ky2 2 表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是7.设 F1,F2为定点，| F1F2|=6，动点M知足 |MF1 | |MF2 | 6，则动点M的轨迹是．8.(P36T2)写出合适以下条件的椭圆的标准方程：（ 1）a 4, b 1,焦点在x轴上;（ 2）a 4, c 15 , 焦点在 y 轴上 ;（ 3）a b 10,c 2 5 .。

第二章《椭圆》教案新人教A版选修

数学：第二章《椭圆》教案（3）（新人教A版选修1-1）2.1.1椭圆及其标准方程教学目标:1.知识目标：使学生理解并掌握椭圆的定义及其标准方程，会根据条件判断椭圆并会求出相应的椭圆方程。

2.能力目标：通过观察、联想、类比等思想方法的运用，培养学生对问题探索的能力，逐步培养学生数学应用建模的意识，渗透分类及数形结合的数学思想。

3.情感目标：通过个人独立探索和团队合作讨论，培养学生良好的相互协作意识；通过对实际问题研究与史料的介绍，，培养学生探索创新能力和科研意识。

教学重点：椭圆的定义和标准方程.教学难点：椭圆标准方程的推导教学方法：教师应创设情境，设置一系列问题，引导学生思考、归纳、总结、反思运用，直至学生对该知识理解并掌握。

电教手段: 多媒体实验教具: 直尺、图片教学过程：一、新课导入：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？（学生动手，观察结果）思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.二、讲授新课：1. 定义椭圆：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2.椭圆标准方程的推导：以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系.设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点的坐标分别为，，又设与的距离之和等于，根据椭圆的定义，则有，用两点间的距离公式代入，画简后的，此时引入要讲清楚. 即椭圆的标准方程是. 根据对称性，若焦点在轴上，则椭圆的标准方程是.两个焦点坐标.通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式：和3. 练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标小结：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。

高二数学 (人教a版)选修1-1教案：2.1.1椭圆定义及其标准方程2

三、巩固练习
1、设点A、B的坐标分别为（—1，0），（1，0）。直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？（x=—3，（y≠0））
2、若P(-3,0)是圆x +y -6x-55=0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程。( )
§2.1.1椭圆的定义及其标准方程2
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习
1、动点轨迹的一般求法？
2、请讲出椭圆的标准方程？
3、讲出椭圆的标准方程中a、b、c之间的关系
4、完成下面的题目（答案略）
①设a+c=10，a-c=4，则椭圆的标准方程是
②动点M到两个定点A（0，- ）、B（0，）的距离的和是，则动点M的轨迹方程是
例2设点A、B的坐标分别为（—5，0），（5，0）。直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。（）
通过两个典型例题，使学生明确设点求轨迹方程的方法、步骤：（1）设动点（x , y）；（2）根据题目的条件找到相等关系，并列出等式；（3）化简，得到所求方程；（4）注意不满足去掉不满足条件的点。
A B
C D
4.P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（B）
A B
C D 16
5已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是（D）
A (1, +∞) B
C D
6.已知F1、F2是椭圆 + =1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为（B）
A.8 B.16
C.25 D.32
③与椭圆共焦点，且过点（3，-2）的椭圆方程是

【优选整合】人教A版高中数学选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程教案

2.1.1椭圆及其标准方程教案（一）教学目标 1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

（二）教学重点与难点重点：掌握椭圆的标准方程难点：会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

（三）教学过程问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？1、曲线与方程的概念？2、求曲线的方程的步骤？引例1：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）引例2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）点题：今天我们学习“椭圆及其标准方程” 活动二：师生交流、进入新知，（20分钟） 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距PF 2F 1即1212|PF |||||PF F F +>；焦点：12,F F ；焦距：12||F F 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)问题2：你能利用上一节学过的坐标法求出椭圆的方程吗？取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程其中222b c a +=问题3：书本P39页思考？问题4：书本P40页思考？注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程PF 2F 1xOy12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程2、椭圆标准方程：（1）焦点在焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程12222=+by a x 其中222b c a +=（2）焦点在焦点在y 轴上，焦点是),0(),,0(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程12222=+bx a y其中222b c a +=（3）方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；由于m n 与的大小关系判断焦点在那个坐标轴上。

高中数学人教(A版)选修1-1导学案：2.1.1椭圆及其标准方程(无答案)

课题：§2.1.1椭圆及其标准方程(第1课时)【课标要求】1、了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆的标准方程的推导与化简过程；2、掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形。

【考纲要求】1、掌握椭圆的定义，能利用椭圆的定义求有关参数的值，解决有关线段长度，特别是焦点三角形问题；2、掌握椭圆的标准方程，能运用标准方程求有关参数的值。

【学习目标叙写】1、学生经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，提高学生的归纳概括能力，从而能准确的说出椭圆的定义，加强对椭圆定义的理解，能利用椭圆的定义求有关参数的值，解决有关线段长度，特别是焦点三角形问题；2、掌握椭圆的标准方程及推导过程，并在化简方程的过程中提高学生的运算能力；3、学生能够熟练掌握求椭圆标准方程的定义法，待定系数法，同时要重视数学思想在解题中的指导作用；4、学生体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。

【使用说明与学法指导】1、阅读课本（P38—40），自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；时间不超过20分钟；2、根据教材助读设置的问题，结合课本的基础知识，完成预习案；3、用红笔勾出疑难点，将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处，然后课堂提交小组讨论；4、根据自己的能力课前尝试完成探究案，要求 A 层学生完成所有题目，B 层学生完成除▲▲外的所有题目，C 层学生完成不带▲的所有题目。

有疑惑的题目提交课堂小组交流合作完成。

训练案供课后巩固基础提升能力用。

【预习案】一、相关知识回顾求曲线方程的一般步骤：；二、教材助读（以小组为单位预习教材（P38—40），并完成以下问题）1、椭圆的定义：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？新知：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为；当122a F F <时，其轨迹为．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．2、椭圆的标准方程（1）、根据椭圆定义完成标准方程的推导过程。

高中数学 2.1椭圆及其标准方程教案新人教A版选修1 1 教案

§2.1．1椭圆及其标准方程（一）教学目标：1.了解椭圆的实际背景，通过作图探究抽象出椭圆的定义，了解椭圆标准方程的推导及化简过程． 2．掌握椭圆的定义及其标准方程．教学重点：椭圆的定义和标准方程的理解与应用．教学难点：椭圆标准方程的灵活运用．【课前知识准备】1.平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是 .2.圆心为)0,0(，半径为4的圆的标准方程是 .3.若直线过)0,4(，)3,0(两点，则该直线的截距式方程为 .【课前探究活动】（1）准备：同桌两人一组，准备画板一个、A4纸一张、细绳一段、图钉两个和铅笔一枝；（2）具体活动：将无弹性细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板上的21,F F 两图钉处，用铅笔把细绳拉紧，使铅笔（动点M ）在画纸上慢慢移动形成轨迹.火眼金睛•思与论问题1：你作出的点的轨迹是什么图形？①在作图过程中，哪些点的位置不变，哪些距离改变，哪些量不变？②改变细绳两端点的距离||21F F ，使其等于绳长（常数），画出的轨迹又是什么？ ③当绳长（常数）小于两图钉间的距离||21F F 时，还能画出轨迹吗？新知1：椭圆的定义平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作，定点21,F F 叫做，两焦点间的距离||21F F 叫做辨析1：若21,F F 是定点，且6||21=F F ，动点M 满足821=+MF MF ，则点M 的轨迹是（）A.圆B.椭圆C. 线段D. 不存在问题2：如何求椭圆的方程？（提示：类比求圆的轨迹方程的方法）新知2：椭圆的标准方程为( )【心得交流】①焦点在轴上且坐标分别是1F ( , ), 2F ( , );②c b a ,,的关系为: .辨析2：根据下列椭圆方程，说出方程中a 、b 、c 的值.(1)192522=+y x ; (2) 114416922=+y x ; (3) 116914422=+y x .问题3：回顾椭圆方程的探求过程，若把两焦点1F 、2F 放在y 轴上恰当的位置，椭圆的方程又是什么呢？问题4：根据椭圆的标准方程,如何判断焦点的位置?辨析3：判断下列方程表示的轨迹是否为椭圆；若是,判定焦点的位置并写出焦点的坐标.(1)134=+y x ; (2) 1161622=+y x ;M(3) 191622=+y x ; (4) 1222=+y x ; (5) 14416922=+x y .【心得交流】椭圆标准方程的特点：①标准方程的左边是两个平方的，右边是；②焦点在分母的变量所对应的轴上；③c b a ,,中最大.真知灼见• 讲与练练习：根据下列条件求出椭圆的标准方程并写出椭圆的焦点坐标.(1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；例1：已知椭圆两焦点的坐标分别是()0,4-、()0,4，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10，求该椭圆的标准方程.变式：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()20-，、()20，，且经过点⎪⎭⎫⎝⎛-2523，，求椭圆的标准方程.反思小结：通过本节课我学到的知识是我掌握的方法有我加强的数学思想有拓展练习：1. 已知椭圆方程为1322322=+y x ，则这个椭圆的焦距为（）. A.6 B.3 C. 53 D. 562. 已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为（）. A.2 B.3 C. 5 D. 7课后作业：1.课本49页习题2.1 第2题探究：已知椭圆经过两点⎪⎭⎫⎝⎛-2523，、()53，，怎样求该椭圆的标准方程？。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

直线与椭圆位置关系学案
巩义二中高二数学（文科）备课组
一、学习目标：在掌握椭圆的方程、性质的基础上，类比直线与圆的位置关系，尝试用代数
法解决直线和椭圆的位置关系，体会坐标法和数形结合思想
二、学习重点：直线与椭圆的位置关系的判断、求弦长
三、知识链接：
在必修2中我们如何研究直线和圆的位置关系？（代数法、几何法）
四、课前准备：
1、直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为，则直线l的方程是
2、求下列直线和椭圆的交点坐标：
（1）3x+10y-25=0，
(2)3x-y+2=0，
3、过椭圆C：的焦点引垂直于轴的弦，则弦长为
五、问题探究
1、经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求AB的长。

探究：你如何用代数法研究直线和椭圆的位置关系？
2、已知椭圆及直线。

（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。

3、已知椭圆，直线l：。

椭圆上是否存在一点，它到直线距离最小？最小距离是多少？
六、巩固练习
1、如果直线与椭圆恒有公共点，则b的取值范围是（）
A． B.
C. D.
2、直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（）
A． B. C. D.
3、已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，|AB|=
4、椭圆的弦被点P（2，1）所平分，求此弦所在的直线方程。

5、已知椭圆，一组平行直线的斜率是。

（1）这组直线何时与椭圆相交？
（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上。

七、小结与反思
1、本学案你做得好吗？（）
A 很好 B一般 C很差
2、本节课你的收获是什么？
椭圆习题课学案（3）
高二数学（文科）备课组
一、学习目标：在掌握椭圆的方程、性质的基础上，了解椭圆的焦半径公式以及焦点三角形
的性质
二、学习重点：焦半径公式、焦点三角形
三、知识链接：
1.椭圆的第一定义
2.椭圆的第二定义
四、问题探究
1、已知椭圆的焦点坐标是和，直线是椭圆的一条准线。

（1）求椭圆的方程；
（2）设点在这个椭圆上，且，求。

2、已知椭圆的焦点坐标是和，是椭圆上的任一点，求证：，
3.已知椭圆的焦点坐标是和，是椭圆上的任一点，
（1）求的最大值及最大时点的坐标。

（2）的最大值。

（3）设，求证：
五、巩固练习
1、点是椭圆上一点，和是椭圆的两个焦点，若，则的面积为。

2、椭圆的焦点是和，是椭圆上的动点，当为钝角时，求点的横坐标的取值范围。

3、和是椭圆的两个焦点，在椭圆上，，求椭圆离心率的取值范围。

4、已知椭圆的焦点坐标是和，若在椭圆上存在一点P，使.=0，求椭圆的离心率的取值范围。

5、设和是椭圆的左、右焦点。

若P是该椭圆上的一个动点，求.的最大值和最小值。