2.2.2双曲线的几何性质教学设计
学案5:2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1．掌握直线与双曲线的位置关系．2．掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．学习重点：直线与双曲线的位置关系．学习难点：直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．课内探究案新课导学：探究点一直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组{y=kx+m,①x2a2-y2b2=1②的解的个数进行判断.①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0,即k=±ba,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于一点.当b2-a2k2≠0,即k≠±ba时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交;Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切;Δ<0⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.注意:直线与双曲线相切时,它们只有一个公共点,但当直线与双曲线只有一个公共点时,它们不一定相切,这时它们还可以相交.例1 若直线y=2x+m与双曲线x2-y2=4相切,则实数m的值为.探究点二根据双曲线标准方程研究几何性质由双曲线的方程,求双曲线的相关性质的步骤为:先将双曲线方程化为标准形式x 2a2−y2b2=1(或y2 a2-x2b2=1),再根据它确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b),进而求出c;再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两条邻边的矩形的对角线所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形.例2 求双曲线144x2-25y2=-3 600的实轴长和虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.探究点三根据双曲线的几何性质求标准方程1.根据双曲线几何性质求标准方程时,常用方法是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆.2.如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.3.与双曲线x2a2−y2b2=1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0),然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.例3 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线x2-2y2=2有共同渐近线,且过点M(2,-2);(2)过点P(3,-√2),离心率为√52.当堂检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．422．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324 C.32 D.434．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．四、课后反思课后训练案1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是()A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝12．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x224－y 212＝13．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x5．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.7．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．答 案新课导学探究点一 直线与双曲线的位置关系例1 【解析】联立方程组{y =2x +m ,x 2-y 2=4,则3x 2+4mx+m 2+4=0,由题意知Δ=(4m )2-12(m 2+4)=0,解得m=±2√3.【答案】±2√3探究点二 根据双曲线标准方程研究几何性质例2 【答案】 解:把双曲线方程化成标准方程为y 2144−x 225=1,则a 2=144,b 2=25,∴c 2=a 2+b 2=169. ∴a=12,b=5,c=13.由此可知,该双曲线的实轴长2a=24,虚轴长2b=10,焦点坐标为(0,-13),(0,13),顶点坐标为(0,-12),(0,12),离心率e=1312,渐近线方程为y=±125x.探究点三 根据双曲线的几何性质求标准方程例3 【答案】 解:(1)设与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程为x 22-y 2=k (k ≠0), 将点(2,-2)代入,得k=222-(-2)2=-2,故双曲线的标准方程为y 22−x 24=1.当堂检测1．【解析】双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C. 【答案】C2．【解析】2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2.【答案】B3．【解析】根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32. 【答案】C4．【解析】∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1.【答案】1课后训练案1．【答案】 C【解析】 ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 2．【答案】 B【解析】 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 3．【答案】 C【解析】 ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．【答案】 D【解析】 ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169， ∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a bx ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 5．【答案】 －12<b <0【解析】 ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0.6．【答案】 62 【解析】 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 7．【答案】解：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)． 8．【答案】解：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43(ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.。
2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)
2.2.2(二)
跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线xa22－yb22＝1(a，b>0)的左、
右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求此双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点，
本 讲 栏
且在双曲线的右支上存在点 C，使得O→D＋O→E＝mO→C，求
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
2.已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、
F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点.若△ABF1
是以 B 为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2 的面
本 讲
积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率
本
讲
A.(x－5)2＋y2＝36
B.(x＋5)2＋y2＝36
栏 目
C.(x－5)2＋y2＝9
D.(x＋5)2＋y2＝9
开 关
解析 由双曲线ax22－y92＝1(a>0)得渐近线方程为 y＝±3ax，即
3x±ay＝0，∴a＝4，
∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0). 又∵b2＝9，∴虚轴长 2b＝6. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.
2.2.2(二)
题型一 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝1 有且仅有一个
公共点，k 为何值？
本 讲 栏
解 由yx＝2－kyx2－＝11， ⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
目 开
当 1－k2≠0 时，即 k≠±1 时，
关 ∵直线和双曲线只有一个交点，
2.2双曲线(2)(教学设计)
2.2双曲线（2）（教学设计） 2．2．2双曲线的简单几何性质教学目标： 知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题。
过程与方法目标通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力。
情感、态度与价值观目标使学生在合作探究活动中体验成功，激发学习热情，感受曲线美、数学美。
教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 教学难点：渐近线的性质。
教学过程：一、复习回顾： 1、双曲线的标准方程：12222=-by a x ,(a>0,b>0)…… 表示焦点在x 轴上的双曲线()222210,0y x a b ba-=>>……表示焦点在y 轴上的双曲线2、求双曲线标准方程的方法：待定系数法二、创设情境、新课引入类比椭圆简单几何性质，探究双曲线的简单几何性质。
三、师生互动、新课讲解： 问题1：作图：221169xy-=和221916yx-=问题2：12222=-by ax (a>0,b>0)和()222210,0yx a b ba-=>>有哪些性质？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．1、双曲线的简单几何性质（列表解析）①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x ba=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；④离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（1e >）．⑤渐近线：直线b y x a=±叫做双曲线22221x y ab-=的渐近线；双曲线的渐近线方程推导：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明，这一部分的方程可写为 y=)(22a x a x ab >-设M(x,y)是它上面的点，N(x,y)是直线y=x ab 上与M 有相同横坐标的点，则Y=x a b ,因为，y=Y x abx a x a bax ab =<-=-222)(1 所以，|MN|=Y-y=22(a x x ab --)=22ax x ab -+因此，把两条直线y=x a b ±叫做双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线。
2.2《双曲线的几何性质》教案(新人教选修2-1))
2.3 双曲线的简单几何性质一、教学目标知识与技能：1、使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质，并能根据方程求出双曲线的渐近线、离心率等。
2、理解离心率和双曲线形状间的变化关系。
过程与方法：通过启发和引导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比、分析归纳、猜想、数形结合等能力和数学思想。
情感、态度与价值观：通过对问题的探究，培养学生对待知识的科学态度，并能用运动的、变化的观点分析事物。
二、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？(二)讲授新课下面我们研究双曲线的几何性质：1、运用几何画板演示得到双曲线221169x y-=的范围：44,x x y R ≤-≥∈或进一步归纳出22221x y a b-=的范围。
2、结合几何画板演示得到双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。
3、类比椭圆的顶点，得到双曲线的顶点坐标。
4、借助于双曲线的顶点，画出以渐近线为对角直线的矩形，得到渐近线的一般表达式，再结合几何画板说明渐近线的特征：逐渐靠近，永不相交。
5、说明离心率与双曲线开口程度的关系。
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1）双曲线焦距与实轴的比ce a =叫做双曲线的离心率，且1c e a=>。
2） 222222221c a b b e a a a +===+ 所以离心率越大，渐近线的斜率越大，渐近线变得越开阔。
例1求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b=±．解：把方程化为标准方程 2222143x y -= 由此可知：半实轴长4a =，半虚轴长3b =，5c=。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。
二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。
三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。
双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。
双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。
两条分支无限延伸，且永不相交。
2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。
3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。
四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。
2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。
3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。
4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。
数学《双曲线的几何性质》教案设计
数学《双曲线的几何性质》教案设计数学《双曲线的几何性质》教案设计在教学工作者实际的教学活动中，通常需要用到教案来辅助教学，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。
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数学《双曲线的几何性质》教案设计篇1一课时目标1、熟悉双曲线的几何性质。
2、能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。
3、能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。
二教学过程[情景设置]叙述椭圆的几何性质，并填写下表：方程性质图像（略）范围—a≤x≤a，—b≤y≤b对称性对称轴、对称中心顶点（±a，0）、（±b，0）离心率e=（几何意义）[探索研究]1、类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。
双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。
双曲线与椭圆的几何性质对比如下：方程性质图像（略）（略）范围—a≤x≤a，—b≤y≤bx≥a，或x≤—a，y∈R对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心顶点（±a，0）、（±b，0）（—a，0）、（a，0）离心率0＜e=＜1e=＞1 下面继续研究离心率的几何意义：（a、b、c、e关系：c2=a2+b2，e=＞1）2、渐近线的发现与论证根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把画出来吗？（能）根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把画出来吗？（不能）通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。
我们能较为准确地画出曲线y=，这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。
问：双曲线有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：y=±=±当x无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±与直线y=±无限接近。
2.2.2 双曲线的简单几何性质
2．双曲线的渐近线 (1)求法：令常数项为零，因式分解即得． (2)用法：①由渐近线方程得到ba或ab的值；②利用渐近线方程设出 双曲线的方程． (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b(虚半轴的长)． (4)等轴双曲线的渐近线方程为 y＝±x.
◎已知双曲线方程为 x2－y2＝1，双曲线的左支上一点 P(a，b)到 直线 y＝x 的距离是 2，求 a＋b 的值．
解析： OA＝a，OB＝b，AB＝c， 在△OAB 中，有12ab＝12·43c·c＝ 83c2， 又 a2＋b2＝c2，∴a2(c2－a2)＝136c4，即 e2－1＝136e4， ∴3e4－16e2＋16＝0，解得 e＝2 或 e＝233， ∵0<a<b，∴a2<c2－a2， ∴e> 2，∴e＝233应舍去，∴e＝2.
解析： 由双曲线方程 mx2＋y2＝1，知 m<0， 则双曲线方程可化为 y2－－x2m1 ＝1， 则 a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的 2 倍， ∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－14.
答案： －14
4．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点是(－4,0)，(4,0)，过点(2,0)； (2)离心率为54，半虚轴长为 2.
• 2．2.2 双曲线的简单几何性质
• 第1课时 双曲线的简单几何性质
• 1.掌握双曲线的简单几何性质． • 2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.
• 1.本节的重点是双曲线的几何性质的理解和应用，难点是渐近 线的理解和应用．
• 2.双曲线的几何性质是考查的重点，其中离心率、渐近线是考 查的热点．
[规范作答] 设 F1(c,0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得 ac22－by22＝1，那么 y＝±ba2，3 分 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|， ∴ba2＝2c，∴b2＝2ac.6 分 ∴c2－2ac－a2＝0，∴ac2－2×ac－1＝0.8 分 即 e2－2e－1＝0，∴e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去).10 分 所以所求双曲线的离心率为 1＋ 2.12 分
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。
2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。
知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。
4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。
性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。
6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。
应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。
8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。
巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。
11. 鼓励学生提问和解答疑惑。
教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。
- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。
- 计算器，用于计算实例。
教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。
- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。
- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。
教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。
- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。
注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。
- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。
- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。
《2.2.2 双曲线的简单几何性质》教案
《2.2.2 双曲线的简单几何性质》教案【教材分析】由曲线方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何所研究的主要问题之一，本课就是根据前节导出的双曲线标准方程来进一步研究它的几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.本节课的主要内容是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，（这样，学生会感到容易接受）.【教学目标】1.知识与技能(1)给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系.(2)给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程.(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律.2.过程与方法(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力.(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力.(3)在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识.3.情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念.【教学重点】双曲线的离心率和渐近线.【教学难点】双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系. 【教学方法】启发式、发现法.【教学准备】多媒体【教学课时】1课时【教学过程】1.创设情境，引入课题（1）问题情景师问1：首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的？学生答：首先研究了椭圆的标准方程，接着研究了椭圆的几何性质.师问2：很好，那么类似地双曲线是否也具有一些几何性质呢？（引出本节课的内容）注：本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行下面的复习回顾.（2）复习回顾复习1:双曲线的概念及标准方程，(其中）（让学生适当举例）复习2:椭圆的几何性质标准方程范围对称性 关于坐标轴对称，关于原点中心对称顶点离心率a ce =刻画椭圆扁平程度的几何量2.活动探究，认识性质(1)范围、对称性、顶点的探求结合椭圆的性质，让学生类比猜想得出双曲线的相关性质（范围此阶段限于ax ≥），并结合方程加以数学的验证.(2)双曲线的渐近线师问3:根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把 191622=+y x 画出来吗？学生答：能，确定椭圆的四个顶点然后用光滑的曲线连起来。
双曲线的几何性质教学设计
双曲线的几何性质教学设计【教学设计】双曲线的几何性质一、引言双曲线作为解析几何中重要的曲线之一，具有独特的几何性质。
本教学设计旨在通过讲解双曲线的几何性质，引发学生对双曲线的兴趣，提高他们的几何思维和问题解决能力。
二、知识概述双曲线是由平面上一动点P到两定点F1和F2的距离差的绝对值等于常数a所确定的轨迹。
它的数学方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a > 0,b > 0）。
三、教学目标1. 理解双曲线的定义和基本特征；2. 掌握双曲线的焦点、准线等重要几何性质；3. 能够应用双曲线的性质解决相关的几何问题。
四、教学内容及过程1. 引入（10分钟）- 引导学生回顾椭圆和抛物线的几何性质，并展示双曲线的数学方程；- 激发学生的兴趣，提出关于双曲线的问题，如双曲线与其他曲线的区别等。
2. 讲解双曲线的性质（30分钟）a. 双曲线的焦点与准线- 解释焦点的概念：F1和F2为双曲线上的两个定点，其距离和为2a；- 定义准线：双曲线的对称轴，与双曲线没有交点；- 手绘示意图，帮助学生理解焦点和准线的几何意义。
b. 双曲线的渐近线- 定义渐近线：双曲线的两条直线趋近于无限远时的情况；- 推导渐近线的方程：y = ±b/a·x。
c. 双曲线的离心率- 解释离心率的概念：e = c/a，其中c为焦点到准线的距离；- 讨论离心率对双曲线形状的影响。
3. 实例分析与讨论（40分钟）a. 利用双曲线的性质解决几何问题- 以实例引导学生应用双曲线的性质解决几何问题，如判断点是否在双曲线上、求双曲线的切线方程等；- 学生自主解答，并与同学分享思路和解题方法。
b. 探究双曲线的应用领域- 引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，如天体运动轨迹的描述、电磁波传播的规律等；- 学生展示自己的想法，并进行讨论。
4. 总结与拓展（20分钟）a. 总结双曲线的几何性质- 让学生归纳总结双曲线的焦点、准线、渐近线和离心率等几何性质。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。
强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。
2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。
3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。
4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。
5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。
引导学生通过实例验证双曲线的对称性。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。
2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。
3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。
2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。
3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。
教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。
利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
双曲线的几何性质数学教案设计
双曲线的几何性质数学教案设计一、教学目标1. 理解双曲线的定义和标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、离心率等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义和标准方程介绍双曲线的定义，即所有到两个固定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合。
推导双曲线的标准方程，即\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > 0, b > 0\)）。
2. 双曲线的焦点和准线解释双曲线的焦点概念，即双曲线上每个点到两个焦点的距离之差等于双曲线的离心率。
推导双曲线的焦点坐标，即\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)。
介绍准线的概念，即与双曲线对称的直线，其方程为\(x = \pm\frac{a^2}{c}\)。
3. 双曲线的离心率定义双曲线的离心率\(e\) 为\(e = \frac{c}{a}\)。
解释离心率与双曲线的形状的关系，即\(e > 1\) 表示双曲线开口向外，\(e < 1\) 表示双曲线开口向内。
4. 双曲线的渐近线介绍双曲线的渐近线概念，即当\(x\) 趋于无穷大或无穷小时，双曲线的曲线趋近于一条直线。
推导双曲线的渐近线方程，即\(y = \pm\frac{b}{a}x\)。
5. 双曲线的对称性和周期性解释双曲线的对称性，即双曲线关于\(x\) 轴和\(y\) 轴对称。
介绍双曲线的周期性，即双曲线在\(x\) 轴和\(y\) 轴上具有无限周期。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索双曲线的几何性质，激发学生的学习兴趣和主动性。
2. 使用图形和实例进行直观的解释和演示，帮助学生理解和记忆双曲线的几何性质。
3. 组织小组讨论和合作，鼓励学生之间的交流和思考，培养学生的团队合作能力。
四、教学评估1. 课堂讲解和提问：通过观察学生在课堂上的参与和回答问题的表现，评估学生对双曲线几何性质的理解程度。
《2.2.2 双曲线的简单几何性质》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.2双曲线的简单几何性质》教案●三维目标1.知识与技能(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．(2)理解渐近线的证明方法．(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系．2．过程与方法培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．●重点、难点重点：由方程导出性质及其应用．难点：渐近线的理解．从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．●教学建议本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位．●教学流程提出问题：类比椭圆的几何性质，你能得到双曲线的哪些几何性质？⇒引导观察双曲线图形，分析其几何性质，导出范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.⇒通过引导学生回答所提问题，引出渐近线的概念，理解渐近线的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握已知双曲线方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由几何性质求双曲线标准方程的方法.【问题导思】类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？【提示】范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．续表【问题导思】椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？【提示】双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.例1 求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．【思路探究】【自主解答】 双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为x225－y24＝1.∴实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由c ＝a2＋b2＝29，焦点坐标为(29，0)，(－29，0)． 离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x.规律方法1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错． 变式训练求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】 把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程得y242－x232＝1，由此可知，实轴长2a＝8，虚轴长2b ＝6，c ＝a2＋b2＝5. 焦点坐标为(0，－5)，(0,5)． 离心率e ＝c a ＝54.顶点坐标为(0，－4)，(0,4)． 渐近线方程为：y ＝±43x.双曲线的方程例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)． 【思路探究】(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c2＝a2＋b2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92.∴所求双曲线标准方程为x29－4y281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线标准方程为y29－x24＝1.(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线标准方程为y22－x24＝1.规律方法1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a ，b 的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax±By ＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)或x2B2－y2A2＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷． 3．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．变式训练已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程． 【解】 法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜yP ＝3. ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上， ∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5. ∴双曲线方程为y25－x220＝1.法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0. 设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.例3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率． (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(0＜a ＜b)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l 的距离为34c. 【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a 、b 、c 的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a 、b 、c 的什么关系式？ 【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b2a2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b2a2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a2＋b2＝34c ， 即ab ＝34c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2， 即3b4－10a2b2＋3a4＝0， ∴3(b2a2)2－10×b2a2＋3＝0.解得b2a2＝13或b2a2＝3.又∵0＜a ＜b ，∴b2a2＝3.∴e ＝1＋b2a2＝2.规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a ＜b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．变式训练已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q ＝90°，求双曲线的离心率．【解】 设F1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c2a2－y2b2＝1，那么y ＝±b2a .∴|PF1|＝b2a. 由双曲线对称性，|PF2|＝|QF2|且∠PF2Q ＝90°. 知|F1F2|＝12|PQ|＝|PF1|，∴b2a＝2c ，则b2＝2ac. ∴c2－2ac －a2＝0，∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca－1＝0. 即e2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2. 忽略点在双曲线上的位置致误典例 已知双曲线方程为x2－y2＝1，双曲线的左支上一点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离是2，求a ＋b 的值．【错解】 ∵P(a ，b)到直线y ＝x 的距离是 2. 故|a －b|2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵a2－b2＝1，∴(a ＋b)(a －b)＝1，∴a ＋b ＝±12.【错因分析】 错解中忽略了点P 在双曲线的左支上，此时，a －b ＜0，∴a －b ＝－2. 【防范措施】 由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．【正解】 ∵点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离为2， 故|a －b|2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵P 在双曲线的左支上，故a －b ＜0，则有a －b ＝－2. 又∵a2－b2＝1，即(a －b)(a ＋b)＝1，∴a ＋b ＝－12.课堂小结1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a x ；当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±ab x.(2)当渐近线为y ＝b a x 时，可设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x225－y29＝1 B.x225－y29＝1或y225－x29＝1 C.x2100－y236＝1 D.x2100－y236＝1或y2100－x236＝1 【解析】 由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B. 【答案】 B2．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x【解析】 由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±32x.【答案】 C3．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x22－y24＝1 B.x24－y22＝1 C.x24－y26＝1 D.x24－y210＝1 【解析】 选项B 双曲线中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62. 【答案】 B4．若双曲线的顶点在x 轴上，两顶点的距离为8，离心率是54，求双曲线的标准方程．【解】 由题设，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵2a ＝8，∴a ＝4， 由e ＝54＝ca ，得c ＝5，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.因此所求双曲线标准方程为x216－y29＝1.一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y218－x218＝1 B.x218－y218＝1 C.x28－y28＝1 D.y28－x28＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a ＞0)．∴a2＋a2＝62，∴a2＝18. 故双曲线方程为x218－y218＝1.【答案】 B2．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1 【解析】 由2c ＝10得c ＝5，∵点P(2,1)在直线y ＝b a x 上，∴2b a＝1，又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5，故双曲线的方程为x220－y25＝1. 【答案】 A3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52【解析】 ∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 又其一条渐近线过点(4，－2)， ∴b a ＝24，∴a ＝2b. 因此c ＝a2＋b2＝5b.∴离心率e ＝c a ＝52. 【答案】 D4．(2013·天门高二检测)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y2＝r2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2C ．3D ．6【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|2＋4＝ 3. 【答案】 A 5．(2013·临沂高二检测)双曲线x2a2－y2b2＝1和椭圆x2m2＋y2b2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 双曲线的离心率e1＝a2＋b2a ，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.【解析】 ∵2a ＝2,2b ＝2－1m ，∴ －1m＝2， ∴m ＝－14. 【答案】 －14 7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．【解析】 双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4， 离心率e ＝c a＝2，∴a ＝2，∴b ＝c2－a2＝2 3. ∴双曲线方程为x24－y212＝1.令x24－y212＝0，得渐近线方程为3x±y ＝0. 【答案】 (±4,0) 3x±y ＝0 8．(2013·北京高二检测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围为________．【解析】 由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a ，又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝83a ，|PF2|＝23a. 容易知道|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即103a≥2c ，∴e≤53，又e ＞1，故e ∈(1，53]． 【答案】 (1，53] 三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 【解】 (1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)， 则由题意可知－329－23216＝λ，解得λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1. (2)设所求双曲线方程为x216－k －y24＋k ＝1(16－k ＞0,4＋k ＞0)， ∵双曲线过点(32，2)，∴32216－k －224＋k ＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍)． ∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1. 10．双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s≥45c ，求双曲线离心率的取值范围． 【解】 ∵l 的方程为：bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线距离公式且a ＞1，得点(1,0)到直线l 的距离d1＝b a －1a2＋b2， 点(－1,0)到直线l 的距离d2＝b a ＋1a2＋b2. s ＝d1＋d2＝2ab c ≥45c. 即5a c2－a2≥2c2，即5e2－1≥2e2，∴4e4－25e2＋25≤0，解得54≤e2≤5， ∵e ＞1，∴52≤e≤ 5. 即e 的取值范围为[52，5]． 11．若原点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．【解】 由双曲线方程x2a2－y2＝1(a ＞0)知b ＝1. 又F(－2,0)，∴c ＝2.∴a2＋1＝c2＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1. 设双曲线右支上点P(x ，y)，且x≥ 3.OP →·FP →＝(x ，y)·(x ＋2，y)＝x2＋2x ＋y2＝43x2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74. ∵x≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3. 故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).。
20-21版：2.2.2 双曲线的简单几何性质（创新设计）
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
_____________________________________________________ __________________________________________________
性
质 实轴和虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线 的虚轴
12
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练2】 根据条件，求双曲线的标准方程. (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)； (2)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2). 解 (1)设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0)，
由题意可知（－93）2－（2163）2＝λ，解得 λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x92－y42＝1.
【迁移】 在例 3 中若直线 l 的方程为 y＝kx，并且直线 l 与双曲线x32－y22＝1 的两支
各有一个交点，求实数 k 的取值范围. 解 由x32－y22＝1，得(2－3k2)x2－6＝0，设直线与双曲线的交点坐标分别为(x1，y1)，
y＝kx
2－3k2≠0， (x2，y2)，由题意知Δx1＝x2＝24－（22－－633kk22＜）0＞，0，解得－ 36＜k＜ 36，即实数 k 的取值范围
9
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，
若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，则ba＝12.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a42－b92＝1.②
2.2.2.2双曲线的简单的几何性质学案
2.2.2.双曲线的简单的几何性质学案2学习目标：1、掌握直线与双曲线的位置关系；2、掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的轨迹方程 自主学习：一、直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l ：)0(≠+=m m kx y -------------------------①双曲线C ：12222=-b y a x（a ＞0，b ＞0）---------------------②把①代入②得：02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b⑴当0222=-k a b ，即a b k ±=时，直线l 与双曲线的渐进线（ ），直线与双曲线C 相交于一点；⑵当0222≠-k a b ，即b k ±≠时，△=22)2(mk a --))((42222222b a m a k a b ---。
1、 思考：点与双曲线有几种位置关系，如何来判断它们？2、 直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线必定相切吗？为什么？3、 直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 点，当a 为何值时时，以AB 为直径的圆过原点。
二、弦长公式斜率为k （0≠k ）的直线l 与双曲线相交于点),(11y x A ，),(22y x B ， 则AB =2121x x k-+=2122124)(1x x x x k -++ =21211y y k -+=2122124)(11y y y y k -++1、 思考：若直线斜率k =0或不存在，如何求弦长公式？2、直线x y =与双曲线1422=-y x 有两个交点A 、B ，则A 、B 两坐标分别是（ ）A 、（332,332±±） B 、（332,332），（332,332） C 、（33,33），（33,33--） D 、（32,32），（32,32--）3、斜率为1的直线l 过双曲线1222=-y x 的左焦点1F 与双曲线交于PQ 两点，则PQ 的长为 。
双曲线的几何性质教学设计
双曲线的几何性质教学设计双曲线是数学中重要的曲线之一，具有独特的几何性质。
通过教学设计，可以帮助学生理解和掌握双曲线的基本概念和特性。
本文将从双曲线的定义、方程、焦点与准线、渐近线等几个方面进行教学设计，旨在提升学生对双曲线的理解和运用能力。
【引言】双曲线作为数学中的重要概念，广泛应用于科学和工程领域。
它具有许多独特的几何性质，如焦点和准线的关系、渐近线的存在等。
通过本次教学，我们将帮助学生深入了解双曲线及其几何性质，为今后的学习打下坚实的基础。
【一、双曲线的定义】首先，我们将从双曲线的定义入手。
双曲线定义为平面上满足特定条件的点的集合。
我们可以通过直角坐标系和参数方程两种方式来描述双曲线。
通过直角坐标系描述时，双曲线的方程形式为 x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)，其中a和b为正常数。
该方程表达了双曲线的形状和大小。
【二、双曲线的方程】接下来，我们将介绍双曲线的方程。
与椭圆和抛物线相比，双曲线具有更多的方程形式。
除了前文中提到的标准方程，还有一些其他常见的方程形式，如双曲线的顶点形式、极坐标形式等。
通过学习这些方程形式，学生可以更全面地理解双曲线并掌握方程的转化方法。
【三、焦点与准线】焦点和准线是双曲线的重要概念，也是双曲线的独特性质之一。
焦点是指离双曲线上任意一点的距离之差等于到准线的距离之差的点。
准线则是垂直于双曲线主轴，且与曲线对称的直线。
我们将通过实例和图示来帮助学生理解双曲线焦点和准线之间的关系，并进行相关练习以巩固学习成果。
【四、渐近线】与曲线趋近于某一直线的概念相对应，双曲线也具有渐近线。
我们将对双曲线的渐近线进行介绍，并利用图形和实例帮助学生理解渐近线的概念。
此外，我们还将引导学生分析双曲线的特点，如横渐近线与纵渐近线，并通过探究不同双曲线方程的图像，让学生深入理解渐近线的性质和作用。
【五、综合应用】在教学的最后阶段，我们将通过综合应用来运用双曲线的几何性质。
《2.2.2双曲线的几何性质》教学案2
《2.2.2双曲线的几何性质》教学案教学目标：1、掌握双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；2、明确a 、b 、c 的几何意义；3、能解决一些简单的双曲线问题.教学重、难点：双曲线的简单几何性质及其简单应用，对离心率的理解.教学过程：一、问题情景导入1.前面我们研究了椭圆的哪些几何性质？2.类比椭圆几何性质的研究方法，怎样根据双曲线的标准方程()0,012222>>=-b a by a x 研究它的几何性质？二、新知讲解1.范围：双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.3.顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ，0)、A 2(a ，0)，它们叫做双曲线的顶点.线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b ， b 叫做双曲线的虚半轴长.4.渐近线①我们把两条直线y =±x ab 叫做双曲线的渐近线； ②从图8—16可以看出，双曲线12222=-by a x 的各支向外延伸时，与直线y =±x ab 逐渐接近.③“渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y =x a x a b (22->a ).设M (x ，y )是它上面的点，N (x ，y )是直线y =x a b 上与M 有相同横坐标的点，则Y =x a b . ∵y =Y x ab x a x a b a x a b =-=-π222)(1 ∴)(22a x x a by Y MN --=-= 222222))((ax x a x x a x x a b -+-+--⋅= 22a x x ab-+= 设MQ 是点M 到直线y =x ab 的距离，则MQ <MN ，当x 逐渐增大时，MN 逐渐减小，x 无限增大，MN 接近于O ，MQ 也接近于O .就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON 的下方逐渐接近于射线ON .在其他象限内，也可证明类似的情况.(上述内容用幻灯片给出).④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.⑤利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e =ac ，叫双曲线的离心率. 说明：①由c >a >0可得e >1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.例1 求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程化为标准方程.1342222=-x y . 由此可知，实半轴长a =4，虚半轴长b =3.5342222=+=+=b a c .焦点的坐标是(0，－5)，(0，5). 离心率45==a c e . 渐近线方程为y x 43±=，即x y 34±=.三、课后巩固提高本堂小结：四、作业1求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)顶点在x 轴，两顶点的距离为8，离心率是54；(2)离心率e ＝2，且过点(4，10)． 2．求双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程；3. 渐近线方程为y ＝±23x ，经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1的双曲线方程． 4.求焦点为(0，－6)，(0，6)，且经过点(2，－5)的双曲线的离心率、标准方程及顶点坐标．5．适合下列条件的双曲线标准方程(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .。
2.2.2双曲线的几何性质(一)教案
课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一）课型：新授课 时间： 月 日学习札记◇预习目标◇1、掌握双曲线标准方程中a 、b 、c 、e 之间的关系；2、了解双曲线的渐近线的概念和证明；3、尝试用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质。
◇问题引导，自我探究◇以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？2．对称性： 是双曲线的对称轴， 是双曲线12222=-by a x的对称中心，双曲线的对称中心叫做 。
3．顶点：双曲线和x 轴有两个交点是 ，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
4．渐近线：他们是如何确立的？◇自学测试◇1、 叫做等轴双曲线；等轴双曲线的渐近线是 。
2、双曲线的离心率是3、求双曲线22916144y x -=的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。
◇自学感悟◇课题：2.2.2双曲线的几何性质（一）课型：新授课时间：月日学习札记〖学习目标及要求〗：1、学习目标：（1）能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；；（2）掌握双曲线的渐近线的概念和证明；（3）能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。
2、重点难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。
4、体现的思想方法：类比、设想。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗： 一、预习反馈:二、探究精讲:以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明双曲线的顶点、渐近线和离心率。
1、顶点：在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
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2.2.2双曲线的几何性质教学设计廊坊市第十二中学高中数学耿忠娟学科：数学年级：高二文科教材：普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1一、指导思想与理论依据一方面，学生对知识的获得，应是在自己已有知识中找到生长点，通过一定的思维活动，促使其生长发展为新的知识，因此，教学活动的设计要为学生头脑中的知识生长发展创设合适的土壤与环境.另一方面，学习的目的不仅仅是获取知识，更为重要的是要形成良好的知识结构，使得学生能够以此为基础，自如调用所学知识解决问题、获取新知，这就需要让学生理解知识的发现、展开、证明的线索，从而使学生把知识和知识形成过程中所蕴含的发现、推理及思维方法一起纳入到自己的知识结构中。
但有些学生的学习行为是与之相背的，他们重结果轻过程，更关注知识、技巧的机械记忆，从而造成了知而不能用的现象，因此教学活动的设计，应有助于学生改变原有的不当学习方式和习惯，激发学生学习的主动性，使学生的学习活动成为教师引导下的“再创造”过程，养成深入思考，积极探索，寻根溯源的习惯.此外，学生学习活动的设计，应有助于学生认识理解所学章节所蕴涵的一般思维方法，增强对数学各部分知识的联系的认识和理解，把握知识发生发展的脉络特点，体会、认识知识的形成过程，领悟问题解决过程中的思维策略与方法.二、教学背景分析教学内容分析：解析几何的一般研究方法是，建系求曲线方程，以曲线方程为研究对象，通过曲线方程的代数特性来研究曲线的几何特性，这一研究方法在必修2中难以得到完全体现，一则，学生刚刚接触解析几何，需要一个认知的过程，此外，教学内容上，直线与圆都是学生非常熟悉的曲线，学生已经熟知它的性质，所以必修2更强调确定直线与圆的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画直线与圆，推导出直线与圆的方程。
对于直线与直线、直线与圆，圆与圆的位置关系的研究，也是更侧重于图形，依据图形把直线倾斜角、夹角、点线距（圆心与直线距离）、圆心距用代数表示出来，从而实现用它们的数量关系来确定判断、研究直线与直线、直线与圆及圆与圆的位置关系。
在选修1－1第二章中研究的对象是学生不太熟悉的圆锥曲线，不论从学生对解析几何研究方法的认识理解方面，还是内容方面，都使得在这一章的学习中，能够更深入的认识、理解、运用解析几何的一般研究方法。
因此，在椭圆的教学中，力求突出解析研究的一般方法：即由椭圆定义，把椭圆上点的几何约束条件代数化，获得椭圆方程。
然后，再以椭圆方程为研究对象，让学生研究方程的代数特性，从中预判椭圆在坐标系中分布区域及对称性，给出相关概念，获得椭圆几何性质。
然后再以椭圆方程为研究对象，结合前面所得性质研究其与直线的位置关系。
学生在这一学习过程中，已经对研究的程序及方法有了初步的认识。
这为学生学习双曲线的几何性质打下了很好的认知基础，这使得放手让学生类比椭圆的研究过程及方法，进行自主探究双曲线的几何性质成为可能。
下图展现了“椭圆性质”这节课的展开方式。
学生情况分析：我校是一所廊坊市安次区一所普通校，授课班级是文科班，因此学生的数学基础一般，学生类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究获得双曲线的范围和对称性，没有太大的困难，但是对双曲线的渐近线的发现与认识仍会存在一定的困难。
这些学生有较好的数学基础，学习也比较刻苦、认真，但是部分学生在学习中仍过于关注结论，而忽视结论获得的过程，重视吸收教师所讲的知识，而缺乏主动质疑并发展教师所讲内容，发现、提出问题的能力比较弱，在数学思维的深度和广度方面还有一定欠缺。
教学方式与手段：根据教学内容的特点和学生的实际，本节课的设计高度关注学生深层次的思维活动，注重课堂学习的实际效率，在学生能力所及的内容上，由学生自主探究完成，在学生难以独立完成的内容上，采取教师引导下的探究和合作交流，并引导学生对探究过程的一些环节提出疑问，生成课下进一步研究探索的小课题，使探究活动延续到更为广阔的课下舞台。
技术准备：硬件：电脑、实物投影仪；软件：ppt、几何画板三、教学目标（内容框架）教学目标1．了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念，知道它们刻画了双曲线的哪些几何性质。
2．教师通过一系列问题（含复习与预习问题）的导引及问题情景的创设，引发学生类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质。
在经历探究双曲线的几何性质的过程中，体会数形结合方法：曲线方程――分析获得代数特性――对应为曲线几何性质，促进学生对“数”与“形”的联系的运用与认识。
3．通过教师引导学生进行的探究活动和必要讲解，消除知识出现的生硬感，使其出现得合情合理，促使学生对研究方法与过程的关注和理解，避免学生对结论的机械记忆，鼓励学生在学习中敢于质疑，深入思考，积极探索的习惯。
让学生体验数学发现和知识发生发展的过程，在思维的层层推进中享受不断获取新发现的快乐，发展学生的创新意识和能力，树立正确的数学学习观。
4．通过教师的讲解、分析，引领学生对无限有所认识，并尝试用无限的思想从方程角度解释双曲线存在渐近性的原因。
教学重点：1．双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。
2．进一步理解、运用、感悟从代数角度研究几何的思想和方法。
教学难点：虚轴的感性接受，渐近线的发现与认识（特别是从有限到无限，用极限思想分析方程，获得对“渐近性”的解释）。
四、教学过程教学指导策略：少记忆多领悟，促参与深思维，引探究亲体验，激疑问促创新教学过程教师的教学活动控制学生的学习活动设计意图与说明课前准备：发复习与探究作业1．复习椭圆的范围、对称性是从椭圆方程的哪些代数特性获得的？椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？2．类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程，你可以独立发现哪些几何性质？（特别建议：不要参看课本该节内容，但可以参看2.1.2内容）依据复习与探究作业，进行复习和探究布置复习任务，是为了学生对本课内容的学习有较好的认知基础；探究任务是为了节省部分时间，以解决本节难点：渐近线让学生经历双曲线几何性质的研究发现过程课堂研究活动：师：和椭圆的研究过程类似，在我们由双曲线定义获得了双曲线方程后，就可以由方程来研究双曲线的几何性质了，今天我们就通过双曲线的方程来研究它的几何性质。
一．学生课前研究成果的交流与评析问：在课前探究作业中，让大家尝试着类比椭圆性质的研究过程，自主研究双曲线的几何性质。
你发现了双曲线方程的哪些代数特征？它们表明了双曲线的哪些几何性质？学生交流自己课前的预习结果在教师问题引导明确本节课任务明确研究方法，类比椭圆几何性质的研究方法研究双曲线几何性质二．类比椭圆给出双曲线几何性质的相关概念问：回忆在椭圆几何性质的描述中，课本上给出了哪些相关概念？它们是如何定义的？类比这样的定义方式，你认为需要对双曲线的哪些性质给出相关概念？问：这种从方程研究分析获得曲线几何性质的方法的理论依据是什么呢？三．通过问题，引导学生进行更深层次的研究活动，发现渐近线问：刚才，同学们由方程得，分析出，除此之外还可以得到其它的不等关系吗？该不等式说明了双曲线的什么性质？学生答：双曲线的所在区域问：表示哪个区域呢？请同学们自己来研究一下（几分钟后，叫一位做得较好的学生说明自己研究的结果）问：区域边界线与双曲线有何关系?几何画板演示问：它们有怎样的位置关系？（观察发现边界线与双曲线永不相交且无限接近）类似地探究双曲线的对称性、范围、离心率四.从双曲线方程与渐近线方程的代数角度，对这种渐近性寻求解释并证明问：根据这些几何性质能否较准确地画出双曲线的大致图像？讲：由熟知的反比例函数，这是一个特殊的双曲线，它的一个性质：当x趋于无穷大时，函数值趋于0，问：那么对于对称轴为坐标轴的双曲线是否也具有这种趋近性呢？由几何画板展示也双曲线具有渐近线。
引问：可否给出严格的论证呢？下，类比椭圆，获得双曲线几何性质相关概念的认识在教师引导下，对学生的研究工作进行反思，提升这种研究方法（由代数特性获得几何特性）的理论依据的理解在教师问题引导下，反思自己获得双曲线几何性质的过程，引发更深层次的思维活动，发现：，并思考研究该不等式的几何含义：直线所夹的含焦点的对顶角区域，双曲线分布在该区域内学生思考两曲线的联系学生观察它们的图形及其位置关系，发现边界线，即在时，它有利于学生在椭圆性质的掌握基础上，理解认识双曲线的几何性质使渐近线的出现自然一些。
突出双曲线几何性质与方程代数特点的联系。
给学生足够时间思考探究在引发质疑，勇于探索过程中，感受思维的力量与神奇，体验发现的快乐。
促进学生对渐近线的感性认同和铺垫出理性论证的途径和……（课件展示理论推导过程）五．理解渐近线对刻画双曲线图形形状的重要意义 问：在双曲线的性质中，渐近线是一个在椭圆性质中找不到类比对象的特有性质，你认为它对刻画双曲线形状有哪些意义？（PPT 演示借助渐近线绘制双曲线）六．在前面感性认同和理性论证基础上扩大研究成果 问题：请同学们对比刚才的研究过程，分析指出焦点在轴的双曲线 的几何性质吗？探究一：双曲线简单几何性质例1：已知下列双曲线的方程，求它的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程。
（1）14491622=-y x（2）14491622-=-y x探究二：由双曲线的几何性质求标准方程例2，求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，实轴长是10，虚轴长是8； （2）离心率2=e ，经过点M ()2,0-.（3）离心率2=e ，经过点M ()3,5-们与双曲线无限接近，但永不相交！在教师的系列引问下，发现边界线为双曲线渐近线的代数本质 思考渐近线的价值与意义，并根据渐近线画双曲线学生自己研究焦点在y 轴上的双曲线的范围、对称性、渐近线方程等性质在教师问题的启发引导下，学生思维再往前迈一大步！发现有公共渐近线的双曲线系。
方法，理解双曲线与两直线的渐近性指出虚轴概念消除对虚轴引入的生硬感，理解引入的虚轴的一个意义澄清错误认识，运用上述对渐近线的认识和理解，获得焦点在y 轴上的双曲线的渐近线，强化对上述研究方法的理解和运用，加深对上述渐近线的解释的认识 引发学生更深层次的思维，并再次运[当堂检测]1、双曲线204522-=-x y 的实轴长为 ，虚轴长为 ，渐近线方程为 ，离心率为 。
2、中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是用无限思想理解认识新的问题促使学生重视渐近线的发现过程课堂回顾与反思： 1．知识要点 2．研究方法反思、抽象、概括出本课学习活动过程中，在思想方法上，及认识上的收获 明确知识重点，提升对思想方法的认识，增强研究方法的可迁移性思 考 题：写出一个焦点在坐标轴上 ,两条渐近线方程 是： 的双曲线的方程。
鼓励学生课下合作讨论课堂的结束，应是部分问题的解决，同时又是新问题的开端。